地下水向完整井的非稳定运动
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10第六章第三节地下水向完整井的非稳定流运动
配线法的优点：可以充分利用抽水试验得全部观测资料， 避免个别资料的偶然误差，提高计算的精度。
结论：拟合时尽可能使用中部弯曲的线段。
上式中除s、t在抽水过程为变数外，其余均可认为是常数， 这样，可以把该公式变换为：
式中 截距为：
斜率为：
由截距可解压力传导系数
由斜率可求导水系数T
导水系数T—表示含水层的导水性能。
压力导水系数a---表示含水层中水位传导速度的参数
储水系数或弹性给水度 指承压水头下降1m时，从单位面积含水层(即面积为单位面积，高度为含水层厚度的柱体)中释放出来的弹性水量。
---含水层体积的弹性系数
潜水
潜水
承压水
承压水
§6.4.1、承压含水层中的完整井流
对于定流量抽水
所以Theis公式的近似表达式为：
同理，潜水井的非稳定流Jacob公式为：
二 对Theis公式和与之有关的几个问题的讨论
1. Theis公式反映的降深变化规律
由于W（u）与u成正比，所以W（u） 与1/u成正比，从而，S与t和r的关系， 可作图并参考表进行如下讨论：
（1）当t不变时（同一时刻），径向距离r增大（1/u减小， W(u)减小），降深s变少，当r→∞时，s→0。
④ 任取一配点（在曲线上或曲线外均可），记下匹配点 的对应坐标，代入相应的公式求参数。 2. Jaco Nhomakorabea直线图解法
当u≤0.05时，可以用Jacob公式求参数
配线法的缺点：（1）抽水初期实际曲线常与标准曲线不符； （2）当抽水后期曲线比较平缓时，同标准曲线不容 易拟合准确，常带有人为误差。
2. Theis公式反映的水头下降速度的变化规律
近处水头下降速度大，远处下降速度小
结论：拟合时尽可能使用中部弯曲的线段。
上式中除s、t在抽水过程为变数外，其余均可认为是常数， 这样，可以把该公式变换为：
式中 截距为：
斜率为：
由截距可解压力传导系数
由斜率可求导水系数T
导水系数T—表示含水层的导水性能。
压力导水系数a---表示含水层中水位传导速度的参数
储水系数或弹性给水度 指承压水头下降1m时，从单位面积含水层(即面积为单位面积，高度为含水层厚度的柱体)中释放出来的弹性水量。
---含水层体积的弹性系数
潜水
潜水
承压水
承压水
§6.4.1、承压含水层中的完整井流
对于定流量抽水
所以Theis公式的近似表达式为：
同理，潜水井的非稳定流Jacob公式为：
二 对Theis公式和与之有关的几个问题的讨论
1. Theis公式反映的降深变化规律
由于W（u）与u成正比，所以W（u） 与1/u成正比，从而，S与t和r的关系， 可作图并参考表进行如下讨论：
（1）当t不变时（同一时刻），径向距离r增大（1/u减小， W(u)减小），降深s变少，当r→∞时，s→0。
④ 任取一配点（在曲线上或曲线外均可），记下匹配点 的对应坐标，代入相应的公式求参数。 2. Jaco Nhomakorabea直线图解法
当u≤0.05时，可以用Jacob公式求参数
配线法的缺点：（1）抽水初期实际曲线常与标准曲线不符； （2）当抽水后期曲线比较平缓时，同标准曲线不容 易拟合准确，常带有人为误差。
2. Theis公式反映的水头下降速度的变化规律
近处水头下降速度大，远处下降速度小
《地下水动力学》课程总结
应用
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
4-1承压含水层中的完整井流免费全文阅读
8
9
例1 一侧向无限分布的承压含水层，其T=2000m2/d,
贮水系数μ*=2×10-4，有一口完整生产井以抽水量
Q=3140m3/d进行开采。 试计算距井300m处，开采10、20、30d时的降深。 解：采用泰斯公式计算，
10
二、流量变化时的计算公式
泰斯公式的适用条件之一是定量抽水，但实际工作中经 常遇到的问题是需水量即流量是变化的，在此情况下如何应用 Theis公式？
15
解：按圆形布置的群井，可近似看作一个大半径的井，其半径为 r0=1000m,抽水时间t=365d,据Theis公式有：
16
四、Theis公式讨论
（1）Theis公式反映的降深变化规律 （首先看u～W(u)的关系图）
17
1.当t一定时，s－r关系 r增大→u增大→W（u）减小→s减小，这与实际情况符，反映了 同一时刻，随着距井中心的距离的增大，降深减小，在无穷远处 降深为零. 2.当r一定时，同一断面s－t关系 t增大→u减小→W（u）增大→s增大，说明在同一过水面，s随时 间的延长而增大，反映了无补给时消耗贮存量的水动态变化规律
23
（4）地下水的渗透速度
24
（5）关于影响半径问题
说明在无补给、平面无限延伸的承压含水层中，随着抽水时 间的增大，漏斗增大，向水井汇流面积增大，附近水位出现 似稳定状态, 但并不说明水头降落已达稳定。
25
（6）关于假设rw→0和天然水力坡度等于0的问题
e-0.01 =0.99
假定的目的是为了使
③用一个观测孔数据，即r是定值。
31
Ｍ
32
（2）降深～距离（s～r2）配线法 当有三个以上观测孔时，可以取t为定值，在双对数坐标纸上
9
例1 一侧向无限分布的承压含水层，其T=2000m2/d,
贮水系数μ*=2×10-4，有一口完整生产井以抽水量
Q=3140m3/d进行开采。 试计算距井300m处，开采10、20、30d时的降深。 解：采用泰斯公式计算，
10
二、流量变化时的计算公式
泰斯公式的适用条件之一是定量抽水，但实际工作中经 常遇到的问题是需水量即流量是变化的，在此情况下如何应用 Theis公式？
15
解：按圆形布置的群井，可近似看作一个大半径的井，其半径为 r0=1000m,抽水时间t=365d,据Theis公式有：
16
四、Theis公式讨论
（1）Theis公式反映的降深变化规律 （首先看u～W(u)的关系图）
17
