连续控制器离散化方法
第五章数字控制器的离散化设计方法
第五章数字控制器的离散化设计⽅法第五章数字控制器的离散化设计⽅法数字控制器的连续化设计是按照连续控制系统的理论在S 域内设计模拟调节器，然后再⽤计算机进⾏数字模拟，通过软件编程实现的。
这种⽅法要求采样周期⾜够⼩才能得到满意的设计结果，因此只能实现⽐较简单的控制算法。
当控制回路⽐较多或者控制规律⽐较复杂时，系统的采样周期不可能太⼩，数字控制器的连续化设计⽅法往往得不到满意的控制效果。
这时要考虑信号采样的影响，从被控对象的实际特性出发，直接根据采样控制理论进⾏分析和综合，在Z 平⾯设计数字控制器，最后通过软件编程实现，这种⽅法称为数字控制器的离散化设计⽅法，也称为数字控制器的直接设计法。
数字控制器的离散化设计完全根据采样系统的特点进⾏分析和设计，不论采样周期的⼤⼩，这种⽅法都适合，因此它更具有⼀般的意义，⽽且它可以实现⽐较复杂的控制规律。
5.1 数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的连续化设计是把计算机控制系统近似看作连续系统，所⽤的数学⼯具是微分⽅程和拉⽒变换；⽽离散化设计是把计算机控制系统近似看作离散系统，所⽤的数学⼯具是差分⽅程和Z 变换，完全采⽤离散控制系统理论进⾏分析，直接设计数字控制器。
计算机采样控制系统基本结构如图5.1所⽰。
图中G 0(s)是被控对象的传递函数，H(s)是零阶保持器的传递函数，G(z)是⼴义被控对象的脉冲传递函数，D(z)是数字控制器的脉冲传递函数， R(z)是系统的给定输⼊，C(z)是闭环系统的输出，φ(z)是闭环系统的脉冲传递函数。
零阶保持器的传递函数为：se s H Ts--=1)( （5-1）⼴义被控对象的脉冲传递函数为：[])()()(0s G s H Z z G = （5-2）由图可以求出开环系统的脉冲传递函数为：图5.1 计算机采样控制系统基本结构图)()()()()(z G z D z E z C z W == （5-3）闭环系统的脉冲传递函数为：()()()()()1()()C zD z G z z R z D z G z Φ==+ （5-4）误差的脉冲传递函数为：()1()()1()()e E z z R z D z G z Φ==+ （5-5）显然 )(1)(z z e Φ-=Φ（5-6）由式（5-4）可以求出数字控制器的脉冲传递函数为：)](1)[()()(z z G z z D Φ-Φ= （5-7）如果已知被控对象的传递函数G 0(s)，并且可以根据控制系统的性能指标确定闭环系统的脉冲传递函数φ(z)，由上式可以得到离散化⽅法设计数字控制器的步骤：（1）根据式（5-2）求出⼴义被控对象的脉冲传递函数G(z)。
离散化 Pid 模糊控制算法
论文标题: 设计PID ，离散化，模糊化控制器PID 控制器设计一 PID 控制的基本原理和常用形式及数学模型具有比例-积分-微分控制规律的控制器，称PID 控制器。
这种组合具有三种基本规律各自的特点，其运动方程为：dt t de dt t e t e t m K K K K K dp ti p p )()()()(0++=⎰相应的传递函数为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=S S s K K K d i p c 1)(D S S S K K K d ip 12++∙=二 数字控制器的连续化设计步骤假想的连续控制系统的框图1 设计假想的连续控制器D（s）由于人们对连续系统的设计方法比较熟悉，对由上图的假想连续控制系统进行设计，如利用连续系统的频率的特性法，根轨迹法等设计出假想的连续控制器D（S）。
2 选择采样周期T香农采样定理给出了从采样信号到恢复连续信号的最低采样频率。
在计算机控制系统中，完成信号恢复功能一般有零阶保持器H（s)来实现。
零阶保持器的传递函数为3将D（S）离散化为D（Z）将连续控制器D（S）离散化为数字控制器D（Z）的方法很多，如双线性变换法，后向差分法，前向差分法，冲击响应不变法，零极点匹配法，零阶保持法。
双线性变换法然后D（S）就可以转化离散的D（Z)三Matlab仿真实验直接试探法求PID根据这个框图，求出该传递函数的P=0.35 I=0 D=0根据⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=S S s K K K d i p c 1)(D D （Z ）=0.35 T=0.01数字连续话PID 控制器设计MA TLAB 仿真框图实验结果 没有经过调节的结果为结果分析一阶阶跃信号的幅值选择为5经过数字连续化PID控制器后，对比图形发现，结果变得非常稳定，没有发现超调量，而没有经过PID控制的图形发生了超调变化达到稳定的时间变得更长。
二离散化控制器的设计离散系统设计是指在给定系统性能指标的条件下，设计出控制器的控制规律和相应的数字控制算法。
第5章数字控制系统的连续——离散化设计
1 lim[s s0 s
10s 1 s1
]
lim[(z
z 1
1)
z
z
1
K
z
z 0.9048] z 0.3679
K z 6.6397
因此
D(z) 6.6397 z 0.9048 z 0.3679
（4）仿真检验
Gd (z)
(1
z 1 )Z[ 1 s
1 ] s(10s 1)
0.04837(z 0.9678) (z 1)(z 0.9048)
D(z) K z1 (z 1)z
(z e T )2
当R(s) 1 时，u(t) 0
