连续系统离散化处理基本方法
连续属性离散化
根据学习环境选择离散化方法
虽然已有很多离散化方法，但是没有一种离散 化方法对任何数据集以及任何算法都是有效的，也 没有一种离散化方法一定比其他方法产生更好的离 散化结果。因为离散化本身就是一个NP-hard 问题， 所以在使用时一定要根据数据集的特点和学习环境 以及使用者个人的偏好理解等选择合适的离散化方 法，以取得尽可能好的离散化效果。如决策树学习 容易受到碎片问题（碎片是指一个给定分枝中的样 本数太小，没有统计意义）的影响，所以离散化时 更偏好得到较少的离散化区间；决策规则希望离散 化得到的区间中的实例的类标号是唯一的；关联规 则重视特征间的相关性，所以在离散化时不能对各 个特征进行单一的离散化。
离散化结果的评价
• 完全离散化:指算法要能够完成数据集的多个 连续属性的离散化处理。因为我们不太可能只 需要对数据集的某一个连续属性进行离散化处 理，除非数据集只包含一个连续属性。 • 具有最简单的离散化结果:如果离散化处理完 成后，属性空间的规模越小，由这些离散化处 理所产生出来的数据所生成的规则越简单。因 此，由这样的属性所获得的知识就更是通用。
• 基于熵的离散化方法：该方法使用类信息计算 和确定分割点，是一种有监督的、自顶向下的 分裂技术。首先，将初始值切分成两部分，让 两个结果区间产生最小熵；然后，取一个区间， 通常选取具有最大熵的区间，重复此分割过程， 直到区间的个数达到用户指定的个数，或满足 终止条件（当得到的每个区间中的类标号都是 一样时，即停止离散化过程）。 最常用的基于熵的离散化方法是：基于最 短描述长度原则（MDLP）方法。
连续属性离散化方法
1.连续属性离散化的定义？ 2.为什么要对连续属性离散化？
3.连续属性离散化方法有哪些？
定义
连续属性离散化就是采取各种方法将 连续的区间划分为小的区间，并将这连续 的小区间与离散的值关联起来。
连续系统模型的离散化处理方法
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系 数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
第6章连续系统的离散化方法及近似解
第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。
离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。
连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。
其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。
具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。
Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。
常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。
有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。
以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。
连续传递函数离散化的方法与原理
连续传递函数离散化的方法与原理连续传递函数离散化是将连续时间域中的传递函数转换为离散时间域中的传递函数的过程。
在控制系统设计中，离散化是非常重要的一步，因为大多数数字控制器本质上只能处理离散的输入和输出信号。
离散化方法的选择对系统的稳定性、性能和可实现性都有很大的影响。
离散化方法分为两大类：时域方法和频域方法。
时域方法根据传递函数的时间响应，或者根据传递函数的微分方程进行转换。
频域方法通过拉普拉斯变换和z变换之间的等价关系进行转换。
时域离散化方法：1. 脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method）：这是最常用的离散化方法之一、它通过将连续时间系统的脉冲响应对应到离散时间系统的单位冲激响应上来实现离散化。
该方法的原理是保持连续系统和离散系统的单位冲激响应相同，从而尽可能保持系统的动态特性。
2. 零阶保持法（Zero Order Hold Method）：这个方法假设连续时间系统在每个采样周期内是恒定的，即将采样周期内的连续时间系统输出等效为一个恒定值。
这个方法的原理是根据离散系统的输出间隔和连续时间系统的采样间隔，使用插值方法得到离散系统的输出值。
3. 一阶保持法（First Order Hold Method）：这个方法在零阶保持法的基础上改进，考虑了连续时间系统在每个采样周期内的变化趋势。
它假设连续时间系统在每个采样周期内是线性变化的。
通过插值方法得到离散系统的输出值。
4. 向后微分法（Backward Difference Method）：这个方法根据连续时间系统微分方程中的向后差分近似来实现离散化。
它假设离散时间系统输出的变化率等于连续时间系统输出的变化率。
