武汉大学2003-2004线性代数试题(54工)
武汉大学2005-2006线性代数试题(工科54学时)
武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用）学院 专业 学号 姓名注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算题（每题5分，6题共30分）：1．设111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算nA .2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩.4．已知阶矩阵(2)n ≥，且非奇异，求**()A .5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足0+==E A E A -，计算A I 323+.6. 设n 阶向量Tx x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x .二、解答题（3题共45分，每题15分）1．设10102016A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()2R A =，满足，求a 和.2．已知222254245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.3、设二次型222123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1-成为对角阵;(3).计算mA (m 是正整数).三、证明题和讨论题（2题共25分）：1.（10分）设是阶实方阵，(1).当为奇数且I AA T=及时, 证明：0=-A I .(2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆.2.（15分）对线性空间3R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题：(1).向量组B 是否能成为3R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵P ,其中1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2110α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 2112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭a 3110β-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，且a 为实数.(2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，（a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；（b ）给出矩阵123(),,βββ为正交阵的一个充要条件，并证明之.（2005－2006上工科54学时）线性代数A 卷参考解答一、计算题：1、11113111111()n --⎛⎫⎪--- ⎪⎪--⎝⎭；2、1212λλ＝，＝；3、 2 ；4、2n AA -； 5、－10 ； 6、－1 . 二、解答题：1、解：由初等变换求得a ＝1，（记E I =，下同），由0≠-EA ，因此 可逆 ，且2、解：经计算, 因此方程组有唯一解。
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设A，B为可逆矩阵，则下列矩阵不一定可逆的是( ).参考答案:A+B.2.已知三阶方阵A的特征值为【图片】，则【图片】参考答案:3.若【图片】阶行列式D的值为0，则D中必有一行元素全为0.参考答案:错误4.设【图片】, 则 A 的任意 m 个列向量必线性无关.参考答案:错误5.设 A 是【图片】矩阵，A 的秩为 m，m < n, 则 A 中任一 m 阶的子式不等于零。
参考答案:错误6.n 阶⽅阵 A 可对⽅化的充分必要条件是 A 有 n 个互不相同的特征值.参考答案:错误7.行列式为0的充分条件是( ).参考答案:行列式中各行元素之和为0.8.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3，其对应的余子式的值依次为3,2,1，则该行列式的值为参考答案:-2.9.已知 4 阶行列式中第一行元素依次为 1，0，-4，3，第三行对应元素的代数余子式的值依次为 1，5，-2，x. 则x的值为：参考答案:-3.10.在函数【图片】中，【图片】的系数为参考答案:.11.设A 是 3 阶正交矩阵，【图片】是A 的逆矩阵。
若向量【图片】, 则向量【图片】的长度为_____ .参考答案:312.设向量【图片】且向量【图片】在向量【图片】上的投影向量为【图片】则 x= ____ .参考答案:13.如果矩阵A能对角化，那么A的特征值一定互不相同.参考答案:错误14.实对称矩阵一定可以相似对角化，且相似矩阵是正交阵.参考答案:错误15.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，则【图片】.参考答案:错误16.已知三阶矩阵A的特征值为【图片】, 则下列命题不正确的是( ).参考答案:1和-1所对应的特征向量正交.17.n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是( ).参考答案:对A的每个重特征值，有个线性无关的特征向量.18.行列式为0的充分条件是（）参考答案:行列式中各列元素的和为0.19.若行列式D中的每一个元素都不为零，则行列式D不等于零。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
2007-2008第二学期线性代数及答案工科36学时
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数D 》 （A 卷，工科36学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分)设123,,ααα均为三维向量 ，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).A B αααααααααααα==++++++ 已知1A =，求B ．二、(10分) 设211120212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,023214014-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，-=+AC E B C ,求矩阵C ．三、（15分）已知向量组123418210:2,4,1,53826A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξξ求向量组A 的秩及一个最大无关组，并把其它的向量用最大无关组表示出来．四、(15分）设线性方程组为123123123(2)2212(5)4224(5)31x x x x x x x x x λλλλ++-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=+⎩问λ为何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.五、(15分）已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1） 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，试求出该特征向量，若不能，则说明理由。
