清华大学微积分高等数学课件第讲定积分的应用二
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高等数学(微积分)课件--64定积分的应用
x
MR(t)dt
x
(7 t)dt
7x
x2
0 C(x) C(0)
0 x
MC(t)dt 1
0
x 0
(3
t
/
3)dt
2
1
3x
x2 6
L(x) R(x) C(x) 2x2 4x 1 3
L L(5) L(1) 0
答：……
26
小结
1. 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的 面积。
dA
y
4
y2 2
dy,
A
4
dA 18.
2
12
例题与讲解
例*：求摆线xy
at a1
sin t cos t
(a
0,
0
t
2
)
一拱形
与x轴围成的图形的面积. y
解：
dA ydx
2a
A ydx
A
2a
ydx
2
0
a1 cos tdat
sin
t
0
0
O
x at sin t
y
a1
cos
2 求下列曲线所围成的图形的的公共部分面积 :
(1) r 2a cos (a 0);
[解答]
3
(2) r 3cos ,
求抛物线y x 2
r
1 4x
3co及s其. 在点(0,3)和(3[,0解) 答]
处的切线所围成的图形的面积.
[解答]
4 由y x 3 , x 2, y 0所围成的图形,分别绕x轴 及y轴旋转,计算所得两个旋转体的体积. [解答]
3. 以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在
清华大学微积分课件17定积分(二)
5
x2
lim
x0
(1 cos x)
3
x 5 2
2
1 2x
(1 cos x)
lim x0
5x2
lim
x0
1 2
x2
5x2
1 10
2019/9/3
11
[例6] 试 问: 具 有 什 麽 性 质 的 函 数f ,恒 有
x
f ( x)dx a f (t)dt C ( x [a, b])
0
[解]
0
1 sin x dx
0
1
2 sin
x 2
cos
x 2
dx
0
(sin
x 2
cos
x 2
)2
dx
x
x
sin cos dx
0
2
2
2
(cos
x
sin
x
) dx
(sin
x
cos
x
)
dx
0
2
2
2
2
2
| |
(2sin
x
2 cos
a
0
(2)当f ( x)为 奇 函 数 时, 有
a
f (x)dx 0 a
[证](1)
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
a
0
对于右端第一项, 作变换: x t
又由f ( x)为偶函数知
2019/9/3
f (x) f (t) f (t)
x2
lim
x0
(1 cos x)
3
x 5 2
2
1 2x
(1 cos x)
lim x0
5x2
lim
x0
1 2
x2
5x2
1 10
2019/9/3
11
[例6] 试 问: 具 有 什 麽 性 质 的 函 数f ,恒 有
x
f ( x)dx a f (t)dt C ( x [a, b])
0
[解]
0
1 sin x dx
0
1
2 sin
x 2
cos
x 2
dx
0
(sin
x 2
cos
x 2
)2
dx
x
x
sin cos dx
0
2
2
2
(cos
x
sin
x
) dx
(sin
x
cos
x
)
dx
0
2
2
2
2
2
| |
(2sin
x
2 cos
a
0
(2)当f ( x)为 奇 函 数 时, 有
a
f (x)dx 0 a
[证](1)
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
a
0
对于右端第一项, 作变换: x t
又由f ( x)为偶函数知
2019/9/3
f (x) f (t) f (t)
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
定积分的应用课件
2 信号处理
定积分可以计算信号的功 率、频谱和通量。
3 流体力学
通过定积分可以计算流体 的压力、速度和流率。
定积分在地理学中的应用
地形测量
通过定积分可以计算地球表面和 地质构造的高程。
气象学
定积分可以计算气象参数在空气 层中的分布和变化。
人口地理学
通过定积分可以计算人口密度和 城市发展的空间格局。
将面积概念应用于实际场 景，如教室布置和园艺规 划。
3 面积游戏
通过面积游戏和竞赛激发 学生学习兴趣和动力。
和混合效果。
3
创意表达
定积分可以用于艺术家和设计师的创意 表达和构思。
定积分在社会科学中的应用
社会学
定积分可以用于计算人口统计数 据和社会发展指标。
心理学
通过定积分可以建模心理过程和 行为变化。
经济学
定积分可以用于经济模型和政策 的评估和预测。
小学生学习面积时的应用
1 绘图和标注
2 实际场景
通过绘制图形和标注边长， 引导学生进行面积计算。
3
经济增长
通过计算国民收入的定积分，可以评估经济的增长率。
定积分在生物学中的应用
种群动态
定积分可以计算物种数量和 种群生长率。
生态系统
通过定积分可以计算能量流 量和物质循环。
药物浓度
定积分可以计算药物在体内 的浓度和释放速率。
定积分在工程学中的应用
1 结构分析
定积分可以计算结构的强 度、刚度和变形。
定积分在计算机科学中的应用
1 图像处理
定积分可以计算图像的亮 度、对比度和边缘检测。
2 数据挖掘
通过计算定积分，可以评 估数据的分布和模式。
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
定积分的应用ppt课件共37页PPT
例 连接坐标原点O 及点 P(h, r )的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x d ] ， x
以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dVhr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
0hhr x2dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr 3
2
.
