地下水向完整井的非稳定运动
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水文地质-地下水的运动
第三节 地下水向井的稳定运动
四、裘布依公式的讨论
（2）抽水井流量与井径的关系
但实际情况远非如此,井径 对流量的影响比Dupuit公 式反映的关系要大得多。
第三节 地下水向井的稳定运动
四、裘布依公式的讨论
（3）水跃对裘布依公式计算结果的影响
在潜水的出口处一般都存 在渗出面。当潜水流入井 中时也存在渗出面,也称水 跃，即井壁水位hs高于井 中水位hw(图4一10)，而潜 水井的Dupuit公式并没有 考虑渗出面的存在。
H Z p
图4-5 流网示意图
在渗流场中，把水头值相等的点连成线或面就构成了等水 头线或等水头面。
流网是由等水头线和流线所组成的正交网格。流网直观地 描述了渗流场（或流速场）的特征。它可以是正方形、长 方形或曲边方形。
第二节 地下水运动规律
水流类型
一维流任意点的水力坡度均相等（
图4-6a）；
s1=1.00 m s2=1.75 m s3=2.50 m 求K？
Q1=4500 m3/d； Q2=7850 m3/d； Q3=11250 m3/d；
第三节 地下水向井的稳定运动
五、地下水流向非完整井和直线边界附近的完整井
1、承压水非完整井 当α=1时，A=0，就变成 完整井公式，当α很小， A值很大，则公式变为：
第三节 地下水向井的稳定运动
五、地下水流向非完整井和直线边界附近的完整井
2、潜水非完整井 潜水非完整井可以看做上段 是潜水完整井，下段是承压 水非完整井。这样可以近似 的看做总流量Q等于两段Q1 和Q2的和。
第三节 地下水向井的稳定运动
裘布衣假设：
天然水力坡度为0，井附近水力坡度<1/4； 含水层是均质各向同性的，含水层的底板
10第六章第三节地下水向完整井的非稳定流运动
配线法的优点：可以充分利用抽水试验得全部观测资料， 避免个别资料的偶然误差，提高计算的精度。
结论：拟合时尽可能使用中部弯曲的线段。
上式中除s、t在抽水过程为变数外，其余均可认为是常数， 这样，可以把该公式变换为：
式中 截距为：
斜率为：
由截距可解压力传导系数
由斜率可求导水系数T
导水系数T—表示含水层的导水性能。
压力导水系数a---表示含水层中水位传导速度的参数
储水系数或弹性给水度 指承压水头下降1m时，从单位面积含水层(即面积为单位面积，高度为含水层厚度的柱体)中释放出来的弹性水量。
---含水层体积的弹性系数
潜水
潜水
承压水
承压水
§6.4.1、承压含水层中的完整井流
对于定流量抽水
所以Theis公式的近似表达式为：
同理，潜水井的非稳定流Jacob公式为：
二 对Theis公式和与之有关的几个问题的讨论
1. Theis公式反映的降深变化规律
由于W（u）与u成正比，所以W（u） 与1/u成正比，从而，S与t和r的关系， 可作图并参考表进行如下讨论：
（1）当t不变时（同一时刻），径向距离r增大（1/u减小， W(u)减小），降深s变少，当r→∞时，s→0。
④ 任取一配点（在曲线上或曲线外均可），记下匹配点 的对应坐标，代入相应的公式求参数。 2. Jaco Nhomakorabea直线图解法
当u≤0.05时，可以用Jacob公式求参数
配线法的缺点：（1）抽水初期实际曲线常与标准曲线不符； （2）当抽水后期曲线比较平缓时，同标准曲线不容 易拟合准确，常带有人为误差。
2. Theis公式反映的水头下降速度的变化规律
近处水头下降速度大，远处下降速度小
结论：拟合时尽可能使用中部弯曲的线段。
上式中除s、t在抽水过程为变数外，其余均可认为是常数， 这样，可以把该公式变换为：
式中 截距为：
斜率为：
由截距可解压力传导系数
由斜率可求导水系数T
导水系数T—表示含水层的导水性能。
压力导水系数a---表示含水层中水位传导速度的参数
储水系数或弹性给水度 指承压水头下降1m时，从单位面积含水层(即面积为单位面积，高度为含水层厚度的柱体)中释放出来的弹性水量。
---含水层体积的弹性系数
潜水
潜水
承压水
承压水
§6.4.1、承压含水层中的完整井流
对于定流量抽水
所以Theis公式的近似表达式为：
同理，潜水井的非稳定流Jacob公式为：
二 对Theis公式和与之有关的几个问题的讨论
1. Theis公式反映的降深变化规律
由于W（u）与u成正比，所以W（u） 与1/u成正比，从而，S与t和r的关系， 可作图并参考表进行如下讨论：
（1）当t不变时（同一时刻），径向距离r增大（1/u减小， W(u)减小），降深s变少，当r→∞时，s→0。
④ 任取一配点（在曲线上或曲线外均可），记下匹配点 的对应坐标，代入相应的公式求参数。 2. Jaco Nhomakorabea直线图解法
当u≤0.05时，可以用Jacob公式求参数
配线法的缺点：（1）抽水初期实际曲线常与标准曲线不符； （2）当抽水后期曲线比较平缓时，同标准曲线不容 易拟合准确，常带有人为误差。
2. Theis公式反映的水头下降速度的变化规律
近处水头下降速度大，远处下降速度小
地下水向完整井的非稳定运动
再施行逆变换可求得其解为：
其中，
s
Q
4 T
W
u,
r B
W
u,Biblioteka r B
1
e
y
4
r2 B2
y
dy
uy
u r2
4Tt
(4-33) (4-34)
有关推导过程请参阅文献[2]。(4-33)式为Hantush和
Jacob于1955年建立的有越流补给的承压水完整井公式。其
厚的；
