连续函数的运算与性质
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连续函数的运算和性质
反函数的连续性
定理2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加(或
单调减少)且连续, 则它的反函数 x ( y)也在对应
的区间 I y { y | y f ( x), x I x }上 单调增加(或单
调减少)且连续. 证略
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x 在区间(,)内单调增加且连续; y arc cot x在区间(,)内单调减少且连续. 总之, 反三角函数 arcsin x, arccos x, arctan x, arc cot x 在它们的定义域内都是连续的.
第十节 连续函数的运算与性质
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0 处连续, 则 f ( x) g( x), f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 )
0)
在点 x0 处也连续. 例如, sin x, cos x 在(,)内连续,故
tan
x
sin cos
x0 2 处连续 , 于是
lim
x2
e 2x
x
1
e2 22
1
e2 5
.
幂指函数
形如 f ( x) u( x)v( x)(u( x) 0)的函数称为幂指函数.
因为
u( x)v( x) e , v( x)ln u( x)
故幂指函数可化为复合函数.
易见: 若 lim u( x) a 0, lim v( x) b, 则 lim u( x)v( x) lim ev( x)ln u( x) elim[ v( x)ln u( x )] e bln a a b .
高等数学-函数的连续性
则称 f (x) 在点 x0 处右连续.
定理1函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续 .
例1
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
注意：讨论分段函数的连续性时，在分段点处， 一定要分别考虑函数的左右连续性问题
例2
连续的几何意义：连续函数的图形是一条连续 而不间断的曲线. 例如, 函数y ex在区间 (, )内是连续的 .
二、连续函数的运算法则
1.函数的和、差、积、商的连续性
定理1：若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,
则 f (x) g(x),
f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)
0,那末就称函数
f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的连续点.
设 x x0 x,
y f (x) f (x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f (x) f (x0 ).
定义 2 设函数 f ( x)在U (x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0时的极限存在,且等于它在
定义区间是指有定义的区间.
求初等函数定义区间内各点的极限时，只 要计算它在该点的函数值
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例1
求
ex cos(x2 1)
lim
.
x1
2x 1
例2
求
ln(e x2 )
lim
x0
ax cos x
.
例3 求函数y x 的连续区间和间断点.
定理1函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续 .
例1
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
注意：讨论分段函数的连续性时，在分段点处， 一定要分别考虑函数的左右连续性问题
例2
连续的几何意义：连续函数的图形是一条连续 而不间断的曲线. 例如, 函数y ex在区间 (, )内是连续的 .
二、连续函数的运算法则
1.函数的和、差、积、商的连续性
定理1：若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,
则 f (x) g(x),
f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)
0,那末就称函数
f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的连续点.
设 x x0 x,
y f (x) f (x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f (x) f (x0 ).
定义 2 设函数 f ( x)在U (x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0时的极限存在,且等于它在
定义区间是指有定义的区间.
求初等函数定义区间内各点的极限时，只 要计算它在该点的函数值
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例1
求
ex cos(x2 1)
lim
.
x1
2x 1
例2
求
ln(e x2 )
lim
x0
ax cos x
.
例3 求函数y x 的连续区间和间断点.
连续函数的四则运算
在(0,+∞ ) 上, ymax = ymin = 1.
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
高等数学 第一章、第十节 连续函数的运算与性质
幂指函数 u( x)v( x) 的极限计算： 的极限计算：
若 lim u( x) = a > 0,
x→x0
x→x0
lim v( x) = b,
lim v( x)
则有 lim u( x)v( x) = [ lim u( x)] x→x0
x→x0 x→x0
= ab .