三、定积分在医学中的应用举例
如果函数 f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
yx4
y2 2x
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
特别地,当曲边梯形的曲边由参数方程
x(t) y(t), (T1 t T2)
给出时,则此曲边梯形的面积为:
A T2(t)(t)dt T1
其中T1和T2是对应于曲线的起点及终点的 参数值.
x (y)、直线y c、y d及y轴所围
成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [(y)]2dy c
d
x(y)
cox源自例 4 证 明 底 半 径 为 r , 高 为 h 的 圆 锥 的 体 积 公 式 .
清华大学微积分高等数学课件第讲定积分的应用二
W a bF y(y)d ykma bM yld 2yy2
kmM b2l2l
a2l2l
08.04.2021
[ln
l
b
ln a
]14 9
（三）静力矩和质心
1. 质点系的质心
y •A 3
•A n
•
yi
•
•
•A 1
o
•A i ( m i ) •A2
• •
x
xi
质 点 Ai 对x轴 的 静 m 力 iyi矩
于是得
Mx
Lydl
L
yd,l
0
0
My
Lxdl
L
xdl
0
0
M0Ldl0LdlL
质心坐标
08.04.2021
xMy
L
xdl
0
L
xdl
0
M L
L
yMx
L
ydl
0
L
ydl
0
M L
L
18
3. 平面薄板的质心
y
设面密度 常数
y f(x)
y
2
••
oa
x
xxdx b
08.04.2021
19
质量：
y
[解] 上半圆方程 y1b a2x2
下半圆方程 y2b a2x2 b
y12y2 2y2a2x2x2
x
a o a
1y2 a
a2x2
08.04.2021
6
所求面积为上、绕 下x轴 半旋 圆转的
侧面积之 ,故和
S 2 S 1 40 a y 11 y 1 2 d x 40 a y 21 y 2 2 d
[解]
kmM b2l2l
a2l2l
08.04.2021
[ln
l
b
ln a
]14 9
（三）静力矩和质心
1. 质点系的质心
y •A 3
•A n
•
yi
•
•
•A 1
o
•A i ( m i ) •A2
• •
x
xi
质 点 Ai 对x轴 的 静 m 力 iyi矩
于是得
Mx
Lydl
L
yd,l
0
0
My
Lxdl
L
xdl
0
0
M0Ldl0LdlL
质心坐标
08.04.2021
xMy
L
xdl
0
L
xdl
0
M L
L
yMx
L
ydl
0
L
ydl
0
M L
L
18
3. 平面薄板的质心
y
设面密度 常数
y f(x)
y
2
••
oa
x
xxdx b
08.04.2021
19
质量：
y
[解] 上半圆方程 y1b a2x2
下半圆方程 y2b a2x2 b
y12y2 2y2a2x2x2
x
a o a
1y2 a
a2x2
08.04.2021
6
所求面积为上、绕 下x轴 半旋 圆转的
侧面积之 ,故和
S 2 S 1 40 a y 11 y 1 2 d x 40 a y 21 y 2 2 d
[解]
《定积分应用》PPT课件 (2)
S侧
b
2
a
f (x)
1 f 2( x)dx
返回 11
2.定积分在物理中的应用
(1) 变力沿直线做功
微功 dw F( x)dx
功 (2) 水压力
b
W a F ( x)dx
微压力 dp gxA( x)dx
压力
b
P gxA( x)dx
a
返回 12
二、典型例题
例1 已知
y
星
形
线
x y
2
返回 28
（2）所求图形的面积
S
1
(
y2
1
2
y)dy
( y 1)3 1 1
0
3
3
0
（3）所求旋转体体积
V 2
2
( x 1)dx
2
3
1
3 26
返回 29
4 （1）求面积
1
A 0 (2 x 2x)dx
(4
3
x2
1
x2)
1
3
3
0
（2）求体积
V
1
4xdx
1 (2 x )2dx
sin )2d
2
1 a2
4
返回 34
8.
