高等数学课程简介37页PPT
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《高等数学基本概念》课件
高阶导数是函数的一阶导数的导数，表示函 数在某一点的更精细的变化情况。
高阶导数的应用
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的 形状等问题中有着重要的应用。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量，表示函数在该点附近的变化趋势。
微分的性质
微分具有一些重要的性质，如线性性质、微分与积分的关系等，这些性质在解决实际问题中有着广泛 的应用。
详细描述
重积分是指对一个函数在某个区域上的积分，它可以用 来计算体积、表面积等几何量。曲面积分则是对一个函 数在曲面上的积分，可以用来计算曲面面积和其他相关 量。在计算重积分和曲面积分时，需要掌握相应的计算 方法和技巧，如分割法、近似法等。
06 常微分方程
常微分方程的定义与性质
总结词
理解常微分方程的基本定义和性质是 解决常微分方程的基础。
详细描述
在多元函数中，极值问题可以分为无约束极值和约束 极值两类。无约束极值是指在给定区域内寻找函数的 最大值和最小值，而约束极值则是在某些约束条件下 寻找函数的最大值和最小值。在解决极值问题时，需 要掌握相应的求解方法和技巧，如梯度法、拉格朗日 乘数法等。
重积分与曲面积分
总结词
重积分和曲面积分是多变量微积分中的重要概念，它 们在计算体积、表面积和其他复杂几何形状的量时非 常有用。
科学研究
在各个科学领域，高等数学都发挥着 重要的作用，为科学研究提供了强大 的数学支持。
高等数学与初等数学的区别
01 高等数学涉及的概念更加抽象和复杂，需要更高 的思维能力和理解能力。
02 高等数学的应用范围更广，可以解决更为复杂和 广泛的实际问题。
03 高等数学对数学语言的运用更加丰富和深入，需 要更高的数学素养和表达能力。
高阶导数的应用
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的 形状等问题中有着重要的应用。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量，表示函数在该点附近的变化趋势。
微分的性质
微分具有一些重要的性质，如线性性质、微分与积分的关系等，这些性质在解决实际问题中有着广泛 的应用。
详细描述
重积分是指对一个函数在某个区域上的积分，它可以用 来计算体积、表面积等几何量。曲面积分则是对一个函 数在曲面上的积分，可以用来计算曲面面积和其他相关 量。在计算重积分和曲面积分时，需要掌握相应的计算 方法和技巧，如分割法、近似法等。
06 常微分方程
常微分方程的定义与性质
总结词
理解常微分方程的基本定义和性质是 解决常微分方程的基础。
详细描述
在多元函数中，极值问题可以分为无约束极值和约束 极值两类。无约束极值是指在给定区域内寻找函数的 最大值和最小值，而约束极值则是在某些约束条件下 寻找函数的最大值和最小值。在解决极值问题时，需 要掌握相应的求解方法和技巧，如梯度法、拉格朗日 乘数法等。
重积分与曲面积分
总结词
重积分和曲面积分是多变量微积分中的重要概念，它 们在计算体积、表面积和其他复杂几何形状的量时非 常有用。
科学研究
在各个科学领域，高等数学都发挥着 重要的作用，为科学研究提供了强大 的数学支持。
高等数学与初等数学的区别
01 高等数学涉及的概念更加抽象和复杂，需要更高 的思维能力和理解能力。
02 高等数学的应用范围更广，可以解决更为复杂和 广泛的实际问题。
03 高等数学对数学语言的运用更加丰富和深入，需 要更高的数学素养和表达能力。
高等数学教学课件PPT
注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形
（2） 通常周期函数的周期是指最小正周期
（3） 并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻 间域
构造 复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射， 则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注 分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素 则称f为X到Y的单射
高职高等数学课件PPT
级数概念及收敛性判断
级数定义
级数是无穷序列的各项和，通常用于表示某些复杂数学对 象的近似值或精确值。
级数分类
根据项的性质，级数可分为正项级数、交错级数和任意项 级数；根据收敛情况，可分为收敛级数和发散级数。
收敛性判断
判断级数收敛性的方法主要包括比较判别法、比值判别法 、根值判别法等。对于不同类型的级数，需要选择合适的 判别法进行收敛性判断。
工程应用
在工程领域，导数和微分可以 用来分析系统的稳定性和优化
设计方案。
2023
PART 04
积分学
REPORTING
不定积分概念及计算方法
不定积分定义
01
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，结
果是一个函数族，每两个函数之间相差一个常数。
不定积分的性质
02 不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质。
2023
高职高等数学课件