1 求 lim( x + 2ex ) x−1. 例6 x→0 1 1 lim 解： lim( x + 2e x )x−1 = [lim( x + 2e x )] x→0 x−1 x→0 x→0
∃ M > 0, 使对∀ x∈[a, b], 都有| f ( x) |≤ M （2） f (x) 在 [ a , b ] 上一定能取得它的最大值和最小值 ）
即至少一点ξ1 ∈[a, b], 使 f (ξ1 )为最大值 ,
和至少一点ξ2 ∈[a, b], 使 f (ξ2 )为最小值 . y 1 注记： 注记： （1）区间一定要是闭区间。 ）区间一定要是闭区间。 y= x 1 3 例 y = , I = (0, 1) o 1 x 在 I = (0, 1) 上连续, 但无界, 1 也无最大值和最小值。 也无最大值和最小值。
第十节 连续函数的运算与性质
• • • • • 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 五、小结
一、四则运算的连续性
, 定理1 定理1 若函数 f ( x), g( x)在点x0处连续
f ( x) ( g( x0 ) ≠ 0) 则 f ( x) ± g( x), f ( x) ⋅ g( x), g( x) 在点x 在点 0 处也连续.
(1) lim f ( x) = A , lim f ( x) = B, 且 A⋅ B< 0,
连续函数
x x0
则复合函数y f [ ( x )]当x x0时极限存在且等于f ( u0 )， 即 lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f ( u0 ).
x x0 x x0
特别地，若(1)函数u ( x )在点x0 处连续； ( 2)函数y f ( u)在点u0 处连续； 则复合函数y f [ ( x )])在点x0 处连续，
x2 1 (1) y x 1 x2 1 解：函数 y 在x 1处无定义， x 1 所以x 1是函数的间断点. x2 1 又 lim lim( x 1) 2， x 1 x 1 x 1 所以x 1是函数的可去间断点.
高等数学Ⅰ课件
三峡大学理学院
பைடு நூலகம்
x , x 1, ( 2) f ( x ) 0, x 1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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注 : 若在y f ( x0 x ) f ( x0 )中，记x x0 x，则x 0 x x0，y 0 f ( x ) f ( x0 )，于是有如下等价定义：
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二、 间断点及其类型
设函数f ( x )在点x0的某去心邻域内有定义，则有下列情形 之一者，函数f ( x )在点x0 不连续 :
(1)函数f ( x )在点x0 无定义；
( 2)函数f ( x )在点x0 有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
( 3)函数f ( x )在点x0 有定义，且 lim f ( x )存在，但
定义1-23：在点 x0 的单侧连续性
则复合函数y f [ ( x )]当x x0时极限存在且等于f ( u0 )， 即 lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f ( u0 ).
x x0 x x0
特别地，若(1)函数u ( x )在点x0 处连续； ( 2)函数y f ( u)在点u0 处连续； 则复合函数y f [ ( x )])在点x0 处连续，
x2 1 (1) y x 1 x2 1 解：函数 y 在x 1处无定义， x 1 所以x 1是函数的间断点. x2 1 又 lim lim( x 1) 2， x 1 x 1 x 1 所以x 1是函数的可去间断点.
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x , x 1, ( 2) f ( x ) 0, x 1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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注 : 若在y f ( x0 x ) f ( x0 )中，记x x0 x，则x 0 x x0，y 0 f ( x ) f ( x0 )，于是有如下等价定义：
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二、 间断点及其类型
设函数f ( x )在点x0的某去心邻域内有定义，则有下列情形 之一者，函数f ( x )在点x0 不连续 :
(1)函数f ( x )在点x0 无定义；
( 2)函数f ( x )在点x0 有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
( 3)函数f ( x )在点x0 有定义，且 lim f ( x )存在，但
定义1-23：在点 x0 的单侧连续性
连续函数的运算与性质
由零点定理 ,
(0, 1) , 使 f ( ) 0 , 即 3 4 2 1 0 .
方程 x 3 4x 2 1 0 在 (0, 1) 内至少有一个实根 .
例 8（ E06） 设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续 , 且 f (a) 使得 f ( ) .
证 令 F ( x) f ( x) x , 则 F ( x) 在 [ a, b] 上连续 . 而 F (a ) f (a) a 0 , F (b) f (b) b 0 , 由零点定理 , 即 f( ) .