1.当t一定时，s－r关系 r增大→u增大→W（u）减小→s减小，这与实际情况符，反映了 同一时刻，随着距井中心的距离的增大，降深减小，在无穷远处 降深为零. 2.当r一定时，同一断面s－t关系 t增大→u减小→W（u）增大→s增大，说明在同一过水面，s随时 间的延长而增大，反映了无补给时消耗贮存量的水动态变化规律
23
（4）地下水的渗透速度
24
（5）关于影响半径问题
说明在无补给、平面无限延伸的承压含水层中，随着抽水时 间的增大，漏斗增大，向水井汇流面积增大，附近水位出现 似稳定状态, 但并不说明水头降落已达稳定。
25
（6）关于假设rw→0和天然水力坡度等于0的问题
e-0.01 =0.99
假定的目的是为了使
③用一个观测孔数据，即r是定值。
31
Ｍ
32
（2）降深～距离（s～r2）配线法 当有三个以上观测孔时，可以取t为定值，在双对数坐标纸上
地下水动力学习题及答案(1)
17.等效含水层的单宽流量q与各分层单宽流量qi的关系：当水流平行界面时_ _，当水流垂直于界面时_ _。
18.在同一条流线上其流函数等于_常数_，单宽流量等于_零_，流函数的量纲为__ __。
19.在流场中，二元流函数对坐标的导数与渗流分速度的关系式为_ _。
20.在各向同性的含水层中流线与等水头线_除奇点外处处正交_，故网格为_正交网格_。
3．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
4.地下水过水断面包括_空隙_和_固体颗粒_所占据的面积.渗透流速是_过水断面_上的平均速度，而实际速度是_空隙面积上__的平均速度。
在渗流中，水头一般是指测压管水头，不同数值的等水头面(线)永远不会相交。
5.在渗流场中，把大小等于_水头梯度值_，方向沿着_等水头面_的法线，并指向水头_降低_方向的矢量，称为水力坡度。水力坡度在空间直角坐标系中的三个分量分别为_ _、 _和_ _。
31.在均质各向同性的介质中，任何部位的流线和等水头线都正交。(×)
32.地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。(√)
33.潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。(√)
34.在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。(×)
27.沿流线的方向势函数逐渐减小，而同一条等势线上各处的流函数都相等。(×)
28.根据流函数和势函数的定义知，二者只是空间坐标的函数，因此可以说流函数和势函数只适用于稳定流场。(×)
29.在渗流场中，一般认为流线能起隔水边界作用，而等水头线能起透水边界的作用。(√)
30.在同一渗流场中，流线在某一特定点上有时候也可以相交。(√)
18.在同一条流线上其流函数等于_常数_，单宽流量等于_零_，流函数的量纲为__ __。
19.在流场中，二元流函数对坐标的导数与渗流分速度的关系式为_ _。
20.在各向同性的含水层中流线与等水头线_除奇点外处处正交_，故网格为_正交网格_。
3．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
4.地下水过水断面包括_空隙_和_固体颗粒_所占据的面积.渗透流速是_过水断面_上的平均速度，而实际速度是_空隙面积上__的平均速度。
在渗流中，水头一般是指测压管水头，不同数值的等水头面(线)永远不会相交。
5.在渗流场中，把大小等于_水头梯度值_，方向沿着_等水头面_的法线，并指向水头_降低_方向的矢量，称为水力坡度。水力坡度在空间直角坐标系中的三个分量分别为_ _、 _和_ _。
31.在均质各向同性的介质中，任何部位的流线和等水头线都正交。(×)
32.地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。(√)
33.潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。(√)
34.在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。(×)
27.沿流线的方向势函数逐渐减小，而同一条等势线上各处的流函数都相等。(×)
28.根据流函数和势函数的定义知，二者只是空间坐标的函数，因此可以说流函数和势函数只适用于稳定流场。(×)
29.在渗流场中，一般认为流线能起隔水边界作用，而等水头线能起透水边界的作用。(√)
30.在同一渗流场中，流线在某一特定点上有时候也可以相交。(√)
地下水向完整井的非稳定流运动
地下水向完整井的非稳定流运动研究有助 于深入了解地下水系统的动态变化，为地 下水资源的管理和保护提供科学依据。
它涉及到地下水在土壤、岩石等介质 中的流动规律，以及与地下水开采、 污染、自然流动等相关的实际问题。
研究目的和意义
研究目的
探讨地下水向完整井的非稳定流运动 规律，建立相应的数学模型，并开展 数值模拟和分析。
特点
完整井的边界条件简单，便于数学建模和数值模拟。在地下 水动力学中，完整井模型广泛应用于研究地下水向井的非稳 定流运动。
完整井的模型建立过程
01 确定研究区域和井的位置，明确研究目标。
02
根据实际地质和水文条件，选择合适的数学 模型和方程。
03
根据边界条件和初始条件，建立数学方程的 定解问题。
04
研究展望
需要进一步深入研究地下水向完整井 的非稳定流运动的机理和影响因素， 提高对其本质的认识。
需要加强地下水与地表水、土壤水等 水体的相互关系研究，以全面了解水 资源的循环和利用过程。
针对不同地区和不同条件的地下水系统，需 要开展更为细致和深入的实验和数值模拟研 究，以揭示其非稳定流运动的规律和特点。
07 结论与展望
研究结论
地下水向完整井的非稳定流运 动是一个复杂的过程，涉及到
多个物理和化学因素。
通过实验和数值模拟，我们发 现地下水位、渗透性、孔隙度 等因素对非稳定流运动有显著
影响。
在特定条件下，非稳定流运动 可能导致地下水污染或资源枯 竭等问题，需要引起重视。
针对不同地区和不同条件的地 下水系统，需要采取相应的管 理和保护措施，以保障地下水 资源的安全和可持续利用。