S1
t(t3 x3 )dx
0
y
3 t4 4
y x3
S2
S2
1( x3 t3 )dx
t
S1
O
t1
x
3 t4 t3 1
4
4
S(t)
S1
S2
6 4
t4
t3
1 4
返回 35
令 S(t) 6t3 3t2 0
最新定积分的简单应用2PPT课件
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
【解析】 由题意，v0＝54 千米/时＝15 米/秒 ∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令 v(t)＝0 得 15－3t＝0，t＝5，即 5 秒 时，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为
s＝5v(t)dt＝5(15－3t)dt＝(15t－32t2)|50＝37.5(米)＝0.0375 公里
【思路分析】 切线的斜率即是函数在点 A 处的导数值，再由 积分式算出 S1 与 S2 并用 t 表示，最后是代入方程中求出 t 的值．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
【解析】 (1)∵y′＝6x，故在 A 点处的导数值为 6t，此时切 线的方程为： y－3t2＝6t(x－t)，整理得 y＝6tx－3t2(0<t<1)； (2)S1＝1[3x2－(6tx－3t2)]dx＝(x3－3tx2＋3t2x)|t1＝
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科） 与定积分相关的综合问题
如图，过抛物线 C：y＝3x2(x≥0)上一点 A(t,3t2)的切线为 l(0<t<1)，S1 是抛物线 C 与切线 l 及直线 x＝1 所围成的图形面 积；S2 是抛物线 C 与切线 l 及直线 x＝0 所围成的图形面积． (1)求切线 l 的方程； (2)用 t 表示 S1 和 S2； (3)若 27S2＝S1，求 t 的值．
a
a
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
2．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以
速度 v(t)＝5－t＋15＋5 t(单位：m/s)紧急刹车至停止，求
(1)火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间； (2)紧急刹车后，火车运行的路程．
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从a到a2l求积分 ,得到细杆对质点的
a2l kmM1
F a
2l x2dx
2020/12/21
| kmM (1)a2l kmM
2l
x a a(a 2l)
8
[例2] 细 杆 、 质 点1.同 质例 点 位 于 细
的 垂 直 平 分,距 线杆 上的 中 心 a. 为
求 细 杆 对 质 点 的 F. 引 力
b
M ydx
a
静力矩：
Mx
1
2
by2dx,
a
b
My
xydx
a
质心坐标：
b
xydx
x
a b
,
a ydx
2020/12/21
1 b y 2 dx
y 2
a b
a ydx
19
[例1] 求曲线y si nx在区间 [, 3]上的
2
部分与 x轴、直x线 3 所夹区域
2 图形的 重心.坐标
[解] y
x
a
x xdx b
功的微元 dW f(x)dx
b
W a f (x)dx
2020/12/21
12
[例3] 将例 2中的质点沿垂直由平距分杆线的 中心a为处移至距杆的b中 处.心求为克服 引力所做W 的. 功
[解] 分割区间 [a,b]
取小区[y间 , ydy],视为常力做功
功 的 微 元 dWFy(y)dy由例2知
4a [b (a2x2) (ba2x2)] a d