解
因为 f ( x)
ex 2x
1
是初等函数， 且
x0
2 是其定义区间内的点， 所以 f (x)
ex 在 2x 1
2/4
点 x0 2 处连续，于是
ex lim
e2
e2
.
x 2 2x 1 2 2 1 5
1
例 6（讲义例 4） 求 lim (x 2ex) x 1 .
x0
1
1
解 lim ( x 2e x ) x 1
至少各有一个实根 .
例 10 设 f (x) 在 [ a, ) 上连续 , f (a) 0, 且
lim f (x) A 0,
x
证明 : 在 [ a, ) 上至少有一点 , 使 f ( ) 0.
证 只要能找到一点 x1 a , 使 f ( x1) 0 , 便可对 f ( x) 在 [ a, x1 ] 上应用零点定理 ，得到 所需的结论 .
f ( ) 0.
由于 (a, x1) (a, ), 也就是说在 (a, ) 内至少有一点 , 使 f ( ) 0.
课堂练习
x
1. 求下列极限 lim ln( e | x |) . x1
连续函数运算及性质-PPT课件
同理 y arccos x 在 [ 1 , 1 ] 上单调减少且 ;
反三角函数在其定义域内皆连续.
世界会向那些有目标和远见的人让 路 与君共勉 3
y arctan x , y arc cot x 在 [ , ] 上单调 .
定理3
若 lim ( x ) a ,函数 f ( u ) 在点 a 连续 ,
2 2 (1 x 1 )( 1 x 1 ) lim 解 原式 2 x 0 x (1 x 1 ) x 0 lim 0 . 2 x 0 1 x 1 2
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如,
y cos x 1 , D : x 0 , 2 , 4 ,
这些孤立点的邻域内没有定义.
y x( x 1 ),
2 3
D : x 0 , 及 x 1 ,
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间 [ 1 , ) 上连续 .
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
x ★ 指数函数 y a ( a 0 , a 1 )
在 ( , ) 内单调且连续 ;
★ 对数函数 y log x ( a 0 , a 1 ) a
在 ( 0 , ) 内单调且连续 ;
世界会向那些有目标和远见的人让 路 与君共勉 9
一、四则运算的连续性
定理1
若函数 f( x ),g ( x ) 在点 x 处连续 , 0
f( x ) 则 f( x ) g ( x ), f( x ) g ( x ), ( g ( x ) 0 ) 0 g ( x ) 在点 x 处也连续 . 0
x , cos x 在 ( , ) 内连续 , 例如, sin
函数的连续性与连续函数的运算
连续，由此得到函数 x , x 的连续性.
y
x0 处
y max{ f ( x), g ( x)}
y f x y g x
y min{ f ( x), g ( x)}
O
x
2.复合函数的连续性 定理2 若函数 y f (u ) 在点 u
u u ( x) 在点 x x0 处连续, 则复合函数 y f u( x)
1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , 2
( x) min{ f ( x), g ( x)}
1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , 2
再注意到：若 f ( x)在点 x0 处连续，则 f ( x) 在点
g x
f x
g ( x0 ) 0
都在点 x0 处连续.
例
设函数 f ( x), g ( x) 在点 x0 处连续，则函数
( x) max{ f ( x), g ( x)}, ( x) min{ f ( x), g ( x)},
在点 证
x0 处连续. 因 ( x) max{ f ( x), g ( x)}
y
1
1
之间变动，则把点 x0 称为函数 f ( x)的振荡间断点. 可去间断点与跳跃间断点的特征是,
若当 x x0 时，函数值 f ( x) 无限次地在两个不同的数
函数在这一点的左右极限均存在. 通常把这一类间断点
称为第一类间断点.
除此之外的间断点称为第二类间断点.
x 2 1 x 1 例 讨论函数 f ( x) 0 1 x 1 的连续性. x x 1
y
x0 处
y max{ f ( x), g ( x)}
y f x y g x
y min{ f ( x), g ( x)}
O
x
2.复合函数的连续性 定理2 若函数 y f (u ) 在点 u
u u ( x) 在点 x x0 处连续, 则复合函数 y f u( x)
1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , 2
( x) min{ f ( x), g ( x)}
1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , 2
再注意到：若 f ( x)在点 x0 处连续，则 f ( x) 在点
g x
f x
g ( x0 ) 0
都在点 x0 处连续.
