经典计量经济学模型(放宽基本假定的问题)
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用D-1左乘 W=DD’ Y=X+u
两边，得到一个新的模型：
D1Y D1 Xβ D1μ
Y* X *β μ *
该模型具有同方差性。因为
E ( * *' ) E ( D 1 ' D 1' ) D 1E ( ' ) D 1' D WD
1 2 1'
(*)
可以证明，在同方差假设下：
R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，
表示渐近服从某分布。
2015/10/20 28
注意： 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的 显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释 变量的更高次方。 如果存在异方差性，则表明确与解释变量 的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出 有较高的可决系数以及某一参数的 t 检验值较 大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方 程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少， 有时可去掉交叉项。
w1 W w2 wn
即存在异方差性。
2015/10/20 4
上述假设的矩阵符号表示 式：
假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。 假设2，
1 E ( 1 ) E (μ) E 0 E ( ) n n 1 12 1 n ) E 1 n E E (μ μ 2 n n 1 n
1
x
2 i
ˆ
0
的样本方差：
2 2 2 2 ˆ S X n x ˆ i i
0
ˆ ˆ S ˆ 0 的样本标准差：
0
X i2 n x i2
2015/10/20
18
三、异方差检验
– 检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变量 观测值，随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项 的方差与解释变量观测值之间的相关性及其 相关的“形式”。
2015/10/20 11
例3 以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模 型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响 被包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度 不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变 量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
2015/10/20
19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法是:
• 首先采用OLS方法估计模型,得到随机误差项的 估计值(注意:该估计量是不严格的),于是有:
Var ( i ) E ( ) e
2 i
2 i
ei Yi Y i
• 即用残差项的平方代表随机误差项的方差.
14
其中利用了
ˆ ( X X) 1 X Y β
( X X ) 1 X ( Xβ μ) β ( X X ) 1 X μ
和
) 2I E (μμ
2015/10/20
15
2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了t统计量
其他检验也是如此。
2015/10/20 16
2015/10/20
26
④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
nc 2 ~ e2i ( 2 k 1) nc nc F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 2 ~ e ( k 1 ) 1i 2
⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设， 表明存在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的子 样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方 差。
10
例2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据 为样本建立居民消费函数：
Ci=0+1Yi+I
将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收 入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平 均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测 值的不同而不同，往往引起异方差性。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有 良好的统计性质；
§
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估 计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误 差变大，降低预测精度，预测功能失效。
2015/10/20 17
ˆ
1
的样本方差：
2 2 ˆ S ˆ
1
2 x i
ˆ ˆ S ˆ 1 的样本标准差：
2015/10/20 34
如何得到2W
？
从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项 的方差-协方差矩阵。因此 仍对原模型进行OLS估计，得到随机误差项 的近似估计量ěi，以此构成权矩阵的估计量，即
~2 e 1 ˆ 2W ~2 e n
7
二、 异方差的来源与后果
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+μi Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收 入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 μi的方差呈现单调递增型变化
2015/10/20
8
2015/10/20
9
2015/10/20
如果出现
Var(i ) i2
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
2015/10/20 3
一般情况下:
对于模型 Y=X+u 存在
E (μ )0 ) 2 W Cov (μ ) E (μ μ
由于该统计量服从F分布，因此假如存在递 增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同 方差）、或小于1（递减方差）。
2015/10/20 24
2015/10/20
25
G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小 排队 ②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值划分为较小与较大的相同的两个 子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2 ③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和
D DD D
1 2 '
' 1
I
2
2015/10/20 33
1 ˆ * ( X β X ) X * * * Y* 1 1 1 1 1 ( X D D X) X D D Y
( X W 1 X) 1 X W 1 Y
这就是原模型 Y=X+u 的加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量。 这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项u 的方差-协方差矩阵2W 。
