小学数学奥数解题技巧(38)立体图形的计算

38、立体图形的计算

【表面积的计算】

例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。

（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）

讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。

所以，60块长方体的表面积之和是

（1×1）×24＝24（平方米）。

例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。求这个立体图形的外表面积。

（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。

俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。

所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。

【体积的计算】

例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）

（全国第四届“华杯赛”复赛试题）

讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。故可设正方

即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。

例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。

（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。

讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。

三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。

所以，打孔后剩下部分的体积是4×4×4—10=54（立方厘米）。

例3 一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余部分中再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？

（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：解本题的关键，是要想到每次以哪个边长作棱长去切下正方体。实际上，我们可以将三个数轮换相减，即，在三个数 21、 15、12中，第一次取最小数12为棱长切下一个正方体；第二次取大数与小数的差21—12=9为棱长切下一个正方体；第三次取15与9的差为棱长切下一个正方体（如图5.73）

所以，剩下的体积是

21×15×12-（123+93+63)=107（立方厘米）。