例
设函数 f ( x), g ( x) 在点 x0 处连续，则函数
( x) max{ f ( x), g ( x)}, ( x) min{ f ( x), g ( x)},
在点 证
x0 处连续. 因 ( x) max{ f ( x), g ( x)}
y
1
1
之间变动，则把点 x0 称为函数 f ( x)的振荡间断点. 可去间断点与跳跃间断点的特征是,
若当 x x0 时，函数值 f ( x) 无限次地在两个不同的数
函数在这一点的左右极限均存在. 通常把这一类间断点
称为第一类间断点.
除此之外的间断点称为第二类间断点.
x 2 1 x 1 例 讨论函数 f ( x) 0 1 x 1 的连续性. x x 1
8 连续函数的运算与初等函数的连续性
2
x = 0是它的可去间断点
数学分析（ 数学分析（上）
★ 对数函数 y = log a x
在( 0,+∞ )内单调且连续 ;
数学分析（ 数学分析（上）
★ y = x µ = a µ loga x
y = a , u = µ log a x .
u
在(0, + ∞ )内连续 ,
双曲函数及反双曲函数在其R内都是连续函数 双曲函数在其 内都是连续函数. ★ 双曲函数及反双曲函数在其 内都是连续函数. 定理4 定理 (1)基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数 基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数； (1)基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数； (2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数. 2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数. 2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数
的连续性. 究复合函数 f [ g ( x )]与 g[ f ( x )]的连续性
解
f [ g( x )] = sgn(1 + x ) = 1
2
f [ g( x )]在( −∞,+∞)上处处连续
2, x ≠ 0 g[ f ( x )] = 1 + (sgn x ) = 1, x = 0 g[ f ( x)]在(−∞,0) ∪ (0,+∞)上处处连续 −∞
数学分析（ 数学分析（上）
ln(1 + x ) 例如 lim = lim ln( 1 + x ) x →0 x→0 x
x→0
1 x
= ln lim (1 + x )
ln x − ln a (a > 0) 例1 求 lim x →a x−a
1 x
=1
x = 0是它的可去间断点
数学分析（ 数学分析（上）
★ 对数函数 y = log a x
在( 0,+∞ )内单调且连续 ;
数学分析（ 数学分析（上）
★ y = x µ = a µ loga x
y = a , u = µ log a x .
u
在(0, + ∞ )内连续 ,
双曲函数及反双曲函数在其R内都是连续函数 双曲函数在其 内都是连续函数. ★ 双曲函数及反双曲函数在其 内都是连续函数. 定理4 定理 (1)基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数 基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数； (1)基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数； (2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数. 2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数. 2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数
的连续性. 究复合函数 f [ g ( x )]与 g[ f ( x )]的连续性
解
f [ g( x )] = sgn(1 + x ) = 1
2
f [ g( x )]在( −∞,+∞)上处处连续
2, x ≠ 0 g[ f ( x )] = 1 + (sgn x ) = 1, x = 0 g[ f ( x)]在(−∞,0) ∪ (0,+∞)上处处连续 −∞
数学分析（ 数学分析（上）
ln(1 + x ) 例如 lim = lim ln( 1 + x ) x →0 x→0 x
x→0
1 x
= ln lim (1 + x )
ln x − ln a (a > 0) 例1 求 lim x →a x−a
1 x
=1
连续函数的运算性质
§2.2 连续函数的运算与初等函数的连续性【导语】对于一般函数，从定义出发讨论其连续性不仅困难，也没必要。
因为许多函数都是由简单函数经过四则运算和复合运算得到的。
得到了简单函数的连续性结果后，只要再了解连续函数经过运算之后的连续性结论，我们就可以得到一般函数的连续性结果。
本讲将介绍连续函数的和、差、积、商函数，复合函数，以及反函数的连续性结果，并给出初等函数在其定义区间上的连续性。
【正文】一、连续函数的四则运算定理2 如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，那么它们的和、差、积、商函数()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ，0()(()0)()f xg x g x ≠均在0x 处连续．二、复合函数的连续性定理3 如果函数()f u 在0u 处连续，函数()g x 在0x 处连续，且00()u g x =，那么复合函数(())f g x 在0x 处连续．从运算的角度看，有000lim (())(lim ())((lim ))x x x x x x f g x f g x f g x →→→== 成立．即对连续函数来说，极限求值运算与函数求值运算可以交换次序．三、反函数的连续性定理 4 设1()f y -是函数()f x 的反函数，且00()y f x =．如果函数()f x 在0x 处连续，那么函数1()f y -在0y 处连续．例 1 证明：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．解 对任意的0(0,)x ∈+∞，记00ln y x =，因为指数函数e y x =在0y 处连续，所以其反函数ln y x =在0x 处连续。
