小学数学奥数解题技巧(38)立体图形的计算
立体图形的基本知识与计算方法
立体图形的基本知识与计算方法一、立体图形的概念与分类1.立体图形的定义：立体图形是具有三维空间的图形，它包括长度、宽度和高度三个维度。
2.立体图形的分类：a)几何体：根据面的形状和结构，几何体可以分为以下几种类型：•单体几何体：如球体、立方体、圆柱体、圆锥体等；•复合几何体：如长方体、棱柱、棱锥等；•旋转体：如圆环、圆台等。
b)非几何体：如圆柱面、圆锥面、球面等。
二、立体图形的计算方法1.体积的计算：a)单体几何体的体积计算公式：•球体：V = (4/3)πr³；•立方体：V = a³；•圆柱体：V = πr²h；•圆锥体：V = (1/3)πr²h。
b)复合几何体的体积计算公式：•长方体：V = lwh；•棱柱：V = Bh；•棱锥：V = (1/3)Bh。
c)旋转体的体积计算公式：•圆柱面：V = πR²h；•圆锥面：V = (1/3)πR²h；•球面：V = (4/3)πR³。
2.表面积的计算：a)单体几何体的表面积计算公式：•球体：S = 4πr²；•立方体：S = 6a²；•圆柱体：S = 2πrh + 2πr²；•圆锥体：S = πrl + πr²。
b)复合几何体的表面积计算公式：•长方体：S = 2(lw + lh + wh)；•棱柱：S = 2(B + Ph)；•棱锥：S = 2(B + P)。
c)旋转体的表面积计算公式：•圆柱面：S = 2πRh + 2πR²；•圆锥面：S = πrl + πR²；•球面：S = 4πR²。
三、立体图形的性质与特点1.立方体：立方体有六个面，均为正方形，对角线相等，体积和表面积的计算公式如上所述。
2.球体：球体是一种对称的立体图形，体积和表面积的计算公式如上所述。
3.圆柱体：圆柱体由两个平行的圆形底面和一个侧面组成，体积和表面积的计算公式如上所述。
6年级奥数-立体图形的计算
第一讲立体图形的计算在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、圆柱体，圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．表面积公式：正方体：长方体：圆柱体：体积公式：正方体：长方体：圆柱体：圆锥体：在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来．例1下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积．分析与解答求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁．如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等．因此列式为：（9＋8＋7）×2＝48（平方厘米）．答：它的表面积是48平方厘米．例2一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．分析一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．解：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）．侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米）两个底面积（取π＝3.14）：表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米．例3一个正方体形状的木块，棱长为1米．若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？分析如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事．如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加1＋1＝2平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决．解：原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共锯了多少次：（次数比分的段数少1）（3－1）＋（4－1）＋（5－1）＝9（次），表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．答：60块长方体表面积的和是24平方米．例4一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？分析由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．62.172立方厘米＝62.172毫升＝0.062172升．答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．例5一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？分析按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了．解：圆锥体化为圆柱体的高：底面积：体积：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．答：粮囤的体积是15.543立方米．例6下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．分析直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．解：正方体体积：63＝216（立方厘米）．＝56.52（立方厘米）．剩下体积占正方体的百分之几．（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％．答：剩下体积占正方体体积的73.8％．例7有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？分析解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面．解：涂漆面积：＝3.14×（18＋60＋20）＝3.14×98＝307.72（平方厘米）．答：涂油漆面积是307．72平方厘米．例8在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高．