离散化方法优秀课件
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1 离散化方法(讲义)
° d 2T
2
° i ) gl ( x )dx = 0 i = 2,..., n − 1 + ST (T i
4
5.伽辽金法Galerkin 法 （2）
• 按照习惯的做法，积分写成
° i ) gl ( x ) dx + ST (T i xi xi +1 2° 2° d T ° i ) gl ( x ) dx + d T + S (T ° i ) gl ( x ) dx = ∫ 2 + ST (T i 2 i T ∫ dx dx xi −1 xi
°1, T ° 2 , ⋅⋅⋅ , T °n T
取任意内部节点附近的二次近似函数
° ( x ) = l ( x)T ° i −1 + l ( x )T ° i + l ( x)T ° i +1 T i −1 i i +1 li −1 ( x ) = li ( x) = ( x − xi )( x − xi +1 ) ( xi −1 − xi )( xi −1 − xi +1 )
为方便改写为离散化的一般概念3问题的特点1稳态问题方程中没有时间项2无对流项属于扩散问题3方程中有源项有源问题4方程是非线性的非线性扩散问题5边界条件是线性的6没有解析解精确解离散化的一般概念4求近似解的策略1整体近似解整体近似解是在问题的整个区域中求出适用于全局的近似分布2局部近似解的组合局部近似解就是将问题涉及的区域划分成若干个子区域然后在子区域上用比较简单的函数形式来逼近待求变量的分布
i = 1, 2, 3
1. 离散化的一般概念(1)
考虑一个肋片的稳态传热问题
1. 离散化的一般概念(2)
信号离散化ppt课件
for(i=0;i<n;i++) { vout=2.5*sin(angle)+2.5; /*DA没有负电压，转换到0－5V*/
angle=angle+delta_angle; dout=vout*4095/10.0; DA(1,dout); delay(t); } }
30
相关程序 （第4页）
#include “math.h” /*将数学库函数的信息“包含”到本文件中来 */
路
可编程
开
放大器
关
M
U
X
channel = k
VG
Vh
寄 Vd
S/H A/D 存
器
采样
触发
信号
锁存
信号
控制电路
接口 电路
Outportb (Base+10,通道号)
选通道：channel = k 设定增益：gain 选择触发方式
控制线
送采样触发信号 送寄存器锁存信号
数据总线
Inportb (Base+5) Inportb (Base+4)
40
作图程序
for(i=0;i<(points_num-1);i++) /*画曲线*/ {
x=(int)(ox+pointsx[i]*xpert); /*计算x坐标*/ y=(int)(oy-pointsy[i]*yperv); /*计算y坐标*/ moveto(x,y); /*移动该点*/ x=(int)(ox+pointsx[i+1]*xpert); y=(int)(oy-pointsy[i+1]*yperv); lineto(x,y); /*连接两点*/ } return;}
angle=angle+delta_angle; dout=vout*4095/10.0; DA(1,dout); delay(t); } }
30
相关程序 （第4页）
#include “math.h” /*将数学库函数的信息“包含”到本文件中来 */
路
可编程
开
放大器
关
M
U
X
channel = k
VG
Vh
寄 Vd
S/H A/D 存
器
采样
触发
信号
锁存
信号
控制电路
接口 电路
Outportb (Base+10,通道号)
选通道：channel = k 设定增益：gain 选择触发方式
控制线
送采样触发信号 送寄存器锁存信号
数据总线
Inportb (Base+5) Inportb (Base+4)
40
作图程序
for(i=0;i<(points_num-1);i++) /*画曲线*/ {
x=(int)(ox+pointsx[i]*xpert); /*计算x坐标*/ y=(int)(oy-pointsy[i]*yperv); /*计算y坐标*/ moveto(x,y); /*移动该点*/ x=(int)(ox+pointsx[i+1]*xpert); y=(int)(oy-pointsy[i+1]*yperv); lineto(x,y); /*连接两点*/ } return;}
离散完整ppt课件5.2-3共23页文档
代数系统定义与实例
定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代 数，记做 V=<S, f1, f2, … , fk>.
S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数系 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素，称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 有时也将代数常数作为系统的成分.
6
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2,∙>,
<x1,y1>, <x2,y2>S1S2 , <x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2>
例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) , <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
单同态、满同态、同构 自同态
同态映射的性质
9
同态映射的定义
定义 设 V1=<S1,∘>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1, f (x∘y) = f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
10
更广泛的同态映射定义
f (x∘y)=f(x)f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代 数，记做 V=<S, f1, f2, … , fk>.