(2)含水层中水流服从Darcy定律； (3)虽然发生越流，但相邻含水层在抽水过程中水头保持不 变(这在径流条件比较好的含水层中不难达到)； (4)弱透水层本身的弹性释水可以忽略，通过弱透水层的水 流可视为垂向一维流；
(5)抽水含水层天然水力坡度为零，抽水后为平面径向流； (6)抽水井为完整井，井径无限小，定流量抽水。
（2）抽水中期，因水位下降变缓而开始偏离Theis曲线， 说明越流已经开始进入抽水含水层。
这时，抽水量由两部分组成：一是抽水含水层的弹性 释水，二是越流补给， r2 值由零进入有限值，即：
4 yB2
W
u,
r B
1
e
y
4
r2 B2
y
dy
uy
1e ydy W uy
出，有越流补给的s-t关系大致可分为三个阶段：
图4-11 越流潜水含水层的标准曲线
（1）抽水早期，降深曲线同Theis曲线一致。这表明越流尚
未进入主含水层，抽水量几乎全部来自主含水层的弹性释
水。在理论上，相当于
《地下水动力学》课程总结
应用
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
4-1承压含水层中的完整井流免费全文阅读
8
9
例1 一侧向无限分布的承压含水层，其T=2000m2/d,
贮水系数μ*=2×10-4，有一口完整生产井以抽水量
Q=3140m3/d进行开采。 试计算距井300m处，开采10、20、30d时的降深。 解：采用泰斯公式计算，
10
二、流量变化时的计算公式
泰斯公式的适用条件之一是定量抽水，但实际工作中经 常遇到的问题是需水量即流量是变化的，在此情况下如何应用 Theis公式？
15
解：按圆形布置的群井，可近似看作一个大半径的井，其半径为 r0=1000m,抽水时间t=365d,据Theis公式有：
16
四、Theis公式讨论
（1）Theis公式反映的降深变化规律 （首先看u～W(u)的关系图）
17
1.当t一定时，s－r关系 r增大→u增大→W（u）减小→s减小，这与实际情况符，反映了 同一时刻，随着距井中心的距离的增大，降深减小，在无穷远处 降深为零. 2.当r一定时，同一断面s－t关系 t增大→u减小→W（u）增大→s增大，说明在同一过水面，s随时 间的延长而增大，反映了无补给时消耗贮存量的水动态变化规律
23
（4）地下水的渗透速度
24
（5）关于影响半径问题
说明在无补给、平面无限延伸的承压含水层中，随着抽水时 间的增大，漏斗增大，向水井汇流面积增大，附近水位出现 似稳定状态, 但并不说明水头降落已达稳定。
25
（6）关于假设rw→0和天然水力坡度等于0的问题
e-0.01 =0.99
假定的目的是为了使
③用一个观测孔数据，即r是定值。
31
Ｍ
32
（2）降深～距离（s～r2）配线法 当有三个以上观测孔时，可以取t为定值，在双对数坐标纸上
9
例1 一侧向无限分布的承压含水层，其T=2000m2/d,
贮水系数μ*=2×10-4，有一口完整生产井以抽水量
Q=3140m3/d进行开采。 试计算距井300m处，开采10、20、30d时的降深。 解：采用泰斯公式计算，
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二、流量变化时的计算公式
泰斯公式的适用条件之一是定量抽水，但实际工作中经 常遇到的问题是需水量即流量是变化的，在此情况下如何应用 Theis公式？
15
解：按圆形布置的群井，可近似看作一个大半径的井，其半径为 r0=1000m,抽水时间t=365d,据Theis公式有：
16
四、Theis公式讨论
（1）Theis公式反映的降深变化规律 （首先看u～W(u)的关系图）
17
1.当t一定时，s－r关系 r增大→u增大→W（u）减小→s减小，这与实际情况符，反映了 同一时刻，随着距井中心的距离的增大，降深减小，在无穷远处 降深为零. 2.当r一定时，同一断面s－t关系 t增大→u减小→W（u）增大→s增大，说明在同一过水面，s随时 间的延长而增大，反映了无补给时消耗贮存量的水动态变化规律
23
（4）地下水的渗透速度
24
（5）关于影响半径问题
说明在无补给、平面无限延伸的承压含水层中，随着抽水时 间的增大，漏斗增大，向水井汇流面积增大，附近水位出现 似稳定状态, 但并不说明水头降落已达稳定。
25
（6）关于假设rw→0和天然水力坡度等于0的问题
e-0.01 =0.99
假定的目的是为了使
③用一个观测孔数据，即r是定值。
31
Ｍ
32
（2）降深～距离（s～r2）配线法 当有三个以上观测孔时，可以取t为定值，在双对数坐标纸上
地下水动力学习题及答案(1)
17.等效含水层的单宽流量q与各分层单宽流量qi的关系：当水流平行界面时_ _，当水流垂直于界面时_ _。
18.在同一条流线上其流函数等于_常数_，单宽流量等于_零_，流函数的量纲为__ __。
19.在流场中，二元流函数对坐标的导数与渗流分速度的关系式为_ _。
20.在各向同性的含水层中流线与等水头线_除奇点外处处正交_，故网格为_正交网格_。
3．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
4.地下水过水断面包括_空隙_和_固体颗粒_所占据的面积.渗透流速是_过水断面_上的平均速度，而实际速度是_空隙面积上__的平均速度。
在渗流中，水头一般是指测压管水头，不同数值的等水头面(线)永远不会相交。
5.在渗流场中，把大小等于_水头梯度值_，方向沿着_等水头面_的法线，并指向水头_降低_方向的矢量，称为水力坡度。水力坡度在空间直角坐标系中的三个分量分别为_ _、 _和_ _。
31.在均质各向同性的介质中，任何部位的流线和等水头线都正交。(×)
