2012年浙江省杭州市中考真题(word版含答案)

2012年杭州市各类高中招生文化考试
数 学
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．
4．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 参考公式：
直棱柱的体积公式：V Sh =（V 表示体积，S 表示底面积，h 表示高）．
试题卷
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．
1．计算(23)(1)-+-的结果是（ ）
（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2
2．若两圆的半径分别为2cm 和6cm ，圆心距为4cm ，则这两圆的位置关系是（ ） （A ）内含 （B ）内切 （C ）外切 （D ）外离
3．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
（A ）摸到红球是必然事件 （B ）摸到白球是不可能事件
（C ）摸到红球与摸到白球的可能性相等 （D ）摸到红球比摸到白球的可能性大 4．已知ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ） （A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）144 5．下列计算正确的是（ ）
（A ）2
3
5
3
()p q p q -=- （B ）23
2
(12)(6)2a b c ab ab ÷= （C ）2
2
3(31)3m m m m ÷-=- （D ）2
1
(4)4x x x
x --=-
6．如图是杭州市区人口的统计图．则根据统计图得出的下列判断中，正确的是（ ）
（A ）其中有3个区的人口数都低于40万 （B ）只有1个区的人口数超过百万
（C ）上城区与下城区的人口数之和越过江干区的人口数 （D ）杭州市区的人口总数已超过600万
7．已知m =(⎛⨯- ⎝⎭
，则有（ ） （A ）36m << （B ）45m << （C ）54m -<<- （D ）65m -<<-
8．如图，在Rt ABO △中，斜边1AB =，若OC BA ∥，36AOC =∠，则（ ） （A ）点B 到AO 的距离为sin54 （B ）点B 到AO 的距离为sin36 （C ）点A 到OC 的距离为sin 36sin 54 （D ）点A 到OC 的距离为cos35sin 54 9．已知抛物线3(1)4y k x x ⎛
⎫
=+-
⎪⎝⎭
与x 轴交于点A B ，，
与y 轴交于点C ，则能使ABC △为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 10．已知关于x y ，的方程组343x y a x y a +=-⎧⎨
-=⎩，
．
其中31a -≤≤．给出下列结论：
①51x y =⎧⎨=-⎩
，是方程组的解；
②当2a =-时，x y ，的值互为相反数；
③当1a =时，方程组的解也是方程4x y x +=-的解； ④若1x ≤，则14y ≤≤．
其中正确的是（ ）
（A ）①② （B ）②③ （C ）②③④ （D ）①③④ 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11．数据1，1，1，3，4的平均数是__________；众数是__________．
12．化简216
312
m m --得__________；当1m =-时，原式的值为__________．
13．某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行1065.6多万元，则年利率高于__________%．
14
0a -<，若2b a =-，则b 的取值范围是__________．
15．已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm ，体积为1502
cm ，则这个棱柱的下底面积为__________2
cm ；若棱柱侧面展开图的面积为2002
cm ，记底面菱形的顶点依次为
A B C D AE ，，，，是BC 边上的高，则CE 的长为__________cm ．
16．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横坐标均为整数，若在此平面内移动点A ，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A 的横坐标仍是整数，则移动后点A 的坐标为__________． 三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17．（本小题满分6分）
化简：[][]2(1)(1)(1)(1)m m m m m m m m -++--+．若m 是任意整数，请观察化简后的结果．．，你发现原式表示一个什么数？ 18．（本小题满分8分）
当k 分别取112-，，时，函数2