S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数系 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素，称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 有时也将代数常数作为系统的成分.
6
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2,∙>,
<x1,y1>, <x2,y2>S1S2 , <x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2>
例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) , <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
单同态、满同态、同构 自同态
同态映射的性质
9
同态映射的定义
定义 设 V1=<S1,∘>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1, f (x∘y) = f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
10
更广泛的同态映射定义
f (x∘y)=f(x)f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
离散完整ppt课件3.1-3共41页
证明 X=Y
命题演算法 等式代入法 反证法 运算法
以上的 X, Y 代表集合公式
18
命题演算法证 XY
任取 x ， xX … xY
例3 证明AB P(A)P(B) 任取x xP(A) xA xB xP(B) 任取x xA {x}A {x}P(A) {x}P(B) {x}B xB
13
例1
F:一年级大学生的集合
S：二年级大学生的集合
R：计算机系学生的集合
M：数学系学生的集合
T：选修离散数学的学生的集合
L：爱好文学学生的集合
P：爱好体育运动学生的集合
所有计算机系二年级学生都选修离散数学
数学系一年级的学生都没有选修离散数学
数学系学生或爱好文学或爱好体育运动 只有一、二年级的学生才爱好体育运动 除去数学和计算机系二年级学生外都不 选修离散数学3.2 集合的基本运算
集合基本运算的定义
文氏图（John Venn） 例题 集合运算的算律 集合包含或恒等式的证明
10
集合基本运算的定义
并 交 相对补 对称差
绝对补
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA)
由已知包含式通过运算产生新的包含式 XY XZYZ, XZYZ
= (AB)(AB) A = EA
11
文氏图表示
12
关于运算的说明
运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} 某些重要结果 ABA AB AB=（后面证明） AB= AB=A
4.2数字控制器的离散化设计技术精品PPT课件
(2)单位速度输入(q=2) 输入函数r(t)=t的z变换为
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
由最少拍控制器设计时选择的 Ф(z)=1-(1-z-1)q=1-(1-z-1)2=2z-1-z-2
可以得到
E(z)
R(z)e (z)
R( z )1
(z)
Tz 1 (1 z 1)2
(1
2z 1
z2 )
Tz 1
R(z)
T 2z 1 (1 z 1 ) 2(1 z 1 )3
Y
(z)
R( z )( z )
T
2 z 1(1 z 1 ) 2(1 z 1 )3
(2z 1
z 2
)
T 2 z 2 3.5T 2 z 3 7T 2 z 4 11.5T 2 z 5
画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较
2 1.5
则所设计的闭环脉冲传递函数Ф(z)中必须含有纯滞后，且 滞后时间至少要等于被控对象的滞后时间。否则系统的响应超 前于被控对象的输入。
(3)最少拍控制的稳定性问题
只有当G(z)是稳定的(即在z平面单位圆上和圆外没有极点)， 且不含有纯滞后环节时，式Ф(z)=1-(1-z-1)q才成立。 如果G(z)不满足稳定条件，则需对设计原则作相应的限制。
进一步求得
Y (z)
R(z)(z)
1 1 z 1
z 1
z 1
z 2
z 3
以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，
误差为零，过渡过程结束。
Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：
X (z) Z[x(n)] x(n)zn n
所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其
系*数实就际是上序，列x将(nx)(。n)展为z-1的幂级数。
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
离散完整ppt课件2.1-2共25页
2.1 一阶逻辑基本概念
▪ 个体词 ▪ 谓词 ▪ 量词 ▪ 一阶逻辑中命题符号化
1
基本概念——个体词、谓词、量词
个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体
个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围
有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
12
原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
13
合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合 式公式.
15
公式的解释与分类
给定公式 A=x(F(x)G(x)) 成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1
代入得A=x(x>2x>1) 真命题 成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2
(2) x (F(x)G(x))
这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.
7
一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化
▪ 个体词 ▪ 谓词 ▪ 量词 ▪ 一阶逻辑中命题符号化
1
基本概念——个体词、谓词、量词
个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体
个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围
有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
12
原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
13
合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合 式公式.
15
公式的解释与分类
给定公式 A=x(F(x)G(x)) 成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1
代入得A=x(x>2x>1) 真命题 成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2
(2) x (F(x)G(x))
这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.