32.地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。(√)
33.潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。(√)
34.在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。(×)
27.沿流线的方向势函数逐渐减小，而同一条等势线上各处的流函数都相等。(×)
28.根据流函数和势函数的定义知，二者只是空间坐标的函数，因此可以说流函数和势函数只适用于稳定流场。(×)
29.在渗流场中，一般认为流线能起隔水边界作用，而等水头线能起透水边界的作用。(√)
30.在同一渗流场中，流线在某一特定点上有时候也可以相交。(√)
18.在同一条流线上其流函数等于_常数_，单宽流量等于_零_，流函数的量纲为__ __。
19.在流场中，二元流函数对坐标的导数与渗流分速度的关系式为_ _。
20.在各向同性的含水层中流线与等水头线_除奇点外处处正交_，故网格为_正交网格_。
3．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
4.地下水过水断面包括_空隙_和_固体颗粒_所占据的面积.渗透流速是_过水断面_上的平均速度，而实际速度是_空隙面积上__的平均速度。
在渗流中，水头一般是指测压管水头，不同数值的等水头面(线)永远不会相交。
5.在渗流场中，把大小等于_水头梯度值_，方向沿着_等水头面_的法线，并指向水头_降低_方向的矢量，称为水力坡度。水力坡度在空间直角坐标系中的三个分量分别为_ _、 _和_ _。
31.在均质各向同性的介质中，任何部位的流线和等水头线都正交。(×)
32.地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。(√)
33.潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。(√)
34.在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。(×)
27.沿流线的方向势函数逐渐减小，而同一条等势线上各处的流函数都相等。(×)
28.根据流函数和势函数的定义知，二者只是空间坐标的函数，因此可以说流函数和势函数只适用于稳定流场。(×)
29.在渗流场中，一般认为流线能起隔水边界作用，而等水头线能起透水边界的作用。(√)
30.在同一渗流场中，流线在某一特定点上有时候也可以相交。(√)
地下水向完整井的非稳定流运动
地下水向完整井的非稳定流运动研究有助 于深入了解地下水系统的动态变化，为地 下水资源的管理和保护提供科学依据。
它涉及到地下水在土壤、岩石等介质 中的流动规律，以及与地下水开采、 污染、自然流动等相关的实际问题。
研究目的和意义
研究目的
探讨地下水向完整井的非稳定流运动 规律，建立相应的数学模型，并开展 数值模拟和分析。
特点
完整井的边界条件简单，便于数学建模和数值模拟。在地下 水动力学中，完整井模型广泛应用于研究地下水向井的非稳 定流运动。
完整井的模型建立过程
01 确定研究区域和井的位置，明确研究目标。
02
根据实际地质和水文条件，选择合适的数学 模型和方程。
03
根据边界条件和初始条件，建立数学方程的 定解问题。
04
研究展望
需要进一步深入研究地下水向完整井 的非稳定流运动的机理和影响因素， 提高对其本质的认识。
需要加强地下水与地表水、土壤水等 水体的相互关系研究，以全面了解水 资源的循环和利用过程。
针对不同地区和不同条件的地下水系统，需 要开展更为细致和深入的实验和数值模拟研 究，以揭示其非稳定流运动的规律和特点。
07 结论与展望
研究结论
地下水向完整井的非稳定流运 动是一个复杂的过程，涉及到
多个物理和化学因素。
通过实验和数值模拟，我们发 现地下水位、渗透性、孔隙度 等因素对非稳定流运动有显著
影响。
在特定条件下，非稳定流运动 可能导致地下水污染或资源枯 竭等问题，需要引起重视。
针对不同地区和不同条件的地 下水系统，需要采取相应的管 理和保护措施，以保障地下水 资源的安全和可持续利用。
污染程度评估
评估地下水污染程度，了解污染物在地下水中的扩散和迁移情况。
水文地质学第8章
析：当 u 0.1 时，泰斯公式和雅各布公式计算结果误差
5% ；当 u 0.05 时，误差 2% ；当 u 0.01 时，误差
0.25% 。
例：有一凿于宽阔承压含水层中的完整井，井径0.305m，
出水量2700m3/d，含水层厚度M=30m，渗透系数
K=41m/d，弹性释水系数μ*= 0.00025，试求抽水4
小时，距井60m处的水位降深s。
解：根据题意满足泰斯公式应用条件，
r2 *
u
602 0.00025
1.1103
4Tt 4 41 30 4 24
查表W(u)=6.2363
s Q W (u)
2700
6.2363 1.0899 1.09(m)
4T
43.14 4130
)
dr
2KMr H
r
2KMdr(r
2H r 2
H r
)
H
因为单位时间的水头下降为 t
水柱体内的弹性释放水量应为
，则单位时间内单元含
V 2rdr * H
t
把Q1、Q2、V代入(1)式，化简后得：T
2H r 2
1 r
H r
* H
H r
Q
2T
r 2*
e 4Tt
据达西定律 Qr
2rT
H r
2T
Q
2T
r 2*
e 4Tt
Qr
r 2*
Qe 4Tt
当t一定时，通过各过水断面的流量随着距离r的减小而增大，
因为
时间配线法
（4-26）
