10真空中讲义的静电场二解答
《大学物理》课后解答题 第五章静电场
第五章 真空中的静电场一、思考讨论题1、电场强度与电势有什么关系？试回答下列问题，并举例说明： （1）场强为零的地方，电势是否一定为零？ （2）电势高的地方，场强是否一定大？ （3）电势相等处，场强是否一定相等？（4）已知某一点的电势，可否求出该点的场强？反之如何？ 解：（1）不一定。
比如两同种点电荷连线中点，场强为零，电势不为零。
（2）不一定。
匀强电场，场强处处相等，而电势不等。
（3）不一定。
点电荷产生的电场线中，电势相等的地方场强方向不一样。
（4）都不可以求。
2、已知某一高斯面所包围的空间内0=∑q ，能否说明穿过高斯面上每一部分的电通量都是0？能否说明高斯面上的场强处处为0？解：由高斯定理∑⎰=⋅=q S d E S1εψ ，0=∑q 仅指通过高斯面的电通量为零，并非场强一定在高斯面处处为零（高斯面外的电荷也在高斯面上各点产生场强）。
3、已知某高斯面上处处E =0，可否肯定高斯面内0=∑q ，可否肯定高斯面处处无电荷？解：可以肯定。
高斯面上处处E =0，0=⋅⎰S d E S，由高斯定理必有0=∑q 。
4、如图1.1所示，真空中有A 、B 两均匀带电平板相互平行并靠近放置，间距为d （d 很小），面积均为S ，带电分别为+Q 和－Q 。
关于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律应有：2024dQ f πε=； 又有人说，根据f QE =，应有：SQ f 02ε=。
他们说得对吗？你认为f 应等于多少？解：（1）2024dQ f πε=是错误的，因为库仑定律只适用于点电荷，两个带电平板不能直接用库仑定律计算。
（2）SQ f 02ε=也错误。
因为用sqE 0ε=计算的场强是两带电平板产生的合场强，而Eq F =中的场强是一个带电板的电荷量乘以另一个所产生的场强，而不是合场强。
电荷与图1.1自身产生的场强作用力恒为零。
正确答案是：Sq q S qEdq F 02022εε=⋅==⎰ 5、在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确定各点电荷时，可否选无穷远处为0势点？为什么？解：不能。
《真空中的静电场》选择题解答与分析
12 真空中的静电场 12.1电荷、场强公式1. 如图所示，在直角三角形ABC 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，则C 点的场强的大小为(A) 4.5104(N C -1). (B) 3.25104(N C -1). 答案：(B)参考解答：根据点电荷的场强大小的公式，点电荷q 1在C 点产生的场强大小为)C (N 108.1)(4142011-⋅⨯==AC q E πε，方向向下．点电荷q 2在C 点产生的场强大小为)C (N 107.2)(4142022-⋅⨯==AC q E πε，方向向右．C 处的总场强大小为：),C (N 1025.3142221-⋅⨯=+=E E E总场强与分场强E 2的夹角为.69.33arctan 021==E E θ对于错误选择，给出下面的分析：答案(A)不对。
你将)C (N 105.410)7.28.1(14421-⋅⨯=⨯+=+=E E E 作为解答。
错误是没有考虑场强的叠加，是矢量的叠加，应该用),C (N 1025.3142221-⋅⨯=+=E E E进入下一题：2. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为2041r qE πε=式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用．若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的Ｅ就有确定值．进入下一题： 12.2高斯定理1. 根据高斯定理的数学表达式⎰∑⋅=Sq S E 0/d ε可知下述各种说法中，正确的是： (A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零．(B) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零．(C) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷．答案：(B) 参考解答：高斯定理的表达式：∑⎰==⋅ni i q s E 101d ε .它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合面所包围的电荷电量代数和的0/1ε倍。
10真空中的静电场二解答
2 0 sin q cos q i sin q j d q E d E y 4 R 0 0 Rdq 2 sin q cos q d q 0 , sin d q 2 R q
q
0
q q q q
指向缺口
R
o
d
2．一均匀带电直线长为d，电荷线密度为+，以导线 中点O为球心，R为半径（R>d）作一球面，P为带电直 线延长线与球面交点，如图所示．则通过该球面的电场 强度通量为 ．P点电场强度的大小为 ； 方向为 ． q d i E dS R e 0 0 S E O d2
dx E i 2 4 R x d2 0
P
d
1 1 d i i 2 2 d d 4 R d 0 04 R R 2 2
x
3．地球表面上晴空时，地球表面以上10km范围内的 电场强度都约为100V/m。此电场的能量密度为 ； 在该范围内电场所储存的能量共有 kw· h。
3 1 (C) 4 0l 3 q
(B)
1 5 4 0l 5 q
D l C l l -q B l
E F
5 1 (D) 4 0l 5 q
A +q
题图 q q q 1-1 q A q CF CF C F 4 l 4 l 4 5 l 0 0 0
1．如图，一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长 度为d（d<<R）．环上均匀带正电，总电量为q．则圆 心O处的场强大小E＝ ．场强方向为 ．
d q d qd E 4 R2 R d 4 R8 R
真空中的静电场(1、3)习题难点讲解
若球内无空腔，P点的电场为
E1
3 0
r
若空腔内填满体电荷密度为 的电荷，当
其单独存在时，P点的电场为
由电场叠加原理，得
E2
3 0
r
E
E1
E2
3 0
r
r
3 0
a
6.