7
一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
连续系统离散化.ppt
n (T )u(kT)
已知控制系统框图如下图，求该系统的仿真模 型。
R+ e
1
y
s(s 2)
-
R + e e(kT)
1
y
H (s)
s(s 2)
-
1 2
e
1 x1
s
y
1
1 x2
2
s2
e R y
y x1 x2
1
x1 x2
0 0
0 2
连续系统的离散化
③ 在系统的输出端也加一只采样开关S2，它 应该与输入端的开关同步，则y(t)变成了 y(k)。
④ 对u(k)及y(k)分别取Z变换，可得U(z)及 Y(z)，而Y(z)/U(z)=G(z)，它就是与原系统 等价的离散模型。
⑤ 如果要获得可在数字计算机上进行计算的 差分方程，只要对G(z)取一次Z反变换就 行了。
1
s
T (3z 1) 2z(z 1)
常用环节的离散相似模型
它所对应的差分方程为
yk 1
yk
3 2 Tuk
T 2
uk 1
采用三角形保持器：
G(z)
Z
eTs T
1
e s
Ts
2
1
s
T (z 1) 2(z 1)
常用环节的离散相似模型
eaT
yk
k a
(1 eaT
)uk
常用环节的离散相似模型
三角形保持器：
G(z)
Z
eTs T
第4章 平面问题的有限元法-1离散化ppt课件
第4章 平面问 题的有限元法1离散化
第四章 平面问题的有限单元法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 有限元法基本思想和解题步骤 三角形常应变单元 形函数的性质 刚度矩阵 等效节点力载荷列阵 矩形单元 收敛准则 有限元分析的步骤 计算实例
第一节
有限元法基本思想和解题步骤
R y R y R
o R
(a)
x R
o
(b)
x
四、有限元计算中要解决的二个问题
划分单元后，得到有限元的计算模型，按照分析杆 件结构同样的思路去分析平面问题，但在分析中要解决 两个问题： 1．有限元模型中各单元之间只以节点相连，为了 与真实问题一致，应保证受力变形过程中单元之间在边 界上“不开裂”也不互相“挤入”，即：应该保证在变 形过程中，相邻单元的位移在交界边上是相同的、连续 的。 2．单元刚度矩阵的确定。平面问题的单元刚度矩 阵本身就是一个连续体问题，不能像杆单元一样直接通 过计算得到。
②单元的大小，可根据部位不同而有所不同。 一般在应力比较大的、变化较快的、有应力集中的部位取较 小的单元；在不太重要的、应力较小、变化不大的部位取较 较大的单元。 如图所示受拉的带孔平板，在孔心有应力集中，为危险 区域，所以取较密网格。
③单元各边的长度（或三个顶角）不要相差太大，否则会在 计算中出现过大的误差，影响求解的精度。
问题： 单元的选取、结构的离散化应考虑哪些因素?
3. 选择单元的位移模式
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来获 得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单 元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的 项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数 项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的 类型而定。 （4-1） f N e
第四章 平面问题的有限单元法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 有限元法基本思想和解题步骤 三角形常应变单元 形函数的性质 刚度矩阵 等效节点力载荷列阵 矩形单元 收敛准则 有限元分析的步骤 计算实例
第一节
有限元法基本思想和解题步骤
R y R y R
o R
(a)
x R
o
(b)
x
四、有限元计算中要解决的二个问题
划分单元后，得到有限元的计算模型，按照分析杆 件结构同样的思路去分析平面问题，但在分析中要解决 两个问题： 1．有限元模型中各单元之间只以节点相连，为了 与真实问题一致，应保证受力变形过程中单元之间在边 界上“不开裂”也不互相“挤入”，即：应该保证在变 形过程中，相邻单元的位移在交界边上是相同的、连续 的。 2．单元刚度矩阵的确定。平面问题的单元刚度矩 阵本身就是一个连续体问题，不能像杆单元一样直接通 过计算得到。
②单元的大小，可根据部位不同而有所不同。 一般在应力比较大的、变化较快的、有应力集中的部位取较 小的单元；在不太重要的、应力较小、变化不大的部位取较 较大的单元。 如图所示受拉的带孔平板，在孔心有应力集中，为危险 区域，所以取较密网格。
③单元各边的长度（或三个顶角）不要相差太大，否则会在 计算中出现过大的误差，影响求解的精度。
问题： 单元的选取、结构的离散化应考虑哪些因素?