2）能否由此求得实对称阵A ？若能，试求之，若不能则说明理由。
六、(15分) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵().n n ⨯已知,BA E = 试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？七、(20分)设二次型的矩阵为5212233a b a b cc c --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，,,a b c 为常数，则 （1).写出二次型),,321x x x f （的具体形式；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
2004年武汉大学高等代数解答2
《高等代数》试题解答
1． 解
由
A
=1， 2
⎛ ⎜⎝
1 3
A
⎞ ⎟⎠
−1
=
1 A* 9 27 A
= 6 A* ，而
A*
=
A 2 ，故
⎛ ⎜⎝
1 3
A
⎞−1 ⎟⎠
−10
A*
=
−4 A*
= −64
A*
= −16 ．■
2． 解 将 Dn 加边得，
1 a1
an
0 Dn =
综上，存在 K 上的 n 阶可逆矩阵T ，使得 f ( y) = Ty (∀y ∈U ) 是U 到V 的同构映射．■
另一方面，由 B 表达式，知 B 的逆可由 E, A, A2 表出，令 B−1 = aA2 + bA + cE ，则
( )( ) BB−1 A2 − 2 A + 2E aA2 + bA + cE = E
利用多项式恒等知识得
a
=
1 10
,b
=
3 10
,
c
=
2 5
，而
⎛ ⎜⎝
1 10
A2
+
3 10
A
+
2 5
E
⎞ ⎟⎠
B
=
E
，
故， B 的逆即为 1 A2 + 3 A + 2 E ．■ 10 10 5
5． 证 因为 AA* = A* A = A E ，故 A* A = A n ， 若 A ≠ 0 ，则 A* = A n−1 ．
若 A = 0 ，则当 r ( A) = 0 , A = 0 ， A* = 0 ，故 A* = A n−1 ，
04级线性代数试题及答案
04级线性代数试题一、选择题1．设|A |是四阶行列式，且|A |=-2，则||A |A |=( )．(A) 4； (B)8； (C)25； (D) -25 ． 2．设A,B,C 为同阶方阵，且ABC =E .则下列各式中不成立的是( )．(A) CAB =E ； (B)111B A C E ---=； (C) BCA =E ； (D)111C A B E ---=． 3．11223344(1,0,0,),(1,2,0,),(1,2,3,),(2,1,5,),T T T T αλαλαλαλ===-=-设1234,,,,().λλλλ其中是任意实数则有(A) 123,,ααα总线性相关； (B) 1234,,,αααα总线性相关； (C) 123,,ααα总线性无关； (D) 1234,,,αααα总线性无关． 4．设12,,,s ααα 和12,,,t βββ 为两个n 维向量组， 且1212(,,,)(,,,)s t r r r αααβββ== ，则( )． (A) 两向量组等价；(B) 1212(,,,,,,,)s t r r αααβββ= ；(C)当12,,,s ααα 能由12,,,t βββ 线性表示时，两向量组等价； (D) 当s t =时，两向量组等价．5．下列说法中向量组12,,,s ααα 必定线性相关的是( )． (A) 121,,,s βββ- 可由12,,,s ααα 线性表示； (B) 12121121(,,,,,,,)(,,,)s s s r r αααββββββ--= ； (C) 1212(,,,)(,,,,)s s r r ααααααβ= ；(D) 12121212,,,,,,,s s s s βββαααγγγγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中线性相关.6．11(),1(1,2,,)().n ij ij j in j A a n n a x a i n -==-==∑ 设为阶可逆方阵则元线性方程组(A)有唯一解； (B)无解；(C)有无穷多解； (D)以上三种结果都可能发生．7．已知二阶实对称矩阵A 的一个特征向量为31-⎛⎫⎪⎝⎭，且|A |<0，则下面必为A 的特征向量的是( )．(A) 31k -⎛⎫⎪⎝⎭； (B)13⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 121231,0013k k k k -⎛⎫⎛⎫+≠≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且； (D) 121231,,13k k k k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不同时为零.8．若矩阵A 与B 相似，则( )．(A)E A E B λλ-=-； (B) |A | = |B |；(C)A,B 有相同的特征向量； (D) A 与B 均与一个对角矩阵相似． 9．当A 是( )时，A 必合同与单位阵．(A) 对角矩阵； (B) 对称矩阵； (C) 正定矩阵； (D) 正交矩阵． 10．n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是( )． (A)A 的所有特征值非负； (B)r (A )=n ； (C)所有k 阶子式为正(1≤k ≤n )； (D)1A -为正定矩阵． 二、填空题1．多项式10223()71043171x x xf x x-=--中，常数项为 ． 2．设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且|A |=|B |=2，则*020A B=- ．3． ,,αβγ为三维列向量，已知三阶行列式|4,2,2|40γαβγα--=， 则行列式|,,|αβγ ．4．设A ,B 均为四阶方阵，r (A )=3, r (B )=4，则r (A *B *)= ．5．设1121A ⎛=⎪⎭，已知A 6=E ，则A 17= ．6．设A 为对称矩阵，B 为与A 同阶的正交矩阵，则111()()T T B B A B A E B ---++= ．7．设为四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为 ．8．设A,B 均为n 阶方阵，且|AB |=1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数的和为 ．9．若A 相似于diag (1, -1,2)，则13||A -= ． 10．当t 满足条件 时，二次型f 是正定的，其中2221231231223(,,)222f x x x x x x x x tx x =++++三、计算题1．*1*102010,2,,001A A XA A X E A A -⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭设且其中是的伴随矩阵.X 求矩阵2．λ取何值时，方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ--=-⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩ 无解、有唯一解或有无穷多解？在有无穷多解时求其通解。
武汉大学线代往届试题
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒； ⃒ ⃒ ⃒ ⃒
2. ������ = |������|,其中 ������ = (������������������ ) 是 2007 阶方阵, ������������������ = ������ − ������.