en E2
h
E1
en
S E dS E1S E2S
(E1 E2 )S
dE 4 0a2 4 0a
dq dl rd sin
dE
1
40r 2
rd sin
d 40r sin
d
4 0a
指向 dq
指向 dq
这一对线元在O点的元 场强等值反向，相互抵 消。故所有电荷在O点 产生的场强为零。
4. 电荷密度为 Ar 的球体的电场
r
dl
R cos 2 R2 sind
40 R3
sin cosd
2 0
dS x d
O
R
E dE
2 sin cosd
2 0 0
1
sin2
2
20 2
0 4 0
3. 两根平行长直线间距为2a一端用半圆形线连起来。全线上均匀 带电。证明在圆心O处的电场强度为零。
0 20a
E2 y
4 0a
(sin 2
sin1 )
1
2
, 2
E2 y 4 0a E2 2 0a
大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案
⼤学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案第6章真空中的静电场习题及答案1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。
⼀试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合⼒等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑⼒的⼤⼩及⽅向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合⼒才可能为0，所以200200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε故 223+=x2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三⾓形的三个顶点。
试问：(1)在这三⾓形的中⼼放⼀个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑⼒之和都为零)?(2)这种平衡与三⾓形的边长有⽆关系?解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由⼒平衡知，q '为负电荷，所以2220)33(π4130cos π412a q q aq'=εε故 q q 3='(2)与三⾓形边长⽆关。
3. 如图所⽰，半径为R 、电荷线密度为1λ的⼀个均匀带电圆环，在其轴线上放⼀长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的⼀端处于圆环中⼼处。
求该直线段受到的电场⼒。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产⽣的场强。
在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产⽣的场强⼤⼩为)(4220R x dq dE +=πε根据电荷分布的对称性知，0==z y E E2322)(41 cos R x xdq dE dE x +==πεθ式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹⾓。
+=23220)(4dq R x xE x πε232210(24R x R x +?=πλπε232201)(2R x xR+=ελ下⾯求直线段受到的电场⼒。
在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场⼒⼤⼩为dq E dF x =dx R x xR 232221)(2+=ελλ⽅向沿x 轴正⽅向。
第九章 真空中的静电场(答案)
一． 选择题[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋λ(x ＜0)和－λ(x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E为(A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D)()j i a+π04ελ． 【提示】左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a )处产生的场强大小E ＋、E －大小为：E E +-==矢量叠加后，合场强大小为：02E aλπε=合，方向如图。
［ B ］ 2（基础训练2） 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为：【提示】由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面。
据Guass 定理：SE dS=iiq ε∑⎰r R ≤时，有：()22012rL=r E L R λππεπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即：20r =2E R λπε r R >时，有：()012rL=E L πλε ，即：0=2rE λπε ［ C ］ 3（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A)06εq ． (B) 012εq． (C) 024εq ． (D) 048εq ．【提示】添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。
则大立方体的外表面构成一个闭合的高斯面。
由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为qε。
另一方面，该高斯面可看成由24个面积与侧面abcd 相等的面组成，且具有对称性。
