离散化方法优秀课件
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离散化方法
模拟控制器的离散化方法
❖ 模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器 ❖ 离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递
函数D(z) 。 ❖ “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数； ---系统的频带； ---稳态增益； ---相位及增益裕度； ---阶跃响应或
t
du(t)/dte(t),u(t) e(t)dt
0
用一阶向前差分代替微分 d u ( t) /d t { u [ ( k 1 ) T ] u ( k T ) } /T
u [(k 1 )T ] u (k T ) T e (k T )
两边取Z变换得 (z1)U (z)TE (z)
D ( z ) U ( z )/E ( z ) T /( z 1 )
脉冲响应形状； ---频率响应特性。
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法
• z变换法(脉冲响应不变法)
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
❖ D(z)与D(s)的脉冲响应相同。 ❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的频率响应。 ❖ D(z)将ωs的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了
混叠现象。 ❖ 其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解
为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采 样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原 连续控制器D(s)。
分析所得结果可知：
❖ 可以判断，环节稳定性不变。 D(s) 是稳定的；D1(z) 两个根分别为：
z 1 , 2 = 0 . 5 0 0 0 j 0 . 3 2 7 3 = 0 . 5 9 7 5 8 0 . 5 7 9 6
D2(z) 两个根分别为：
z 1 , 2 = 0 . 9 5 4 1 j 0 . 0 8 4 1 = 0 . 9 5 7 8 0 . 0 8 7 9
❖ 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
❖ 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。
❖ 变换前后，稳态增益不变。 D(s)s0D(z)z1
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例
已知
D(s)
s2
1 0.8s 1
zesT
1 esT
1 1sT
1 z 1 s
T
主要特性 ❖ s平面与z平面映射关系
z 1 11(1Ts) 1Ts 2 2(1Ts)
sj
z12 2
14((11T T))22(( T T))22
•当=0 （s平面虚轴）Baidu Nhomakorabeas平面虚轴映射到z平面为该小圆的
圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。 •当< 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。
1 脉冲响应不变法（Z变换法）
1)．设计原理
❖ 基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟
滤波器的脉冲响应函数的采样值。
D (z) u (k)T i n 11 eA a iiTz 1 D (s)
❖ 设模拟控制器的传递函数为 D(s)U(s) n Ai
E(s) i1 sai
❖
u (k T ) u [(k 1 )T ] T e (k T )
•两边取Z变换得
U (z)z1 U (z)TE(z)
D (z) U (z)/E (z) T /(1 z 1 ) •可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同
s与z之间的变换关系
s(1z1)/T
z 1 1 sT
• 一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似
均位于单位圆内
❖ 稳态增益不变
D(s) s0 1
D1(z)z112.812.81 0.01
D2(z)z112.081.091
❖ 单位阶跃响应
2).一阶向前差分法
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向前差分替换
D(z) D(s) s z1 T
对 D(s) U(s) 1
E(s) s
其微分方程为
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
z 1 T s (1 T ) j T
z2(1T)2(T)2
令 z （1 单位圆） 1(1T)2(T)2
1 T2
T1
2
2
•只有当D(s)的所有极点位于左 半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
❖ 基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行 Z变换离散化成数字控制器
1eTs
D(z)
s
D(s)
❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。 ❖ 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。
3.差分变换法
在单位脉冲作用下输出响应为
u(t)L1D(s)
n
Aieait
i1
❖ 其采样值为
n
u(kT)
AeaikT i
i1
例 已知模拟控制器 D(s) a ，求数字控制器D(z)。
sa
解：
D (z) D (s)1e a aT z1
控制算法为： u (k ) a(k e ) e au T (k 1 )
2)．脉冲响应不变法特点
1).一阶向后差分
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
•对于给定
D(z) D(s) s1z1 T
D(s) U(s) 1 E(s) s
•其微分方程为
t
du(t)/dte(t),u(t) e(t)dt
0
•用一阶向后差分代替微分，则 d u ( t)/d t { u (k T ) u [ (k 1 ) T ] } /T
， T=1s、0.1s，试用
一阶向后差分法离散。
解
1 D(z) D(s) s(1z1)/T (s2 0.8s 1) s(1z1)/T
1 [(1z1)2 /T2 0.8(1z1) /T 1]
T2z2
1az
bz2
,a20.8T, b10.8T T2
当T=1s时，a=2.8，b=2.8， D1(z)12.8zz22.8z2 当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，D2(z)12.008.0z1z12.09z2
