八年级数学实数复习

一对一个性化讲义

本次课课堂教学内容

平方根

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】

知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义

如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的

x a 2

x a x a

算术平方根还是0）；

，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

要点诠释：

有意义时，

≥0，≥0. 2. 平方根的定义

如果，那么叫做的平方根.

求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为

是的算术平方根.

知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2

）结果不同：

2．联系：

（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方

根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的

另一个平方根.

因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

知识点三、平方根的性质

知识点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

. 【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、下列说法错误的是（ ）

A.5

是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根

C.的平方根是－4

D.0的平方根与算术平方根都是0

【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）没有平方根．（ ） （2．（ ）

a a a a a 2

x a =x a a a a 0)a ≥a 0||0

00

a a a a a a >⎧⎪

===⎨⎪-<⎩

()2

0a

a =≥250=25= 2.5=0.25=()2

4-9-4=±

（3）的平方根是．（ ） （4）是的算术平方根．（ ） 2、 填空：

（1）是 的负平方根． （2

表示

的算术平方根， ． （3

的算术平方根为 ．

（4，则

，若，则 ．

【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

【变式1】下列说法中正确的有（ ）

：

①3是

9的平方根． ② 9的平方根是3．

③4是8

的正的平方根．④ 是64的负的平方根．

A ．

1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【变式2】求下列各式的值：

（1）

（2 （

3 （4

3的取值范围是______________． 【总结升华】有意义时，≥0，≥0. 【变式】（2016春•庐江县期末）已知()2

20x y ++

=，求2x y -的平方根．

类型二、利用平方根解方程 4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值 （1）169x 2=144 （2）（x ﹣2）2﹣36=0．

21()10-

110

±25--4

25

4-=3=x =3=x =8-x a a

【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．

类型三、平方根的应用

5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽

各是多少米？

【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数. 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、（2015秋•张家港市校级期中）已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣9的立方根是2，c 是的整数部分，求a+b+c 的平方根．

【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．

【变式】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值.

2、为何值时，下列各式有意义？

；

；

． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式

子才有意义．

【变式】已知，求

的算术平方根．

类型二、平方根的运算 3、求下列各式的值．

；

a a m m x 2

b =11

a b

+2234+

【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根

来解．

类型三、利用平方根解方程

4、（2016春·沾益县校级期中）求下列方程中的值.

（1）2

1202x -

= （2）()2

13903

x +-=

【总结升华】

本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）小题中运用了整体思想分散了难度. 【变式】求下列等式中的：

（1）若，则＝______； （2），则＝______； （3）若则＝______；

（4）若

，则＝______．

类型四、平方根的综合应用

5、已知、，解关于的方程．

【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． ，求的值．

6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的

长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

(0)a a =>x x 2

1.21x =x 2

169x =x 29,4

x =

x ()2

22x =-x a b |0b -=x 2

(2)1a x b a ++=-a b 0=20112012x y +2

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