所以，通过侧面abcd 的电场强度通量等于24εq ［ D ］ 4（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-．【提示】200248P a M M aq qU E dl dr r a πεπε-===⎰⎰［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为：(A)rQ Q 0214επ+． (B) 20210144R Q R Q εεπ+π． (C) 0． (D) 1014R Q επ． 【提示】根据带电球面在球内外所激发电势的公式，以及电势叠加原理即可知结果。
真空中的静电场答案
对各分量分别求和
E x
0 4 0 R
sin cos d
0
E y
0 4 0 R
sin 2 d 0
0
8 0 R
所以
E
Exi
Ey
j
0 8 0 R
j
3.（1059）
图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为:Ex＝bx, Ey＝0, Ez＝0．
高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电
试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则
(A) 从A到B，电场力作功最大．
(B) 从A到C，电场力作功最大．
(C) 从A到D，电场力作功最大． (D) 从A到各点，电场力作功相等．
［D ］
A
-q O
B
C D
二、填空题 1.（1042） A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平 面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0/3， 方向如图．则A、B两平面上的电荷面密度分别为δA＝
解：选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向 ．在x处取
q0
一电荷元λdx，它在点电荷所在处产生场强为：
d
E
d
4 0 d
x
x 2
d
l
d
l
整个杆上电荷在该点的场强为：
dx
q0
O
x
x
E
4 0
l dx
0d x2
l
40d d
l
d+ x
点电荷q0所受的电场力为：
F
q0l
40d d
l
＝0.90
N
题解1-真空中的静电场(已修改)
3 2 3 大小： 区：E i i i 2 0 2 0 2 0 2 0 2 区：E i i i 大小： 2 0 2 0 2 0 2 0 2、 E dS Q E 0 S a 0
大小： 2 0
i (i )
杆 0
EP dE
2
i
P
以无穷远处电势为零， P点电势为：
Ld x
U P dU
杆
L
0
(q / L)dx (q / L) L d ln 4 0 ( L d x) 4 0 d 1
2、一电荷面密度为σ 的“无限大”平面，在距离平面 a米远处一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径 为R的圆面积范围内的电荷产生的。试求该圆半径的大 小。 解：圆盘在其轴线上P点场强：
根据电势叠加原理，P点处的电势也与电荷在环L上的 分布状况无关，为： dq
UP
4 0 r Nq 4 0 r
L
dq
4 r
0
1
L
R dq
L
r
P
dE
Z
9、C 空间各点处的总场强为：（方法与选择题第5小题 的方法相同）
0 (r R1 ) 2 E Eer er Q1 /(4 0 r ) ( R1 r R2 ) e (Q Q ) /(4 r 2 ) (r R2 ) 2 0 r 1
'
R
dl
R
Rd
d
y
dE
θ位置处的一窄条在轴线上的一点产生的场强为：
' ' dE i sin j cos 2 0 R 2 0 R d d i sin j cos 2 2 2 0 R 2 0 R
静电场习题解答二版
(C) 如果高斯面上 E 处处不为零，则高斯面内必有电荷．
(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．
［
］
【分析与解答】
E dS
用高斯定理 S
q / 0 来分析。
A 选项：见 8 题 D 选项分析。 B 选项：见 7 题 A 选项分析。
C 选项：高斯面上 E 处处不为零，可能
q 0
求得： q
k 40
k
'
为常数。 正确答案是 A。
13．图 5-31 为一具有球对称分布的静电场的 E～r 关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．
（A）半径为 R 的均匀带电球面．
（B）半径为 R 的均匀带电球体．
E
（C）半径为 R、电荷体密度 ρ＝A r（A 为常数）的非均匀带电 （D）半径为 R、电荷体密度 ρ＝A／r（A 为常数）的非均匀带
E
1 r2
球体． 电球体．
［］
O
【分析r 的球形高斯面，得
R
图 5-31
r
S E dS E4 r2 q / 0 ，
r R 时，由图得，E=k，带入上式得
q 4 kr2 k 'r2
0
，又因为
q r 4 r2dr
A
C
A
C C
E
B
B
C
B
E
A
E
B D C
B
E
A
A 习题（一）.5 图
［］
【分析与解答】 抓关键字眼“带负电”和“减速”。“减速”说明切向加速度沿切向向后，曲线运动需要有指向运动轨迹凹侧的法向加速度，两个 的合效果——总加速度方向应指向轨迹凹侧且与速度夹角为钝角，合力方向与总加速度方向一致，质点仅在电场力作用下，质点 受到的电场力方向即为合力方向，也应指向轨迹凹侧且与速度夹角为钝角。又因为负电荷受到的电场力方向和电场方向相反，所 以电场强度方向指向轨迹凸侧且与速度成锐角。 正确答案是 D。
10 真空中的静电场习题(二)
真空中的静电场习题（二）班级 姓名 学号 成绩学习要求：掌握电势的概念和电势叠加原理。
掌握电势与电场强度的积分关系。
能计算一些简单问题中的电势。