频域离散化方法：1. 频率响应匹配法（Frequency Response Matching Method）：这个方法将连续时间系统和离散时间系统的频率响应函数进行匹配，使它们在一定频率范围内的增益和相位相近。
通过频率响应函数的等价性，可以使用拉普拉斯变换和z变换之间的关系得到离散时间系统的传递函数。
连续系统离散化方法
其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式 （5.16） ， 也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
Ts
21
eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开 ：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
20
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T
控制系统仿真及MATLAB语言-连续系统的离散化方法
第四章 连续系统的离散化方法
2021/4/10
1
ba12
a2
a2
1 12
a2b1 1 2
三个方程，四个未知数，解不唯一
2各021/个4/10系数的几种取法——见书上。
12
3) r=4时，四阶龙格库塔公式-最常用：
h
xk 1
xk
( 6
K1
2K2
2K3
K4
)
K1 f tk ,xk
K2
K3
f f
tk
tk
h 2
,
xk
h 2 , xk
2 病态系统中绝对值最小的特征值对应于系统动态性能 解中瞬态分量衰减最慢的部分，它决定了整个系统的动 态过渡过程时间的长短。一般与系统中具有最小时间常 数Tmax的环节有关，要求计算步长h取得很大。
3 对于病态问题的仿真需要寻求更加合理的算法，以解 决病态系统带来的选取计算步长与计算精度，计算时间 之间的矛盾。
在仿真中，对于n阶系统，状态方程可以写成一阶微分方程
xi ai1x1 ai2 x2 ain xn biu fi (t, x1, x2, x3, , xn )(i 1, 2, , n)
2021/4/10
14
根据四阶龙格-库塔公式,有
T=tk+h时刻的xi值
T=tk时刻的xi值
xk 1 i
2021/4/10 K3 [k13
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
2.6 连续时间系统状态方程的离散化
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0.63 1 1 0.37 0 1.37 0.37 0 0 0.63 1 0.63 0.865 1.37 1 0.135 0 2.05 0.135 0.63 0 0.865 1 0.95
1 (3)H(T) 0 0
T
T 1 1 / 2(1 e2 t ) 0 dt 0 2 t e 1 0
x 1[(k 1)T] x 1 (kT) (4) G(T) H(kT) U(kT) x 2 [(k 1)T] x 2 (kT)
1
解：
例2.5已知控制对象满足 0 1 0 x x u，求其离散化方程 2 0 1
2 t 1 1 / 2 ( 1 e ) 1 1 （ 1 ）( t ) L [SI A] 2 t e 0 1 1 / 2(1 e 2 t ) (2)G (T) ( t ) t T 2 t e 0
1 2T 2 t ( 2 T e 1 ) 1 / 2(1 e ) 4 dt 1 2 t 2 T e (1 e ) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和
H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或
At 1 1
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
x1[(k 1)] 1 1 e T x1 (kT ) T e T 1 u (kT ) x [(k 1)] T T e x2 (kT ) 1 e 2 0 2 T e T 1 e T x1 (kT ) T e T 1 T r (kT ) T T e x2 (kT ) 1 e e 1
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
连续系统离散化方法
连续系统离散化方法连续系统离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。
本文将从离散化方法的定义、应用、实现以及优缺点等方面进行介绍。
一、离散化方法的定义离散化方法是指将连续系统转化为离散系统的过程。
在计算机中，所有的数值都是离散的，而实际上很多系统是连续的，比如电路、机械系统、化学反应等等。
离散化方法就是将这些连续系统转化为可以在计算机中处理的离散系统。
离散化方法可以通过采样和量化来实现。
二、离散化方法的应用离散化方法在很多领域都有应用，比如电路设计、控制系统设计、信号处理等等。
在电路设计中，离散化方法可以将连续电路转化为数字电路，从而实现数字信号的处理。
在控制系统设计中，离散化方法可以将连续控制器转化为数字控制器，从而实现数字化自动控制。
在信号处理中，离散化方法可以将连续信号转化为数字信号，从而实现对信号的数字处理。