0
a2x2
8ab a dx
0 a2 x2
8ab arc | sxian42ab
2020/12/21
a0
6
二、物理应用
（一）引力问题
[例1] 设 有 一 均 匀 细,长杆为2l, 质 量 为M.另 有
一 质 量 为 m的 质 点, 位 于 细 杆 所 在 直,线
2020/12/21 质点 Ai对y轴的静力 mixi矩 14
n
质点x系 轴对 的静M 力 x矩mi： yi
i1
n
质点系 y轴对 的静M 力 y矩mi： xi
n
i1
质 点 系 总 质 M量 ： mi
i1
设质心为： (x, y)
由静力矩定律知 M xMy, M yMx
n
n
x
My
mi xi
i 1
2020/12/21
M
M
y
Mx
mi yi
i 1
M
M 15
2. 平面曲线的质心
设线密度 常数 (质量均匀)分布
分割弧长区间[0, L] y
任取一小区间
y
[l,l dl]
视为质点： (x, y)
A
dMdl o
2020/12/21
质量微元
•dl
B
x x
16
静力矩微元： dx M yd,ldy M xdl
[解]
y●b
向量加法 a• dF x
l
2020/12/21
dF y
dF
lx
o x xdx 9 13
设引F力 {Fx, Fy}
由 于 细 杆 均 ,质匀 点 关 于 细 杆 的有 位
对 称 性 , 故Fx 0, 只 须 求 Fy. 分 割区[间 l,l] 取小 [x,x区 d]x 视 ,间为 ,质 质 :量 M d 点 2l d F km x 2 ( M 2 la d 2) xk2 lm x 21 M a 2dx
W a bF y(y)d ykma bM yld 2yy2
kmM b2l2l
a2l2l
2020/12/21
[ln
l
b
ln a
]13 9
（三）静力矩和质心
1. 质点系的质心
y •A 3
•A n
•
yi
•
•
•A 1
o
•A i ( m i ) •A2
• •
x
xi
质 点 Ai 对x轴 的 静 m 力 iyi矩
于是得
Mx
Lydl
L
yd,l
0
0
My
Lxdl
L
xdl
0
0
M0Ldl0LdlL
质心坐标
2020/12/21
xMy
L
xdl
0
L
xdl
0
M L
L
yMx
L
ydl
0
L
ydl
0
M L
L
17
3. 平面薄板的质心
y
设面密度 常数
y f(x)
y
2
••
oa
x
xxdx b
2020/12/21
18
质量：
y
•
x
2020/12/21
24
M y3 2a3
(1co )s3co d s
0
3 2 a 30 (c o 3 cs2 o s 3 c3 o s c4 o )d s
5 a3
4
于是 x My 5a
M6
重心直角坐标
重心极坐标
5 (x a, y0) 6 2020/12/21
( 0, 5a)
625
y
[解] 上半圆方程 y1b a2x2
下半圆方程 y2b a2x2 b
y12y2 2y2a2x2x2
x
a o a
1y2 a
a2x2
2020/12/21
5
所求面积为上、绕 下x轴 半旋 圆转的
侧面积之 ,故和
S 2 S 1 40 a y 11 y 1 2 d x 40 a y 21 y 2 2 d
dFy dFcos
2020/12/21
kmMa 1
2l
(x2
a2)32
dx
10
Fyk2m l M ll(xa21a2)32dx
a
kmM l2 a2
F0,
kmM
a l2a2
引力大小F为 kmM a l2 a2
方向沿细杆的垂线直并平指分向细
2020/12/21
11
（二）变力做功问题
问:求 题物 xa 体 移x 从 到 b变f(力 x) 所做的功
清华大学微积分高等数学课件第讲定积分的应用二
圆 台 侧 [面 y(积 yd)y]dl 2ydldy dl
当 dx0时 , dyd l o(d)x, 略去 得侧面积微元：
dS 2ydl2y1y2dx
侧面积
2020/12/21