由0x 的任意性可知：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．例 2 证明：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．证 当(0,)x ∈+∞时，根据指数函数与对数函数的性质，得ln ln e e x x y x ααα===．对任意的0(0,)x ∈+∞，因为函数ln x α在0x 处连续，且指数函数e u 在00ln u x α=处连续，所以ln e x y x αα==在0x 处连续．由0x 的任意性可知：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．例 3 证明：如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，且0()0f x >，则函数()()g x y f x =在0x 处连续．证 根据指数函数与对数函数的性质，得()()ln ()()ln ()()e e g x g x f x g x f x y f x ===． 因为0()0f x >，所以对数函数ln u 在0()f x 处连续。
高数课件：第一章、第九节 连续函数的运算与性质
左、右连续性.
思考与练习
续? 反之是否成立? 提示: f ( x ) 在 x 0 连续， lim f ( x) f ( x0 )
x x0
且 0 f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) 0 0
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 且 ( x0 ) u0 .
即
于是 故复合函数 意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
u u 0
lim f (u )
f [ ( x0 )]
2.变量代换(u ( x))的理论依据.
例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
e
6x x0 sin x lim
1 ln(1 2 x ) 2 x
e
e
6x lim x0 sin x
1 ln[lim(1 2 x ) 2 x x0
]
6 ln e
e
6
例5. 求
另解: 原式
3 sin x ln(1 2 x )
3 2x x
v( x) , 则有 说明: 若 lim u ( x) 0 , xlim x0
y sin x arcsin x 上连续单调递增， 例如, y sin x 在 2 1 其反函数 y arcsin x 在[1, 1]上也连续单调 O 1 x
2
(证明略)
递增.
又如,
在 上也连续单调递增.
上连续 在
y 1
单调 递增, 其反函数
y ex y ln x
O
1
ln(1 x) ~ x 时, 有 e x 1 ~ x
思考与练习
续? 反之是否成立? 提示: f ( x ) 在 x 0 连续， lim f ( x) f ( x0 )
x x0
且 0 f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) 0 0
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 且 ( x0 ) u0 .
即
于是 故复合函数 意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
u u 0
lim f (u )
f [ ( x0 )]
2.变量代换(u ( x))的理论依据.
例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
e
6x x0 sin x lim
1 ln(1 2 x ) 2 x
e
e
6x lim x0 sin x
1 ln[lim(1 2 x ) 2 x x0
]
6 ln e
e
6
例5. 求
另解: 原式
3 sin x ln(1 2 x )
3 2x x
v( x) , 则有 说明: 若 lim u ( x) 0 , xlim x0
y sin x arcsin x 上连续单调递增， 例如, y sin x 在 2 1 其反函数 y arcsin x 在[1, 1]上也连续单调 O 1 x
2
(证明略)
递增.
又如,
在 上也连续单调递增.
上连续 在
y 1
单调 递增, 其反函数
y ex y ln x
O
1
ln(1 x) ~ x 时, 有 e x 1 ~ x
第1章 函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质
提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解 本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1
2e
2
.
高等数学 第1章 函数极限与连续 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学 第1章 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o
x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.