REPORTING
2023
目录
• 课程介绍与教学目标 • 函数与极限 • 导数与微分 • 积分学 • 微分方程与级数 • 空间解析几何与向量代数 • 线性代数初步
2023
PART 01
课程介绍与教学目标
REPORTING
高等数学在高职教育中的地位
基础学科
高等数学是高职教育中的一门重 要基础学科，为后续专业课程的
03
无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量之间存在一定的联系和转化关系，例如无穷小量的
倒数就是无穷大量。同时，它们在求解极限问题中也具有重要的应用。
2023
PART 03
导数与微分
REPORTING
导数概念及计算方法
导数定义
高等数学课件详细
分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
高等数学课件教学PPT模板
按照教学进度表，合理安排每个章节的授课时间和内 容，确保教学计划的顺利完成。
01
03
适时地引入实际应用案例，让学生了解数学知识的实 际应用价值。
04
针对重点和难点内容，增加课堂讲解和练习的时间， 帮助学生更好地理解和掌握。
教学方法与手段
采用启发式、互动式的教学方法，激发学生的学习兴趣 和主动性。
定期组织课堂讨论和小组活动，培养学生的合作精神和 交流能力。
微分概念及几何意义
微分定义
函数增量的线性部分，即函数在某一点附近的微小变化量。
几何意义
切线的纵坐标增量，表示函数图像在某一点处的切线纵坐标变化量。
微分与导数关系
微分是导数与自变量增量的乘积，即dy=f'(x)dx。
微分在近似计算中的应用
利用微分进行函数值的近似计算。
04 积分学基础
不定积分概念及性质
讲解平面的一般式方程及其与点 法式方程之间的转换关系，进一 步拓展平面的表示方法。
引入直线的点向式方程，详细讲 解其求解方法和应用场景。
平面的点法式方程
介绍平面的点法式方程及其求解 方法，通过实例演示方程的应用。
直线的一般式方程
介绍直线的一般式方程及其与点 向式方程之间的转换关系，加深 对直线方程的理解。
f(x)dx。
定积分性质
包括线性性质、可加性、保号 性等，用于简化复杂函数的定
积分计算。
积分中值定理
定积分的一个重要性质，表明 在闭区间上连续的函数必定存 在一点使得该点的函数值等于
其平均值。
广义积分与定积分应用
广义积分
将定积分的概念推广到无穷区间 和无界函数上，包括无穷限广义 积分和无界函数广义积分。
《高等数学说课》ppt课件完整版
课堂展示和交流互动
鼓励学生进行课堂展示和交流互动， 提高表达能力和交流能力。
05
评价反馈及持续改进
学生成绩评定方法介绍
平时成绩
包括作业、课堂表现、小测验等，占总评的一 定比例。
期末考试成绩
全面考核学生对本学期所学知识的掌握程度， 占总评的主要部分。
附加分
鼓励学生参加数学竞赛、科研活动等，取得优异成绩者可获得附加分。
科研项目支持
学校鼓励教师申报各类科研项目，提供经费 和政策支持，推动高等数学的科研水平和创 新能力不断提升。同时，学生也可以参与到 教师的科研项目中，锻炼自己的实践能力和 创新能力。
THANKS
感谢观看
涵盖微积分、线性代 数、常微分方程等多 个分支
教学目标与要求
掌握高等数学的基本概念 和基本方法
提高学生运用数学知识解 决实际问题的能力
培养学生的数学素养和计 算能力
要求学生具备严谨的数学 思维和良好的学习习惯
教材选用及特点
01
选用国内外经典教材，如《高等数学》 （同济版）等
02 教材内容系统完整，注重基础性和应用性
根据总课时和学校教学周 数，合理安排每周的课时。
进度计划
按照教学大纲和教材内容， 制定详细的教学进度计划， 确保按时完成教学任务。
辅导答疑及作业布置
辅导答疑
安排固定的辅导答疑时间， 为学生提供及时的帮助和 指导。
作业布置
根据教学内容和进度，合 理布置课后作业，巩固所 学知识。
作业批改与反馈
及时批改作业，并给出详 细的批改意见和反馈，帮 助学生更好地掌握所学知 识。
《高等数学说课》ppt 课件完整版
contents
目录
• 课程背景与目标 • 教学内容与计划 • 教学方法与手段 • 学生能力培养方案 • 评价反馈及持续改进 • 资源保障条件说明
鼓励学生进行课堂展示和交流互动， 提高表达能力和交流能力。
05
评价反馈及持续改进
学生成绩评定方法介绍
平时成绩
包括作业、课堂表现、小测验等，占总评的一 定比例。
期末考试成绩
全面考核学生对本学期所学知识的掌握程度， 占总评的主要部分。
附加分
鼓励学生参加数学竞赛、科研活动等，取得优异成绩者可获得附加分。
科研项目支持
学校鼓励教师申报各类科研项目，提供经费 和政策支持，推动高等数学的科研水平和创 新能力不断提升。同时，学生也可以参与到 教师的科研项目中，锻炼自己的实践能力和 创新能力。
THANKS
感谢观看
涵盖微积分、线性代 数、常微分方程等多 个分支
教学目标与要求
掌握高等数学的基本概念 和基本方法
提高学生运用数学知识解 决实际问题的能力
培养学生的数学素养和计 算能力
要求学生具备严谨的数学 思维和良好的学习习惯
教材选用及特点
01
选用国内外经典教材，如《高等数学》 （同济版）等
02 教材内容系统完整，注重基础性和应用性
根据总课时和学校教学周 数，合理安排每周的课时。
进度计划
按照教学大纲和教材内容， 制定详细的教学进度计划， 确保按时完成教学任务。
辅导答疑及作业布置
辅导答疑
安排固定的辅导答疑时间， 为学生提供及时的帮助和 指导。
作业布置
根据教学内容和进度，合 理布置课后作业，巩固所 学知识。