解：下降部分水的体积：铸件的高：答：铸件的高是24厘米．三.达标测试:1.有一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长是2厘米的正方体若干块，表面积增加了___ ___平方厘米．2．把棱长为3分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体表面积的和是______平方分米．（A）54 （B）72 （C）108 （D）以上都不对3．把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如下图那样的组合形体，求这个组合形体的表面积．4．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是_ __．（A）4πS （B）2πS5．一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．6．从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面圆心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体．求这个几何体的体积．7.一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径是9厘米，高20厘米的铁质圆锥体，当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？四．家庭作业：1．把一个底面半径是1厘米的圆柱体侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱体的体积是立方厘米．（）（A） 1 （B） 3.14 （C） 3.14×3.14 （D） 3.14×6.282．一个圆柱体的侧面积是m平方厘米，底面半径是2厘米，它的体积是_ __立方厘米．3.在一只底面半径为20厘米的圆柱形小桶里，有一半径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中．当钢材从桶里取出后，桶里的水下降了3厘米．求这段钢材的长．4.圆柱形烟囱帽的底的半径是40厘米，高是30厘米，计算它的侧面面积．若烟囱表面要涂油漆，已知每平方米需要油漆150克，问需油漆多少克？5.有A、B两个容器，如下页图，先将A容器注满水，然后倒入B容器，求B容器的水深．（单位：厘米）。
五年级奥数-立体图形问题
课程五立体图形问题1.长方体、正方体表面积的计算 2。
长方体、正方体的切割问题 3。
长方体、正方体的体积4。
不规则物体的体积计算长方体和正方体的表面积应注意的问题(1）找出必备条件(长、宽、高或棱长）,如题中没有直接给出，则 先求出必备条件,再求表面积（有盖还是无盖)。
（2）统一计量单位，单位不统一的,一般要通过化、聚，使单位统一 后再计算。
（3）求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值. (4)用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同,表面积 就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀,就增加两个面。
1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式 (1)长方体体积＝长×宽×高 V 长方体＝abc（2） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长 V 正方体＝a 3 2.求不规则物体的体积水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。
水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度例1有一个长15厘米，宽10厘米,高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？学习目标重 点总 结（1） （2) （3）分析与解法根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况，可能是在面上,如图(1），可能在顶点上，如图（2)，可能在棱上，如图（3）.在面上时,可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积；在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时,要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。
解：原长方体表面积为:（15×10+15×8+10×8) ×2=700（平方厘米） 在角上时，剩下部分的表面积是700（平方厘米); 在面上时，剩下部分的表面积是: 700+5×5×4=800（平方厘米）在棱上时，剩下部分的表面积是:700＋5×5×2＝750（平方厘米)所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。
小学奥数(立体图形 新定义运算 还原法解题 余数问题)
一、立体图形1、有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？2、一个棱长都是整数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的6个面中有2个相对面是正方形，它的体积是多少？3、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于12cm，3cm和1cm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？4、有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？5、下图是正方体,四边形APQC是表示用平面截正方体的截面,截面的线表现在展开图的哪里呢?把大致的图形在右面展开图里画出来.6 、雨哗哗地不停地下着,如在雨地里放一个如图1那样的长方形的容器,雨水将它下满要用1小时.有下列(A)-(E)不同的容器(图2),雨水下满各需多少时间? (注:阴影面是朝上敞开的）二、奥数1、2008年5月12日四川发生“汶川大地震”时刚好是星期一，那么胡锦涛主席的2009年5月12日主持“汶川大地震一周年”纪念日是星期几？2、大雪后的一天，东东和他的爸爸共同步测一个圆形花坛的周长,他们从同一起点出发，向同一方向行走，东东平均每步长54厘米，爸爸平均每步长72厘米。