二. （10 分） 设 ������1 = (1, 0, 2, 1), ������2 = (2, 0, 1, −1), ������3 = (1, 1, 0, 1), ������4 = (4, 1, 3, 1), 求向量组 ������1 , ������2 , ������3 , ������4 的秩和一个极大无线性关组.
三. (40 分) 证明与讨论 ⎧ ⎪ ⎪ ������������1 + ������2 + ������3 = 0 ⎨ 1. 设有线性方程组 ������1 + ������������2 + ������3 = 3 ⎪ ⎪ ⎩ ������ + ������ + ������������ = ������ − 1 1 2 3 并在有无穷多解时求出其通解.
3
武汉大学 2006 – 2007 学年第一学期
《 线性代数B》 (工科 54 学时)试题
一. (10 分) 计算下列行列式 ⃒ ⃒ ������ ⃒ 1 0 ������1 0 ⃒ ⃒ 0 ������1 0 ������1 1. ������ = ⃒ ⃒ ������ ⃒ 2 0 ������2 0 ⃒ ⃒ 0 ������2 0 ������2
2
武汉大学 2005 – 2006 学年第二学期
《 线性代数D 》 (工科 36 学时)试题
一. (30 分) 计算题 1. 设 ������1 = (3, 21, 0, 9, 0), ������2 = (1, 7, −1, −2, −1), ������3 = (2, 14, 0, 6, 1), 求向量组 ������1 , ������2 , ������3 的一个极大无关 组.
(完整word版)线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出①四个选项中只有 一个是符合题目要求◎，请将其代码填在题后①括号内。
错选或未选均无分。
A. -6 C. 24. 设A 是方阵，如有矩阵关系式 AB =AC ,则必有( A. A = 0C. A =0 时 B =C5. 已知3X 4矩阵A O 行向量组线性无关，则秩( A. 1 C. 3 D.46.设两个向量组a 1, a 2,…，a s 和B 1, 3 2,…，3 s 均线性相关，则()A. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 a 什入2 a 2+…+入s a s =0和入1 3什入2 3 2+…入s 3 s =0B. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1+ 3 1) +入2 ( a 2+ 3 2) +…+入s ( a s + 3 s ) =0C. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1- 3 1) +入2 ( a 2- 3 2)+…+入s ( a s - 3 s ) =0D. 有不全为0 O 数入1,入2，…，入s 和不全为0 O 数卩1 ,卩2,…，卩s 使入1 a 计入2a 2+…+入 s a s =0 和卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+ …+ 卩 s 3 s =0 7. 设矩阵A O 秩为r ,则A 中( )A. m+n C. n-a11a12a13a11=m ,a 21 a 22a 23 a 21a11 a 12 ' a13a 21 a 22 亠a 23B. - (m+n)D. m- n等于(2•设矩阵A =3.设矩阵 ■‘3 -1 21 0 -1 V-2 14丿中位于 (1 , 2)0兀素是(B. 6 D.-)B. B = C 时 D. | A0 时 B =C A T)等于( )B. 2 1•设行列=n ，则行列式(10 2 VP 0 A. C.0，则A -1等于(3丿,A *是A ①伴随矩阵，则 A A =A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，n 1,A. n什n 2是Ax=0 O—个解B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0n 2是其任意2个解，则下列结论错误O是1 1B. —n 1+ n 2是Ax=b O—个解C. n i -n 2 是 Ax=O ①一个解D.2 n 1- n 2 是 Ax=b ①一个解 9•设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n- 1 C. A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10•设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确①是（ ）A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A ①属于特征值 入①特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A ①特征值C. A O 2个不同①特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A O 3个互不相同①特征值， a 1, a 2, a 3依次是A ①属于入i ,入2,入3①特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关 11. 设入o 是矩阵A ①特征方程①3重根，A ①属于入°①线性无关①特征向量①个数为 k ，则必有（ ） A. k ＜ 3B. k ＜3C. k=3表示|A |中元素a j ①代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则2 218. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝y a= 一 . 19. ______________ 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b O 2个不同①解，则它 ◎通解为 .20.设A 是m x n 矩阵，A ①秩为r （＜n ），则齐次线性方程组 Ax=0①一个基础解系中含有解①个 数为D. k>312. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误①是（A.| A|2必为 1 -1 ■ T C. A = A13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，A. A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同①特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵①为（）i'2 3:A. I I 母4丿'1 0 0C. 0 2-3©-35」）B.| A 必为1D. A ①行（列）向量组是正交单位向量组 B =C AC .则（）4 6」、1 12 0第二部分 、填空题（本大题共 10小题，每小题 小题①空格内。