污染程度评估
评估地下水污染程度，了解污染物在地下水中的扩散和迁移情况。
地下水动力学(周志芳,王锦国编著)PPT模板
稳定流动
0 3 3.1.3非线性流情况下的地下水向完 整井的稳定运动
0 4 3.1.4越流含水层中地下水向承压水 井的稳定流动
0 5 3.1.5地下水向干扰井群的稳定运动
0 6 3.1.6井损与有效井径及其确定方法
第三章井附近 的地下水运动
3.2地下水向完整井的非稳定运 动
3.2.2有越流 补给的完整 井流
3.2.1承压含 水层中的完 整井流
3.2.3潜水完 整井流的 Boulton模型
第三章井附近 的地下水运动
3.3地下水向边界附近完整井的运 动
3.3.1镜像法原 理及直线边界
附近的井流
01
3 . 3 . 3 条 形 03 含水层中的
井流
02 3 . 3 . 2 扇 形 含水层中的 井流
第三章井附近的地下水运动
第一章地下水 运动基础
第一章地下水运动基础
1.1地下水运动的基本 概念
1.3流体运动的描述方 法
1.5地下水运动的控制 方程
1.2渗流基本定律
1.4流网
1.6地下水运动的数学 模型及其求解方法
第一章地下水运动基础
1.1地下水运动的基本概念
A
1.1.1多孔 介质中的
地下水
B
1.1.2地下 水和多孔 介质的性
第三章井附近 的地下水运动
第三章井附近的地 下水运动
3.1地下水向完整井的稳定运动 3.2地下水向完整井的非稳定运动 3.3地下水向边界附近完整井的运动 3.4地下水向不完整井的运动
第三章井附近 的地下水运动
3.1地下水向完整井的稳定运 动
0 1 3.1.1概述 0 2 3.1.2地下水向承压水井和潜水井的
2.1河渠间地下水的稳定运 动
0 3 3.1.3非线性流情况下的地下水向完 整井的稳定运动
0 4 3.1.4越流含水层中地下水向承压水 井的稳定流动
0 5 3.1.5地下水向干扰井群的稳定运动
0 6 3.1.6井损与有效井径及其确定方法
第三章井附近 的地下水运动
3.2地下水向完整井的非稳定运 动
3.2.2有越流 补给的完整 井流
3.2.1承压含 水层中的完 整井流
3.2.3潜水完 整井流的 Boulton模型
第三章井附近 的地下水运动
3.3地下水向边界附近完整井的运 动
3.3.1镜像法原 理及直线边界
附近的井流
01
3 . 3 . 3 条 形 03 含水层中的
井流
02 3 . 3 . 2 扇 形 含水层中的 井流
第三章井附近的地下水运动
第一章地下水 运动基础
第一章地下水运动基础
1.1地下水运动的基本 概念
1.3流体运动的描述方 法
1.5地下水运动的控制 方程
1.2渗流基本定律
1.4流网
1.6地下水运动的数学 模型及其求解方法
第一章地下水运动基础
1.1地下水运动的基本概念
A
1.1.1多孔 介质中的
地下水
B
1.1.2地下 水和多孔 介质的性
第三章井附近 的地下水运动
第三章井附近的地 下水运动
3.1地下水向完整井的稳定运动 3.2地下水向完整井的非稳定运动 3.3地下水向边界附近完整井的运动 3.4地下水向不完整井的运动
第三章井附近 的地下水运动
3.1地下水向完整井的稳定运 动
0 1 3.1.1概述 0 2 3.1.2地下水向承压水井和潜水井的
2.1河渠间地下水的稳定运 动
时间配线法
（4-26）
利用式(4-26)可求出导压系数a和贮水系数
Theis Recovery analysis graph
4.1.6 定降深井流的计算
在侧向无限延伸的承压含水层中抽水，如果在整个抽水 期间保持井中水头hw或降深sw不变，那么抽水量Q将 随着抽水时间的延续而逐渐减少；除了抽水井本身以 外，含水层中任一点的水头H也将随着时间的延续而 逐渐降低。 当t →∞时，Q→0，s(r)→sw。一口顶盖密封住的自流井， 会保持原来水头。 在打开井盖的瞬间，水从井中溢出，水位迅速降低到井 口附近。 在一定时间内，自流井保持一定的水位，流量则逐渐减 少。
Q t 1 lg s lg W (u ) lg , lg 2 lg lg 4 T r u 4T
二式右端的第二项在同一次抽水试验中都是常数。因此， t 1 W (u ) s 曲线和 在双对数坐标系内，对于定流量抽水 u r2 Q 标准曲线在形状上是相同的，只是纵横坐标平移了 4 和 T 4T 距离而已。只要将二曲线重合，任选一匹配点，记下对应的 坐标值，代入(4-10)式（4-11）式即可确定有关参数。此法称 为降深-时间距离配线法。
• 天地不可一日无和气， • 人心不可一日无喜神。
4.1.5 利用Theis公式确定水文地质参数
Theis公式既可以用于水位预测，也可以用于求参数。 当含水层水文地质参数已知时可进行水位预测，也可预测 在允许降深条件下井的涌水量。 反之，可根据抽水试验资料来确定含水层的参数。这里 着重介绍下列几种求参数的方法： 1) 配线法 (1) 原理 对（4-11）和（4-10）式两端取对数：
(2)将s-lgt/r2曲线的直线部分延长，在零降深线上的截距 为(t/r2)=0.0092； (3)求直线斜率i。最好取和一个周期相对应的降深△s，这 就是斜率i。由此得i=△s=1.36； (4)代入有关公式进行计算：
地下水动力学,稳定井流与非稳定井流
这上面是关于井流解析法的一些思考，在自然条件进行抽水时，采用何种方法应根据水文地质条件进行区别对待。
5结论
理论推导与实际算例表明文中提出的非稳定井流试验数据分析方法是可行的。与现有的方法相比较，具有：（1）不论稳定与非稳定井流的情况下均可以应用；(2）仅要求计算井损参数的情况下，可以不考虑非稳定流井函数的具体形式；（3）非线性指数不论是否已知的情况下均可以应用；（4）全部数据分析过程可以程序化，利用计算机完成全部计算过程等优点。
关键词：稳定井流；非稳定井流；泰斯公式；裘布依公式；井函数
1地下水动力学发展史