S2
b
y
1y2dx
a
4
[例8] 求圆 x2(yb)2a2绕x轴旋转所 旋转(环 体体 )的(表)面积 S. (0ab)
ysinx
3
o
2
x
2020/12/21
20
3
M 2sinxdx1 3
My 2x(sinx)dx
3 3
| xcoxs 2 2coxsdx1
Mx
1 2
32sin2 xdx1
4
3
2(1c
o2sx)dx
| 1(x1si2nx)32
42
8
2020/12/21
21
x My 1
M
y Mx
M8
重心坐标：
2020/12/21
( 1, )
8
22
[例 2]求 心 脏 a线 (1cos)所 围 区
图 形 的 重 . 心 坐 标
[解] 由对称性知 y 0
M21a2 (1co)s2d
20
4a2
c
o4sd
0
2
8a2
2co4stdt
3 a2
0
2020/12/21
2
23
x 2()cos
3
与杆的近端的距a离. 为 求细杆对质点
引力F. m
[解]
o•
M
x
a x xdx 2l a
两 质 点 之 间 的 引 力, 遵 2020/12/21 循 万 有 引 力 定 律
f
k
m1 m2 r2
7
分 割 区 [a,a间 2l] 取小 [x,x区 d]x 视 ,间为 ,质 质 :量 M d 点
2l d F km (x M 2 2 ld)x k2 lm x 1 2 M dx
a2l kmM1
F a
2l x2dx
2020/12/21
| kmM (1)a2l kmM
2l
x a a(a 2l)
8
[例2] 细 杆 、 质 点1.同 质例 点 位 于 细
的 垂 直 平 分,距 线杆 上的 中 心 a. 为
求 细 杆 对 质 点 的 F. 引 力
b
M ydx
a
静力矩：
Mx
1
2
by2dx,
a
b
My
xydx
a
质心坐标：
b
xydx
x
a b
,
a ydx
2020/12/21
1 b y 2 dx
y 2
a b
a ydx
19
[例1] 求曲线y si nx在区间 [, 3]上的
2
部分与 x轴、直x线 3 所夹区域
2 图形的 重心.坐标
[解] y
x
a
x xdx b
功的微元 dW f(x)dx
b
W a f (x)dx
2020/12/21
12
[例3] 将例 2中的质点沿垂直由平距分杆线的 中心a为处移至距杆的b中 处.心求为克服 引力所做W 的. 功
[解] 分割区间 [a,b]
取小区[y间 , ydy],视为常力做功
功 的 微 元 dWFy(y)dy由例2知
4a [b (a2x2) (ba2x2)] a d
0
a2x2
8ab a dx
0 a2 x2
8ab arc | sxian42ab
2020/12/21
a0
6
二、物理应用
（一）引力问题
[例1] 设 有 一 均 匀 细,长杆为2l, 质 量 为M.另 有
一 质 量 为 m的 质 点, 位 于 细 杆 所 在 直,线
2020/12/21 质点 Ai对y轴的静力 mixi矩 14
n
质点x系 轴对 的静M 力 x矩mi： yi
i1
n
质点系 y轴对 的静M 力 y矩mi： xi
n
i1
质 点 系 总 质 M量 ： mi
i1
设质心为： (x, y)
由静力矩定律知 M xMy, M yMx
n
n
x
My
mi xi
i 1
2020/12/21
M
M
y
Mx
mi yi
i 1
M
M 15
2. 平面曲线的质心
设线密度 常数 (质量均匀)分布
分割弧长区间[0, L] y
任取一小区间
y
[l,l dl]
视为质点： (x, y)
A
dMdl o
2020/12/21
质量微元
•dl
B
x x
16
静力矩微元： dx M yd,ldy M xdl
[解]
y●b
向量加法 a• dF x
l
2020/12/21
dF y
dF
lx
o x xdx 9 13
设引F力 {Fx, Fy}
由 于 细 杆 均 ,质匀 点 关 于 细 杆 的有 位