03级线代试卷
五。
设二次型32232122x x ax x f ++=由正交变换Uy x =可化为标准形 2322212x bx x f -+=（1）给出32232122x x ax x f ++=所对应的对称阵； （2）求a 、b ；（3）求正交矩阵U 。
（14分） 六。
（1） 设*η是非齐次线性方程组b AX =的一个解向量，1ξ，2ξ是对应的齐次线性方程组0=AX 的两个线性无关的解向量。
证明：*η，1ξ，2ξ线性无关。
（5分）武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数A （ A 卷）一、填空题（每小题4分，共20分） （1）2 ； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A ； （3）1 ；（4）61； （5）3535<<-a 。
二、选择题（每小题3分，共15分） C C C A B三、解答题（每小题8分，共32分） 1、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λn An..................................................................................8分2、1)31(31323118)3(131111-=-=-=-=-----*-AAAAA A.....8分3、（1）32122αααβ+-= ................................................................4分 (2))22(321αααβ+-=nnA A 3211322αααnn +-=+()Tn n n n n n 23121322,322,322++++++-+-+-= ......4分4、32111111)(A A A A T ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 3212202110)(A A A A T ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3213001000)(A A A A T ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛= .............................................6分T 在基1A ，2A ，3A 下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛121011001。
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.三阶行列式的值为( ).答案:2.已知,那么答案:13.已知四阶行列式中第三行元素依次为，第四行对应元素的代数余子式依次为，则答案:14.行列式为0的充分条件是( ).答案:行列式中各行元素之和为0.5.设A是方阵，若AB=AC，则必有( ).答案:A的行列式不等于0时B=C.6.设A，B为可逆矩阵，则下列矩阵不一定可逆的是( ).答案:A+B.7.设，其中都是n阶方阵，则下列等式成立的是( ).答案:8.已知是方程组的两个不同解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，则的一般解是( ).答案:9.已知三阶方阵A的特征值为，则答案:10.下列矩阵是正定矩阵的是( ) .答案:11.若阶行列式D的值为0，则D中必有一行元素全为0.答案:错误12.若n阶方阵A，B满足，且，则答案:正确13.设A为n阶方阵，且，则答案:错误14.设, 则 A 的任意 m 个列向量必线性无关.答案:错误15.设 A 是矩阵，A 的秩为 m，m < n, 则 A 中任一 m 阶的子式不等于零。
答案:错误16.设是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，若, 则.答案:正确17.若对任意一组不全为零的数, 都有, 则向量组线性⽆关。
答案:正确18.矩阵的特征向量不是零向量, 同样地, 矩阵的特征值也不为零.答案:错误19.n 阶⽆阵 A 可对⽆化的充分必要条件是 A 有 n 个互不相同的特征值.答案:错误20.设是矩阵A 的⽆个 k 重特征值, 则对应于的线性⽆关的特征向量的个数⽆定也为 k.答案:错误21.答案:4 22.答案:8 23.答案:524.答案:36 25.答案:2 26.答案:327.答案:3 28.答案:2029.答案:630.答案:2。
武汉大学2004-2005线性代数试题(54文)
备用试题武汉大学数学与统计学院2004-2005学年第1学期《线性代数》试题 (文科54学时)姓名 学号 班号 专业 成绩一、（共5小题，每小题6分共30分）给出下列各问题的答案：1）、四阶阵000400201000510000A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为何？ 2）、已知1(102)T x , , =、T , , x )54(32=是三元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量， 则对应齐次线性方程0=Ax 的一个非零解为何？3）、在3R 中，1( 1, 1, 1 )α=，2( 1, -2, 1 )α=，使123ααα，，为正交向量组的非零向量3α为何？ 4）、矩阵之积10099010123001100345010001567100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为何？ 5）、设三阶矩阵A 有一个特征值为1， 且0A =及A 的主对角线元素的和为0，则A 的其余二个特征值为何？二、（12分）设矩阵1410,1102P D ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵A 由矩阵方程1P AP D -=确定，试求5A 。
三、（12分）设向量 ()13, 21, 0, 9, 0α=, ()21, 7, 1, 2, 1α=--- , ()32, 14, 0, 6, 1α=,求向量组 123, , ααα 的秩并求一个极大线性无关组。
四、（12分）已知二阶方阵A 的特征值为1λ=1及2λ=13-，方阵2B A A I =++，求B 的特征值 及B 的行列式的值。