1 1
1 f ( X ji ) X ki
X 1i 2 1 f ( X ji )
1 f ( X ji )
X 2i
f ( X ji )
1
i
新模型中，存在
Var ( 1 f ( X ji )
i ) E(
f ( X ji )
i )2
1 E ( i ) 2 2 f ( X ji )
var( 1 ) cov( 1 , n ) 2 cov( , ) 0 var( ) n 1 n 0 2I 2
假设3，E(X’
)=0，即
i E ( i ) X 1i i X 1i E ( i ) E 0 X X E ( ) Ki i Ki i
2015/10/20 12
异方差的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。
^
2015/10/20
21
几种异方差的检验方法： 1、图示法
（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂 型趋势（即不在一个固定的带型域中）
2015/10/20
22
使用X—e的散点图看是否形成一斜率为零 ． 的直线
~2 e i ~2 e i
X 同方差 递增异方差
X
~2 e i
经典计量经济学模型
放宽基本假定的问题
2015/10/20
1
第一节 异方差
• 一、异方差的概念
• 二、异方差的来源与后果 • 三、异方差性的检验 • 四、异方差的修正 • 五、案例
2015/10/20
2
一、 异方差的概念
对于模型
Yi 0 1 X ii 2 X 2i k X ki i
2015/10/20
29
四、 异方差的修正
1、 模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法 （Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
加权最小二乘法的基本思想： 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成 一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估 计其参数。
2 ˆ ˆ ˆ W e Wi [Yi ( 0 1 X 1 k X k )] 2 i i
2015/10/20
5
。
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi) 异方差时： i2 = f(Xi) 异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
2015/10/20
6
2015/10/20
在采用OLS方法时:
对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，
2015/10/20
对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。
30
例如，如果对一多元模型，经检验知：
Var ( i ) E ( i ) 2 i2 f ( X ji ) 2
1 f ( X ji )
Yi 0
1 f ( X ji ) k
即满足同方差性，可用OLS法估计。
2015/10/20 31
一般情况下:
对于模型 Y=X+u 存在
E (μ )0 ) 2 W Cov (μ ) E (μ μ
w1 W w2 wn
即存在异方差性。
2015/10/20 32
W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得
~2 e i
X
2015/10/20
X 复杂型异方差
23
递减异方差
2、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、 异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的思想：
先将样本一分为二，对子样①和子样② 分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之 比构造统计量进行异方差检验。
2015/10/20 13
2、无偏性
ˆ ) E (( X X ) 1 X Y ) E (β E (( X X ) 1 X ( Xβ μ )) β ( X X ) 1 E ( X μ ) β
这里利用了假设: E(X’)=0
3、有效性（最小方差性）
2015/10/20
2015/10/20 27
3、怀特（White）检验
怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差 怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i i
先对模型作OLS回归,得到残差项,然后做如 下辅助回归
~2 X X X 2 X 2 X X e i 0 1 1i 2 2i 3 1i 4 2i 5 1i 2i i
两边，得到一个新的模型：
D1Y D1 Xβ D1μ
Y* X *β μ *
该模型具有同方差性。因为
E ( * *' ) E ( D 1 ' D 1' ) D 1E ( ' ) D 1' D WD
1 2 1'
(*)
可以证明，在同方差假设下：
R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，
表示渐近服从某分布。
2015/10/20 28
注意： 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的 显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释 变量的更高次方。 如果存在异方差性，则表明确与解释变量 的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出 有较高的可决系数以及某一参数的 t 检验值较 大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方 程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少， 有时可去掉交叉项。
w1 W w2 wn
即存在异方差性。
2015/10/20 4
上述假设的矩阵符号表示 式：
假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。 假设2，
1 E ( 1 ) E (μ) E 0 E ( ) n n 1 12 1 n ) E 1 n E E (μ μ 2 n n 1 n
1
x
2 i
ˆ
0
的样本方差：
2 2 2 2 ˆ S X n x ˆ i i
0
ˆ ˆ S ˆ 0 的样本标准差：
0
X i2 n x i2
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三、异方差检验
– 检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变量 观测值，随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项 的方差与解释变量观测值之间的相关性及其 相关的“形式”。
2015/10/20 11
例3 以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模 型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响 被包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度 不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变 量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
2015/10/20
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法是:
• 首先采用OLS方法估计模型,得到随机误差项的 估计值(注意:该估计量是不严格的),于是有:
Var ( i ) E ( ) e
2 i
2 i
ei Yi Y i
• 即用残差项的平方代表随机误差项的方差.