对 称 性 , 故Fx 0, 只 须 求 Fy. 分 割区[间 l,l] 取小 [x,x区 d]x 视 ,间为 ,质 质 :量 M d 点 2l d F km x 2 ( M 2 la d 2) xk2 lm x 21 M a 2dx
W a bF y(y)d ykma bM yld 2yy2
kmM b2l2l
a2l2l
2020/12/21
[ln
l
b
ln a
]13 9
（三）静力矩和质心
1. 质点系的质心
y •A 3
•A n
•
yi
•
•
•A 1
o
•A i ( m i ) •A2
• •
x
xi
质 点 Ai 对x轴 的 静 m 力 iyi矩
于是得
Mx
Lydl
L
yd,l
0
0
My
Lxdl
L
xdl
0
0
M0Ldl0LdlL
质心坐标
2020/12/21
xMy
L
xdl
0
L
xdl
0
M L
L
yMx
L
ydl
0
L
ydl
0
M L
L
17
3. 平面薄板的质心
y
设面密度 常数
y f(x)
y
2
••
oa
x
xxdx b
2020/12/21
18
质量：
y
•
x
2020/12/21
24
M y3 2a3
(1co )s3co d s
0
3 2 a 30 (c o 3 cs2 o s 3 c3 o s c4 o )d s
5 a3
4
于是 x My 5a
M6
重心直角坐标
重心极坐标
5 (x a, y0) 6 2020/12/21
( 0, 5a)
625
y
[解] 上半圆方程 y1b a2x2
下半圆方程 y2b a2x2 b
y12y2 2y2a2x2x2
x
a o a
1y2 a
a2x2
2020/12/21
5
所求面积为上、绕 下x轴 半旋 圆转的
侧面积之 ,故和
S 2 S 1 40 a y 11 y 1 2 d x 40 a y 21 y 2 2 d
dFy dFcos
2020/12/21
kmMa 1
2l
(x2
a2)32
dx
10
Fyk2m l M ll(xa21a2)32dx
a
kmM l2 a2
F0,
kmM
a l2a2
引力大小F为 kmM a l2 a2
方向沿细杆的垂线直并平指分向细
2020/12/21
11
（二）变力做功问题
问:求 题物 xa 体 移x 从 到 b变f(力 x) 所做的功
清华大学微积分高等数学课件第讲定积分的应用二
圆 台 侧 [面 y(积 yd)y]dl 2ydldy dl
当 dx0时 , dyd l o(d)x, 略去 得侧面积微元：
dS 2ydl2y1y2dx
侧面积
2020/12/21
S2
b
y
1y2dx
a
4
[例8] 求圆 x2(yb)2a2绕x轴旋转所 旋转(环 体体 )的(表)面积 S. (0ab)
ysinx
3
o
2
x
2020/12/21
20
3
M 2sinxdx1 3
My 2x(sinx)dx
3 3
| xcoxs 2 2coxsdx1
Mx
1 2
32sin2 xdx1
4
3
2(1c
o2sx)dx
| 1(x1si2nx)32
42
8
2020/12/21
21
x My 1
M
y Mx
M8
重心坐标：
2020/12/21
( 1, )
8
22
[例 2]求 心 脏 a线 (1cos)所 围 区
图 形 的 重 . 心 坐 标
[解] 由对称性知 y 0
M21a2 (1co)s2d
20
4a2
c
o4sd
0
2
8a2
2co4stdt
3 a2
0
2020/12/21
2
23
x 2()cos
3
与杆的近端的距a离. 为 求细杆对质点
引力F. m
[解]
o•
M
x
a x xdx 2l a
两 质 点 之 间 的 引 力, 遵 2020/12/21 循 万 有 引 力 定 律
f
k
m1 m2 r2
7
分 割 区 [a,a间 2l] 取小 [x,x区 d]x 视 ,间为 ,质 质 :量 M d 点
2l d F km (x M 2 2 ld)x k2 lm x 1 2 M dx