作业批改与反馈
及时批改作业，并给出详 细的批改意见和反馈，帮 助学生更好地掌握所学知 识。
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目录
• 课程背景与目标 • 教学内容与计划 • 教学方法与手段 • 学生能力培养方案 • 评价反馈及持续改进 • 资源保障条件说明
高等数学(完整版)详细(课堂PPT)
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数 uk n
n1
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
由于n 时, n 与Sk n 极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
将各项依
n1
un u1 u2 u3
n1
un
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S un
1 n (n 1)n
34
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数 u1 u2 u3 (1)n1un
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
高等数学完整详细PPT课件
解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
第27页/共175页
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
第10页/共175页
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
高等数学课件详细
导数的应用
第五章
函数的单调性和极值
导数与函数的单调性：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极 值点
极值的分类：极大值和极小值
极值的求解：通过求导数等于0的点，并判断该点两侧的导数符号，确定极值点
曲线的凹凸性和拐点
质。
定积分的应用： 定积分在物理、 工程、经济等 领域有着广泛 的应用，如计 算物体的质量、 体积、重心等。
定积分的计算 方法：常用的 定积分计算方 法有牛顿-莱布 尼茨公式、积 分表法、数值
积分法等。
定积分的运算和求法
定积分的定义： 对函数在某一区 间上的积分
定积分的性质： 线性性、可加性、 单调性等
导数：函数在某一点的切 线斜率
凹凸性：函数在某点附近 的增减性
拐点：函数在某点附近的 凹凸性发生变化的点
应用：判断函数的单调性、 极值、最值等
洛必达法则和不定积分
洛必达法则：用于求解极限， 包括0/0型和∞/∞型
不定积分：用于求解函数的原 函数，包括基本积分公式和换 元积分法
洛必达法则的应用：求解极限、 求导、求积分等
不定积分的应用：求解函数的 原函数、求导、求积分等
泰勒公式和等价无穷小量代换
等价无穷小量代换：将复杂 函数替换为简单函数，便于 计算和近似
泰勒公式的应用：求极限、 求导数、求积分等
泰勒公式：将函数展开为多 项式形式，便于计算和近似
等价无穷小量代换的应用： 求极限、求导数、求积分等
不定积分与定积分
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
极限的运算和求法
极限的定义：函数 在某点或某区间上 的极限值
《高等数学说课》课件
03
高等数学教学方法
启发式教学
总结词
通过引导学生思考，激发学生学习高等数学的兴趣。
详细描述
启发式教学强调引导学生主动思考，通过设置问题、引导学生分析问题、解决 问题的方式，激发学生对高等数学的兴趣，培养其独立思考和解决问题的能力 。
案例式教学
总结词
结合实际案例，帮助学生理解抽象的高等数学知识。
《高等数学说课》ppt 课件
目 录
• 高等数学课程简介 • 高等数学教学内容 • 高等数学教学方法 • 高等数学教学评价 • 高等数学教学资源
01
高等数学课程简介
课程性质与定位
高等数学是高等教育中的一门重要基 础课程，旨在培养学生掌握数学的基 本概念、原理和方法，为后续专业课 程的学习奠定基础。
该课程注重培养学生的逻辑思维、抽 象思维和解决问题的能力，对于提高 学生的综合素质和创新能力具有重要 意义。
课程目标与任务
01
掌握高等数学的基本概念、原理和方法，理解数学在实际问题 中的应用。
02
培养学生的逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力，提高学生
的数学素养。
引导学生自主学习、自主探究，培养学生的创新意识和实践能
方法。
总结词：应用实例
详细描述：通过实例展示函数与极限 在几何、物理等方面的应用，如瞬时 速度、曲线的长度等。
总结词：数学文化
详细描述：介绍极限思想的发展历程 ，以及它在数学史上的重要地位。
导数与微分
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总结词：基础概念
在此添加您的文本16字
详细描述：介绍导数的定义、性质和计算方法，以及微分 的概念和运算规则。
在此添加您的文本16字
总结词：几何意义
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
高等数学教学课件
高等数学的发展历程
早期发展
