虚位移原理
18第十三章 虚位移原理
曲柄连杆机构
xA2 yA2 r2 (xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质 点系，其自由度为
k 3n s
通常，n 与 s 很大而k很小。为了确定质点系的位置， 用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角 坐标和s个约束方程方便得多。
sin 1 cos1
l2
cos 2
y B l1 sin 1 l2 sin 2
第十三章 虚位移原理
13.1 虚位移的基本概念 约束和约束方程 约束的分类 自由度 广义坐标
刘习军
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
约束和约束方程 自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等等）只
取决于作用力和运动的起始条件。 其运动称为自由运动。 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定
因此自由度数为 k 2 2 3 1 为广义坐标
xA r cos yA r sin
xB r cos l cos
sin r sin
l
Ψ
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
若用刚体作为基本单元
设某质点系由N个刚体、s个完整约束组成。 刚体有3N个线位移坐标（直角坐标系的三个直 角坐标）和3N个角位移坐标（例如三个欧拉角）， 共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置； 确定该质点系位置的独立坐标的数目亦即自由度
其自由度为 k=3n-s 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立 坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称 为自由度。
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义虚位移原理是力学中的一个重要概念，用于描述刚体在平衡状态下受到外力作用时的力学特性。
在物理学中，虚位移原理是一个基本原理，能够帮助我们解决各种力学问题。
虚位移原理的基本概念是，当一个刚体在平衡状态下受到外力作用时，其位移满足虚位移原理。
虚位移是指刚体在平衡状态下的微小位移，它不改变刚体的形状和结构，只是在力学分析中假设的一个方便的概念。
虚位移原理的基本内容是：在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
虚功是指外力对虚位移所作的功，它是一个力和位移的乘积。
根据虚位移原理，当刚体处于平衡状态时，外力对刚体所作的虚功必须为零。
这意味着，在平衡状态下，刚体受到的合外力的作用线必须通过刚体的重心，否则会产生虚功。
虚位移原理的应用非常广泛。
在静力学中，我们可以利用虚位移原理来求解平衡问题，如悬臂梁的受力分析、杆件的静力平衡等。
在动力学中，虚位移原理也可以用来分析刚体的运动，如刚体的平衡和运动学问题等。
虚位移原理的定义为：在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
这个定义可以帮助我们理解虚位移原理的基本概念和应用。
通过虚位移原理，我们可以简化力学问题的分析，得到更加简洁和准确的结果。
虚位移原理在力学中有着重要的地位，它是力学分析的基础。
虚位移原理的应用不仅仅局限于静力学和动力学，在其他物理学和工程学的领域也有着广泛的应用。
通过理解和掌握虚位移原理，我们可以更好地理解和解决各种力学问题，为实际工程和科学研究提供有力的支持。
虚位移原理是力学中的一个重要概念，用于描述刚体在平衡状态下受到外力作用时的力学特性。
它的定义是，在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
虚位移原理的应用广泛，可以帮助我们解决各种力学问题，为实际工程和科学研究提供有力的支持。
对于学习力学的人来说，掌握虚位移原理是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和应用力学知识，提高问题解决能力。
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
虚位移原理
例题
虚位移原理
例题6