利用式(4-26)可求出导压系数a和贮水系数
Theis Recovery analysis graph
4.1.6 定降深井流的计算
在侧向无限延伸的承压含水层中抽水，如果在整个抽水 期间保持井中水头hw或降深sw不变，那么抽水量Q将 随着抽水时间的延续而逐渐减少；除了抽水井本身以 外，含水层中任一点的水头H也将随着时间的延续而 逐渐降低。 当t →∞时，Q→0，s(r)→sw。一口顶盖密封住的自流井， 会保持原来水头。 在打开井盖的瞬间，水从井中溢出，水位迅速降低到井 口附近。 在一定时间内，自流井保持一定的水位，流量则逐渐减 少。
Q t 1 lg s lg W (u ) lg , lg 2 lg lg 4 T r u 4T
二式右端的第二项在同一次抽水试验中都是常数。因此， t 1 W (u ) s 曲线和 在双对数坐标系内，对于定流量抽水 u r2 Q 标准曲线在形状上是相同的，只是纵横坐标平移了 4 和 T 4T 距离而已。只要将二曲线重合，任选一匹配点，记下对应的 坐标值，代入(4-10)式（4-11）式即可确定有关参数。此法称 为降深-时间距离配线法。
• 天地不可一日无和气， • 人心不可一日无喜神。
4.1.5 利用Theis公式确定水文地质参数
Theis公式既可以用于水位预测，也可以用于求参数。 当含水层水文地质参数已知时可进行水位预测，也可预测 在允许降深条件下井的涌水量。 反之，可根据抽水试验资料来确定含水层的参数。这里 着重介绍下列几种求参数的方法： 1) 配线法 (1) 原理 对（4-11）和（4-10）式两端取对数：
(2)将s-lgt/r2曲线的直线部分延长，在零降深线上的截距 为(t/r2)=0.0092； (3)求直线斜率i。最好取和一个周期相对应的降深△s，这 就是斜率i。由此得i=△s=1.36； (4)代入有关公式进行计算：
地下水向完整井的非稳定运动PPT文档共38页
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❖ 知就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
地下水向完整井的非稳定运动
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
地下水动力学,稳定井流与非稳定井流
这上面是关于井流解析法的一些思考，在自然条件进行抽水时，采用何种方法应根据水文地质条件进行区别对待。
5结论
理论推导与实际算例表明文中提出的非稳定井流试验数据分析方法是可行的。与现有的方法相比较，具有：（1）不论稳定与非稳定井流的情况下均可以应用；(2）仅要求计算井损参数的情况下，可以不考虑非稳定流井函数的具体形式；（3）非线性指数不论是否已知的情况下均可以应用；（4）全部数据分析过程可以程序化，利用计算机完成全部计算过程等优点。
关键词：稳定井流；非稳定井流；泰斯公式；裘布依公式；井函数
1地下水动力学发展史
在18世纪中期开始，一些法国工程师和科学家的杰出成就，奠定了地下水渗流力学 的理论基础。这当中主要包括达西定律 、裘布依假设 、布西涅克斯潜水运动方程 。达西定律是法国工程师达西在解决城市给水问题时，根据均质砂中垂直水流实验结果，在1856年总结出线形渗流方程 ，即地下水的渗流速度v与水力梯降J成正比的线形关系；该线形渗流方程也就是著名的达西定律，它的建立是渗流力学诞生的标志。裘布依假设是法国工程师、水力学家裘布依针对缓变流动的潜水,于1863年提出用潜水位h代替侧压水头,这种处理方法使得同一剖面各点的渗透速度相等。得益于裘布依假设，达西定律在实际中被迅速推广，这也使得渗流力学得以迅速发展。布西涅克斯方程是在1904年法国数学力学家布西涅克斯在认为水是不可压缩的条件下，利用裘布依假设，给出潜水渗流运动的微分方程,这为非稳定流理论 的发展奠定了基础。他创造性地将坐标原点取在含水层底板上(以下坐标都是这种设置方法) ,这使得方程中的水位变量与潜水流厚度相等,这极大地方便了方程在实际中的应用。
4实用分析
在大部分地质报告，无论是抽水试验还是矿井涌水量预测，特别是通过抽水试验来求含水层参数，多数是采用稳定井流解析法。但是一些地质报告在采用这种方法是时却忽视对水问地质条件的分析，忽视当地是否存在稳定井流的可能性，似乎以为“稳定井流”是一种不受条件限制的、可以任意选用的计算方法，但是这是一种错误的观点。
5结论
理论推导与实际算例表明文中提出的非稳定井流试验数据分析方法是可行的。与现有的方法相比较，具有：（1）不论稳定与非稳定井流的情况下均可以应用；(2）仅要求计算井损参数的情况下，可以不考虑非稳定流井函数的具体形式；（3）非线性指数不论是否已知的情况下均可以应用；（4）全部数据分析过程可以程序化，利用计算机完成全部计算过程等优点。
关键词：稳定井流；非稳定井流；泰斯公式；裘布依公式；井函数
1地下水动力学发展史
在18世纪中期开始，一些法国工程师和科学家的杰出成就，奠定了地下水渗流力学 的理论基础。这当中主要包括达西定律 、裘布依假设 、布西涅克斯潜水运动方程 。达西定律是法国工程师达西在解决城市给水问题时，根据均质砂中垂直水流实验结果，在1856年总结出线形渗流方程 ，即地下水的渗流速度v与水力梯降J成正比的线形关系；该线形渗流方程也就是著名的达西定律，它的建立是渗流力学诞生的标志。裘布依假设是法国工程师、水力学家裘布依针对缓变流动的潜水,于1863年提出用潜水位h代替侧压水头,这种处理方法使得同一剖面各点的渗透速度相等。得益于裘布依假设，达西定律在实际中被迅速推广，这也使得渗流力学得以迅速发展。布西涅克斯方程是在1904年法国数学力学家布西涅克斯在认为水是不可压缩的条件下，利用裘布依假设，给出潜水渗流运动的微分方程,这为非稳定流理论 的发展奠定了基础。他创造性地将坐标原点取在含水层底板上(以下坐标都是这种设置方法) ,这使得方程中的水位变量与潜水流厚度相等,这极大地方便了方程在实际中的应用。