五、（12分）已知二次型22(,)545f x y x xy y =++ 经正交变换''x x P y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化成了标准形，试求出二次型的标准形并给出所用的正交矩阵P 。
六、（12分）设B 是三阶非零矩阵， 齐次线性方程组Ax O =由1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩给出，如果AB O =，试求λ的值和B七、（10分）设向量组 12, ,,s ααα⋅⋅⋅ 线性无关，而12, ,,s ααα⋅⋅⋅,, βγ线性相关， 如果, βγ都不能由向量组12, ,,s ααα⋅⋅⋅线性表出，证明：向量组U :12, ,,s ααα⋅⋅⋅,β与向量组V : 12, ,,s ααα⋅⋅⋅,γ 等价。
武汉大学线代试题2007-2008B(工54A卷)
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数B 》 （A 卷，工54）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、（10分） 计算下列行列式；1. 123123123123n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a xa +++=+;2. 若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==求四阶行列式()32112αααββ+.二、（10分）若有不全为零的数12,,,,m λλλ使1111m m m m O λαλαλβλβ+++++=成立，则12,,,m ααα线性相关，12,,,m βββ也线性相关.试讨论该结论是否正确？三、（12分）设3阶方阵200121101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，试求：1、A 的特征值和特征向量；2、kA （k 为正整数）及其特征值和特征向量。
四、（15分）当λ为何值时，方程组123123123322,x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程组的解.五、（15分）设二次型()22212312313,,222T f x x x X AX ax x x bx x ==+-+()0,b >其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12.-1、,a b 的值；2、用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换与正交矩阵.六（18分）在四维实向量构成的线性空间4R 中,已知：12341111011100110001,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1234111111102001100,,,a a ββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
线性代数历年考试试题与答案
2003～2004年度第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A ）本试卷共九大题一．填空题：（每题4分，共20分）1．()=⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01121 。
2．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=+-*14A A 。
3．向量组()()()2,6,2,4,0,2,1,3,1,3,1,2321-=-=-=ααα线性 关。
4．线性方程组04321=+++x x x x 的基础解系中含有 个向量。
5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121,110,011321ξξξ为3R 的一个基，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00t α在该基下的坐标为()111-，则t = 。
二．选择题：（每题4分，共20分）1．设n 阶矩阵A 的每行元素之和为1，则A 必有一个特征值[ ] A. –1 B. 1 C. 0 D. n 2．设矩阵()n m ij a A ⨯=，0=Ax 仅有零解的充分必要条件是[ ]A. A 的行向量组线性相关B. A 的行向量组线性无关C. A 的列向量组线性相关D. A 的列向量组线性无关 3．设321,,ααα为0=Ax 的一个基础解系，则下列[ ]也是该方程的一个基础解系。
A. 与321,,ααα等价的一个向量组B. 与321,,ααα等秩的一个向量组C. 321211,,αααααα+++D.133221,,αααααα--- 4．下列结论正确的是[ ]A. 若存在可逆的P 使PA=B ，则A 与B 应有相同的标准形B. 若21,αα为A 的两个不同的特征值对应的特征向量，则21,αα是正交的C. 若21,αα同为实对称阵A 的某个特征值的两个特征向量，则21,αα必线性无关D. 矩阵A 能对角化的充要条件为A 有个n 互不相同的特征值5．设三阶矩阵A 的特征值为0，-1，1，其对应的特征向量分别为321,,ξξξ， 令()132,,ξξξ=P ，则=-AP P 1[ ]A. diag (0,-1,1)B. diag (-1, 0,1)C. diag (-1,1,0)D. diag (1,0,-1)三．（7分）求行列式().0,1111111112121≠+++nna a a a a a四．（7分）利用初等变换求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=111123321A 的逆矩阵. 五．（8分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100020001A ，且EBA BA A 82*-=，求B.六．（10分） 求向量组()()()9,2,2,1,6,6,1,1,3,4,1,2321---=--==ααα,()7,2,1,14-=α的一个最大无关组，并把其余的向量用最大无关组线性表示.七．（10分）问k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131k x x x k x x x kx x 有解，并求出其全部解.八．（12分）设矩阵A 与B 相似，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000002,10100002y B x A ， ①求x,y ; ②求正交阵P ，使得B AP P T=.九．