在18世纪中期开始，一些法国工程师和科学家的杰出成就，奠定了地下水渗流力学 的理论基础。这当中主要包括达西定律 、裘布依假设 、布西涅克斯潜水运动方程 。达西定律是法国工程师达西在解决城市给水问题时，根据均质砂中垂直水流实验结果，在1856年总结出线形渗流方程 ，即地下水的渗流速度v与水力梯降J成正比的线形关系；该线形渗流方程也就是著名的达西定律，它的建立是渗流力学诞生的标志。裘布依假设是法国工程师、水力学家裘布依针对缓变流动的潜水,于1863年提出用潜水位h代替侧压水头,这种处理方法使得同一剖面各点的渗透速度相等。得益于裘布依假设，达西定律在实际中被迅速推广，这也使得渗流力学得以迅速发展。布西涅克斯方程是在1904年法国数学力学家布西涅克斯在认为水是不可压缩的条件下，利用裘布依假设，给出潜水渗流运动的微分方程,这为非稳定流理论 的发展奠定了基础。他创造性地将坐标原点取在含水层底板上(以下坐标都是这种设置方法) ,这使得方程中的水位变量与潜水流厚度相等,这极大地方便了方程在实际中的应用。
4实用分析
在大部分地质报告，无论是抽水试验还是矿井涌水量预测，特别是通过抽水试验来求含水层参数，多数是采用稳定井流解析法。但是一些地质报告在采用这种方法是时却忽视对水问地质条件的分析，忽视当地是否存在稳定井流的可能性，似乎以为“稳定井流”是一种不受条件限制的、可以任意选用的计算方法，但是这是一种错误的观点。
5结论
理论推导与实际算例表明文中提出的非稳定井流试验数据分析方法是可行的。与现有的方法相比较，具有：（1）不论稳定与非稳定井流的情况下均可以应用；(2）仅要求计算井损参数的情况下，可以不考虑非稳定流井函数的具体形式；（3）非线性指数不论是否已知的情况下均可以应用；（4）全部数据分析过程可以程序化，利用计算机完成全部计算过程等优点。
关键词：稳定井流；非稳定井流；泰斯公式；裘布依公式；井函数
1地下水动力学发展史
在18世纪中期开始，一些法国工程师和科学家的杰出成就，奠定了地下水渗流力学 的理论基础。这当中主要包括达西定律 、裘布依假设 、布西涅克斯潜水运动方程 。达西定律是法国工程师达西在解决城市给水问题时，根据均质砂中垂直水流实验结果，在1856年总结出线形渗流方程 ，即地下水的渗流速度v与水力梯降J成正比的线形关系；该线形渗流方程也就是著名的达西定律，它的建立是渗流力学诞生的标志。裘布依假设是法国工程师、水力学家裘布依针对缓变流动的潜水,于1863年提出用潜水位h代替侧压水头,这种处理方法使得同一剖面各点的渗透速度相等。得益于裘布依假设，达西定律在实际中被迅速推广，这也使得渗流力学得以迅速发展。布西涅克斯方程是在1904年法国数学力学家布西涅克斯在认为水是不可压缩的条件下，利用裘布依假设，给出潜水渗流运动的微分方程,这为非稳定流理论 的发展奠定了基础。他创造性地将坐标原点取在含水层底板上(以下坐标都是这种设置方法) ,这使得方程中的水位变量与潜水流厚度相等,这极大地方便了方程在实际中的应用。
4实用分析
在大部分地质报告，无论是抽水试验还是矿井涌水量预测，特别是通过抽水试验来求含水层参数，多数是采用稳定井流解析法。但是一些地质报告在采用这种方法是时却忽视对水问地质条件的分析，忽视当地是否存在稳定井流的可能性，似乎以为“稳定井流”是一种不受条件限制的、可以任意选用的计算方法，但是这是一种错误的观点。
15第十五章 地下水向井的非稳定运动
一、承压含水层中的完整井流
（一）、定流量抽水时的Theis(泰斯公式)
一、承压含水层中的完整井流
（一）、定流量抽水时的Theis(泰斯公式)
2数学模型的建立 在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗，如图 后示，建立坐标轴，以井底为中心为原点坐标，井底板向右为r轴向。 假设抽水由t时刻至t+ t时刻时，井中水位变化为H 据水均衡原理（Qr+dr－Qr) · t=V入－V出＝ V贮……..(1) 又据高数知识：f(x+ x)=f(x)+f’(x) · x 所以，Qr+dr=Qr+Qr’ · ……………….. (2) dr
r 2* 4Tt
r 2 * 1 4T t 2
r 2 * 4Tt 1 0
r ti 4T
2*
所以，当r一定时，t＜ti时，断面的水头降速由小逐渐增大；当 t=ti(u=1)时，达到最大；当t＞ti时，下降速度又由大变小。 不同的断面拐点出现的时间ti不同。 拐点的降深：
一、承压含水层中的完整井流
（一）、定流量抽水时的Theis(泰斯公式) 2数学模型的建立
1 r H H 2 r r r T t
2 *
2 H 1 H * H t 0, 0 r r 2 r r T t 0r H ( r ,0) H 0 H H0 t0 H ( , t ) H 0 , r r H Q lim r r0 r 2T
)......... ......( 4)
T KM
由（4）求导得：
H Qr 2T r r r
一、承压含水层中的完整井流
解析法——干扰井群法(半无限含水层)
映射（镜像）原理：就是把边界当作一面“镜子”来映射实际存在的井（实井），在 “镜”内（即边界的另一侧）对称位置上成象得一虚构的井（虚井），以虚井代替边界的 作用。于是，就把有界含水层中井的计算问题转化为无界含水层中干扰井群的计算问题。 为了保证映射后按干扰井群计算所得的结果完全等同于有边界时所得的结果，映射（镜像） 应满足以下要求：
2、直线定水头补给边界地下水向完整井流运动（承压含水层，稳定流）
3、直线隔水边界地下水向完整井流运动（潜水 含水层，非稳定流）
4、直线定水头补给边界地下水向完整井流运动 （潜水含水层，稳定流）
例题：计划在距河岸20m处平行河流呈直线布置3口完整承压井抽取地下水（见下图）。 勘探资料如下：承压含水层厚10m，与河流存在水力联系，K=12m/d，承压水面距隔水顶板 5m，三口抽水井直径均为0.4m，相邻井的间距均为50m，各井到河边的距离d=20m。求各 井井中水位下降2m时井群的总抽水量Q总。
半无限含水层：具有一条直线边界的含水层。 具有二条相交的直线边界的含水层可称为扇形含水层。二条互相平行的直线边界的含 水层，则称为带状含水层。四条正交的直线边界则构成矩形含水层。
（一）有界含水层中地下水向完整井运动
主要讨论二种比较典型的直线边界，即直线定水头边界和直线隔水边界。