由于两人的脚印有重合，并且他们各自走完一圈后都回到了起点，这时雪地上共留了60个脚印。
这个花坛的周长是多少米？3、聪聪把自然数按规律排列成如图所示的表格，你知道第一行的第1993个数是多少吗？4、444444344444421Λ）个（）（）（）（2621100262126212621⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的积的尾数是几?5、200820072006543++的尾数是几？6、数学小博士组的学生在研究1991个1991相乘所得的积,请你猜想：积的末两位数字是几？7、2222100321++++Λ的和除以7的余数。
教学小学数学立体图形的计算
教学小学数学立体图形的计算数学是一门抽象而又实用的学科，而立体图形的计算则是数学中的一个重要部分。
在小学数学教学中，教授学生如何计算立体图形的体积、表面积等是一个关键环节。
本文将探讨如何通过多种教学方法和实例，帮助小学生理解和掌握立体图形的计算。
一、引入立体图形的概念在开始教授立体图形的计算之前，我们首先需要引入立体图形的概念。
可以通过展示不同的立体图形模型，比如长方体、正方体、圆柱体等，让学生观察并描述它们的特点。
通过观察和描述，学生可以逐渐建立起对立体图形的直观认识，为后续的计算打下基础。
二、计算立体图形的体积计算立体图形的体积是小学数学中的一个重要内容。
为了帮助学生理解体积的概念，可以通过实际操作来进行教学。
例如，给学生准备一些透明的立方体积木，让他们自由组合出各种形状的立体图形，并通过计算木块的个数来求解体积。
这样的实际操作可以帮助学生直观地理解体积的概念，并培养他们的空间想象力和逻辑思维能力。
在教学体积计算的过程中，还可以引入一些有趣的问题，激发学生的思考。
例如，给学生一个问题：“如果一个长方体的体积是24立方厘米，它的边长可以是多少？”通过这样的问题，学生需要运用已学的知识进行推理和计算，培养他们的问题解决能力。
三、计算立体图形的表面积除了计算体积，计算立体图形的表面积也是小学数学中的一个重要内容。
为了帮助学生理解表面积的概念，可以使用类似的实际操作方法。
例如，给学生准备一些纸板，让他们剪裁成各种形状的立体图形，并通过计算纸板的面积来求解表面积。
这样的实际操作可以帮助学生直观地理解表面积的概念，并培养他们的动手能力和几何思维能力。
在教学表面积计算的过程中，也可以引入一些有趣的问题。
例如，给学生一个问题：“如果一个正方体的表面积是54平方厘米，它的边长可以是多少？”通过这样的问题，学生需要运用已学的知识进行推理和计算，培养他们的问题解决能力。
四、综合运用立体图形的计算在学生掌握了立体图形的体积和表面积计算之后，可以引导他们进行一些综合运用的练习。
最新小学奥数之立体几何问题
立体图形⑴ 立体图形的表面积和体积公式长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED BA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？改.又是多少？【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？（锯一次增加两个面）练习.一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2cm．表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小【例 5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？体积：例1. 如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?例2. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?⑵不规则立体图形的表面积整体观照法例1. 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．例2. 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．例3.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．例4.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?例5.下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。
六年级下册奥数专题练习-立体图形的计算(含答案) 全国通用
立体图形的计算【表面积的计算】例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。
那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。
（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。
原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。
所以，60块长方体的表面积之和是（1×1）×24＝24（平方米）。
例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。
求这个立体图形的外表面积。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。
于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。
俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。
所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。
【体积的计算】例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。
故可设正方即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。
例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。