14
其中利用了
ˆ ( X X) 1 X Y β
( X X ) 1 X ( Xβ μ) β ( X X ) 1 X μ
和
) 2I E (μμ
2015/10/20
15
2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了t统计量
其他检验也是如此。
2015/10/20 16
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④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
nc 2 ~ e2i ( 2 k 1) nc nc F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 2 ~ e ( k 1 ) 1i 2
⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设， 表明存在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的子 样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方 差。
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例2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据 为样本建立居民消费函数：
Ci=0+1Yi+I
将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收 入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平 均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测 值的不同而不同，往往引起异方差性。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有 良好的统计性质；
§
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估 计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误 差变大，降低预测精度，预测功能失效。
2015/10/20 17
ˆ
1
的样本方差：
2 2 ˆ S ˆ
1
2 x i
ˆ ˆ S ˆ 1 的样本标准差：
2015/10/20 34
如何得到2W
？
从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项 的方差-协方差矩阵。因此 仍对原模型进行OLS估计，得到随机误差项 的近似估计量ěi，以此构成权矩阵的估计量，即
~2 e 1 ˆ 2W ~2 e n
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二、 异方差的来源与后果
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+μi Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收 入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 μi的方差呈现单调递增型变化
2015/10/20
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2015/10/20
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2015/10/20
如果出现
Var(i ) i2
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
2015/10/20 3
一般情况下:
对于模型 Y=X+u 存在
E (μ )0 ) 2 W Cov (μ ) E (μ μ
由于该统计量服从F分布，因此假如存在递 增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同 方差）、或小于1（递减方差）。
2015/10/20 24
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G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小 排队 ②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值划分为较小与较大的相同的两个 子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2 ③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和
D DD D
1 2 '
' 1
I
2
2015/10/20 33
1 ˆ * ( X β X ) X * * * Y* 1 1 1 1 1 ( X D D X) X D D Y
( X W 1 X) 1 X W 1 Y
这就是原模型 Y=X+u 的加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量。 这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项u 的方差-协方差矩阵2W 。
1 1
1 f ( X ji ) X ki
X 1i 2 1 f ( X ji )
1 f ( X ji )
X 2i
f ( X ji )
1
i
新模型中，存在
Var ( 1 f ( X ji )
i ) E(
f ( X ji )
i )2
1 E ( i ) 2 2 f ( X ji )
var( 1 ) cov( 1 , n ) 2 cov( , ) 0 var( ) n 1 n 0 2I 2
假设3，E(X’
)=0，即
i E ( i ) X 1i i X 1i E ( i ) E 0 X X E ( ) Ki i Ki i
2015/10/20 12
异方差的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。
^
2015/10/20
21
几种异方差的检验方法： 1、图示法
（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂 型趋势（即不在一个固定的带型域中）
2015/10/20
22
使用X—e的散点图看是否形成一斜率为零 ． 的直线
~2 e i ~2 e i
X 同方差 递增异方差
X
~2 e i
经典计量经济学模型
放宽基本假定的问题
2015/10/20
1
第一节 异方差
• 一、异方差的概念
• 二、异方差的来源与后果 • 三、异方差性的检验 • 四、异方差的修正 • 五、案例
2015/10/20
2
一、 异方差的概念
对于模型
Yi 0 1 X ii 2 X 2i k X ki i
2015/10/20
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四、 异方差的修正
1、 模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法 （Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
加权最小二乘法的基本思想： 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成 一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估 计其参数。
2 ˆ ˆ ˆ W e Wi [Yi ( 0 1 X 1 k X k )] 2 i i
2015/10/20
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。
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi) 异方差时： i2 = f(Xi) 异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
2015/10/20
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在采用OLS方法时:
对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，
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对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。
30
例如，如果对一多元模型，经检验知：
Var ( i ) E ( i ) 2 i2 f ( X ji ) 2
1 f ( X ji )
Yi 0
1 f ( X ji ) k
即满足同方差性，可用OLS法估计。
2015/10/20 31
一般情况下:
对于模型 Y=X+u 存在
E (μ )0 ) 2 W Cov (μ ) E (μ μ
w1 W w2 wn
即存在异方差性。
2015/10/20 32
W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得
~2 e i
X
2015/10/20
X 复杂型异方差
23
递减异方差
2、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、 异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的思想：
先将样本一分为二，对子样①和子样② 分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之 比构造统计量进行异方差检验。
2015/10/20 13
2、无偏性
ˆ ) E (( X X ) 1 X Y ) E (β E (( X X ) 1 X ( Xβ μ )) β ( X X ) 1 E ( X μ ) β
这里利用了假设: E(X’)=0
3、有效性（最小方差性）
2015/10/20
2015/10/20 27
3、怀特（White）检验
怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差 怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i i
先对模型作OLS回归,得到残差项,然后做如 下辅助回归
~2 X X X 2 X 2 X X e i 0 1 1i 2 2i 3 1i 4 2i 5 1i 2i i