1、直线隔水边界地下水向完整井流运动： 2、直线定水头边界地下水向完整井流运动：
64m107.7m总结：解析法——干扰井群井（1条直线边界含水层）
1、有界含水层 2、1条直线边界承压含水层地下水向完整井非稳定流计算 3、 1条直线边界承压含水层地下水向完整井稳定流计算
水文地质勘查技术
——地下水资源量计算 解析法（半无限含水层干扰井群法）
干扰井群法——半无限含水层干扰井群井流计算
水文地质学第8章-3
∂ 2 H 1 ∂H 把Q1、Q2、∆V代入(1)式，化简后得： T 2 + ∂r r ∂r
∂H 因为单位时间的水头下降为 ，则单位时间内单元含 ∂t 水柱体内的弹性释放水量应为 ∆V = 2πrdrµ * ∂H ∂t
∂H = µ* ∂t
2、泰斯公式的导出： 、泰斯公式的导出： 根据上述假定条件，建立数学模型：
∂ 2 H 1 ∂H ∂H µ* = T 2 + ∂r ∂t r ∂r H t =0 = H 0 H r →∞ = H 0 lim r
r
0
∂H Q = ∂r 2πT
t＞0 r ＞0 t = 0 r ＞0 t＞0 r ∞ t＞0
求解上述数学模型的思路：先将二阶偏微分方程变换为只 含一个变量的常微分方程，求出该微分方程的解，最后得 出计算公式---泰斯公式。
r 2µ * r 2µ * ≤ 0.01 或 t ≥ 25 1%，所以：在 的影响下，由 4Tt T
r 2µ* − 4Tt
于井径无限小的假设引起的相对误差不超过1%。
二、潜水完整井非稳定流公式----仿泰斯公式 潜水完整井非稳定流公式 仿泰斯公式 潜水向完整井的运动（如下图示），其潜水面 是一个随时间 不断变化的可动边界。即： （1）在潜水含水层中抽水，近井范围内具有三维流特征，要考 虑渗流速度的垂直分量； （2）含水层厚度是时间t及向径r的函数，因此T也是t和r的函数。 （3）在潜水含水层中抽水具有“滞后疏干”和“延迟补给”的 特点。 1、假定条件： 、假定条件： （1）含水层均质、等厚、隔水底板水平埋藏，含水层侧向无界； （2）垂向无水量交换，抽水前潜水面水平； （3）当抽水降深与含水层厚度比不大时，将近井范围内三维流 简化为二维流。
第五章 地下水向完整井的非稳定运动
第五章 地下水向完整井的非稳定运动一、填空题1. 泰斯公式的适用条件中含水层为_均指各向同性且等厚水平 的承压含水层；天然水力坡度近为零；抽水井为 完整井 、井径无限小，井流量为定流量；水流为非稳定达西流。
2. 在非稳定井流中，通过任一断面的流量_不相等 ，而沿着地下水流向流量是_逐渐增大 。
3. 在泰斯井流中，渗流速度随时间的增加而_增大 ，当01.04*2=Ttr μ时渗流速度就非常接近_稳定渗透速度_。
4. 定降深井流公式反映了抽水期间井中水位降深不变，而井外水位_随时间 逐渐减小 ，井流量随时间延续而_ 减小 的井流规律。
5. 潜水非稳定井流与承压井流比较，主要不同点有三点：⑴导水系数是_随距离和时间变化 ；⑵当降深较大时垂向分速度不可忽略；⑶从含水层中抽出的水量主要来自_含水层的重力疏干 。
6. 博尔顿第一模型主要是考虑了_井附近流速的垂直分量 ；第二模型主要考虑了_迟后排水 。
二、判断题1. 根据泰斯井流条件可知，抽取的地下水完全是消耗含水层的弹性贮量。
(√)2. 在非稳定井流中，沿流向断面流量逐渐增大，因为沿途不断得到弹性释放量的补给，或者是由于沿流向水力坡度不断增大的缘故。
(×)3. 泰斯井流的后期任一点的渗透速度时时都相等。
(×)4.当泰斯公式简化为雅可布公式时，则表明井流内各点的渗透速度已由不稳定而转变为稳定。
(×)5. 在进行非稳定流抽水时，无论井流量如何变化，都可将其概化成阶梯形流量后，再使用定流量的泰斯公式计算。
(√)6. 在相同条件下，越流系统井流的水位下降速度小于泰斯井流的水位下降速度。
(√)7. 泰斯公式能够直接用于潜水非稳定井流的计算。
(×)8. 在无越流补给的无限潜水层中进行抽水试验时，早期的水量主要来自含水层的弹性释放量，而后期的抽水主要来自疏干量。
(√)9. 泰斯公式既可用于计算抽水井影响范围内的水位降深，也可用来计算含水层的水文地质参数。
完整井附近地下水非稳定运动的一种通解
水 井是 最 常见 的集水 建筑 物 。在地 下水 开发 利 用 中 ，无论 是水 井 的结构 设计 和合 理布 局 ，还 是 含 水 层水 文地 质参 数 的确定 等方 面 ，都 需要 分析 在不 同的开采 条 件下水 井 附近含水 层 中地 下水运 动 的状
况 ，即需 要进 行地 下水 动力 学计 算 。一 般来 说 ，定
出现 。实 际上很 多 生 产 井 的 流量 是 季 节 性 变化 的 。
定 流量 抽水 引起 的水 井 附近地 下水 位 降深值 ，可用 以下修 改后 的 Ｔ ｅ 公 式 来计 算 。 ｈｉ ｓ
ｓｒ （， ＝ ｖ ） Ｉ（ （） ２
如 农用 水井 在 每 年 的灌 溉季 节 （ ３—６月 ）抽 水 量 大 ，非 灌溉 季节 的抽水 量 小 。工业上 抽水 也有 类似 情 况 ，抽 水 量常 随实 际需水 量 而变化 。在 这种 水井 流 量随 时间变 化 的情况 下 ，按传 统 的方法 ，首 先用 阶梯 形折 线近 似代 替水 井原来 的流量过 程线 ，然 后
始厚度 。
把其中每一 阶梯视为定流量 ，使用 Ｔ ｉ 公式通过 ｈｓ ｅ
叠加来 计 算抽水 流 量变 化时水 井 附近 区域地 下水 位
降深值 ¨ ０ 。这种传统方法 ，由于事先需要对水井 Ｊ 流量过 程线 进行 转化 ，因此不 仅操作 过程 中的人 为
性 较大 ，而且计算 结 果也有 一定 的误 差 。在此 以上 述 情况为 背 景 ，利 用 定 流量 抽 水 时 的 Ｔ ｅ ｈｉ 式 ， ｓ公 推导 出 了变 流量抽 水 时水 井 附近地 下水 非稳 定 流计
井附近含水层 中地下水非稳定运 动的一种通解 。并 通过两个算例 ，验证 了该通解的可靠性和实用性 。
地下水向完整井的非稳定运动
4 地下水向完整井的非稳定运动要点：本章主要介绍地下水非稳定井流的有关公式及应用。