（6分）证明：设A 为m ×n 阵，方程n E YA =有解的充分必要条件是()n A R =.2004－2005学年第1学期考试试题（A ）卷一、选择题（1）方阵A ，B 满足r(A)=r(B)，则（答案填在卷首答题处）（A ）A －B=O （B ）r(A －B)=0 （C ）r(A ，B)≤r(A)+r(B) （D ）r(A+B)=2r(A) （2）向量组12,,...n ααα线性相关，则（答案填在卷首答题处） （A ）1α可由其余向量线性表示；（B ）12,,...n ααα至少有一个零向量；（C ）12,,...n ααα中至少有一个向量可以由其余向量线性表示； （D ）12,,...n ααα任两个向量成比例.（3）设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（答案填在卷首答题处）（A ）r=n （B ）r<n （C ）r ≥n （D ）r>n（4）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（答案填在卷首答题处）（A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要条件（C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 （5）矩阵20A =，则（答案填在卷首答题处）（A ）A=O （B ）det(A)＝0 （C ）r(A)=0 （D ）A=A T二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分。
03-12研究生入学考试试题-线性代数部分
α1 = (1, 2, 0)T , α 2 = (1, a + 2, −3a)T , α 3 = (−1, −b − 2, a + 2b)T , β = (1,3, −3)T ，
试讨论当 a, b 为何值时， （I） β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示； （II） β 可由 α1 , α 2 , α 3 惟一地线性表示，并求出表示式； （III） β 可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式． 5． （数学三）设 n 阶矩阵
⎛0 1 0⎞ ⎜ ⎟ (A) ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛0 1 0⎞ ⎜ ⎟ (B) ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛0 1 0⎞ ⎜ ⎟ (C) ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎝ ⎠
⎛0 1 1⎞ ⎜ ⎟ (D) ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
[D]
⎛1 ⎜ b A=⎜ ⎜# ⎜ ⎝b
（I）求 A 的特征值和特征向量；
−1
b " b⎞ ⎟ 1 " b⎟ # #⎟ ⎟ b " 1⎠
（II）求可逆矩阵 P，使得 P AP 为对角矩阵． 6． （数学四）设线性方程组
⎧ x1 + λx 2 + μx3 + x 4 = 0, ⎪ ⎨2 x1 + x 2 + x3 + 2 x 4 = 0, ⎪3 x + (2 + λ ) x + (4 + μ ) x + 4 x = 1, 2 3 4 ⎩ 1
T T T
β1 = (1, 2, a + 3)T , β 2 = (2,1, a + 6)T , β3 = (2,1, a + 4)T ．试问：当 a 为何值时，向量组（I）
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案2003年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对任意n阶方阵A、B总有( )A．AB=BA B．|AB|=|BA|2．在下列矩阵中，可逆的是 ( )3．设A是3阶方阵( )A．-2D．24．设A是m×n矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关5．设有m维向量组，则 ( )A．当m<n时，(I)一定线性相关 B．当m>n时，(I)一定线性相关C．当m<n时，(I)一定线性无关 D．当m>n时，(I)一定线性无关6．已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )A．Ax=2x8．设矩阵的秩为2，则λ= ( )A．2 8．1C．0 D．-l9．二次型的矩阵是( )10．二次型是 ( )A．正定的 B．半正定的C．负定的 D．不定的第二部分非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错选、不填均无分。
1 1．行列式的值为___．12．设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为__．13．设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α=3β=____．14．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为____．15．设m×n矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为____．16．若线性方程组无解，则=______．17．设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_______．18．设矩阵，则A的全部特征值为___．19．设P为n阶正交矩阵，α、β为n维列向量，已知内知(α，β)=-l，则(Pa，Pβ)________20．设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=______.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21．设向量22．设，矩阵X满足方程求矩阵X．23．当t取何值时，向量组线性相关?24．求下列矩阵的秩：25．设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．27．设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A．28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围．四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30．设向量β可由向量组线性表示．试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关．参考答案一、单项选择题二、填空题11．O13．(1,-4,-l3)14．115．ml6．017．418．1，1，-l19．-l20．O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关．所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵．故1，0．-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论4．1知A可对角化，令矩阵由上式得28．解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30．证由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数2005年10月自考线性代数试题答案全国2004年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。