高等数学的发展可以追溯到古希腊时期，当时的数学家开始研究变 量和函数的概念。
中期发展
随着欧洲文艺复兴和科学革命的兴起，高等数学得到了快速的发展， 涌现出了一批杰出的数学家和数学成果。
现代发展
现代高等数学的研究领域更加广泛，涉及的分支也更加多样化，如微 分方程、实分析、复分析等都是现代高等数学的重要分支。
02
高等数学基础知识
极限理论
1 2
极限的定义与性质
极限是高等数学中的基本概念，它描述了函数在 某一点的变化趋势。极限的性质包括唯一性、有 界性、局部保号性等。
极限的运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加 减乘除的运算规则和复合函数的极限运算法则。
3
极限存在准则
极限存在准则包括夹逼准则、单调有界准则、柯 西收敛准则等，这些准则是判断函数极限存在的 常用方法。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
01
不定积分是求函数原函数的运算，其性质包括线性性、可加性、
积分区间的可加性等。
定积分的概念与性质
02
定积分是求曲线下面积的运算，其性质包括线性性、可加性、
区间可加性等。
定积分的应用
03
定积分的应用非常广泛，例如求曲线下面积、求变速直线运动
的路程等。
空间解析几何
经济学中的高等数学应用
总结词
经济学中高等数学的应用有助于建立更 精确的模型和预测
VS
详细描述
经济学中有很多问题需要用到高等数学的 知识，如计量经济学、数理经济学、金融 数学等领域。通过应用高等数学，经济学 家们可以建立更精确的模型和预测，更好 地理解和解决经济问题。
《高等数学课件》课件
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
感谢您的观看
THANKS
重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
感谢您的观看
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重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
高等数学总结.ppt
➢多元函数 ➢邻域、区域、聚点、内点、外点 ➢多元函数的极限 ➢多元函数的连续性
➢多元函数微分法及应用 ➢偏导数与全微分
➢偏导数本质上也是一个极限概念：当其它变 量不动，函数值相对于某一个变量的改变量。
➢偏导数数学定义：
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，则称
➢函数图像的描绘
➢几个人物 罗尔，1652-1719，法，只受过初等教育，年轻时穷 困潦倒，后因为数学成求进入法国科学院。主要成就在 方程方面，“微积分是巧妙的谬论的汇集”。
拉格朗日，1763-1813，法，19岁被聘为教授，数学各 个领域均有建树，微分方程的常数变易法为其提出，“死 亡并不可怕，它只不过我遇到的最后一个函数”。(13)a x来自x ax C ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a
2dx
1 2a
ln
x x
a a
C
(22)
a2
1
x 2 dx
➢牛顿和莱布尼茨的争论使得英国的数学家认牛顿为 他们的导师，割断了于欧洲大陆的联系，有人估计， 这使英国数学落后了一百年。
➢历史上看，微积分是为了解决实际问题的需要而产 生的一种计算方法，它的产生为近现代数学和物理学 提供了强大的工具。没有微积分就不可能有现代自然 科学的发展。
➢我们现在学习的微积分理论，已经经过数学家们长 期的补充、完善，无论从理论还是逻辑基础、符号表 达，都和牛顿，莱布尼茨等人当时的描述方式有很大 的改进，当时他们对微积分的叙述和论证建立在大量 的直观的、没有严格、统一的数学定义的基础上。
《高等数学》 简介 ppt课件
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集(empty set),(记作 )
例如, { x x R, x 1 0} .
2
规定 空集为任何集合的子集 (subset ).
ppt课件 6
2.区间(interval): 是指介于某两个实数之间的 全体实数.这两个实数叫做区间的端点(end point).
通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, z, s, t , u ,v, w等表示变量. 常量可看作变量的一个特殊情况，认为在某一过 程中该变量始终取一个数值。
ppt课件 10
运算性质(character):
5.绝对值(absolute value): a , a 0, a ( a 0) a , a 0.
例 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
( n 3,4,5,)
ppt课件
n
r
12
D 是一个给定的数集， 定义: 设x 和y 是两个变量,
如果对于每个数 x D ,
变量y 按照一定法则总有
x 的函数，记作 确定的数值和它对应，则称y 是
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x 0, x 0.
y 2x 1
ppt课件
21
例 Example 1
解solution 当 t [0, ] 时, 2 2E E t; U t 当 t ( , ] 时, 2 E0 U 0 ( t ), 2