由两杆组成的几何可变结构如图所式。A是铰链，B是 辊轴。在铰链C上挂一重物W，质量为m。轴B上系一弹簧， 弹簧系数为k，原长为AD（即B与A重合时，弹簧不变形）。 不计杆的重量，求系统平衡时角θ的大小。
30
例题
虚位移原理
例题4
应用虚位移原理得 y
W FA sin xA FA cos yA FCyC 0
(FAl
sin
2
FAl
cos2
Fc d
cos2
)
0
O
因 0 ，故有
FC
l d
cos2
FA
l B
θ
d FC
FA A
rA rB x
C
rC
31
例题
虚位移原理
例题5
如图所示为连续梁。载荷 F1= 800 N ， F2= 600 N ， F3= 1000 N ，尺寸a= 2 m ， b= 3 m ，求固定端A的约束力。
例题
虚位移原理
例题1
各点虚位移在相应坐标轴上的投影：
rC a , rA l xC asin , yC acos x A lsin , y A lcos xB 2asin , yB 0 2、解析法
将C、A、B点的坐标表示成广义坐标 的函数，得
xC acos , yC asin xA lcos , yA lsin xB 2acos , yB 0
25
例题
虚位移原理
例题3
图 示 曲 柄 连 杆 滑 块 机 构 是 一 个 单 自 由 度 机 构 ， OA=r，
AB=l。受到力偶M，铅垂力FA和水平力FB的作用而平衡， 试求M，FA，FB的关系。
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义
在物体的运动中，位移可以由许多因素引起，如外力、惯性、重力等。
虚位移原理的主要思想是将这些因素分离开，然后通过分析每个因素对位
移的贡献，来求解物体的运动方程。
1.确定系统的运动状态：首先，要明确系统的物体以及外部力的情况。
这些可以通过建立物体的坐标系和分析作用力得到。
2.定义虚位移：在给定的运动状态下，假设系统从位置A变化到位置B。
定义系统的虚位移为一个无限小的变化，并使其满足运动约束条件。
这个虚位移可以用一个一般的位移矢量δr来表示。
3.计算虚功：通过分析作用在系统上的外部力，计算出每个力对系统
虚位移的贡献。
这个贡献即代表了力对系统产生的虚功。
4.计算虚力：将虚功除以虚位移，得到一个常数，即为虚力。
这个虚
力与系统的其他因素（如惯性、重力）无关，只与外部力有关。
此外，虚位移原理还可以用于解决静力学、动力学和弹性力学等领域
的问题。
在静力学中，可以通过虚位移原理推导出平衡条件；在动力学中，可以用来分析系统的运动方程；在弹性力学中，可以通过虚位移原理推导
出材料的应力应变关系。
总之，虚位移原理是理论力学中一个十分重要的原理，它具有普遍性
和广泛应用性。
通过应用虚位移原理，我们可以更加简洁和有效地描述和
解决各种力学问题。
虚位移原理名词解释
虚位移原理名词解释
虚位移原理是力学中的一个重要原理，用于描述物体在受到外力作用下的运动规律。
它是由英国物理学家伊萨克·牛顿在17世纪提出的。
虚位移原理的核心概念是虚位移，即假设一个物体受到外力作用后，它的位置发生了微小的变化，但是这个变化是足够小以至于可以忽略不计的。
虚位移的存在是为了方便描述物体的运动情况，使得问题的分析计算更加简便。
在应用虚位移原理时，首先需要确定物体所受的外力情况，然后根据虚位移的定义，假设物体发生微小的位移。
接下来，利用牛顿第二定律和虚位移原理，可以得到物体所受到的力学方程。
最后，通过求解这些方程，可以得到物体的运动规律，如位移、速度、加速度等。
虚位移原理在力学领域的应用非常广泛，尤其在静力学和动力学问题的求解中起到了重要的作用。
例如，在静力学中，可以利用虚位移原理来求解物体受力平衡的条件；在动力学中，可以利用虚位移原理来分析物体的运动轨迹以及受力情况。
除了力学领域，虚位移原理也在其他科学领域中得到了应用，如电
磁学、光学等。
在这些领域中，虚位移原理可以帮助描述电场、磁场、光线等的传播和相互作用规律。
总之，虚位移原理是一种重要的物理原理，用于分析物体在受力作用下的运动规律。
它在力学以及其他自然科学领域中都有着广泛的应用。
通过使用虚位移原理，我们可以更加方便地理解和解决各种力学和物理问题。
虚位移原理
第十三章虚位移原理一、约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件用数学方程表示，称为约束方程。
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
222ly x =+①几何约束和运动约束如§13-1 约束·虚位移·虚功s二、虚位移在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的假想位移称为虚位移。