三、离散化方法的实现离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。
采样是指对连续信号进行离散化，将其转化为一系列的采样值。
量化是指对采样值进行离散化，将其转化为一系列的离散数值。
采样和量化的具体实现方式包括正弦采样、脉冲采样、最大值采样、平均值采样等等。
量化的具体实现方式包括线性量化、对数量化、非线性量化等等。
四、离散化方法的优缺点离散化方法的优点是可以将连续系统转化为离散系统，从而可以在计算机中进行处理。
离散系统具有稳定性、可控性、可观性等优点。
离散化方法的缺点是会引入误差，因为离散化过程中会丢失一些信息。
此外，离散化方法需要选取适当的采样周期和量化精度，否则会影响系统的性能。
离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。
离散化方法的应用广泛，包括电路设计、控制系统设计、信号处理等等。
离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。
离散化方法既有优点，又有缺点，需要在具体应用中对其进行合理的选择和设计。
连续控制器离散化方法
u ( ) d
T [u (( k 1)T ) u ( kT )] 2
T z 1 u ( kT ) 2 z 1 1 T z 1 2 z 1 , s s 2 z 1 T z 1 2 z 1 ) C ( Cd ( z ) C ( s ) T z 1
连续控制器离散化方法 前提条件：连续系统中已经设计好了模拟控制器，具有满意 的控制性能。 目标：得到一个具有相近控制性能的离散化数字控制器。 方法：
1使
和
具有相同的响应特征。 脉冲不变性方法：脉冲响应相同 阶跃不变性方法：阶跃响应相同 2 直接对C(s)中的S变量进行近似，得到Cd(z)
1.阶跃不变性方法
1 z 1 sT z 1 s zT Cd ( z ) C ( s ) C ( z 1 ) zT
3、塔斯廷（Tustin）近似法 Tustin法也称为双线性近似法 考虑一个积分器
y( s) 1 u (s) s y[( k 1)T ] y ( kT ) y[( k 1)T ] y ( kT ) y ( kT )
SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following: 'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) 'imp' Impulse-invariant discretization 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only). The default is 'zoh' when METHOD is omitted.
连续系统模型的离散化处理方法
计算各环节输出量
打印间隔到否 N
打印Yn+1 计算次数到否 N
结束
*
31
五、离散相似模型的精度与稳定性
离散相似模型只能等效于原来的连续系统 其精度受采样周期和信号重构器性能的影响 信号重构器存在一定程度的幅值减小和相位
滞后 在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
*
32
1 采样周期对精度的影响
Tmin—系统中反应最快的那个闭环子系统的 最小时间常数
*
34
2 信号重构器对仿真模型精度的影响
加入一个理想滤波器,保留输入信号主频段,滤 掉附加的频谱分量,不失真
理想滤波器不存在,一般用零阶、一阶、三角 保持器来近似
3 离散相似模型的稳定性
稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器 选择不当，离散模型的稳定性变差
*
22
离散模型
C 惯性环节
*
23
D 超前-滞后环节
*
24
四、采用离散化模型的系统仿真
把各个环节有机地连接起来。 1 连接矩阵（面向结构图）
1
2
-
-
4
6
5
3 -
a
*
25
*
26
*
27
连接方程
U=w yK U—输入向量 YK—输出向量 W—连接矩阵
*
28
2 仿真计算过程
基本计算单元：各环节的离散化模型
两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似 处理—离散化状态方程
*
11
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
*
12
Z反变换得差分模型
*
连续系统离散化方法
连续系统离散化方法一、概述连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法，常用于控制系统的设计和分析。
该方法可以将一个无限维度的连续系统转化为有限维度的离散系统，使得控制器设计和分析变得更加简单和可行。
二、连续系统模型在开始进行连续系统离散化的过程中，需要先建立一个连续系统模型。
通常情况下，这个模型可以由微分方程或者差分方程来表示。
三、离散化方法1. 时域离散化方法时域离散化方法是最基本的离散化方法之一。