一、选择题1．静电场中某点电势的数值等于【 】(A)试验电荷0q 置于该点时具有的电势能 (B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能 (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能 (D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力做的功 2．如图所1示，P 点处的电势和场强为【 】(A) 0，22aq o πε (B) 0 ，aq o πε8 (C)aq o πε2，0 (D)aq o πε2，22aq o πε3．以下说法中正确的是【 】(A) 沿着电力线移动负电荷，负电荷的电势能是增加的 (B) 场强弱的地方电位一定低，电势高的地方场强一定强 (C) 等势面上各点的场强大小一定相等(D) 场强处处相同的电场中,各点的电位也处处相同4．两个同心的均匀带电球面，内球半径为R 1、带电为Q 1，外球面半径为R 2、带电为Q 2，设无穷远处为电势零点，则在两球面之间、距离球心为r 处的P 点的电势U 为【 】(A) r Q Q 0214πε+ (B) 2020144R Q r Q πεπε+(C) 20210144R Q R Q πεπε+ (D) r Q R Q 0210144πεπε+ 5．如图2所示，一电量为q 的点电荷位于圆心处，A 是圆内一点,B 、C 、D 为同一圆周上的三点，现将一试验电荷Q 从A 点分别移动到B 、C 、D 各点，则【 】(A) 从A 到B ，电场力作功最大 (B) 从A 到C ，电场力作功最大(C) 从A 到D ，电场力作功最大 (D) 从A 到B 、C 、D 各点，电场力作功相等 6．关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中正确的是【 】（A ）在电场中，场强为零的点，其电势必为零 （C ）在电势不变的空间中，场强处处为零 （B ）在电场中，电势为零的点，其场强必为零 （D ）在场强不变的空间，电势处处为零 6．如图3所示，一导体球壳A ，同心地罩在一接地导体B 上，今给A 球带负电-Q ，则B 球【 】 (A) 带正电 (B) 带负电 (C) 不带电 (D) 上面带正电，下面带负电 7．极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，用绝缘工具将两极板拉开一些距离，则下列说法正确的是【 】(A) 电容器极板间的电势差增大 (B) 电容器极板间的电场强度增加(C) 电容器的电容不变 (D) 电容器极板上电荷面密度增加8．在一点电荷产生的电场中，一块电介质如图4放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面【 】(A) 高斯定理成立,且可以用它求出闭合面上各点的场强(B) 高斯定理成立，但不可以用它求出闭合面上各点的场强 (C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 (D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立二、填空题1．在静电场中，场强沿任意闭合路径的环流，即lE dl⋅=⎰ ，这表明静电场为 场。
大学物理第7章真空中的静电场答案解析
第七章 真空中的静电场7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。
解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为)41()22(420+=a q F πε＝,2520aqπε方向由q 指向-4q 。
7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。
（1）求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。
解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则2020)(4)(4ξπεξλξπεξλ-=-=x d x d dE则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为)11(4)(40020xL x x d E L--=-=⎰πελξξπελ＝)(40L x x L-πελ方向沿ξ轴正向。
（2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y习题7－1图0 dqξd ξ习题7－2 图a204r dxdE πελ=θπελcos 420rdxdE y =， θπελsin 420r dxdE x =因θθθθcos ,cos ,2yr d y dx ytg x ===， 代入上式，则)cos 1(400θπελ--=y ＝)11(4220Ly y+--πελ，方向沿x 轴负向。
θθπελθd ydE E y y ⎰⎰==000cos 4 00sin 4θπελy =＝2204Ly y L+πελ7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。
解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。
对称分析E y =0。
θπεθλsin 420RRd dE x =⎰⎰==πθπελ00sin 4RdE E x R02πελ= θθπελθd y dE E x x ⎰⎰-=-=0sin 4xdx习题7－2 图byx习题7－3图2022R q επ=，如图，方向沿x 轴正向。
静电场知识点小结
静电场知识点小结篇一：讲义――静电场知识点总结静电场知识点复习一、库仑定律①元电荷：元电荷就是指最轻的电荷量，用e则表示，大小为e=1.6?10?19c。
②库仑定律：真空中两个恒定点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
表达式：f?kq1q2，其中静电力常量2rk?9.0?109n.m2/c2。
二、电场①电场的产生：电荷的周围存有着电场，产生电场的电荷叫作源电荷。
叙述电场力的性质的物理量就是电场强度，叙述电场能够的性质的物理量就是电势，这两个物理量仅由电场本身同意，与试探电荷毫无关系。
②电场强度：放进电场中某点的电荷难以承受的静电力与它的电荷量的比值，叫做电场强度。
定义式：e?f，单位：n/c或v/mq荷在该点所受静电力的方向相反。
也是该点电场线的切线方向。
区别：e?fkqu（定义式，适用于任何电场）；e?2（点电荷产生电场的决定式）；e?（电场强度qrd与电势差间的关系，适用于于匀强电场，d就是两点间距离在场强方向上的投影）。