非稳定井流公式主要包括承压井流泰斯（Theis ）公式、雅柯布（Jacob ）公式、流量呈阶梯状变化时计算公式、恢复水位公式、定降深公式、不同条件下的越流公式以及无外界补给的潜水井流的博尔顿（ Boulton ）及纽曼（Neuman ）公式。
上述可以用于相应条件下的动态预报，以及利用抽水试验资料求含水层的水文地质参数等。
本章是全书重点之一。
要求学生掌握各公式及其适用条件，并能用来分析解决实际问题；掌握如何用抽水试验资料确定水文地质参数的方法。
4.1 无限分布的承压完整井流本节主要介绍泰斯公式及其求参数方法，如表4—1所示。
此外介绍均质各向异性岩层式中：y x T T T *称为等效导水系数；y x T T ,—分别为长、短轴主渗透方向上的导水系数；)(n u W —泰斯井函数；)4/(2*t T r u n n ，式中的T n 为与x （长）轴成)(n 夹角方向上的导水系数，其值为： )(sin )(cos 22n n xn T T（4-2） 式中：θ—第一条观测线（即第一观测孔与抽水井的联线）与x 轴（长轴方向）的夹角。
注：表中（W（u））、〔u〕、（s）、（t）等为配合点的坐标值;t0，P0，（t/r2）0为直线在相应横轴上的截距；t s、r s、、（t/r2）为直线在纵轴上截距为s0时的对应横坐标值，i为直线的斜率，s A、t A为曲线上任一点坐标值。
如图4-1(b)所示：a n —第n 条观测线与第一观测线的夹角；22222*sin )(sin )(cos cos )(n n n n v y x b b T T T T (4-3) n n T T b 1;由212T T b 和313T Tb 联立求解有： 3222233222232sin )1(2sin )1(sin )1(sin )1(22 b b b b tg （4-4） *2**T b a r T T a b T T b a T ss n n s s y s s x ；；s s b a 、—分别为椭圆长短主轴的长度。
地下水动力学-第五讲
*
13
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
（2）长时间抽水资料确定μ *1、μ *2、K1、K2 1）相邻为定水头函水层（以第一种情况为例） 配线关系（降深-时间配线）
r 2 μ* 1 Q lg s lg t lg W (u, ) lg lg lg 4T u 4πT
* m1 μ1 t 5 K1
和
m2 μ* 2 t 10 K2
住含水层的降深近似公式
Q r s(r,t ) W (u3 , ) 4πT B1
式中： W(u3,r/B1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；
* * r 2(μ* μ1 / 3 2 ) u3 4Tt
市政系水资源与水工研究所
Q s (r,t ) W (u1 , ) 4πT
1 * 1 * r (μ μ1 2 ) 3 3 u1 4Tt
2 *
αr
1 1 2 2 B1 B2
9
市政系水资源与水工研究所
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
b）两相邻层为隔水层 当
* m1 μ1 和 m2 μ* 2 t 10 t 10 K1 K2
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章） 三、考虑弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流
前述在研究越流补给时忽略了弱透水含水层的弹性释水补给，当弱 透水层较厚时，这种补给量是可观的，不能忽略不计。 （一）模型 1、物理模型、基本假设与数学模型 （1）物理模型 1960年，M. S. Hantush提出的三层结构模型，根据弱透水层弹性 释水与相邻含水层关系分三种情况进行了研究，如图4-16所示。 1）与两弱透水相邻的越流含水层为定水头含水层； 2）与两弱透水层相邻为隔水层； 3）上弱透水含水层与定水头含水层相邻，下弱透水含水层与隔水层 相邻。
13
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
（2）长时间抽水资料确定μ *1、μ *2、K1、K2 1）相邻为定水头函水层（以第一种情况为例） 配线关系（降深-时间配线）
r 2 μ* 1 Q lg s lg t lg W (u, ) lg lg lg 4T u 4πT
* m1 μ1 t 5 K1
和
m2 μ* 2 t 10 K2
住含水层的降深近似公式
Q r s(r,t ) W (u3 , ) 4πT B1
式中： W(u3,r/B1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；
* * r 2(μ* μ1 / 3 2 ) u3 4Tt
市政系水资源与水工研究所
Q s (r,t ) W (u1 , ) 4πT
1 * 1 * r (μ μ1 2 ) 3 3 u1 4Tt
2 *
αr
1 1 2 2 B1 B2
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市政系水资源与水工研究所
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
b）两相邻层为隔水层 当
* m1 μ1 和 m2 μ* 2 t 10 t 10 K1 K2
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章） 三、考虑弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流