（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。
讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。
三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。
数学立体几何解题技巧掌握立体形的性质与计算方法
数学立体几何解题技巧掌握立体形的性质与计算方法数学立体几何解题技巧：掌握立体形的性质与计算方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和物体。
在解题过程中，我们需要掌握一些立体形的性质和计算方法，以便能够准确地解答问题。
本文将介绍一些常见的数学立体几何解题技巧，帮助读者在解题过程中更加得心应手。
一、长方体的计算方法长方体是最基本的立体图形之一，它具有六个面，每个面都是一个矩形。
在解题过程中，我们常常需要计算长方体的体积、表面积和对角线长度。
下面是一些计算方法的例子。
1.1 计算长方体的体积长方体的体积可以通过公式V = lwh来计算，其中l表示长方体的长度，w表示宽度，h表示高度。
例如，若一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，则它的体积为V = 2cm × 3cm × 4cm = 24cm³。
1.2 计算长方体的表面积长方体的表面积可以通过公式S = 2lw + 2lh + 2wh来计算。
例如，若一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，则它的表面积为S = 2cm × 2cm + 2cm × 2cm + 2cm × 3cm + 2cm × 3cm + 2cm × 4cm +2cm × 4cm = 52cm²。
1.3 计算长方体的对角线长度长方体的对角线长度可以通过勾股定理得到。
根据勾股定理的公式d = √(l² + w² + h²)，可以计算出对角线的长度。
以前述的长方体为例，它的对角线长度为d = √(2cm² + 3cm² + 4cm²) ≈ 5.38cm。
二、圆台的计算方法圆台是由一个圆与一个平行于圆底的截面围成的立体图形。
解题时，我们需要掌握计算圆台的体积和表面积的方法。
2.1 计算圆台的体积圆台的体积可以通过公式V = (1/3) πr²h来计算，其中r表示底面半径，h表示高度。
六年级奥数考点：立体图形的表面积问题
考点：立体图形的表面积问题一、知识要点小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
二、精讲精练【例题1】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
图27--1②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
图27--2③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。
图27--3练习1：1、（课后）从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。
2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？4×4×6－2×2×2＝92平方厘米3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？中心挖去的洞的体积是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的表面积：（32+3）×6＝72平方厘米。
立体形的计算
立体形的计算在数学中，立体形是指具有三个维度的物体，例如立方体、圆柱体、球体等。
计算立体形的体积、表面积和其他相关参数是数学中的基本技能之一。
本文将介绍一些常见立体形的计算方法，并提供实际应用的例子。
一、立方体的计算立方体是最简单的立体形之一，它的六个面都是正方形。
计算立方体的体积和表面积非常简单。
1. 体积的计算公式：V = a³，其中a为立方体的边长。
例如，一个边长为5cm的立方体的体积为V = 5³ = 125cm³。
2. 表面积的计算公式：S = 6a²，其中a为立方体的边长。
例如，一个边长为5cm的立方体的表面积为S = 6 × 5² = 150cm²。
二、圆柱体的计算圆柱体是一个底部为圆形的立体形，上下底面平行且相等。
计算圆柱体的体积和表面积需要涉及底面半径和高度。
1. 体积的计算公式：V = πr²h，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高度，π取近似值3.14。
例如，一个半径为4cm、高度为8cm的圆柱体的体积为V = 3.14 × 4² × 8 = 402.56cm³。
2. 表面积的计算公式：S = 2πrh + 2πr²，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高度，π取近似值3.14。
例如，一个半径为4cm、高度为8cm的圆柱体的表面积为S = 2 × 3.14 × 4 × 8 + 2 × 3.14 × 4² = 267.52cm²。
三、球体的计算球体是一个所有点到中心的距离都相等的立体形。
计算球体的体积和表面积需要涉及半径。
1. 体积的计算公式：V = (4/3)πr³，其中r为球体的半径，π取近似值3.14。
例如，一个半径为6cm的球体的体积为V = (4/3) × 3.14 × 6³ = 904.32cm³。
小学数学概念顺口溜，巧背及立体图形面积求解
小学数学概念顺口溜，巧背及立体图形面积求解小升初是孩子最重要的起步方向，我们需要关注怎样的信息才能对孩子的未来有帮助呢?店铺网小编告诉大家!小学奥数知识点汇总——立体图形面积求解1、长方体8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等;S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh2、正方体8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等;S=6a2V=a33、圆柱体上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形;S=S侧+2S底S 侧=ChV=Sh4、圆锥体下底是圆;只有一个顶点;l：母线，顶点到底圆周上任意一点的距离;S=S侧+S底5、S侧=rlV=Sh球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2V=r3小学数学概念顺口溜，巧背总比死记好一、年月日一三五七八十腊(12月)，三十一天永不差;四六九冬(11月)三十日;平年二月二十八，闰年二月把一加。