它通过将时间轴上的信号进行采样，从而将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号。
这个过程中需要确定采样周期以及采样点数目等参数。
2. 频域离散化方法频域离散化方法是一种利用傅里叶变换将一个连续时间信号转换为一个频域信号，然后再对该频域信号进行采样得到一个离散时间信号的方法。
这个过程中需要确定采样频率以及采样点数目等参数。
3. 模拟器法模拟器法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
这个方法的核心思想是利用一个数字模拟器来模拟连续系统的行为，从而得到一个离散时间信号。
4. 差分方程法差分方程法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
这个方法的核心思想是利用微分方程在离散时间点上进行近似，从而得到一个差分方程。
四、误差分析在进行离散化过程中，会产生一定的误差。
因此，需要对误差进行分析和评估，以确保离散化后的结果与原始连续系统相近。
五、应用实例1. 机械控制系统机械控制系统中通常需要对连续时间信号进行采样和处理。
通过使用离散化方法，可以将连续信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
2. 电力电子控制系统电力电子控制系统中通常需要对高频信号进行处理。
通过使用频域离散化方法，可以将高频信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
六、总结连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
通过使用不同的离散化方法，可以将连续时间信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
连续状态空间方程离散化 离散精度
一、概述连续状态空间方程是描述系统状态随时间演化的重要数学模型，在许多领域都有着广泛的应用。
然而，实际系统往往是离散的，为了将连续状态空间方程应用到离散系统中，需要进行离散化处理。
离散化是指将连续系统的状态空间方程转化为离散系统的状态空间方程，以便于在计算机上进行分析和仿真。
二、连续状态空间方程连续状态空间方程可被描述为：dx/dt = f(x,u)y = h(x)其中，x表示系统状态，u表示输入，f(x,u)表示状态方程，h(x)表示输出方程。
连续状态空间方程描述了系统状态随时间的变化规律，是控制系统、信号处理、通信系统等领域的重要数学工具。
三、离散化方法对于离散系统，通常使用下面的方法将连续状态空间方程离散化：1. Euler方法Euler方法是一种简单且常用的数值积分方法，可以用来离散化连续状态空间方程。
通过欧拉方法，可以将连续时间上的状态方程转化为离散时间上的状态更新方程。
2. 隐式Euler方法隐式Euler方法相比于显式Euler方法，具有更好的数值稳定性。
使用隐式Euler方法进行离散化处理，可以有效解决一些数值不稳定的问题。
3. 4阶Runge-Kutta方法4阶Runge-Kutta方法是一种更加精确的数值积分方法，同样可以应用于连续状态空间方程的离散化处理。
相比于Euler方法，Runge-Kutta方法通常能够提供更准确的结果。
四、离散化精度在进行连续状态空间方程的离散化处理时，离散化精度是一个重要的衡量指标。
离散化精度决定了离散系统模型的精确程度，对系统分析和控制设计都具有重要的影响。
1. 离散化步长离散化步长是指在进行离散化处理时，时间或空间上的离散化间隔大小。
步长越小，离散化的精度越高，但计算负荷也越大。
2. 离散化误差离散化误差是指离散系统模型与连续系统模型之间的差距。
通过控制离散化步长和选择合适的离散化方法，可以有效降低离散化误差，提高系统模型的精确度。
五、离散化应用离散化处理后的系统模型可以在计算机上进行仿真和实时控制，应用十分广泛。
连续系统的离散化方法及近似解课件
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
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在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇到的问题是如何解决数字计算机在数值及时间上的离散性与被仿真系统数值及时间上的连续性这一基本问题。
从根本意义上讲，数字计算机所进行的数值计算仅仅是“数字”计算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离散化，这样就只能得到离散时间点上系统性能。
用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。
任何一种计算方法都只能是原积分的一种近似。
因此，连续系统仿真，从本质上是对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到的离散模型来近似原连续模型。
如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为，这是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。