3. 选择单元的位移模式
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来获 得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单 元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的 项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数 项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的 类型而定。 （4-1） f N e
离散化原理及要求和常用的几种数值积分法PPT课件
ki4 )
ki1 hfi (tm , y1m , y2m , , ynm )
hfi (tm
h2m
1 2
k21,
,
ynm
hfi (tm
h 2
,
y1m
1 2
k12 ,
y2m
1 2
k22 ,
,
ynm
1 2 1 2
k n1 ) kn2 )
ki4 hfi (tm h, y1m k13, y2m k23, , ynm kn3 )
38
课堂测验： 已知微分方程 y ey t2，分别用欧拉法、 梯形法和四阶龙格库塔法写出前两步的差分 方程的解(t0=0， y0=0, 步长h=0.1)
39
近似值
fp n1
f
(tn1,
yp n1
)
3.然后用梯形法求出修正后的 ye
n1
25
迭代运算：
1.用欧拉法预估一个初值 y(0)
n1
2.用下式求出 y(1)
n1
y(1) n1
y(tn )
1 2
h
f (tn, yn )
f
(tn1,
y(0) n1
)
3.再用 y(1) 求 y(2)
n1
n1
y(2) n1
一阶龙格－库塔公式——欧拉公式
35
优点
编制程序容易 改变步长方便 稳定性较好 是一种自启动的数值积分法
36
(4)单步法的特点
需要存储的数据量少 可自启动 容易实现变步长运算
37
例：已知系统方程
y 0.5y 2y 0, y(0) 0, y(0) 1
取步长 h 0.1 计算 t 0.1,0.2时的y值
偏微分方程的离散化方法PPT精选文档
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
偏微分方程的离散化方法课件
P
PPP
3
P
PPP
4
P
PPP
5
P
PP
.
3、Crank_Nicolson 差分格式
Crank_Nicolson 差分格式（简称 C_N 格式）是综合显式和隐式格式而构建， 将空间二阶差商取为 n 时刻与 n+1 时刻的算术平均值，则：
1
(
Pn i1,
j
2
2Pi,nj x 2
Pn i 1,
j
P n1 i1, j
以上方程的一般形式： ci Pi1 ai Pi bi Pi1 di ，形成三对角矩阵。
.
三对角矩阵形式
1 2 3 4 512345
1PP
2PPP
3 PPP
4
PPP
5
P PP
1
PPP
2
PPP
3
PPP
4
PPP
5
PP
.
2、椭圆型方程： 二维不稳定渗流方程
2 P x 2
2P y 2
P t
采用：等距网格差分 （1）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）
2
P n1 i, j
P n1 i1, j
x 2
P n1 i, j1
2
Pi
n1 ,j
P n1 i, j1
y 2
P n1 i, j
Pn i, j
t
若取正方形网格：则： x y
P n1 i, j1
P n1 i1, j
(4
1
)
Pi
n 1 ,j
P n1 i1, j
Pn i, j1
1
Pn i, j
该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，也要用到（i，j），（i+1，j），
控制系统中连续域—离散化设计 非常全PPT课件
5.1 连续域—离散化设计 5.2 数字PID控制器设计 5.3 控制系统z平面设计性能指标要求 5.4 z平面根轨迹设计 5.5 w’变换及频率域设计
16
第16页/共65页
5.2 数字PID控制器设计
• 根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进行控制(简称PID控制)，是控制系统 中应用最为广泛的一种控制规律。
19
第19页/共65页
图5-21 PID计算机控制系统
20
第20页/共65页
5.2.2 数字PID控制算法改进
1. 抗积分饱和算法 (1)积分饱和的原因及影响
• 因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有 很大，超出D/A转换器所能表示的数值范围。这时 的执行机构已到极限位置，仍不能消除偏差，且由 于积分作用，尽管计算PID差分方程式所得的运算 结果继续增大或减小，但执行机构已无相应的动作， 这就称为积分饱和。
(2)主要特性
A
2 T
tan
DT
2
③频率畸变：双线性变换的一对一
映射，保证了离散频率特性不产生
当采样频率较高
DT 足够小
频率混叠现象，但产生了频率畸变。
A
2 T
DT
2
D
图5-12双线性变换的频率关系
图5-11双线性变换的频率关系
10
第10页/共65页
3. 双线性变换法
(2)主要特性
④变换前后，稳态增益不变。
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定
D(s) s0 D(z) z1
③变换前后，稳态增益不变。
④离散后控制器的时间响应与频率 响应，与连续控制器相比有相当
(3) 大应用的畸变。 由于这种变换的映射关
连续系统的离散化方法及近似解课件
差分方程
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
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2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
❖ 基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行 Z变换离散化成数字控制器
1eTs
D(z)
s
D(s)
❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。 ❖ 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。
3.差分变换法
u (k T ) u [(k 1 )T ] T e (k T )
•两边取Z变换得
U (z)z1 U (z)TE(z)