(1)45y k x x k =--+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值． 19．（本小题满分8分） 如图是数轴的一部分，其单位长度为a ，已知ABC △中，3AB a =，4BC a =，5AC a =， （1）用直尺和圆规作出ABC △（要求：使点A C ，在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）记ABC △外接圆的面积为S 圆，ABC △的面积为S △，试说明
S S >π圆
△
．
20．（本小题满分10分）
有一组不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的条分别为5和7． （1）请写出其中一个三角形的第三条边的条； （2）设组中最多有n 个三角形，求n 的值；
（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率． 21．（本小题满分10分）
如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，分别以AB CD ，为边向外侧作等边三角形ABE 和等边三角形DCF ，连结AF ，DE ． （1）求证：AF DE =；
（2）若45BAD =∠，AB a =，ABE △和DCF △的面积之和等于梯形ABCD 的面积，
求BC 的长．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数2
(1)y k x x =+-的图象交于点(1)A k ，和点
(1)B k --，．
（1）当2k =-时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当ABQ △是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值． 23．（本小题满分12分）
如图，AE 切O ⊙于点E ，AT 交O ⊙于点M N ，，线段OE 交AT 于点C ，OB AT ⊥于
点B ，已知30EAT =∠，AE =MN = （1）求COB ∠的度数； （2）O ⊙的半径R ；
（3）点F 在O ⊙上（FME 是劣弧），5EF =，把OBC △经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E ，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在O ⊙上的三角形吗？请在图中画出．．这个三角形，并求出这个三角形与OBC △的周长之比．
．
2012年杭州市各类高中招生文化考试
数学参考答案
选择题解析 1．A 2．B
解析：如图
6cm 2cm 4cm ∴-=，则两圆关系为内切
3．D 4．B
解析：如图4180==36A A C A +=∴∠∠，∠∠
5．D
解析：A ：2
3
6
3
()p q p q -=- ，B ：23
2
(12)(6)2a b c ab abc ÷=，C ：2
2
33(31)31
m m m m ÷-=-
6．D 7．A
解析：m =
==>0,m <m <Ｄ直接排除. 8．C 解：如图
因为在Rt ABO △中，OC BA ∥，36AOC ∠=°，所以36BAO ∠=°，
54OBA ∠=°如图作BE OC ⊥，sin sin36BO BAO AB AB =∠=·°·，
而sin sin54BE BOE OB OB =∠=·°·，而1AB =， sin36sin54BE ∴=°°，即点A 到OC 的距离． 9．C
解析：如图
由所给的抛物线解析式可得A C ，为定值(10)A -，，(03)C -，，则
AC =30B k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
（1）0k >，则可得
①AC BC ==3k =
②AC AB =，则有
3
1
k +=k =
③AB BC =，则有31k +34k =
(2)0k <，B 只能在A 的左侧
④只有AC AB =，则有3
1
k --=k =10．C
解析：对方程组进行化简可得21
1x a y a =+⎧⎨=-⎩
①
31a -≤≤，5213a ∴-+≤≤，仅从x 的取值范围可得知①错误
②当2a =-时，3
3x y =-⎧⎨=⎩
，则x y ，的值互为相反数，则②正确
③当1a =时，3
0x y =⎧⎨=⎩
，而方程43x y a +=-=，则x y ，也是此方程的解，则③正确
④1x ≤，则211a +≤，则0a ≤，而题中所给31a -≤≤，则30a -≤≤，114a -≤≤，则14y ≤≤，选项④正确 二、填空题
11．2，1；12．
4
3
m +，1；13．6.56；14．22b -≤；15．15，1或9；16．(11)-，，(23)--，，(02)，，(22)--，
填空题解析 11．（1）2，（2）1
12．（1）4
3
m +，（2）1 解析：原代数式=(4)(4)4
3(4)3m m m m +-+=
-，代入1m =-得原式=1 13．6.56
解析：设年利率为x ％，由题可得不等式1000(1)10656x +％．≥，解得656x ．≥
14．22b ≤