连续函数的基本性质
第八节 连续函数的基本性质一．初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；（3）)()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，x x x y cos sin tan ==在2ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。
2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0lim 。
注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。
（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 00x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。
即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。
例1：求下列极限（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞→ （2）xx x )1ln(lim 0+→ （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。
高等数学 第一章 第八节 函数的连续性与间断点
教学：题型，求分段函数中的未知参数，前提条件为收敛、连续、可导等。
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
1 例如, u 在 ( , 0) (0, )内连续, x y sin u 在(, )内连续,
1 y sin 在 ( , 0) (0, )内连续. x
教学：复合函数的极限、连续问题归纳，三个定理。
4. 反函数的连续性.
定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.
教学：谈谈不连续的情形，第一类（可去、跳跃）、第二类（无穷大、振荡）
定理
（1） y f ( x) 在点 x0 处连续
f ( x0 ) 有定义， lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) f ( x0 ) ；
x x0 x x0
（2） y f ( x) 在点 x0 处连续
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
例
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
1 例如, u 在 ( , 0) (0, )内连续, x y sin u 在(, )内连续,
1 y sin 在 ( , 0) (0, )内连续. x
教学：复合函数的极限、连续问题归纳，三个定理。
4. 反函数的连续性.
定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.
教学：谈谈不连续的情形，第一类（可去、跳跃）、第二类（无穷大、振荡）
定理
（1） y f ( x) 在点 x0 处连续
f ( x0 ) 有定义， lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) f ( x0 ) ；
x x0 x x0
（2） y f ( x) 在点 x0 处连续
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
例
高等数学连续函数的运算
分析
根据题目要求，选择合适的连续函数 性质（如介值性、一致连续性等）， 然后构建辅助函数进行证明或求解。
03 导数在连续函数运算中应 用
导数概念及计算方法回顾
01
02
03
导数的定义
导数描述了函数在某一点 的变化率，即函数值随自 变量变化的快慢程度。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导数 公式、导数的四则运算法 则、复合函数的求导法则 等。
能的极值点$x=1/e$ （不在区间内，舍去）， 接着通过判断$f'(x)$在 区间$[1,e]$上的符号变 化情况得出$f(x)$在区 间$[1,e]$上单调递增， 最后比较区间端点处的 函数值得出最大值和最
04 积分在连续函数运算中应 用
积分概念及计算方法回顾
积分的定义
积分是微积分学与数学分 析里的一个核心概念，通 常分为定积分和不定积分 两种。
$f'(x)=0$求出可能的极 值点$x=1$，最后通过 判断$f'(x)$在$x=1$附 近的符号变化情况得出 $f(x)$在$x=1$处取得
极小值。
例题2
求函数$f(x)=xln x$在 区间$[1,e]$上的最大
值和最小值。
解答
首先求出函数$f(x)$的 导数$f'(x)=ln x + 1$， 然后令$f'(x)=0$求出可
积分的计算方法
包括换元积分法、分部积 分法、有理函数积分法等。
积分的几何意义
定积分可以表示平面图形 的面积、空间立体的体积 等。
积分在求解连续函数面积、体积问题中应用
平面图形的面积
通过定积分可以求解由连续曲线与直线所围成的 平面图形的面积。
空间立体的体积
数学分析 第二章23-1函数连续的定义、性质
x x0
对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
2021/3/22
24
恒有( x) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时, f (u) f (a) f [( x)] f (a) 成立.
lim f [ ( x)] f (a) [lim ( x)].
2.连续定义的另一表述
定义4 设函数 f ( x) 在 U ( x0 , )内有定义，如
果当自变量的增量 x趋向于零时，对应的函
数的增量 y 也趋向于零，即 lim y 0或
x 0
lim[
x 0
f
( x0
x)
f ( x0 )] 0,那末就称函数
f (x)
在点 x0 连续，x0 称为 f ( x)的连续点.
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16
即 设lim f (x) x x0
f
(
x0
)，lim( x0 ),则
(1)
lim[f
x x0
(
x
)
g(
x
)]
f
(
x0
)
g
(
x0
),
(，为常数);
(2)lim x x0
f (x)g(x)
f ( x0 )g( x0 );
（3）lim
f (x)
f (x0 )
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10
在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间 上连续，或者叫做在该区间上的连续函数. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如, 有理函数在区间(,)内是连续的. (错)
有理函数在定义区间内是连续的 .