③电场线：在电场中画出来的一系列存有方向的曲线，曲线上每一点的切线方向则表示该点的场强方向，曲线的浓淡则表示场强的大小。
电场线就是为了形象的叙述电场而假想的、实际不存有的曲线。
电场线从正电荷或无穷离启程，中止于无穷离或负电荷，就是不滑动、不平行的曲线。
熟识正、正数点电荷、匀强电场、等量异种电荷、等量同种电荷的电场线分布图（教材13页）。
三、电势能、电势、电势差①电势能：由于移动电荷时静电力做的功与路径无关，所以电荷在电场中也具有势能，叫做电势能。
静电力做功与电势能变化的关系式为：wep，即静电力所做的功等于电势能的变化。
所以，当静电力做多少正功，电势能就减小多少；当静电力做多少负功，电势能就增加多少。
静电力做功与电势差的关系式为：wab?quab。
说明：电荷在某点的电势能等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功（通常选大地或无限远处电势能为零）。
练习册 第12章《真空中的静电场》答案
第12章 真空中的静电场一、选择题1(A)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题(1). 电场强度和电势，0/q F E =，l E q W U aa⎰⋅==00d /(U 0=0).(2). ()042ε/q q +， q 1、q 2、q 3、q 4 ；(3). 0，λ / (2ε0) ； (4). σR / (2ε0) ；(5). 0 ； (6).⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π00114r r qε ；(7). －2×103 V ； (8).⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πb ar r qq 11400ε(9). 0，pE sin α ； (10). ()()j y x i xy40122482+-+-- (SI) ；三、计算题1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强． 解：在O 点建立坐标系如图所示． 半无限长直线A ∞在O 点产生的场强：()j i RE-π=014ελ半无限长直线B ∞在O 点产生的场强：()j i RE+-π=024ελ四分之一圆弧段在O 点产生的场强：()j i RE +π=034ελ由场强叠加原理，O 点合场强为： ()j i RE E E E+π=++=03214ελ2. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100N/C ；在离地面1.5 km 高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ．(1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均BA∞O B A ∞∞体密度；(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0ε＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2) 解：(1) 设电荷的平均体密度为ρ，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面∆S 平行地面)上下底面处的 场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：⎰⎰E·S d ＝E 2∆S -E 1∆S ＝(E 2-E 1) ∆S高斯面S 包围的电荷∑q i ＝h ∆S ρ由高斯定理(E 2－E 1) ∆S ＝h ∆S ρ /ε 0∴() E E h1201-=ερ＝4.43×10-13 C/m 3(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 由高斯定理 ⎰⎰E·S d =∑i1qε-E ∆S =S ∆σε01∴ σ =－ε 0 E ＝－8.9×10-10 C/m 33. 带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sin φ，式中λ0为一常数，φ为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度．解：在φ处取电荷元，其电荷为d q =λd l = λ0R sin φ d φ 它在O 点产生的场强为R R qE 00204d sin 4d d εφφλεπ=π=在x 、y 轴上的二个分量d E x =－d E cos φ， d E y =－d E sin φ 对各分量分别求和⎰ππ=000d cos sin 4φφφελR E x ＝0RR E y 0002008d sin 4ελφφελ-=π=⎰π ∴ j Rj E i E E y x008ελ-=+=(2)(1)4. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： σ = σ0cos φ ，式中φ 为半径R 与x 轴所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强．解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为λ = σ0cos φ R d φ， 它在O 点产生的场强为： φφεσελd s co 22d 000π=π=RE 它沿x 、y 轴上的二个分量为：d E x =－d E cos φ =φφσd s co 2200π-d E y =－d E sin φ =φφφεσd s co sin 200π 积分：⎰ππ-=20200d s co 2φφεσx E ＝002εσ0)d(sin sin 2200=π-=⎰πφφεσy E∴ i i E E x02εσ-==5. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为4πR qr=ρ (r ≤R ) (q 为一正的常量) ρ = 0 (r >R )试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势．