虚位移ϕδ,δδr等,x实位移ϕr等d xd,d,虚位移与实位移异同：二者都要符合约束条件，被约束许可。
实位移是在一定主动力作用、一定起始条件下和一定的时间间隔dt内发生的位移，其方向是唯一的；而虚位移不涉及有无主动力，也与起始条件无关，是假想发生、而实际并未发生的位移，所以不需经历时间过程，其方向至少有两组，甚至无穷多对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。
解析式为()∑=++0i zi i yi i xi z F y F x F δδδ求：机构平衡时加在被压物体上的力。
例13 -1如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB 上作用一在水平面内的力偶()，其力偶矩M=2Fl ，螺杆的导程为h 。
F F ′,②给虚位移,,s δϕδ02=+−=∑ϕδδδFl s F W N F 满足如下关系：s δϕδ与h s δπϕδ=2∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=022ϕδπδh F Fl W N F 是任意的因ϕδ，故0h F Fl 2N =−F l F π4=解：①确定研究对象,画受力图。
手柄、螺杆、压板为研究对象，忽略摩擦，则约束是理想的。
受力如图。
例13-2图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅直向上的力Ｆ，GE=====DGAC=CBCECD求：支座Ｂ的水平约束力。
解:解除B 端水平约束,以力代替,如图(b)BxBx F θδθδδθδθθδδδcos 3,sin 2sin 3,cos 20l y l x l y l x y F x F w G B G B G B Bx F =−====+=()0l 3F l 2F Bx =⋅+−θδθθδθcos sin θFctg 23F Bx =代入虚功方程cos 3cos 3cos sin 2(00=+−+−θθδθδδθδθδθδθl F l k l k l F Bx 30=⋅+⋅−⋅+⋅===G G G C C B Bx F G C y F y F y F x F W k F F δδδδδδθδθδθδθδθδθδθθθcos 3,cos ,sin 2sin 3,sin ,cos 2l y l y l x l y l y l x G C B G C B ==−====如图在CG 间加一弹簧，刚度K ，且已有伸长量仍求。
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
理论力学教学材料-10虚位移原理
虚位移原理的基本假设
虚位移原理假设系统内部的所有约束不受到违反或松弛。这是这一原理应用于求解力学问题的前提条件。
虚位移原理的应用
1
受力分析
通过虚位移原理，我们可以更轻松地进行受力分析，理解并求解力学系统中各个 部分的受力情况。
2
平衡条件
虚位移原理帮助我们建立与求解系统的平衡条件，对于分析平衡或运动过程中的 约束非常有用。
培养分析能力
虚位移原理培养学生分析实际问题的能力，使他们能够从力学的角度独立思考与解决工程问 题。
拓展视野
理论力学教学中的虚位移原理可以帮助学生拓展对力学问题的视野，了解力学规律在实践中 的应用。
虚位移原理的实例分析
梁的弯曲
通过虚位移原理，我们可以推 导出梁的弯曲方程，并求解梁 的挠度与受力分布。
简谐摆动
应用虚位移原理，我们可以分 析简谐摆动的运动特性，并推 导出摆长与周期之间的关系。
弹簧质点系统
虚位移原理可用于分析弹簧质 点系统的受力与变形，推导系 统的运动方程与振动频率。
介绍了虚位移原理的概念、应用及实例分析。继续探索理论力学的更多知识， 可以进一步拓展对虚位移原理的理解与应用。
理论力学教学材料-10虚 位移原理
理论力学中的虚位移原理为我们解决实际问题提供了强有力的工具。本节将 介绍虚位移的概念、基本假设以及其在理论力学教学与实际问题中的应用。
虚位移的概念
虚位移是指系统在力学平衡状态下，对每个可变形约束上的广义坐标作微小的假想位移。通过引入虚位 移，我们可以对系统的平衡条件进行分析与求解。
3
能量方法
虚位移原理也可应用于能量方法中，帮助我们推导系统的稳定性与能量守恒等方 面的结论。
虚位移原理与实际问题的联系
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理是波动理论中的重要概念之一，它用来描述波的传播过程中的位移现象。
根据虚位移原理，当波传播到某一位置时，该位置上的物质并不发生实际的位移，而是被波动所“激发”产生了相对于平衡位置的微弱位移现象。