前述在研究越流补给时忽略了弱透水含水层的弹性释水补给，当弱 透水层较厚时，这种补给量是可观的，不能忽略不计。 （一）模型 1、物理模型、基本假设与数学模型 （1）物理模型 1960年，M. S. Hantush提出的三层结构模型，根据弱透水层弹性 释水与相邻含水层关系分三种情况进行了研究，如图4-16所示。 1）与两弱透水相邻的越流含水层为定水头含水层； 2）与两弱透水层相邻为隔水层； 3）上弱透水含水层与定水头含水层相邻，下弱透水含水层与隔水层 相邻。
岩土工程渗流：第5章 地下水井流理论
9
5.1.3 其他井流情 况与相关的约定
向井中注水的情况实际上和抽水的情况一样，在计算与分 析中可以同样利用抽水的相关理论。
本章除特别提到的条件外，一般都用了以下的假定： (1)含水层中水流服从Darcy定律 (2)在水头下降的瞬间水就释放出来（专指潜水浸润面） (3)含水层均质、各向同性、无限延伸 (4)含水层底部水平，承压含水层等厚 (5)抽水前的地下水面是水平 (6)忽略弱透水层的贮水性
17
计算影响半径R的经验公式和经验值
18
19
2）两个观测孔的井流公式
Q 2 KM H0 hw
ln R rw
sw
H0
hw
Q
2 KM
ln R
rw
边界条件并不一定在r=R和r=rw，可以是任何已知点的 水头值（ri，Hi）或降深值（ri，si）。
承压井流量 一般形式为：
Q
2
KM H1
计算机广泛应用 前的时代产物
14
5.2.2 承压井的齐姆（Thiem）公式
1）引用影响半径
影响半径R的取值，理论上没有严格证明，实际上 是困扰人们的一个问题。 该问题分为两类：
无限大区域中R取值； 有界区域R取值
2）两个观测孔的井流公式
由于井壁影响，应用时有误差，工程中常用两个 观测孔的井流公式。
s(x, y,t) H0 (x, y, 0) H (x, y,t)
井中心处降深最大，离井越远降深越小，整个水头下降 区呈漏斗状，称为降落漏斗。
潜水井的降落漏斗在含水层内部扩展，有自由面。
承压水井的降落漏斗没有自由面，是水头的降低区。
如无其他来源，潜水井抽出的水量相当于降落漏斗的含 水层体积的重力疏干，而承压水井的水来自于因降深漏 斗处的水头降低造成含水层的弹性释水。（非稳定井）
5.1.3 其他井流情 况与相关的约定
向井中注水的情况实际上和抽水的情况一样，在计算与分 析中可以同样利用抽水的相关理论。
本章除特别提到的条件外，一般都用了以下的假定： (1)含水层中水流服从Darcy定律 (2)在水头下降的瞬间水就释放出来（专指潜水浸润面） (3)含水层均质、各向同性、无限延伸 (4)含水层底部水平，承压含水层等厚 (5)抽水前的地下水面是水平 (6)忽略弱透水层的贮水性
17
计算影响半径R的经验公式和经验值
18
19
2）两个观测孔的井流公式
Q 2 KM H0 hw
ln R rw
sw
H0
hw
Q
2 KM
ln R
rw
边界条件并不一定在r=R和r=rw，可以是任何已知点的 水头值（ri，Hi）或降深值（ri，si）。
承压井流量 一般形式为：
Q
2
KM H1
计算机广泛应用 前的时代产物
14
5.2.2 承压井的齐姆（Thiem）公式
1）引用影响半径
影响半径R的取值，理论上没有严格证明，实际上 是困扰人们的一个问题。 该问题分为两类：
无限大区域中R取值； 有界区域R取值
2）两个观测孔的井流公式
由于井壁影响，应用时有误差，工程中常用两个 观测孔的井流公式。
s(x, y,t) H0 (x, y, 0) H (x, y,t)
井中心处降深最大，离井越远降深越小，整个水头下降 区呈漏斗状，称为降落漏斗。
潜水井的降落漏斗在含水层内部扩展，有自由面。
承压水井的降落漏斗没有自由面，是水头的降低区。
如无其他来源，潜水井抽出的水量相当于降落漏斗的含 水层体积的重力疏干，而承压水井的水来自于因降深漏 斗处的水头降低造成含水层的弹性释水。（非稳定井）
地下水动力学习题
《地下水动力学》习题集第1章 渗流理论基础习题1-1 渗流的基本概念一、填空题1. 地下水动力学是研究地下水在 、 和 中运动规律的科学。
通常把 称为多孔介质，而其中的岩石颗粒称为 。
多孔介质的特点是 、 、 和 。
2. 地下水在多孔介质中存在的主要形式有 、 、 、 和 ，而地下水动力学主要研究 的运动规律。
3. 在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是 ，但对贮水来说却是 。
4. 假想水流的 、 、 以及 都与真实水流相同，假想水流充满 。
5. 地下水过水断面包括 和 所占据的面积。
渗流速度是 上的平均速度，而实际速度是 的平均速度。
6. 在渗流中，水头一般是指 ，不同数值的等水头面（线）永远 。
7. 在渗流场中，把大小等于 ，方向沿着 的法线，并指向水头 方向的矢量，称为水力坡度。
水力坡度在空间直角坐标系中的3个分量分别为 、 和 。
8. 渗流运动要素包括 、 、 和 等。
9. 根据地下水渗透速度 与 关系，将地下水运动分为一维、一维和三维运动。
二、判断及选择题10. 地下水在多孔介质中运动，因此可以说多孔介质就是含水层。
（ ）11. 地下水运动时的有效孔隙度等于排水（贮水）时的有效孔隙度。
（ ）12. 对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。
（ ）13. 贮水率)(βαρμn g s +=也适用于潜水含水层。
（ ）14. 贮水率只适用于三维流微分方程。
（ ）15. 贮水系数既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。
（ ）16. 在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
（ ）17. 潜水含水层的给水度就是贮水系数。
（ ）18. 在其他条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中，在补给期时，给水度μ大，水位上升大；μ小，水位上升小。
在蒸发期时，μ大，水位下降大；μ小，水位下降小。
（）19. 决定地下水流向的是（）。
（1）压力的大小；（2）位置的高低；（3）水头的大小。