解：(1) 在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 d q = ρd V = qr 4πr 2d r /(πR 4) = 4qr 3d r/R 4 则球体所带的总电荷为 ()q r rRq V Q r V===⎰⎰34d /4d ρ(2) 在球内作一半径为r 1的高斯球面，按高斯定理有40412401211d 414Rqr r r R qr E r r εε=π⋅π=π⎰得 402114R qr E επ= (r 1≤R)，1E 方向沿半径向外．在球体外作半径为r 2的高斯球面，按高斯定理有 0222/4εq E r =π 得 22024r q E επ=(r 2 >R )，2E方向沿半径向外．(3) 球内电势⎰⎰∞⋅+⋅=RRr r E r E Ud d 2111⎰⎰∞π+π=R R r r r qr R qr d 4d 4204021εε 40310123R qr R qεεπ-π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=3310412R r R q ε ()R r ≤1 球外电势 2020224d 4d 22r qr r q r E U r Rr εεπ=π=⋅=⎰⎰∞()R r >26. 如图所示，一厚为b 的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为ρ＝kx (0≤x ≤b )，式中k 为一正的常量．求： (1) 平板外两侧任一点P 1和P 2处的电场强度大小；(2) 平板内任一点P 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E ．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S ，如图所示． 按高斯定理∑⎰=⋅0ε/d qS E S，即22d d 12εερεkSbx x kSx S SE bb===⎰⎰得到 E = kb 2/ (4ε0) (板外两侧) (2) 过P 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S ．设该处场强为E '，如图所示．按高斯定理有()022εεkSb xdx kSS E E x==+'⎰得到 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='22220b x kE ε (0≤x ≤b ) (3) E '=0，必须是0222=-b x ， 可得2/b x =7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ．如图所示，试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O 点的电势为零)．解：将题中的电荷分布看作为面密度为σ的大平面和面密度为－σ的圆盘叠加的 结果．选x 轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x 处产生的场强为i xx E012εσ='圆盘在该处的场强为i x R x x E⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=2202112εσ∴ i xR x E E E 220212+=+=εσ该点电势为 ()220222d 2x R R xR x x U x+-=+=⎰εσεσ8．一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1＝5×10-4 m 的圆柱形阴极A 和一个套在阴极外的半径R 2＝4.5×10-3 m 的同轴圆筒形阳极B ，如图所示．阳极电势比阴极高300 V ，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e ＝1.6×10-19 C)解：与阴极同轴作半径为r (R 1＜r ＜R 2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为λ．按高斯定理有 2πrE = λ/ ε0得到 E = λ / (2πε0r ) (R 1＜r ＜R 2) 方向沿半径指向轴线．两极之间电势差⎰⎰π-=⋅=-21d 2d 0R R BA B A r rr E U U ελ 120ln2R R ελπ-= 得到 ()120/ln 2R R U U A B -=πελ， 所以 ()rR R U U E A B 1/ln 12⋅-=在阴极表面处电子受电场力的大小为 ()()11211/c R R R U U eR eE F A B ⋅-==＝4.37×10-14 N 方向沿半径指向阳极．四 研讨题1. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为 2041r qE πε=式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用．若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E 就有确定值．2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场．参考解答：证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda ．在ab 和cd 段场强方向与路径方向垂直．在bc 和da 段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等．因而0d d d ≠⋅'-⋅=⋅⎰⎰⎰cb a d l E l E l E按静电场环路定理应有0d =⋅⎰l E ，此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场．3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势，能否求出该点的场强？为什么？参考解答：由电势的定义： ⎰⋅=零势点场点l E U d式中E为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。