二、100以内的质数口诀2、3、5、7和11，13后面是17，19、23、29，(十九、二三、二十九)31、37、41，(三一、三七、四十一)43、47、53，(四三、四七、五十三)59、61、67，(五九、六一、六十七)71、73、79，(七一、七三、七十九)83、89、97。
(八三、八九、九十七)三、多位数读法歌读数要从高位起，哪位是几就读几，每级末尾若有零，不必读出记心里，其他数位连续零，只读一个就可以，万级末尾加读万，亿级末尾加读亿。
四、多位数写法歌写数要从高位起，哪位是几就写几，哪一位上没单位，用0占位要牢记。
五、多位数大小比较歌位数不同比大小，位数多的大，位数少的小。
位数相同比在小，高位比起就知道。
六、运算顺序歌打竹板，响连天，各位同学听我言，今天不把别的表，单把四则运算聊一聊，混合试题要计算，明确顺序是关键。
同级运算最好办，从左到右依次算，两级运算都出现，先算乘除后加减。
遇到括号怎么办，小括号里算在先，中括号里后边算，次序千万不能乱，每算一步都检查，又对又快喜心间。
小学奥数之立体几何问题
立体图形⑴ 立体图形的表面积和体积公式长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED BA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？改. 又是多少？【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？（锯一 次 增 加 两 个 面）练习.一个表面积为256cm 的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 2cm ．表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小【例5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？体积：例1.如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?例2.某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?⑵不规则立体图形的表面积整体观照法例1.如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．例2.如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．例3.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．例4.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?例5.下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。
立体形的体积计算
立体形的体积计算在数学中，立体形的体积计算是一个重要的概念。
无论是在几何学还是实际应用中，我们经常需要计算不同形状的立体体积。
本文将介绍一些常见的立体形体积计算方法，并给出相应的示例。
1. 立方体的体积计算立方体是最简单的一种立体形状，它的所有边长相等。
我们可以通过公式 V = a³来计算立方体的体积，其中 V 表示体积，a 表示边长。
例如，如果一个立方体的边长为 3cm，则它的体积为 3³ = 27cm³。
2. 长方体的体积计算长方体是另一种常见的立体形状，它的长度、宽度和高度不一定相等。
我们可以通过公式 V = lwh 来计算长方体的体积，其中 V 表示体积，l 表示长度，w 表示宽度，h 表示高度。
例如，如果一个长方体的长度为 4cm，宽度为 3cm，高度为 2cm，则它的体积为 4 * 3 * 2 =24cm³。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体是由一个底面和一个高度组成的立体形状，底面为圆形。
我们可以通过公式V = πr²h 来计算圆柱体的体积，其中 V 表示体积，π表示圆周率（取近似值3.14），r 表示圆底的半径，h 表示高度。
例如，如果一个圆柱体的半径为 2cm，高度为 5cm，则它的体积为 3.14 * 2² *5 = 62.8cm³。
4. 球体的体积计算球体是一个几乎完全由曲面构成的立体形状，它没有平面表面。
我们可以通过公式V = (4/3)πr³ 来计算球体的体积，其中 V 表示体积，π 表示圆周率（取近似值3.14），r 表示球的半径。
例如，如果一个球的半径为 3cm，则它的体积为 (4/3) * 3.14 * 3³ = 113.04cm³。
5. 锥体的体积计算锥体是由一个圆形底面和一个顶点连接而成的立体形状。
我们可以通过公式V = (1/3)πr²h 来计算锥体的体积，其中 V 表示体积，π 表示圆周率（取近似值3.14），r 表示底面圆的半径，h 表示锥体的高度。
小学六年级奥数--立体几何综合
学科培优 数学立体几何综合学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。
重难点在于：1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数 3．体积的等量代换主要的考点：1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算 3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图知识梳理主要知识点 立体几何⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高） 立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6 圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π 圆锥： 体积：213r h π⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物 ②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