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对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
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24
恒有( x) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时, f (u) f (a) f [( x)] f (a) 成立.
lim f [ ( x)] f (a) [lim ( x)].
2.连续定义的另一表述
定义4 设函数 f ( x) 在 U ( x0 , )内有定义，如
果当自变量的增量 x趋向于零时，对应的函
数的增量 y 也趋向于零，即 lim y 0或
x 0
lim[
x 0
f
( x0
x)
f ( x0 )] 0,那末就称函数
f (x)
在点 x0 连续，x0 称为 f ( x)的连续点.
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16
即 设lim f (x) x x0
f
(
x0
)，lim( x0 ),则
(1)
lim[f
x x0
(
x
)
g(
x
)]
f
(
x0
)
g
(
x0
),
(，为常数);
(2)lim x x0
f (x)g(x)
f ( x0 )g( x0 );
（3）lim
f (x)
f (x0 )
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10
在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间 上连续，或者叫做在该区间上的连续函数. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如, 有理函数在区间(,)内是连续的. (错)
有理函数在定义区间内是连续的 .
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高等数学-第一章 第八节连续函数
(2) lim f ( x) 存在; x x0
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 5
连续函数
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对 某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其 是判断分段函数在分界点处是否连续用 定义2方便.
处连续.
证
lim x0
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
连续函数
3. 左、右连续
若 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) ,
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from the
4
连续函数
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
f (u0 ).
意义 1. 变量代换 u g( x)的理论依据.
2. 在定理的条件下, lim 与f 可交换次序;
16
连续函数
定理3
若 lim x x0
g( x)
u0 , 函数
f
(u)在点u0连续,
则有 lim x x0
f [g( x)]
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 5
连续函数
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对 某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其 是判断分段函数在分界点处是否连续用 定义2方便.
处连续.
证
lim x0
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
连续函数
3. 左、右连续
若 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) ,
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from the
4
连续函数
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
f (u0 ).
意义 1. 变量代换 u g( x)的理论依据.
2. 在定理的条件下, lim 与f 可交换次序;
16
连续函数
定理3
若 lim x x0
g( x)
u0 , 函数
f
(u)在点u0连续,
则有 lim x x0
f [g( x)]
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三、 初等函数的连续性
定理30
一切初等函数在其定义区间内都是 连续的.
三、 初等函数的连续性
注
定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数仅 在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续.
例如,函数y=x2(x－1)3的定义域为{0}∪［1,+∞),函 数在点x=0的邻域内没有定义，因而函数y在x=0处不 连续，但函数在定义区间［1,+∞)上连续.
一定有界.
例53证明：若函数f(x)在(－∞,+∞)上连续，且
limx→∞f(x)存在，则f(x)在(－∞,+∞)上必有界.
证设limx→∞f(x)=A.若取ε=1
X>0,当x>X时，
f(x)－A<ε=1 即f(x)<1+A.
四、 闭区间上连续函数的性质
另一方面，f(x)在(－∞,+∞)上连续，所以在闭区 间［－X,X］上连续，因此当x≤X时，f(x)在［－X,X］ 上一定有界，即存在M0>0
图 2-16
四、 闭区间上连续函数的性质
推论
在闭区间上连续的函数必取得介于 最大值M与最小值m之间的任何值.
四、 闭区间上连续函数的性质
【例54】
设函数f(x)在(a,b)上连续，任取x1，x2∈(a,b)且x1<x2，证明在 (a,b)内至少存在一点ξ，使得
五、 一致连续性
f(x)≤M0. 若取M=maxM0,1+A，则对于任意的x∈(－ ∞,+∞)，均有f(x)≤M，即f(x)在(－∞,+∞)上有界. 如果f(x0)=0，则称x0为函数f(x)的零点.
四、 闭区间上连续函数的性质
定理33
(零点定理)设函数f(x)在闭区间 ［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号 ［f(a)·f(b)<0］，则在开区间(a,b)内至 少有函数f(x)的一个零点，即至少存在 一点ξ(a<ξ<b)，使f(ξ)=0.