大学物理 第十二章 真空中静电场习题解答
第十二章 真空中静电场习题解答（参考）12．6 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零．[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强． 在圆弧上取一弧元 d s =R d φ， 所带的电量为 d q = λd s ， 在圆心处产生的场强的大小为 2200d d d d 44q s E kr R Rλλϕπεπε===， 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ． 总场强为2/20/2cos d 4x E Rπθθλϕϕπε--=⎰2/20/2sin 4Rπθθλϕπε--=0sin 22R λθπε=，方向沿着x 轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强． 根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为`04E Rλπε=，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为``02coscos 222x E E R θλθπε==，方向沿着x 轴负向．当O 点合场强为零时，必有`x x E E =，可得 tan θ/2 = 1，因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．12．8 （1）点电荷q 位于一个边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？ [解答]点电荷产生的电通量为图12.6RΦe = q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1 = Φe /6 = q /6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1 = Φe /24 = q /24ε0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1 > R 2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强．[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r < R 1）．（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl ，穿过高斯面的电通量为d d 2e SSE S E rl Φπ=⋅==⎰⎰E S Ñ，根据高斯定理Φe = q /ε0，所以02E rλπε=， (R 1 < r < R 2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E = 0，（r > R 2）．12.11 13．9 一厚度为d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．[解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`． 在板内取一底面积为S ，高为2r 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为d e SΦ=⋅⎰E S2d d d S S S =⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰E S E S E S 1`02ES E S ES =++=，高斯面内的体积为 V = 2rS ，包含的电量为 q =ρV = 2ρrS ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r ≦d /2)．①（2）穿过平板作一底面积为S ，高为2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES ，高斯面在板内的体积为V = Sd ， 包含的电量为 q =ρV = ρSd ，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρd /2ε0，(r ≧d /2)． ②方法二：场强叠加法．（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r 为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层d y ，面电荷密度为d σ = ρd y ，产生的场强为 d E 1 = d σ/2ε0，积分得100/2d ()222rd y dE r ρρεε-==+⎰，③ 同理，上面板产生的场强为/2200d ()222d ry dE r ρρεε==-⎰，④ r 处的总场强为E = E 1-E 2 = ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令r = d /2，得E 2 = 0、E = E 1 = ρd /2ε0，E 就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．12．17 电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，试证明离球心r （r <R ）处的电势为2230(3)8Q R r U Rπε-=． [证明] 球的体积为343V R π=， 电荷的体密度为 334Q QV R ρπ==． 利用高斯定理的方法可求球内外的电场强度大小为30034QE r r Rρεπε==，（r ≦R ）； 204Q E rπε=，（r ≧R ）．