D (z) U (z)/E (z) T /(1 z 1 ) •可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同
s与z之间的变换关系
s(1z1)/T
z 1 1 sT
• 一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
z 1 T s (1 T ) j T
z2(1T)2(T)2
令 z （1 单位圆） 1(1T)2(T)2
1 T2
T1
2
2
•只有当D(s)的所有极点位于左 半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
❖ D(z)与D(s)的脉冲响应相同。 ❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的频率响应。 ❖ D(z)将ωs的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了
混叠现象。 ❖ 其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解
为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采 样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原 连续控制器D(s)。
1).一阶向后差分
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
•对于给定
D(z) D(s) s1z1 T
D(s) U(s) 1 E(s) s
•其微分方程为
t
du(t)/dte(t),u(t) e(t)dt
0
•用一阶向后差分代替微分，则 d u ( t)/d t { u (k T ) u [ (k 1 ) T ] } /T
离散化方法
模拟控制器的离散化方法
❖ 模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器 ❖ 离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递
函数D(z) 。 ❖ “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数； ---系统的频带； ---稳态增益； ---相位及增益裕度； ---阶跃响应或
脉冲响应形状； ---频率响应特性。
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法
• z变换法(脉冲响应不变法)
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
zesT
1 esT
1 1sT
1 z 1 s
T
主要特性 ❖ s平面与z平面映射关系
z 1 11(1Ts) 1Ts 2 2(1Ts)
sj
z12 2
14((11T T))22(( T T))22
ห้องสมุดไป่ตู้
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的
圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。 •当< 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。
❖ 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
❖ 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。
❖ 变换前后，稳态增益不变。 D(s)s0D(z)z1
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例
已知
D(s)
s2
1 0.8s 1
1 脉冲响应不变法（Z变换法）
1)．设计原理
❖ 基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟
滤波器的脉冲响应函数的采样值。
D (z) u (k)T i n 11 eA a iiTz 1 D (s)
❖ 设模拟控制器的传递函数为 D(s)U(s) n Ai
E(s) i1 sai
❖
分析所得结果可知：
❖ 可以判断，环节稳定性不变。 D(s) 是稳定的；D1(z) 两个根分别为：
z 1 , 2 = 0 . 5 0 0 0 j 0 . 3 2 7 3 = 0 . 5 9 7 5 8 0 . 5 7 9 6
D2(z) 两个根分别为：
z 1 , 2 = 0 . 9 5 4 1 j 0 . 0 8 4 1 = 0 . 9 5 7 8 0 . 0 8 7 9
在单位脉冲作用下输出响应为
u(t)L1D(s)
n
Aieait
i1
❖ 其采样值为
n
u(kT)
AeaikT i
i1
例 已知模拟控制器 D(s) a ，求数字控制器D(z)。
sa
解：
D (z) D (s)1e a aT z1
控制算法为： u (k ) a(k e ) e au T (k 1 )
2)．脉冲响应不变法特点
均位于单位圆内
❖ 稳态增益不变
D(s) s0 1
D1(z)z112.812.81 0.01
D2(z)z112.081.091
❖ 单位阶跃响应
2).一阶向前差分法
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向前差分替换
D(z) D(s) s z1 T
对 D(s) U(s) 1
E(s) s
其微分方程为
t
du(t)/dte(t),u(t) e(t)dt
0
用一阶向前差分代替微分 d u ( t) /d t { u [ ( k 1 ) T ] u ( k T ) } /T
u [(k 1 )T ] u (k T ) T e (k T )
两边取Z变换得 (z1)U (z)TE (z)
D ( z ) U ( z )/E ( z ) T /( z 1 )
， T=1s、0.1s，试用
一阶向后差分法离散。
解
1 D(z) D(s) s(1z1)/T (s2 0.8s 1) s(1z1)/T
1 [(1z1)2 /T2 0.8(1z1) /T 1]
T2z2
1az
bz2
,a20.8T, b10.8T T2
当T=1s时，a=2.8，b=2.8， D1(z)12.8zz22.8z2 当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，D2(z)12.008.0z1z12.09z2