3.3 线性定常连续系统的离散化

例3-7 试用离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状 态方程:
0 x 0 1 0 x u 2 1
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
s 1 Φ(t ) L [(sI A) ] L 0 s 2
1 1 1 1
1 s 2 L s ( s 2) 0
1
1 s
0.5 1 0.5 1 0.5(1 e 2t ) 1 s2 L s s 2t 1 e 0 0 s2
线性定常连续系统的离散化(10/10)
x(t ) Φ(t t0 )x(t0 ) Φ(t τ ) Bu(τ )dτ
t0 t
现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1)T, 于是
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程, 其离散化后应保持不变, 即 C(T) C D(T) D 离散化主要针对连续系统状态方程(A, B)如何通过采样 周期T, 变换成离散系统状态方程(G, H)
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
y(k)
连续系统离散化的实现
线性定常连续系统的离散化(4/10)
线性连续系统的时间离散化问题的数学实质, 就是在一定的 采样方式和保持方式下, 由系统的连续状态空间模型来导出 等价的离散状态空间模型, 并建立起两者的各系数矩阵之间 的关系式 为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如 下条件和假设 在离散化之后, 系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。
对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量, 又有离散时间型的离散量, 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况
线性定常连续系统的离散化(2/10)
对于第二种情况的系统, 其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法, 要求整个系统统一用离散状态方程来描述 由此, 提出了连续系统的离散化问题
保持器为零阶的, 即加到系统输入端的输入信号u(t)在采 样周期内不变, 且等于前一采样时刻的瞬时值, 故有 u(t) u(kT) kT t (k1)T
线性定常连续系统的离散化(5/10)
采样周期T的选择满足香农(Shannon)采样定理, 即 采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率 满足上述条件和假设, 即可推导出连续系统的离散化的状态 空间模型
根据计算式有
1 0.5(1 e 2T ) G (T ) (T ) 2T e 0 H (T ) (t )dt B
0 T T
0
1 0.5(1 e 2t ) dt 2t e 0
2T 0 1 2T (1 e ) 1 4 2(1 e 2T )
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型
x Ax Bu y Cx Du
变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dt Bu(kT )
0 T
于是有
G(T) (T) eAT
T (t )dt B T e At dt B H (T ) Φ 0 0
上两式即为离散化法的计算式
线性定常连续系统的离散化(9/10)
在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程, 或者进行计算机控制 时, 都会遇到离散化问题
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
连续系统
u(t) x(t) 保持器 u(k) D/A x(k) 采样 y(t)
数字 A/D 计算机
Ch.3 线性系统的时域分析
线性定常连续系统的离散化(1/10)
3.3 线性定常连续系统的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况:
整个系统工作于单一的离散状态 对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量, 如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态
( k 1)T
Φ[( k 1)T τ ]Bu(τ )dτ
kT
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
kT
线性定常连续系统的离散化(8/10)
对上式作变量代换, 令t (k1)T, 则上式可记为
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1 e 2T ) / 2 T/ 2 (1 e 2T ) /Fra Baidu bibliotek4 x(k 1) x( k ) u( k ) 2T 2T e 0 (1 e ) / 2