4实用分析
在大部分地质报告，无论是抽水试验还是矿井涌水量预测，特别是通过抽水试验来求含水层参数，多数是采用稳定井流解析法。但是一些地质报告在采用这种方法是时却忽视对水问地质条件的分析，忽视当地是否存在稳定井流的可能性，似乎以为“稳定井流”是一种不受条件限制的、可以任意选用的计算方法，但是这是一种错误的观点。
15第十五章 地下水向井的非稳定运动
一、承压含水层中的完整井流
（一）、定流量抽水时的Theis(泰斯公式)
一、承压含水层中的完整井流
（一）、定流量抽水时的Theis(泰斯公式)
2数学模型的建立 在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗，如图 后示，建立坐标轴，以井底为中心为原点坐标，井底板向右为r轴向。 假设抽水由t时刻至t+ t时刻时，井中水位变化为H 据水均衡原理（Qr+dr－Qr) · t=V入－V出＝ V贮……..(1) 又据高数知识：f(x+ x)=f(x)+f’(x) · x 所以，Qr+dr=Qr+Qr’ · ……………….. (2) dr
r 2* 4Tt
r 2 * 1 4T t 2
r 2 * 4Tt 1 0
r ti 4T
2*
所以，当r一定时，t＜ti时，断面的水头降速由小逐渐增大；当 t=ti(u=1)时，达到最大；当t＞ti时，下降速度又由大变小。 不同的断面拐点出现的时间ti不同。 拐点的降深：
一、承压含水层中的完整井流
（一）、定流量抽水时的Theis(泰斯公式) 2数学模型的建立
1 r H H 2 r r r T t
2 *
2 H 1 H * H t 0, 0 r r 2 r r T t 0r H ( r ,0) H 0 H H0 t0 H ( , t ) H 0 , r r H Q lim r r0 r 2T
)......... ......( 4)
T KM
由（4）求导得：
H Qr 2T r r r
一、承压含水层中的完整井流
水文地质学第8章-3
∂ 2 H 1 ∂H 把Q1、Q2、∆V代入(1)式，化简后得： T 2 + ∂r r ∂r
∂H 因为单位时间的水头下降为 ，则单位时间内单元含 ∂t 水柱体内的弹性释放水量应为 ∆V = 2πrdrµ * ∂H ∂t
∂H = µ* ∂t
2、泰斯公式的导出： 、泰斯公式的导出： 根据上述假定条件，建立数学模型：
∂ 2 H 1 ∂H ∂H µ* = T 2 + ∂r ∂t r ∂r H t =0 = H 0 H r →∞ = H 0 lim r
r
0
∂H Q = ∂r 2πT
t＞0 r ＞0 t = 0 r ＞0 t＞0 r ∞ t＞0
求解上述数学模型的思路：先将二阶偏微分方程变换为只 含一个变量的常微分方程，求出该微分方程的解，最后得 出计算公式---泰斯公式。
r 2µ * r 2µ * ≤ 0.01 或 t ≥ 25 1%，所以：在 的影响下，由 4Tt T
r 2µ* − 4Tt
于井径无限小的假设引起的相对误差不超过1%。
二、潜水完整井非稳定流公式----仿泰斯公式 潜水完整井非稳定流公式 仿泰斯公式 潜水向完整井的运动（如下图示），其潜水面 是一个随时间 不断变化的可动边界。即： （1）在潜水含水层中抽水，近井范围内具有三维流特征，要考 虑渗流速度的垂直分量； （2）含水层厚度是时间t及向径r的函数，因此T也是t和r的函数。 （3）在潜水含水层中抽水具有“滞后疏干”和“延迟补给”的 特点。 1、假定条件： 、假定条件： （1）含水层均质、等厚、隔水底板水平埋藏，含水层侧向无界； （2）垂向无水量交换，抽水前潜水面水平； （3）当抽水降深与含水层厚度比不大时，将近井范围内三维流 简化为二维流。
第五章 地下水向完整井的非稳定运动
第五章 地下水向完整井的非稳定运动一、填空题1. 泰斯公式的适用条件中含水层为_均指各向同性且等厚水平 的承压含水层；天然水力坡度近为零；抽水井为 完整井 、井径无限小，井流量为定流量；水流为非稳定达西流。
2. 在非稳定井流中，通过任一断面的流量_不相等 ，而沿着地下水流向流量是_逐渐增大 。
3. 在泰斯井流中，渗流速度随时间的增加而_增大 ，当01.04*2=Ttr μ时渗流速度就非常接近_稳定渗透速度_。
4. 定降深井流公式反映了抽水期间井中水位降深不变，而井外水位_随时间 逐渐减小 ，井流量随时间延续而_ 减小 的井流规律。
5. 潜水非稳定井流与承压井流比较，主要不同点有三点：⑴导水系数是_随距离和时间变化 ；⑵当降深较大时垂向分速度不可忽略；⑶从含水层中抽出的水量主要来自_含水层的重力疏干 。
6. 博尔顿第一模型主要是考虑了_井附近流速的垂直分量 ；第二模型主要考虑了_迟后排水 。
二、判断题1. 根据泰斯井流条件可知，抽取的地下水完全是消耗含水层的弹性贮量。
(√)2. 在非稳定井流中，沿流向断面流量逐渐增大，因为沿途不断得到弹性释放量的补给，或者是由于沿流向水力坡度不断增大的缘故。
(×)3. 泰斯井流的后期任一点的渗透速度时时都相等。
(×)4.当泰斯公式简化为雅可布公式时，则表明井流内各点的渗透速度已由不稳定而转变为稳定。
(×)5. 在进行非稳定流抽水时，无论井流量如何变化，都可将其概化成阶梯形流量后，再使用定流量的泰斯公式计算。