虚位移原理的提出主要是为了解释波动现象中的一些奇特现象，特别是在波的干涉和衍射现象中的一些观察结果。
在干涉现象中，当两个波相遇时，它们会产生明暗相间的干涉条纹。
根据虚位移原理，这些干涉条纹实际上是由波动所引起的位移造成的，而不是由物质实际的位移所引起的。
因此，虚位移原理解释了为什么在干涉实验中物质并没有发生实际的位移。
在衍射现象中，当波通过一个孔或一个边缘时，波会“弯绕”到非直线传播的路径上。
也是根据虚位移原理，我们可以解释为什么波在通过一个小孔时会扩散开来，形成衍射图样。
根据虚位移原理，通过小孔的波通过“弯绕”的方式传播，使得波的幅度在不同位置上有所变化，从而形成了衍射图样。
总的来说，虚位移原理为我们理解波动现象提供了一个重要的概念和解释框架。
它帮助我们解释了很多波动现象中观察到的奇特现象，并在波动理论的发展中起到了重要的作用。
理论力学13虚位移原理
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
第十四章—虚位移原理
xD a cos xE (a 2b) cos
yB (a b) cos xD a sin xE (a 2b) sin
主动力在坐标方向上的投影为
y
B
YB W X D F X E F
WN Ni ri 0
常见的理想约束有：
支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光 滑铰链、连接两个质点的无重杠杆、连接两个质点 不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。
具有双面、定常、理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的充要条件是：所有作用 于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位 移中所作的虚功之和等于零。其数学表达式 为
三、双面约束与单面约束
任何瞬时都存在的约束，即质点不可能脱离的约束，称 为固执约束，也称为双面约束。 若约束有可能消失和“松弛”，即质点有可能脱离约束， 则称为非固执约束，也称为单边约束。其约束方程的一般形 式为
fr ( x1 , y1 , z1 , , xn , yn , zn ) 0
四、完整约束与非完整约束
第十四章 虚位移原理
• • 系统的约束及其分类 虚位移及其计算
引
言
虚位移原理，是用分析的方法来研究任意 质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力 学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质 点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决 质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移 原理和达朗贝尔原理相结合，可以导出动力学 普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点 系动力学问题的又一个普遍的方法。
即
P A rA
x
r B
O
( P)l cos (Q)(2l sin ) 0
7虚位移原理
有多组
2
虚位移：
满足约束方程且不考虑约束随时间变化的可能微小位移。
1、若约束定常， 无穷小可能位移就是虚位移， 例：斜面固定，物体只受重力作用， 则： 可能位移、实位移均是虚位移。
无穷小真实位移(速度)也是虚
位移之一。
例：斜面以速度v运动，物体只 2、若约束非定常 受重力作用，则真实位移、可能 位移、虚位移是什么？ 这时，可能位移是物体相对斜面的位移与 斜面位移的叠加，一般不会在斜面内。
真实位移：满足运动微分方程 和约束方程的位移解，是真实 发生的位移，称为实位移。 可能位移：满足约束方程但不一
例：固定斜面上的物体只 受重力作用，求：真实位 移(速度)方向
真实位移(速度)
定满足运动微分方程的位移。
例：斜面上的物体 只受重力作用，求： 可能位移
dr dr dr
只有一组
dr
可能位移(速度)
平衡时主动力的虚功 之和为零
平衡： Fi FNi 0
(i 1,, n)
(F F
i 1
i
n n i 1 i i i 1
n
Ni
) ri 0
ri 0
ri Fi
i
F r F
Ni
FNi
|| 0
F
i 1
n
i
ri 0
9
F
i 1
P 2 cot Q 3
15
O
x
例题：若已知：
l1
m1
l1 l2 l
l2
m1 m2 m
y
m2
F
m2 g
F mg
求: 平衡时的位置
m1 g
虚位移原理
同样可得
二、虚位移的计算
