曹培英：“图形与变换”教学漫谈

“图形与变换”教学漫谈曹培英一、引进的背景为什么要在基础教育阶段引进图形变换的内容，怎样认识这一引进的必要性和可能性？不妨从数学本身和数学教育的历史视角切入讨论。

我们知道，约公元前300年，古希腊著名数学家欧几里得在前人基础上所写成的不朽名著《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。

如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。

其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼（J.A.Dieadonne），甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。

但改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。

有人称之为“不倒翁现象”。

这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。

所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。

它比较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。

尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。

①这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。

那么，怎样改造这些传统的、古老的几何内容，怎样克服教学上的相关弊端呢？①陈昌平主编.数学教育比较与研究[M].上海：华东师范大学出版社，2000： 400～401.一条途径是教学法方面的改进。

首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。

如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。

其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。

另一条途径是用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。

其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。

从数学发展的角度来看，1872年，德国大数学家克莱茵（Klein，1849—1925）在爱尔兰根大学宣读了现在大家叫做“爱尔兰根纲领”的演说，提出用变换群将几何分类，认为一种几何无非是研究某种变换群下的不变量。

这是一个里程碑式的论断，它改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法，从变换的视角整体考虑几何学的问题，使当时的各种几何学有了统一的形式，对几何学的发展起到了重大的推动作用。

“爱尔兰根纲领”公开发表后，很快被人们接受，一些新的几何分支相继建立，几何学的理论及应用呈现出前所未有的局面。

必然地，这一观点也会对基础教育数学课程中几何教学的改革产生影响。

按照克莱茵的观点，我们所研究的几何图形的种种性质，只不过是研究几何图形在各种几何变换下的不变性和不变量。

例如，线段的长度不变、角的大小不变和直线的性质不变，等等，都是在全等变换下的不变量和不变性。

但线段的长度不变，在相似变换下就不再存在(相似比为1除外)。

于是两线段的比不变，又成了相似变换下的不变量。

正是这些建筑在不变量和不变性基础上的图形性质，构成了我们所研究的几何基本内容。

①从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪①梅向明等编.高等几何（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000： 93～94.60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。

确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。

相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。

特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。

如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。

由此可以说，将图形变换的观点和内容适当地引入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和数学教育的发展趋向。

从儿童的生活世界来看，他们已经接触到了大量的物体、图形的平移、旋转或轴对称变换现象。

例如，电梯、地铁列车车厢在平行移动，时针、电风扇叶片在旋转，许多动物、建筑物的形状具有对称性。

这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。

反过来，学习一点图形的变换知识，也有助于儿童更好地观察、认识周围生活中的这些现象。

从儿童的年龄特征与认知特点来看，小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换，可以引出无数美妙的图案，可以使数学更生动地与现实世界联系起来。

从而诱发学生主动探索其中的奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。

这些，都是在小学引进图形变换的有利条件。

可以说，通过感知和初步学习图形的变换，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，去了解图形之间的联系，从中发展他们的空间观念和几何直觉，而且还有利于学生感受、欣赏图形的美，感受数学与现实世界的联系，有利于他们体验学习“空间与图形”的乐趣，增强对数学的好奇心，激发创造潜能。

当然，充分肯定引进图形与变换这部分内容的作用，并不是说它比其他内容更重要，更不能认为它可以代替其他内容的学习。

之所以添加图形与变换，主要是因为学生只学习传统几何内容不能适应时代要求，而作出的必要补充。

二、概念的理解以往的中小学数学课程，在平面几何与立体几何中，一般只讨论图形的对称性。

图形的平移变换与旋转变换，是在解析几何的坐标变换中讨论的。

而在过去的一段时期内，坐标变换又被作为较高要求略去不讲。

中等师范学校的数学课程大多也这样处理。

教师在职进修大专学历的数学课程通常直接从空间解析几何或数学分析切入。

所以有关平面图行平移与旋转的知识成了多数小学教师数学知识的盲点。

因此，尽管整个义务教育阶段都不要求从比较严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，但为了搞好这部分内容的教学，教师有必要较透彻地理解图形变换的有关概念。

通俗地讲，所谓平移，就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离；所谓旋转，就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。

这样描述，比较适合中小学生的认知水平，但对教师来说，绝对是不够的。

请看一个案例。

在一堂教学平移与旋转的公开课中，老师创设了一个玩游乐场的情境。

当讨论到摩天轮的运动时，起初同学们都认为是旋转。

不料一位同学执着地要求发言，他说：老师，我坐过摩天轮，我坐在上面，始终是头朝上、脚朝下，所以我认为我坐在上面是平移，不是旋转。

大家一时都愣住了，教师的应变对策是让学生小组讨论。

这下热闹了，有的同意，认为人的方向没变；有的反对，理由是人在转圈。

直到下课，都没有搞清楚是平移，是旋转，还是两者都不是。

课后，前来观摩的教师也都议论纷纷，多数认为坐在摩天轮上的人与座仓的运动不是平移，也有少数认为是平移的。

那么是否旋转呢？同样有两种意见，莫衷一是。

由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。

这里，把最主要的概念与性质尽可能以浅显的方式描述如下。

1.什么是变换？变换是近代数学中的重要基本概念之一。

一般地说，所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。

就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。

如果一个平面图形的每一个点，都对应于该平面内某个新图形的一个点，并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。

几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。

能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。

在全等变换中，原图形任何两点之间的距离，都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。

能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。

在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。

在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。

相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。

2.什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？先说平移与旋转。

如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这是变换概念的通俗描述，可以不注明出处。

下同这样的全等变换称为平移变换，简称平移。

也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行（或者重合），并且相等”。

显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。

如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。

也就是说，旋转的基本特征是，图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。

显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。

现在我们可以回答摩天轮座仓里的人是否在平移或旋转的问题了。

摩天轮在旋转，但上面的座仓及里面的人始终头朝上，脚朝下，是不是在平图1 图2部中点的连线（如图1），它们平行并且相等，所以是平移。

那么座仓及里面的人是否在旋转呢？依据旋转的基本特征，画出座仓下部中点与摩天轮旋转中心的连线（如图2），它们的长明显不相等。

明明摩天轮在旋转，而座仓与里面的人却不是在旋转，是在平移，这是怎么回事呢？原来，摩天轮在带动座仓顺时针旋转的同时，地球的引力使得挂在吊钩上的座仓也在逆时针细微地转动，从而使座仓与里面的人始终保持向上的方向，并且座仓与人上的每个点都移动相同的距离。

其实，数学中所说的旋转、平移，主要考察运动开始、终止状态下两个静止图形对应点之间的关系，它与物理学中研究物体“转动”、“平动”的侧重点有所不同。

再说对称。

对称是一个许多学科都在使用的名词，在数学中它占有相当重要的地位。

与对称有关的概念如对称多项式、对称空间、对称原理等等，都是数学中比较重要的概念。

小学数学所讨论的，仅限于图形的对称，而且仅指平面图形关于一条直线的对称。

至于图形的其他形形色色的对称，如旋转对称及其特例中心对称等等，都不在我们讨论的范围之内。

但是当学生提到这类现象时，如平行四边形（中心对称）、电扇叶片（旋转对称）等，教师不应断然否定它们的对称性，只要指出它们不是轴对称图形就行了。

如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换，每组对应点互为对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。

也就是说，轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。

显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。

构成轴对称的图形可以是一个，通常就叫做轴对称图形（如图3）；也可以是两个，通常叫做这两个图形关于某条直线对称（如图4）。

图3 图4成轴对称的两个图形，任何一个都可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。