设系统模型为：),,(t u y f y
=&，其中u (t )为输入变量，y (t )为系统变量；令仿真时间间隔为h ，离散化后的输入变量为)(ˆk t u
，系统变量为)(ˆk t y ，其中k t 表示t=kh 。
如果)()(ˆk k t u t u
≈，)()(ˆk k t y t y ≈，即0)()(ˆ)(≈-=k k k u t u t u t e ，0)()(ˆ)(≈-=k k k y t y t y t e （对所有k=0,1,2,…），则可认为两模型等价，这称为相似
原理（参见图）。
实际上，要完全保证0)(,0)(==k y k u t e t e 是很困难的。
进一步分析离散化引的误差，随着计算机技术的发展，由计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积分算法，也称为仿真建模方法。
相似原理用于仿真时，对仿真建模方法有三个基本要求：
（1）稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。
关于稳定性的详细讨论将在节中进行。
（2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：
绝对误差准则：δ≤-=)()(ˆ)(k k k y t y t y
t e 相对误差准则：δ≤-=
)(ˆ)()(ˆ)(k k k k y t y
t y t y
t e 其中 规定精度的误差量。
原连续模型
仿真模型
)(≈k y t e
图 相
f (t,y )
f (t 0,y o )
t
t
t 0
t 1
图数值积分法
（3）快速性：如前所述，数字仿真是一步一步推进的，即由某一初始值)(0t y 出发，逐步计算，得到)(,),(),(21k t y t y t y Λ，每一步计算所需时间决定了仿真速度。
若第k 步计算对应的系统时间间隔为,1k k k t t h -=+计算机由)(k t y 计算)(1+k t y 需要的时间为T k ，则，若T k =h k 称为实时仿真，T k h k 称为超实时仿真，而大多数情况是T k h k ，对应于离线仿真。
连续系统数字仿真中离散化最基本的算法是数值积分算法。
对于形如),,(t u y f y
=&的系统，已知系统变量y 的初始条件y t y ()00=，现在要求y 随时间变化的过程y t ()。
计算过程可以这样考虑（参见图）：首先求出初始点y t y ()00=的f t y ()00，，微分方程可以写作：
y t y f t y dt t t
()(,)=+⎰00 （）
图所示曲线下的面积就是y t ()，由于难以得到f(y,u,t)积分的数值表达式，人们对数值积分方法进行了长期探索，其中欧拉法是最经典的近似方法。
欧拉法用矩形面积近似表示积分结果，也就是当t=t 1时，y t ()1的近似值为y 1 ：
y y t y t f t y 11000=≅+⋅()()∆，
重复上述作法，当t t =2时
y y t y t t f t y 2212111=≅+-⋅()()()， 所以，对任意时刻t k+1，有：
y y t y t t f t y κκκκκκκ+++=≅+-⋅111()()()， （） 令t t h κκκ+-=1称为第κ步的计算步距。
若积分过程中步距不变h h κ=，可以证明，欧拉法的截断误差正比于h 2。
为进一步提高计算精度，人们提出了“梯形法”。
梯形法近似积分形式如式所示，令：
t t h h κκκ+-=1＝已知：t t =κ时y t ()κ的近似值y κ,那么：
y y t y h f t y f t y κκκκκκκ++++=≅+
+11111
2
()[(,)(,)] 可见，梯形法是隐函数形式。
采用这种积分方法最简单的预报校正方法是用欧拉法估计初
值，用梯形法校正，即：
y
y h f t y f t y i i κκκκκκ++++≅++1
11112
()()
[(,)(,)] y y h f t y i κκκκ+≅+⋅1()
(,)
式称作预报公式，采用欧拉法，式为校正公式，采用梯形法。
用欧拉法估计一次y i κ+1()
的值，代入校正公式得到y κ+1的校正值y i κ++11()。
设是规定的足够小正整数，称作允许误差，若i =0, i +1=1
称作第一次校正；i i =+=112，称作第二次校正；通过反复迭代，直到满足y y i i
κκε+++-≤111，
这时y i κ++11()
是满足误差要求的校正值。
上述方法是针对式所示的微分方程在已知初值情况下进行求解，因此也称为微分方程初值问题数值计算法，为统一起见，本书中称为数值积分法。
连续系统数字仿真的离散化方法有两类，它们是数值积分方法和离散相似方法，本文讨论数值积分法。
数值积分方法采用递推方式进行运算，而采用不同的积分方法会引进不同的计算误差，为了提高计算精度，往往会增加运算量。
就同一种积分算法而言，为提高计算精度，减小积分步距h ,计算量增大，影响系统运算速度。
因此，计算精度和速度是连续系统仿真中常迂到的一对矛盾，也是数字仿真中要求解决的问题之一。
也就是说，选择合适的算法、合适的软、硬件环境，在保证计算精度的前提下，考虑怎样提高仿真的速度。