或者，由于 为AB的瞬心，故
由正弦定理
16.2
虚 位 移 及 其 计 算
二、虚位移的计算
2、解析法
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如
椭圆规机构如图，坐标
有约束方程
对上式进行变分运算得
16.2
虚 位 移 及 其 计 算
或者把 表示成 的函数，也可求出虚位移间的关系。
因为
作变分运算
所以
比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。
选广义坐标为φ
（解析法）
在x、y轴上的 分量：
各质点虚位移之间的关系的几何法
理论力学：第十六章 分析力学基础
16.1.4完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束(几何约束以及可以积分的运动约束)；
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束(不能积分的运动约束)。
理论力学：第十六章 分析力学基础
在本例中：可以选择 θ 为质点的广义坐标， A的直角坐标可以表示为：
y
x
O
A(x1, y1)
B(x2, y2)
a
b
理论力学：第十六章 分析力学基础
例如:双摆中摆的约束方程只有2个
其确定摆位置的两个坐标X1、X2、Y1、Y2中 只有2个是独立的
所以一般选择2个独立参量来确定摆的位置，
在本例中：可以选择 θ φ为质点的广义坐标， 摆锤的直角坐标可以表示为：
1. 虚位移
x
y
O
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理是指在分析物体的运动时，可以把物体的位移看作是由两个独立的分量相互叠加得到的。
这两个分量分别是平移位移和旋转位移。
虚位移原理的应用十分广泛，不仅在物理学中有着重要的地位，而且在工程领域也有着重要的应用。
下面将从物理学和工程领域两个方面来介绍虚位移原理的相关内容。
在物理学中，虚位移原理是描述物体运动的一个重要概念。
在分析物体的运动时，我们可以把物体的位移分解为平移位移和旋转位移。
平移位移是指物体整体上的位移，而旋转位移则是指物体围绕某一点的旋转运动所产生的位移。
通过虚位移原理，我们可以将物体的复杂运动分解为简单的平移和旋转运动，从而更加清晰地理解物体的运动规律。
虚位移原理在刚体力学、动力学等领域有着广泛的应用，为研究物体的运动提供了重要的理论基础。
在工程领域，虚位移原理同样具有重要的应用价值。
例如，在机械设计中，我们经常需要分析机械零件的运动规律，虚位移原理可以帮助我们更好地理解机械零件的运动特性，从而指导设计工作。
此外，在结构分析和材料力学中，虚位移原理也是一个重要的工具，可以帮助工程师们分析结构的受力情况，指导工程设计和施工。
总的来说，虚位移原理是一个十分重要的物理概念，在物理学和工程领域都有着广泛的应用。
通过虚位移原理，我们可以更加深入地理解物体的运动规律，为科学研究和工程实践提供重要的理论支持。
希望本文的介绍能够帮助读者更加深入地理解虚位移原理，并在学习和工作中加以应用。
虚位移原理
例4-6 试求图示组合梁中支座A的约束反力。
F1 A
3m
B M
F2
4m
N
F3
4m
C D
解
8m
8m
11m
7m
11m
1）解除约束 2）虚设位移
sA
d sA A FA
1 Fs 1
a)
B
sM
F2 M
F3 N C D
s2
d s2
3）列虚功方程
ds1
FA sA F1 s1 F2 s2 F3 0 0
静 力 学
第四章 虚位移原理
盐城工学院力学课程组
第四章 虚位移原理
静
力
学
第一节
虚位移与虚功的概念
第四章 虚位移原理
第二节 虚位移原理
第四章
虚位移原理
虚位移原理是分析静力学的理论基础。
它应用功的概念建立任意质点系平衡的充要条件， 是解决质点系平衡问题的最一般的原理。 虚位移原理是研究静力学问题的另一途径。 对于具有理想约束的物体系统，由于未知的约束反 力不作功，应用虚位移原理求解常比列平衡方程 更方便。
B C
(2) 解除B处约束，代之以反力 FB ，并将其视为主动力。 A 由虚功方程，得
q
M
D
PsB FBsB 2qlsE M
其中
s E
l
A
0
l
l
2l q
C
sB sE
P
B
M
D
代入虚功方程，得
sB
FB
M ( P FB 2ql )sB 0 l
解得
sC
sE
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1 1 3 2 Q Q M 0 2 2 4 l
FA 850 N
P
Q
Q
M
rE
A B C D
若求 E处支座反力, 则 系统的虚位移分析如 图示.