取无穷远处的电势为零，则r 处的电势为d d d RrrRU E r E r ∞∞=⋅=+⎰⎰⎰E l3200d d 44RrRQ Q r r r R rπεπε∞=+⎰⎰230084R rRQQ r R rπεπε∞-=+22300()84Q Q R r RRπεπε=-+2230(3)8Q R r R πε-=．12．21 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：（1）A ，B 两点的电势；（2）利用电势梯度求A ，B 两点的场强． [解答]（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A 点的电势就等于球心O 点的电势．在半径为r 的球壳处取一厚度为d r 的薄壳，其体积为 d V = 4πr 2d r ， 包含的电量为d q = ρd V = 4πρr 2d r ， 在球心处产生的电势为00d d d 4O qU r r r ρπεε==，球心处的总电势为2122210d ()2R O R U r r R R ρρεε==-⎰， 这就是A 点的电势U A ．过B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得22120()2B U R r ρε=-． 球面内的电荷在B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B 点产生的电势．球壳在球面内的体积为3314()3B V r R π=-，包含的电量为 Q = ρV ，这些电荷集中在球心时在B 点产生的电势为332100()43B BBQ U r R r r ρπεε==-． B 点的电势为U B = U 1 + U 2322120(32)6B BR R r r ρε=--．图12.21（2）A 点的场强为0AA AU E r ∂=-=∂． B 点的场强为3120()3B B B B BU R E r r r ρε∂=-=-∂。
静电场(二)作业解答
E2 q
q
4 0
(1 r
1) R
与外球壳带电量无关！
1. 球对称模型的电场强度的计算 2. 电势差的计算
3. 真空中有一点电荷Q，在与它相距为r 的a点处有一试验电荷q. 现使试验电荷q 从a点沿半圆弧轨道运动到b点，如图所 示，则电场力对q 做功为 [ D ]
(A)
Qq r 2 (B)
s 0
i
dxi
0 a
s 0 dx
s 0
a
方向由圆心指向缝隙
2. 点电荷电场强度的计算
三、计算题
1．正电荷均匀分布在半径为R的球
1
2
形体积中（如图），电荷体密度为r，
求球内a点和球外b点的电势差。
解：
1区 2区 U ab
ab44Errd22ElE 12rRarQE0V01drr34r0RRr0b3E34r2drr3E62Er10
rr 3 0
点）。
解： 吹前 r1
E
Q
40 R 2
+Q 高斯球面
U
Q
4 0
R
吹后
+Q
吹后求内区！
r2
E1 E2 1.带电球面，内外区电场
R
强度的计算
高斯球面
2.带电球面，内外区电势 的计算
E1 0
U
r2 R
E1
dr
E r2 2
dr
Q 4πε0r2
内区是等势体
5. 一均匀静电场，电场强度 E (400i 600 j ) V/ m，则点a
一.选择题:
1. 某电场的电力线分布情况如图所示。 一负电荷从 M 点移到 N 点。有人根据 这个图作出下列几点结论，其中哪点
10 真空中的静电场习题(二)-答案 (2)
1真空中的静电场习题（二）答案三、计算题1、 (1)带电直线上离中心O 为z’处的电荷元dq=λdz ’在P 点产生的电势)'z z ('dz 41)'z z (dq 41dU 0-=-=λπεπε带电直线在P 点的电势：)'z z ('dz 41dU U 0llLP -==⎰⎰-λπε，lz l z lnl8q U 0P -+=πεP 点的电场强度：zU E ∂∂-=，)l z (4qE 220-=πε，k )l z (4qE 220 -=πε(2)带电直线上离中心O 为z 处的电荷元dq=λdz 在P 点产生的电势2222rz dz 41rz dq 41dU +=+=λπεπε带电直线在P 点的电势：⎰⎰-+==ll220LP rz dz41dU U λπεrr l l lnl4q U 220P ++=πεP 点的电场强度：rU E ∂∂-=，)l r (r 4qE 220+=πε0220r )l r (r 4qE+=πε2.（1） 120ln22212121r r dr rEdr U U r r r r r r πελπελ===-⎰⎰（2）在点电荷的电场中，我们曾取r →∞处的电势为零，是因为电荷分布在有限的空间中；若无限长均匀带电直线附近的电势也这样取，其电场中任一点的电势为无限大，这就无意义了。
本题中带电体为无限长均匀带电直线，电荷分布在无限的空间中，零电势点就不能取无限远处的电势为零。
3、 无穷远处为电势零点，两个电荷构成的电荷系在O 点和D 点的电势为0L 4q L 4q U 00O =-+=πεπεLq Lq Lq U D 00064314πεπεπε-=-+=(1) 单位正电荷从O 沿OCD 移动到D ，电场力做的功：)U U )(1(A P O -+=, L6q A 0πε=(2) 单位负电荷从D 沿AB 延长线移动到无穷远，电场力做的功:)U U )(1(A P ∞--=，)0L6q (A 0---=πε, L6q A 0πε=4. C 、F 两点之间的电势差为5154-⋅=lq U o CF πε将单位正电荷从C 点沿CDEF 路径运动到F 点，电场力所作的功5154-⋅==lq U A o CF πε5、 根据动能定理，静电力对电子做的功等于电子动能的增量: )U U(e mv21B A2-=114q 414q Uo2o1Aπεπε+=，V 63U A -=, 414q 114q U o2o1B πεπε+=，V 153U B =m )U U (e 2v B A -=, s /m 107.8v 6⨯= 6. 20111)ln (2222=-+=++-∂∂-=∂∂-=xyx x x yx xU x E x53)ln (2222=+=++-∂∂-=∂∂-=yx yx y x xU yE y点P （4，3，0）处的电场强度j i j E i E E y x532011+=+=(1)计算题∙∙ABq-q+ODCL L。