例题精讲【试题来源】【题目】一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【试题来源】 【题目】右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米【试题来源】【题目】把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。
【试题来源】【题目】右图是3层没有缝隙的小立方块组成的．如果它的外表面(包括底面)全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方块时，有多少个小立方块恰有三面是红色的?【试题来源】【题目】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是( )．【试题来源】【题目】把一根长2．4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．【试题来源】【题目】用棱长是1厘米的立方体拼成右图所示的立体图形．求这个立体图形的表面积．【试题来源】【题目】把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．【试题来源】【题目】用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【试题来源】【题目】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【试题来源】【题目】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?【试题来源】【题目】将高都是1米，底面半径分别为1．5米、1米和0．5米的三个圆柱组成一个物体．求这个物体的表面积．【试题来源】【题目】这里有一个圆柱和一个圆锥(下图)，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【试题来源】【题目】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体．然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体．最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．剩下的体积是平方厘米．【试题来源】【题目】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米?【试题来源】【题目】图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．【试题来源】【题目】如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少?【试题来源】【题目】下面是一辆汽车模型纸工平面展开图，中轴线上面的一半标出了尺寸．将该图剪下折叠粘合(相同字母标记处粘合在一起)做成汽车模型的体积为V ．请回答：①403<v<445②473<V<500，哪一个正确，为什么?【试题来源】【题目】现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【试题来源】【题目】如图，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞，已知立方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积(取 =3．14)．【试题来源】【题目】用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD —1A 1B 1C 1D (如图)，大正方体内的对角线A 1C ，B 1D ，C 1A ，D 1B 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?习题演练【试题来源】【题目】一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米【试题来源】【题目】右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是_____平方厘米【试题来源】【题目】张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用了长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【试题来源】【题目】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块．那么至少要把这个大长方体分割成个小长方体．【试题来源】【题目】六个立方体A、B、C、D、E、F的可见部分如下图，下边是其中一个立体的侧面展开图，那么它是立方体____的侧面展开图．2。
立体图形的认识与计算
计算方法：根据立体图形的形状和结构，计算其顶点数
立体图形的边数是指构成立体图形的面的数量。
边数是立体图形分类的一种重要依据。
边数相同的立体图形可能具有相似的几何特性。
不同边数的立体图形具有不同的几何特性。
定义：立体图形中面的数量
01
02
性质：立体几何中的图形具有三维空间特性，包括形状、大小、位置等。
空间关系：立体几何研究图形之间的空间关系，如平行、相交、垂直等。
03
04
定理和公理：立体几何有一系列定理和公理，用于推导和证明空间图形的性质和关系。
定义：空间向量是有大小和方向的量，表示为矢量或向量
空间向量的模：表示空间向量的长度或大小
土木工程：立体图形在土木工程中用于描述建筑物的结构和外观
机械设计：立体图形在机械设计中用于描述零件的形状和尺寸
立体几何模型：用于描述三维空间中的形状和物体
计算几何模型：用于计算几何形状的面积、体积等
数学建模竞赛：立体图形的应用是数学建模竞赛中常见的主题之一
物理学建模：用于描述物理现象和物体运动规律的模型
医学影像：医学影像的呈现需要使用立体图形进行三维重建和可视化
电子科技：电路板、芯片等的设计需要使用立体图形进行建模和仿真
机械制造：机械零件的设计和制造需要使用立体图形进行建模和模拟
建筑行业：建筑设计、施工、装修等环节需要使用立体图形进行空间分析和设计
定义：立体几何是研究空间图形和空间关系的科学，包括点、线、面、体等基本元素。
计算方法：通过顶点和边数计算