FE
l 4
E
q=400N/m , P = 200N .
M = 200 m.N . l = 8m
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
第十五章 虚位移原理
虚位移的英文名词是 virtual displacement . 意 思是‘ 可能的位移’. 不管是‘ 虚’ 也好, 还 是‘ 可能 ’ 也好, 它的力学含义是: 仅为约束 条件所允许的位移.
引言
质点被约束在某一平面上, 其 上有力的作用.
显然, 在此平面上有无限多为 约束所允许的 位移.
FBx B F1'yC F1yG FyG 0
式中 F1 = F1'= kδ0
2 FB l sin k 0 l cos 3k 0 l cos 3 Fl cos 0 FB 3 Fctg k 0 ctg 2
F1
y
在图示坐标下 E
D
F1'
k
yG 3l sin yC l sin x B 2 l cos
ix
·C A θ θ B
( F
FB
x
x i Fiy yi ) 0
yG 3l cos yC l cos x B 2l sin
f ( xi , yi , zi ) 0 或
f ( x, y, z ) 0
2. 虚位移
定义: 在给定瞬时, 质点系在约束条件允许下所能实现的任意假想 的无限小的位移.
▲: (1) 虚位移是‘ 等时变分’ 的概念. 不论约束是否定常, 必须把 时 间 ‘ 冻结’ , 在此前提下才有虚位移的概念. (2) 虚位移仅为约束条件所允许即可, 而实位移除此之外还须由 动力学方程和初始条件等而定. 同一点的实位移只能有一个, 而虚位移可以有无穷多. (3) 稳定约束( 定常约束 )下, 实位移是众多虚位移中的一个.而在 非 定常约束下则不然.
( 注意: 整体分析可知A 处的水 平力为零. 故A 处只有竖直反力)
FA
A
B
rC
C
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 4
Q q
l 800N 4
设A 处给一向上的虚位移rA. , 显然有:
F
i
r i 0
rA rC
FArA P
FA P
rA r 3rA r Q A Q M lA 0 2 2 4 2
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 4
q=400N/m , P = 200N .
P
Q
Q
M D E
M = 200 m.N . l = 8m
Q q l 800N 4
A
B
C
l 8
l 8
P
l 8
l 8
Q
l 8
Q
l 8
l 4
M
去掉B 支座代之以FB , 原结构变成一个自由度 的系统. 设CE杆绕E点有 一个虚角位移, 则各处 有关的虚位移如图.
▴:两种常 用的形式:
F r 0 (2) 直角坐标式 ( F x F
(1)矢量式
i i
ix i
(几何法用)
iy
yi Fiz zi ) 0 (解析法用)
例一.
图示螺旋压榨机. 其手柄上作用一水平面内的力偶, 其矩为2Fl . 设螺 杆的螺距为h, 求平衡时作用于被压榨物体上的力. 2l 解: 取系统分析, 设手柄顺力偶的方向 转了δφ 角 ( 力学语言称: 给螺杆以虚位 移δφ ) , 则压板的虚位移为δs . F' δφ δs 由虚位移原理:
α A l
A A
O
y A l sin
β B
x B l (cos cos )
y A l cos
P
x
x B l sin l sin y B l (sin sin ) y B l cos l cos
F
F
i
ri 0
2 Fl FN s 0
s h 2
即 s
h 2
2 Fl FN
FN
h 0 2 4Fl FN h
例二. (参见书上例17 – 4 ) 图示结构, 已知力P作用于G点. 各杆都以光滑铰链连接. AC = CE = BC = CD = DG = GE = l .在G、C 间有一刚度为k 的弹簧, 在 图示夹角为θ时 弹簧的伸长量为δ0 . 求支座 B处的水平约束反力. F 解: 解除B 处相应的约束, 代之以相应的水平力和活动铰 G 支座, 去掉弹簧, 代之以相应的弹簧力.