(√)6. 在相同条件下，越流系统井流的水位下降速度小于泰斯井流的水位下降速度。
(√)7. 泰斯公式能够直接用于潜水非稳定井流的计算。
(×)8. 在无越流补给的无限潜水层中进行抽水试验时，早期的水量主要来自含水层的弹性释放量，而后期的抽水主要来自疏干量。
(√)9. 泰斯公式既可用于计算抽水井影响范围内的水位降深，也可用来计算含水层的水文地质参数。
完整井附近地下水非稳定运动的一种通解
水 井是 最 常见 的集水 建筑 物 。在地 下水 开发 利 用 中 ，无论 是水 井 的结构 设计 和合 理布 局 ，还 是 含 水 层水 文地 质参 数 的确定 等方 面 ，都 需要 分析 在不 同的开采 条 件下水 井 附近含水 层 中地 下水运 动 的状
况 ，即需 要进 行地 下水 动力 学计 算 。一 般来 说 ，定
出现 。实 际上很 多 生 产 井 的 流量 是 季 节 性 变化 的 。
定 流量 抽水 引起 的水 井 附近地 下水 位 降深值 ，可用 以下修 改后 的 Ｔ ｅ 公 式 来计 算 。 ｈｉ ｓ
ｓｒ （， ＝ ｖ ） Ｉ（ （） ２
如 农用 水井 在 每 年 的灌 溉季 节 （ ３—６月 ）抽 水 量 大 ，非 灌溉 季节 的抽水 量 小 。工业上 抽水 也有 类似 情 况 ，抽 水 量常 随实 际需水 量 而变化 。在 这种 水井 流 量随 时间变 化 的情况 下 ，按传 统 的方法 ，首 先用 阶梯 形折 线近 似代 替水 井原来 的流量过 程线 ，然 后
始厚度 。
把其中每一 阶梯视为定流量 ，使用 Ｔ ｉ 公式通过 ｈｓ ｅ
叠加来 计 算抽水 流 量变 化时水 井 附近 区域地 下水 位
降深值 ¨ ０ 。这种传统方法 ，由于事先需要对水井 Ｊ 流量过 程线 进行 转化 ，因此不 仅操作 过程 中的人 为
性 较大 ，而且计算 结 果也有 一定 的误 差 。在此 以上 述 情况为 背 景 ，利 用 定 流量 抽 水 时 的 Ｔ ｅ ｈｉ 式 ， ｓ公 推导 出 了变 流量抽 水 时水 井 附近地 下水 非稳 定 流计
井附近含水层 中地下水非稳定运 动的一种通解 。并 通过两个算例 ，验证 了该通解的可靠性和实用性 。
地下水向完整井的非稳定运动
4 地下水向完整井的非稳定运动要点：本章主要介绍地下水非稳定井流的有关公式及应用。
非稳定井流公式主要包括承压井流泰斯（Theis ）公式、雅柯布（Jacob ）公式、流量呈阶梯状变化时计算公式、恢复水位公式、定降深公式、不同条件下的越流公式以及无外界补给的潜水井流的博尔顿（ Boulton ）及纽曼（Neuman ）公式。
上述可以用于相应条件下的动态预报，以及利用抽水试验资料求含水层的水文地质参数等。
本章是全书重点之一。
要求学生掌握各公式及其适用条件，并能用来分析解决实际问题；掌握如何用抽水试验资料确定水文地质参数的方法。
4.1 无限分布的承压完整井流本节主要介绍泰斯公式及其求参数方法，如表4—1所示。
此外介绍均质各向异性岩层式中：y x T T T *称为等效导水系数；y x T T ,—分别为长、短轴主渗透方向上的导水系数；)(n u W —泰斯井函数；)4/(2*t T r u n n ，式中的T n 为与x （长）轴成)(n 夹角方向上的导水系数，其值为： )(sin )(cos 22n n xn T T（4-2） 式中：θ—第一条观测线（即第一观测孔与抽水井的联线）与x 轴（长轴方向）的夹角。
注：表中（W（u））、〔u〕、（s）、（t）等为配合点的坐标值;t0，P0，（t/r2）0为直线在相应横轴上的截距；t s、r s、、（t/r2）为直线在纵轴上截距为s0时的对应横坐标值，i为直线的斜率，s A、t A为曲线上任一点坐标值。
如图4-1(b)所示：a n —第n 条观测线与第一观测线的夹角；22222*sin )(sin )(cos cos )(n n n n v y x b b T T T T (4-3) n n T T b 1;由212T T b 和313T Tb 联立求解有： 3222233222232sin )1(2sin )1(sin )1(sin )1(22 b b b b tg （4-4） *2**T b a r T T a b T T b a T ss n n s s y s s x ；；s s b a 、—分别为椭圆长短主轴的长度。
地下水动力学-第五讲
*
13
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
（2）长时间抽水资料确定μ *1、μ *2、K1、K2 1）相邻为定水头函水层（以第一种情况为例） 配线关系（降深-时间配线）
r 2 μ* 1 Q lg s lg t lg W (u, ) lg lg lg 4T u 4πT
* m1 μ1 t 5 K1
和
m2 μ* 2 t 10 K2
住含水层的降深近似公式
Q r s(r,t ) W (u3 , ) 4πT B1
式中： W(u3,r/B1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；
* * r 2(μ* μ1 / 3 2 ) u3 4Tt
市政系水资源与水工研究所
Q s (r,t ) W (u1 , ) 4πT
1 * 1 * r (μ μ1 2 ) 3 3 u1 4Tt
2 *
αr
1 1 2 2 B1 B2
9
市政系水资源与水工研究所
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
b）两相邻层为隔水层 当