特性：不同立体图形的面数不同，与立体图形的形状有关
分类：平面图形和立体图形
五年级数学难题攻略解决复杂的立体形的计算问题
五年级数学难题攻略解决复杂的立体形的计算问题五年级数学难题攻略：解决复杂的立体形的计算问题在五年级的数学学习中，遇到立体形的计算问题常常会让学生感到困惑和挑战。
本文将为你介绍一些攻略和方法，帮助你解决这些复杂的立体形计算问题。
1. 了解立体形的基本知识在解决立体形计算问题之前，首先需要掌握一些基本的立体形知识。
常见的立体形包括立方体、长方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
要了解它们的特点和性质，掌握它们的表面积和体积计算公式。
2. 理解计算公式的应用每种立体形都有相应的表面积和体积计算公式。
要解决复杂的立体形计算问题，首先要确定所涉及立体形的种类，并理解如何应用相应的公式。
例如，当计算长方体的表面积时，我们可以使用2(ab + ac + bc)的公式，其中a、b、c分别代表长方体的三个边长。
3. 分解立体形为简单形状在遇到复杂的立体形计算问题时，可以尝试将其分解为简单的几何形状来解决。
例如，如果我们需要计算一个由长方体和圆柱体组成的复合体的体积，可以先计算两者分别的体积，再将它们相加得到最终结果。
4. 理解立体形的投影和截面有些立体形计算问题可能涉及到投影和截面的概念。
理解这些概念对解决问题至关重要。
投影是指在特定条件下的影像显示，而截面是立体形被平面切割后的部分。
通过观察和分析投影和截面的形状和关系，我们可以更好地理解立体形，并更准确地计算它们的表面积和体积。
5. 利用模型和图形辅助计算面对复杂的立体形计算问题，可以尝试使用模型和图形来辅助计算。
可以通过搭建纸板模型或使用计算机软件绘制图形等方式，更形象地理解和计算立体形的表面积和体积。
这种直观的方法有助于提高计算准确性和解决问题的效率。
6. 多做练习和实践掌握解决复杂立体形计算问题的关键是多做练习和实践。
通过分析和解答大量的例题，熟悉不同类型的立体形计算问题，我们可以逐渐提高自己的应用能力和计算技巧。
总结起来，解决复杂的立体形计算问题需要我们掌握基本知识，理解计算公式的应用，分解形状，理解投影和截面，利用模型和图形辅助计算，并通过多做练习和实践来提高自己的能力。
切豆腐法小学奥数解立体图形问题的方法
切豆腐法小学奥数解立体图形问题的方法
切豆腐法小学奥数解立体图形问题的方法
例。
一个正方体形状的木块棱长2dm，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4条，每条又锯成5块，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体外表积的和是多少平方分米？
解答这道题目的时候，建议同学们先做小实验：切豆腐，仔细观察，能启迪你的解题思路。
这个正方体形状的木块在未锯成60小块之前，共有6个面，每个面的面积是2×2=4（dm2），6个面共24dm2，不管后来锯成多少块小长方体，这6个面的`24dm2总是后来小长方体外表积的一局部。
将木块每切一刀，就会增加2个4dm2的外表积，一共切多少刀？
2+3+4=9（刀），共增加了18个4dm2的外表积。
因此，这60块大大小小的长方体的外表积总和是：
24+4×18=96（dm2）。
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38、立体图形的计算
【表面积的计算】
例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。
那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。
（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）
讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。
原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。
所以，60块长方体的表面积之和是
（1×1）×24＝24（平方米）。
例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。
求这个立体图形的外表面积。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。
于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。
俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。
所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。
【体积的计算】
例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）
（全国第四届“华杯赛”复赛试题）
讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。
故可设正方
即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。
例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。
（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。
讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。
三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。
所以，打孔后剩下部分的体积是4×4×4—10=54（立方厘米）。
例3 一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余部分中再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：解本题的关键，是要想到每次以哪个边长作棱长去切下正方体。
实际上，我们可以将三个数轮换相减，即，在三个数 21、 15、12中，第一次取最小数12为棱长切下一个正方体；第二次取大数与小数的差21—12=9为棱长切下一个正方体；第三次取15与9的差为棱长切下一个正方体（如图5.73）
所以，剩下的体积是
21×15×12-（123+93+63)=107（立方厘米）。