解析：因为0>，则0a >，而要使得不等式的值小于0，则只有0a <，所以可得
0a <<，可得222a -<，则22b ≤
15．（1）15，（2）1或9
解析：由题意可得，V Sh =，代入可易得下底面积为215cm
而2200cm 为总的侧面积，则每一条底边所在的侧面积为250cm ，因为高为10cm ，所以菱形
底边长为5cm ，而底面积为215cm ，所以高3cm AE =
① 如图，E 在菱形内部EC BC BE =-4，所以1EC =
②如图，E 在菱形外部EC BC BE =+，9EC =
16．(11)-，，(23)--，，(02)，，(22)--， 解析：如图
三、解答题
17．解：原式=2222232()()2822m m m m m m m m m m m -++---=-=-⨯-
观察38m -，则原式表示一个能被8整除的数
18．解：k 只能1-，当1k =，函数为44y x =-+，是一次函数，一次函数无最值， 当2k =，函数为243y x x =-+，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值
当1k =-，函数为2246y x x =--+，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为22(1)8y x =-++，则当1x =-时，max 8y =
19．解：（1）作图略
（2）如图作外接圆
由题可知，2
22(3)
(4)(5)a a a +=，222BC AC AB +=∴，则ABC △为直角三角形，而
90ABC ∠=°，则AC 为外接圆的直径
262ABC
AB BC S a ==△·，而2
2254AC S a ⎛⎫
=π=π ⎪
2⎝⎭
圆
2
225254624
S S a απ==π>π圆△
20．解：（1）第三边长为6，（2<边长<12中，任意整数边长即可）； （2）设第三边长为L ，由三角形的性质可得7575L -<<+， 即212L <<，
而组中最多有n 个三角形 34567891011L ∴=，，，，，，，，则9n =；
（3）在这组三角形个数最多时，即9n =，
而要使三角形周长为偶数，且两条定边的和为12， 则第三边也必须为偶数， 则46810L =，，，
()4
9
A P ∴=．
21．解：（1）在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =， BAD CDA ∴∠=∠
而在正ABE △和正DCF △中，
AB AE DC DF ==，且60BAE CDF ∠=∠=° AE DF ∴=且EAD FDA ∠=∠且AD 公共 (SAS)AED DFA ∴△△≌
AF DE ∴=；
（2）如图作BH AD ⊥，CK AD ⊥，则有BC HK = 45HAB KDC ∠=∠=°
AB ∴，
同理CD ==，
()AD BC HB
S +=
梯2
·
AB a =
222BC S ⎫⎪⎝⎭==⨯+∴梯·
而2
AEB DCF S S △△==
而由题得AEB DCF S S S +=△△梯
22⨯
BC ∴=
22．解：（1）当2k =-时，(12)A -，
A 在反比例函数图象上
∴设反比例函数为k y
x
=
， 代入A 点坐标可得2k =-
2x
y -∴=
（2）要使得反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，
0k ∴<
而对于二次函数2y kx kx k =+-，其对称轴为1
2
x =- ,
要使二次函数满足上述条件，在0k <的情况下， 则x 必须在对称轴的左边，
即1
2
x <-时，才能使得y 随着x 的增大而增大
∴综上所述，则0k <，且12
x <-
（3）由（2）可得1524Q k ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭，
ABQ △是以AB 为斜边的直角三角形
A ∴点与
B 点关于原点对称，原点O 平分AB
又
直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半
OQ OA OB ∴==
作AD OC QC OC ⊥⊥，
OQ =
而OA
则k ，若k =23．解：（1）OB AT ⊥，且AE CE ⊥
∴在CAE △和COB △中，90CBO AEC =∠=∠° 而BCO ACE ∠=∠ 30COB A ∴∠=∠=°； （2）
3330AE A =∠=°
3EC ∴=
连结OM
在MOB △中，2
MN
OM R MB ==
=，
OB ∴
而在COB
△
中，BO==
OC
∴=
又OC EC OM R
+==
3
R
∴
整理得2181150
R R
+-=
(23)(5)0
R R
+-=
23
R
∴=-（不符合题意，舍去），若5
R=
则5
R=
（3）在EF同一侧，COB
△经过平移、旋转和相似变换后这样的三角形有6个，如图，每个小图2个顶点在圆上的三角形如图所示，
延长EO交O
⊙于D，连结DF
5
EF =，直径10
ED=，可得30
FDE
∠=°
FD
∴=
51015
EFD
C=++=+
△
由（2
）可得3
CDB
C=
△
5
EFD
DBC
C
C
==
∴△
△。