* m1 μ1 和 m2 μ* 2 t 10 t 10 K1 K2
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章） 三、考虑弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流
前述在研究越流补给时忽略了弱透水含水层的弹性释水补给，当弱 透水层较厚时，这种补给量是可观的，不能忽略不计。 （一）模型 1、物理模型、基本假设与数学模型 （1）物理模型 1960年，M. S. Hantush提出的三层结构模型，根据弱透水层弹性 释水与相邻含水层关系分三种情况进行了研究，如图4-16所示。 1）与两弱透水相邻的越流含水层为定水头含水层； 2）与两弱透水层相邻为隔水层； 3）上弱透水含水层与定水头含水层相邻，下弱透水含水层与隔水层 相邻。
13
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
（2）长时间抽水资料确定μ *1、μ *2、K1、K2 1）相邻为定水头函水层（以第一种情况为例） 配线关系（降深-时间配线）
r 2 μ* 1 Q lg s lg t lg W (u, ) lg lg lg 4T u 4πT
* m1 μ1 t 5 K1
和
m2 μ* 2 t 10 K2
住含水层的降深近似公式
Q r s(r,t ) W (u3 , ) 4πT B1
式中： W(u3,r/B1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；
* * r 2(μ* μ1 / 3 2 ) u3 4Tt
市政系水资源与水工研究所
Q s (r,t ) W (u1 , ) 4πT
1 * 1 * r (μ μ1 2 ) 3 3 u1 4Tt
2 *
αr
1 1 2 2 B1 B2
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地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
b）两相邻层为隔水层 当
* m1 μ1 和 m2 μ* 2 t 10 t 10 K1 K2
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章） 三、考虑弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流
前述在研究越流补给时忽略了弱透水含水层的弹性释水补给，当弱 透水层较厚时，这种补给量是可观的，不能忽略不计。 （一）模型 1、物理模型、基本假设与数学模型 （1）物理模型 1960年，M. S. Hantush提出的三层结构模型，根据弱透水层弹性 释水与相邻含水层关系分三种情况进行了研究，如图4-16所示。 1）与两弱透水相邻的越流含水层为定水头含水层； 2）与两弱透水层相邻为隔水层； 3）上弱透水含水层与定水头含水层相邻，下弱透水含水层与隔水层 相邻。
地下水动力学习题
《地下水动力学》习题集第1章 渗流理论基础习题1-1 渗流的基本概念一、填空题1. 地下水动力学是研究地下水在 、 和 中运动规律的科学。
通常把 称为多孔介质，而其中的岩石颗粒称为 。
多孔介质的特点是 、 、 和 。
2. 地下水在多孔介质中存在的主要形式有 、 、 、 和 ，而地下水动力学主要研究 的运动规律。
3. 在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是 ，但对贮水来说却是 。
4. 假想水流的 、 、 以及 都与真实水流相同，假想水流充满 。
5. 地下水过水断面包括 和 所占据的面积。
渗流速度是 上的平均速度，而实际速度是 的平均速度。
6. 在渗流中，水头一般是指 ，不同数值的等水头面（线）永远 。
7. 在渗流场中，把大小等于 ，方向沿着 的法线，并指向水头 方向的矢量，称为水力坡度。
水力坡度在空间直角坐标系中的3个分量分别为 、 和 。
8. 渗流运动要素包括 、 、 和 等。
9. 根据地下水渗透速度 与 关系，将地下水运动分为一维、一维和三维运动。
二、判断及选择题10. 地下水在多孔介质中运动，因此可以说多孔介质就是含水层。
（ ）11. 地下水运动时的有效孔隙度等于排水（贮水）时的有效孔隙度。
（ ）12. 对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。
（ ）13. 贮水率)(βαρμn g s +=也适用于潜水含水层。
（ ）14. 贮水率只适用于三维流微分方程。
（ ）15. 贮水系数既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。
（ ）16. 在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
（ ）17. 潜水含水层的给水度就是贮水系数。
（ ）18. 在其他条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中，在补给期时，给水度μ大，水位上升大；μ小，水位上升小。
在蒸发期时，μ大，水位下降大；μ小，水位下降小。
（）19. 决定地下水流向的是（）。
（1）压力的大小；（2）位置的高低；（3）水头的大小。