模拟控制器的离散化方法
❖ 模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器 ❖ 离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递
函数D(z) 。 ❖ “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数； ---系统的频带； ---稳态增益； ---相位及增益裕度； ---阶跃响应或
t
du(t)/dte(t),u(t) e(t)dt
0
用一阶向前差分代替微分 d u ( t) /d t { u [ ( k 1 ) T ] u ( k T ) } /T
u [(k 1 )T ] u (k T ) T e (k T )
两边取Z变换得 (z1)U (z)TE (z)
D ( z ) U ( z )/E ( z ) T /( z 1 )
脉冲响应形状； ---频率响应特性。
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法
• z变换法(脉冲响应不变法)
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
❖ D(z)与D(s)的脉冲响应相同。 ❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的频率响应。 ❖ D(z)将ωs的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了
混叠现象。 ❖ 其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解
为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采 样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原 连续控制器D(s)。
分析所得结果可知：
❖ 可以判断，环节稳定性不变。 D(s) 是稳定的；D1(z) 两个根分别为：
z 1 , 2 = 0 . 5 0 0 0 j 0 . 3 2 7 3 = 0 . 5 9 7 5 8 0 . 5 7 9 6
D2(z) 两个根分别为：
z 1 , 2 = 0 . 9 5 4 1 j 0 . 0 8 4 1 = 0 . 9 5 7 8 0 . 0 8 7 9
❖ 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
❖ 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。
❖ 变换前后，稳态增益不变。 D(s)s0D(z)z1
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例
已知
D(s)
s2
1 0.8s 1
zesT
1 esT
1 1sT
1 z 1 s
T
主要特性 ❖ s平面与z平面映射关系
z 1 11(1Ts) 1Ts 2 2(1Ts)
sj
z12 2
14((11T T))22(( T T))22
•当=0 （s平面虚轴）Baidu Nhomakorabeas平面虚轴映射到z平面为该小圆的
圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。 •当< 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。
1 脉冲响应不变法（Z变换法）
1)．设计原理
❖ 基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟
滤波器的脉冲响应函数的采样值。
D (z) u (k)T i n 11 eA a iiTz 1 D (s)
❖ 设模拟控制器的传递函数为 D(s)U(s) n Ai
E(s) i1 sai
❖
u (k T ) u [(k 1 )T ] T e (k T )
•两边取Z变换得
U (z)z1 U (z)TE(z)
D (z) U (z)/E (z) T /(1 z 1 ) •可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同
s与z之间的变换关系
s(1z1)/T
z 1 1 sT
• 一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似
均位于单位圆内
❖ 稳态增益不变
D(s) s0 1
D1(z)z112.812.81 0.01
D2(z)z112.081.091
❖ 单位阶跃响应
2).一阶向前差分法
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向前差分替换
D(z) D(s) s z1 T
对 D(s) U(s) 1
E(s) s
其微分方程为
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
z 1 T s (1 T ) j T
z2(1T)2(T)2
令 z （1 单位圆） 1(1T)2(T)2
1 T2
T1
2
2
•只有当D(s)的所有极点位于左 半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
❖ 基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行 Z变换离散化成数字控制器
1eTs
D(z)
s
D(s)
❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。 ❖ 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。
3.差分变换法
在单位脉冲作用下输出响应为
u(t)L1D(s)
n
Aieait
i1
❖ 其采样值为
n
u(kT)
AeaikT i
i1
例 已知模拟控制器 D(s) a ，求数字控制器D(z)。
sa
解：
D (z) D (s)1e a aT z1
控制算法为： u (k ) a(k e ) e au T (k 1 )
2)．脉冲响应不变法特点
1).一阶向后差分
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
•对于给定
D(z) D(s) s1z1 T
D(s) U(s) 1 E(s) s
•其微分方程为
t
du(t)/dte(t),u(t) e(t)dt
0
•用一阶向后差分代替微分，则 d u ( t)/d t { u (k T ) u [ (k 1 ) T ] } /T
， T=1s、0.1s，试用
一阶向后差分法离散。
解
1 D(z) D(s) s(1z1)/T (s2 0.8s 1) s(1z1)/T
1 [(1z1)2 /T2 0.8(1z1) /T 1]
T2z2
1az
bz2
,a20.8T, b10.8T T2
当T=1s时，a=2.8，b=2.8， D1(z)12.8zz22.8z2 当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，D2(z)12.008.0z1z12.09z2