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再施行逆变换可求得其解为：
其中，
s
Q
4 T
W
u,
r B
W
u,Biblioteka r B
1
e
y
4
r2 B2
y
dy
uy
u r2
4Tt
(4-33) (4-34)
有关推导过程请参阅文献[2]。(4-33)式为Hantush和
Jacob于1955年建立的有越流补给的承压水完整井公式。其
厚的；
(2)含水层中水流服从Darcy定律； (3)虽然发生越流，但相邻含水层在抽水过程中水头保持不 变(这在径流条件比较好的含水层中不难达到)； (4)弱透水层本身的弹性释水可以忽略，通过弱透水层的水 流可视为垂向一维流；
(5)抽水含水层天然水力坡度为零，抽水后为平面径向流； (6)抽水井为完整井，井径无限小，定流量抽水。
（2）抽水中期，因水位下降变缓而开始偏离Theis曲线， 说明越流已经开始进入抽水含水层。
这时，抽水量由两部分组成：一是抽水含水层的弹性 释水，二是越流补给， r2 值由零进入有限值，即：
4 yB2
W
u,
r B
1
e
y
4
r2 B2
y
dy
uy
1e ydy W uy
出，有越流补给的s-t关系大致可分为三个阶段：
图4-11 越流潜水含水层的标准曲线
（1）抽水早期，降深曲线同Theis曲线一致。这表明越流尚
未进入主含水层，抽水量几乎全部来自主含水层的弹性释
水。在理论上，相当于
K1 m1
=0或B→∞，W
u,
r B
→W（u）此
时和Theis曲线一致。
标准曲线组中又反映出，r
The piezometric surface was horizontal prior to pumping
The well is pumped at a constant rate
The well is fully penetrating
Water removed from storage is discharged instantaneously with decline in head
第四章 地下水向完整井的非稳定运动
MULTIPLE AQUIFERS
Distorted scale!!
1
2009-11
第四章 地下水向完整井的非稳定运动
• §4-1 承压含水层中的完整井流 • §4-2 有越流补给的完整井流 • §4-3 有弱透水层弹性释水补给和越流补给
的完整井流 • §4-4 潜水完整井流
The Hantush-Jacob solution has the following assumptions:
The aquifer is leaky and has an "apparent" infinite extent
The aquifer and the confining layer are homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping
r 2 r r B2 T t
相应的定解条件为：
s 0 t 0
0r
s 0 r
lim
r0
r
s r
Q 2T
t 0
t0
(4-29)
(4-30) (4-31) (4-32)
对方程（4-29）施行Hankel变换，于是原定解问题变为常微 分方程的初值问题，可以很容易地求得它的特解。
图4-9 有越流补给时承压含水层中的完整井
第3章探讨了这种情况下的稳定运动(图3-9)。 现在进而探讨这种情况下的非稳定运动。研究时采用了和
研究稳定运动时相同的地质模型(图3-9)和假设，即： (1)越流系统中每一层都是均质各向同性，无限延伸的第一 类越流系统，含水层底部水平，含水层和弱透水层都是等
The well diameter is small, so well storage is negligible
Leakage through the confining layer is vertical and proportional to the drawdown
The head in any un-pumped aquifer(s) remains constant
Storage in the confining layer is negligible
Flow is unsteady.
在上述假设条件下，根据微分方程(1-83)，把水头化为以降深 表示，并改用柱坐标，于是有越流补给的抽水含水层中地 下水运动的基本方程为：
2s 1 s s s
• 天地不可一日无和气， • 人心不可一日无喜神。
§4-2有越流补给的完整井流
4.2.1 基本方程 在第1章中，我们曾谈到在越流含水层中抽水时会发生
越流。有时，人们把这种系统，包括越流含水层、弱透水 层和相邻的含水层(如果有的话)称为越流系统(图1-30)。
越流系统通常可以划分为三种类型: 第一越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、忽略补给层 水位变化的越流系统； 第二越流系统是考虑弱透水层弹性释放、不考虑补给层 水位变化的越流系统； 第三越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、考虑补给层 水位变化的越流系统。
u
因此，越流含水层的降深小于无越流含水层的降深，而 且随 K1 增大(即 r 越大)，越流含水层的降深比无越 流含水m1层的降深小B得越多。
中W
u,
r B
，为不考虑相邻弱透水层弹性释水时越流系统的
井函数，其值列于教材表4-5中。
4.2.2 公式讨论
1) 降深-时间曲线的形状
s
将（4-33）式写成无量纲降深形式：
Q
4T
W
u,
r B
根据表4-5的井函数表，绘制
W
u,
r B
1 u
曲线（图4-11).曲线反映
B
不同时，与Theis曲线吻合的
时 （间即也Br不越一小样）。，在同其T他he条is曲件线一一定致时的，过如程果就越越流长系。数这mK1说1 越明小，
弱透层透水性越小，厚度越大，阻力越大，越流进入抽水层
的时间越晚。当弱透水层透水性无限小时，在有限的抽水时
间内，可能没有明显的越流反映，而同Theis曲线相一致。