四、 闭区间上连续函数的性质
定理34
(介值定理)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点 处有不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个 数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C.
介值定理的几何意义是：对介于fa与fb之间的任何一个数C,直线 y=C与连续曲线y=fx至少有一个交点，如图2-16所示.
例如，函数u=1x在(－∞,0)∪(0,+∞)内连续. 函数y=sin u在(－∞,+∞)内连续，所以y=sin1x在 (－∞,0)∪(0,+∞)内连续.
三、 初等函数的连续性
定理29
基本初等函数在其定义域内是连续的. 因初等函数是由基本初等函数经过有限次 四则运算和复合运算所构成的，故得到下列重 要结论.
图 2-13
四、 闭区间上连续函数的性质
注
当定理31中的“闭区间上 连续”的条件不满足时，定理 的结论可能不成立.例如，函数
在闭区间［0,1］上有间 断点x=0,x=1.该函数在闭区间 ［0,1］上既无最大值又无最 小值(见图2-14).
图 2-14
四、 闭区间上连续函数的性质
定理32
(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上
三、 初等函数的连续性
【例52】
四、 闭区间上连续函数的性质
下面介绍闭区间上连续函数的几个基本性质，由于它们的 证明涉及严密的实数理论，故略去其严格的证明，但可以借助 几何直观地来理解.
先说明最大值和最小值的概念.对于在区间I上有定义的函 数f(x),如果存在x0∈I，使得对于任一x∈I
f(x)≤f(x0)［f(x)≥f(x0) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值). 例如，函数y=cos x在区间π2,π上有最大值0和最小值－1. 函数y=sgn x在(－∞,+∞)内有最大值1和最小值－1.
二、 反函数与复合函数的连续性
定理27
二、 反函数与复合函数的连续性
注
把定理27中的x→x0换成x→∞，可得类似的定理.
二、 反函数与复合函数的连续性
【例50】
二、 反函数与复合函数的连续性
【例51】
二、 反函数与复合函数的连续性
定理28
设函数u=φ(x)在点x 0处连续，且φ(x0)=u0， 而函数y=f(u)在点u=u0处连续，则复合函数f ［φ(x)］在点x0处也连续.
三、 初等函数的连续性
定理30的结论非常重要,因为微积分的研究对象主要 是连续或分段连续的函数，而一般应用中所遇到的函数基 本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的，从而使微 积分具有强大的生命力和广阔的应用前景.此外，根据定 理30求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初 等函数在该点的函数值，即
连续函数的运定理25
二、 反函数与复合函数的连续性
定理26
若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续， 则它的反函数x=φ(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上 单调增加(或单调减少)且连续.
证明略. 例如，由于y=sin x在闭区间－π2,π2上单调增加且连续， 所以它的反函数y=arcsin x在对应区间［－1,1］上也是单 调增加且连续的.同理可得其他反三角函数的连续性.总之,反 三角函数在其定义域内都是连续的.
四、 闭区间上连续函数的性质
定理31
(最值定理)在闭区间上连续的函 数一定有最大值和最小值.
定理31表明，若函数f(x)在闭区 间［a,b］上连续，则至少存在一点 ξ1∈［a,b］，使f(ξ1)是f(x)在闭区间 ［a,b］上的最小值；又至少存在一 点ξ2∈［a,b］，使f(ξ2)是f(x)在闭区 间［a,b］上的最大值(见图2-13).
零点定理的几何意义是：若连续曲 线y=fx在［a,b］的端点处的函数值异 号，则曲线与x轴至少有一个交点，如 图2-15所示.
图 2-15
四、 闭区间上连续函数的性质
【例54】
证明方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少有一个实根. 证令f(x)=x5－7x+3,则f(x)在区间0,1上连续, f(0)=3>0,f(1)=－3<0 由零点定理知,在区间(0,1)内至少存在一点ξ, f(ξ)=0 即ξ5－7ξ+3=0.因此方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少 有一个实根.