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此时，潜水流厚度可近似地用 H m ， 来代替。于是承压水井公式中的2Ms用 H H 代替，则 有： 2 Q r 2 2 H0 H W (u ), u (T KH m ) 2 K 4T t (2)可采用修正降深值，直接利用Theis公式：
2 0 2
1 (H0 H ) 2
s e (t ) 1
式中，μ为给水度，α为一经验系数。
(t ) 1与t-τ的关系如图 （a）迟后疏干排水量 s e 4-18所示，符合一般经验。 （b）在τ时刻以后，单位水平面积含水层内降深为一个单 位时，迟后重力排水的总体积为：
( t ) e dt
4.4.1 考虑迟后疏干的Boulton模型 1) 假设条件及井流状态分析 Boulton模型建立的水文地质概念模型： （1）均质各向同性、隔水底板水平的无限延伸的含水层； （2）初始自由水面水平； （3）完整井，井径无限小，降深s <<Ho (潜水流初始厚度) 的定流量抽水； （4）水流服从Darcy定律； （5）抽水时，水位下降，含水层中的水不能瞬时排出，存 在着迟后现象。
它等于含水层的给水度。因此，在水量均衡上没有矛盾，符 合实际，假设是合理的。
（c）在τ和t区间迟后排水总量为：
( t ) ( t ) s e dt s [1 e ] t
由上式可了解α的意义。 若α大，则τ到t时间内排出的水量大，即迟后性小；或者说， 1/α小，迟后性小。因此，称1/α为延迟指数。 2）数学模型及其解 如果只考虑贮存水的释放，不考虑迟后重力排水，并假设 降深很小（s H。）值保持不变，则潜水非稳定径向运动的 偏微分方程可写为： 2 s 1 s s T( 2 )
潜水面虽然下降了，但潜水面以上的非饱和带内的水继 续向下不断地补给潜水。 因此，测出的给水度在抽水期间是以一个递减的速率逐 渐增大的。只有抽水时间足够长时，给水度才实际上 趋于一个常数值。 承压水井流则不同，抽出的水来自含水层贮存量的释放， 接近于瞬时完成，贮水系数是常数。 到目前为止，还没有同时考虑上述三种情况的潜水井 流公式。
一般对潜水井流的处理方法: (1)在一定条件下，也可将承压水完整井流公式应 用于潜水完整井流的近似计算。 如果满足§4-1前面的四个假设条件，条件(5)虽然不 同，但当抽水相当长时间以后，迟后排水现象已 不明显，可近似地认为已满足条件(5)。 因此，潜水完整井在降深不大的情况下，即s≤0.1H0， H0为抽水前潜水流的厚度，可用承压水井流公式 作近似计算。
第二个阶段：降深-时间曲线的斜率减小，明显地偏离
Theis曲线，有的甚至出现短时间的假稳定。它反映疏干排水 的作用，好象含水层得到了补给，使水位下降速度明显减缓。 含水层的反应类似于一个受到越流补给的承压含水层。但降 落漏斗仍以缓慢速度扩展着。 第三个阶段：这个阶段的降深一时间曲线又与Theis曲线
第四章 地下水向完整井的非稳定运动
MULTIPLE AQUIFERS
Distorted scale!!
肖 长 来, 水工203，电话88502287 吉林大学环境与资源学院
1
2009-11
第四章 地下水向完整井的非稳定运动
• §4-1 承压含水层中的完整井流 • §4-2 有越流补给的完整井流 • §4-3 有弱透水层弹性释水补给和越流补给 的完整井流 • §4-4 潜水完整井流
s2 Q s s W (u ) 2 H 0 4 T
s 为修正降深, m； 式中， s为实际观测降深, m； H0为潜水流初始厚 4Tt
有关计算潜水完整井流的方法主要有：
① 考虑井附近流速垂直分量的Boulton第一潜水井流 模型； ② 考虑迟后排水的Boulton第二潜水井流模型； ③ 既考虑流速的垂直分量又考虑潜水含水层弹性释 水的Neuman模型。 这里简单地介绍后两种模型。
r r r t
如果考虑迟后重力排水，则方程式的右边还要加上一项， 即在t时刻单位水平面积含水层中单位时间内迟后重力排水的 体积。
• 天地不可一日无和气， • 人心不可一日无喜神。
§4-4 潜水完整井流
潜水井流与承压水井流不同，它的上界面是一个随时间 而变化的浸润曲面(自由面)。 其运动与承压含水层中的情况不同, 体现在下列几点： (1)潜水井流的导水系数T= Kh随距离r和时间t而变化，承压 水井流T=KM，和r，t无关； (2)当潜水井流降深较大时，垂向分速度不可忽略，在井附 近为三维流。水平含水层中的承压水井流垂向分速度可忽 略，一般为二维流或可近似地当二维流来处理； (3)从潜水井抽出的水主要来自含水层的重力疏干。重力疏 干不能瞬时完成，而是逐渐被排放出来，因而出现明显地迟 后于水位下降的现象。
重合。说明重力排水已跟得上水位下降，迟后疏干影响逐渐
变小，可以忽略不计。抽水量来自重力排水，降落漏斗扩展 速度增大。此时，给水度所起的作用相当于承压含水层的贮
水系数。决定于含水层的条件，这一阶段可以从抽水后的几
分钟到几天后开始。
Boulton根据抽水过程中降深一时间曲线的特征提出了考 虑迟后疏干的计算方法。 假设：抽水开始后的时间τ和τ+Δτ之间潜水面下降了Δs，此 时含水层排出水量由两部分组成： （1）弹性释放出的水量：水位下降Δs时，单位面积含水层 的弹性释水量为：μΔs · 1 （2）迟后疏干排水量：降深Δs时，单位水平面积含水层于t 时刻。（t>τ）排出的重力水量假设为：
分析潜水完整井抽水时的降深-时间曲线，可以明显地看 到三个阶段：
第一个阶段：
抽水早期，降深-时间曲线与承压水完整井抽水时的 Theis曲线一致，主要表现为潜水位下降。
但含水介质不能立即通过重力排水把其中的水排出， 而只是由于压力降低引起水的瞬时释放，即弹性释水。 含水层的反应和一个贮水系数小的承压含水层相似。 一般来说，水流主要是水平运动。