3. 混合法:
例三. 曲柄滑块机构如图. 试用φ 角的变分表示B、C 点的虚位移.
rC
r
A φ
C
C 点:
rC r
l
B
2 2 2 B点: x B r cos l r sin x r 2 sin cos x B ( r sin 2 2 2 ) l r sin
r
( 3) 双面（双侧）约束 – 约束条件用方程给出.
单面（单侧）约束 – 约束 条件用不等式给出.
x L A
mg
0
A点的约束方程:
x y L
2 A 2 A
y
动约束 圆轮的直线纯滚动.
(4) 完整约束 – 几何约束和可积分的运动约束. 可积分的运 非完整约束 – 不可积分的运动约束.
冰刀在冰面上的运动.
在定常（稳定）约束下，实位移是虚位移 中的一个，或者说 r 中包含了dr 。在非定 常（非稳定）约束情况下，实位移与虚位移 并不一致。例如若设质点m 被约束在运动着 的曲面上，则在某时刻t， r 与 dr 分别如 下图所示。
实位移
t’
dr
m
r
t
虚位移
r
虚位移
f(x’,y’,z’,t’)=0
由
F
i
r i 0
A
FB B
C
D
E
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 4
l l 3l FB Q 8 4 8 3l Q M 0 8 FB 2400 N P
rA
P
Q
Q
若求A 处支座反力则系统的 虚位移分析如图示: M D E q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m
l 8
Q q
l 800N 4
设E 处有一向上的虚位移rE ,
F
rE
l 2
i
r i 0
FE rE M
FE M 2 1 Q 0 l 4
Q
rE 0 4
FE 250 N
例四. 试用虚位移原理求图示结构中1号杆的内力. 已知 力P 及α = 30°. P P D α K P 解: 取出1号杆, D、E 铰处受的力为对其的反 作用力.
例一. 试用OA杆的转角的变分δφ 表示A、B、C、D各点的虚位移, 已知OA = r. 解: rA r , 对AB杆用速度投影定理有
B
rB
30°
C
rC 60º
O r
r
rB rA r ，可见AB杆作瞬时平动。
rD
O1
30º
rC rA r
r
虚位移
m
虚位移
实位移
dr
m
v
t t+dt
虚位移（可能位移）与实位移是不同的 两个概念，二者的区别在于：1）虚位移只能 是无限小的，而实位移既可以是无限小的， 也可以是有限量；2）虚位移包括约束所能容 许的一切可能有的位移，同一质点的虚位移 一般不止一个，而实位移一般只能有一个， 因为质点的坐标（x,y,z)通常都是时间t的单值 连续函数；3）虚位移是假想的，只与约束情 况有关，而与作用力及时间无关，与质点的 实际运动情况也无关，即使质点系在已知力 系作用下处于静止，仍然可以给予各个质点 以约束所容许的虚位移。
φ
v
y tg x x tg y
y
r A x x A r C yA r
A o
r
x
（双面、运动、非定常）约束方程的一般形式：
1 , y 1, z n , y n , z 1, x n ; t ) 0 f ( x1, y1, z1, xn , yn , zn ; x
例三. 求图示组合梁的支座B 处的约束反力. P q B C D M
已知: q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m
A
E
l 8
l 8
P
l 4
Q
l 4
Q
l 4
M D
解: 为便于计算, 将均布载荷
等效简化成集中力.
E
A
Q q
B
C
l 800N 4
l 8
由瞬时平动的概念:
A
对CD杆由速度投影定理:
rD cos300 rC cos600 1 1 rD rC r 3 3
D
2. 解析法: 借助于坐标系来表示虚位移.