武汉大学2018-2019学年第二学期期末考试《线性代数》B试题
武汉大学2018-2019学年第二学期期末考试线性代数B 试题（A 卷）一、（10分）已知1234212222||18134144k k A k k ==，试计算1222A A +,3242A A +的值。
二、（12分）求向量组 1T =（1,-2,3,-1,2）α，2(2,1,2,2,3)T =--α3(5,0,7,5,4)T =--α ，4(3,1,5,3,1)T =---α的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组 线性表示。
三、（14分）设矩阵为 121211112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，110131101B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，（1）求222()(2)A B A AB B +-++； （2）求A 的逆矩阵.四、（15分）设有线性方程组123123123031x x x x x x x x x λλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩. 讨论λ为何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.五、（16分）设二次型()22212312313,,222T f x x x X AX ax x x bx x ==+-+()0,b >其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12.-1、试确定,a b 的值；2、用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换矩阵。
六、（15分）设n 阶矩阵,A B 满足条件A B AB +=，其中130210002B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且1(1,0,1)a =23(2,1,0),(1,1,1)a a ==，1、求矩阵A ；2、求秩**()r A B ，其中**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵；3、设123123(,,)(,,)=B βββααα，求123,,βββ；七、（10分）设A B 、均是同阶方阵，B 是可逆矩阵，且满足22+0A AB B +=，证明A 、22+A B 以及11--+A B 都是可逆矩阵。
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备用试题
武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期
《线性代数》试题 (工科54学时)
姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。
一、计算n 阶行列式D = 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1 a a a a
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ 的值 。
二、若矩阵A 和B 满足关系：2242A B A B A =+-。
其中A ＝ 12
3012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
－－－，求矩阵B 。
三、给定矩阵A ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------11011111100222021110，求()R A 。
四、已知1(1 0 2 3)α=，
，，，2(1 1 3 5)α=，，，，3(1 1 2 1)a α=+，－，，，4(1 2 4 8)a α=+，，，， 且(1 1 +3 5)b β=，，，，
1） a b ，
为何值时，β不能表示成1α，2α，3α，4α的线性组合？ 2）、 a b ，
为何值时，β有1α，2α，3α，4α的唯一线性表达式？并写出该表达式。
五、若A ，B 是同阶可逆矩阵，请证明()AB B A ***=，其中A *是A 的伴随矩阵，()A B *和B *具同样意义。
六、求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++43322
321
321321x x x x x x x x x 的通解。
七、已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T 2(2, 2, 1)α＝是A 的
对应于121λλ＝＝的特征向量，
1) 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，请求出该特征向量，若不能，也请说明理由。
2) 能否由此求得实对称阵A ？若能则请求之，若不能则请说明理由。
八、设222
(,,)2422f x y z x y z axy yz =++++为正定二次型，试确定实数a 的最大取值范围。
九、给定3R 的基⎪⎩⎪⎨⎧===.)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321ξξξ 和 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=).1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ,
试求：
1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ；
2）求T 关于基321,,ηηη的变换矩阵A 。