u(t) lim sR(s)D(s)
t s0
s
t
当R(s) 1 时，u(t) 1
当R(z)
s
2
z
t
时 ，u(k) 0
u(k) lim(z 1)R(z)D(z)
k
z 1
z 1 k 当R(s) Tz 时 ，u(k) K z1T
(1 e T )2
(1 e T )2 (z 1)(z 1)
K z2 2T D(z) 2T
(z e T )2
(3)匹 配 到z ：D(z) K z1 (z 1)(z )
(z e T )2
要 求T 1s， 1时 ，D( j ) D(e jT ) j 0.50
(1 j)2
(t)
h(t) (t) *(t)
h*(t)
D(s)
D(z)
分析脉冲不变法特点：D(s) 与 D(z)之间的近似关系。
➢ 由设计准则知，二者的脉冲响应在采样点取相同值； ➢ D(s)与D(z)极点按Z变换定义z=esT一一对应 ； ➢ 若D(s)稳定，其极点位于S左半平面，则其D(z)必稳定，
连续传递函数离散化的方法与原理
目录第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第一节 步骤步骤1 模拟控制器的处理在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控制器D(s)。
事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。
然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢？还没有这方面的实际经验。
以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。
步骤2 离散化模拟控制器离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。
离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。
确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。
假设模拟控制器为s 2D s 8s 15+=⋅+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为：转换结果为：步骤3 检验数字控制器的性能数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。
控制系统中连续域—离散化设计 非常全
z
1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
1 1 (1 T )2 (T )2 z 2 4 (1 T )2 (T )2
2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。 ④离散后控制器的时间响应与频率响 应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。
z e sT 零、极点分别按
D( s)
s
D( z )
z 1
• 也可选择某关键频率处的幅频相等，即
D( j1 ) D(e j1T )
14
5. 零极点匹配法
(2)主要特性
① 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需 要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。 ② 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s) 稳定，D(z)一定稳定。 ③ 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有 (z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频 率混叠。
13
5. 零极点匹配法
(1)离散化方法
D( s ) k ( s zi )
(s p )
i n
m
z e sT D( z )
k1 ( z e ziT )
(z e
m
m
piT
)
( z 1) n m
特点：
– 匹配 – 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D(s) s0 D( z) z 1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
T (1 z 1 ) U ( z) 2 1 D( z ) 2 ( z 1) E( z) 1 z 1 T ( z 1)
连续系统离散化方法
其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式 （5.16） ， 也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
Ts
21
eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开 ：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
20
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T
连续传递函数离散化的方法与原理
连续传递函数离散化的方法与原理(总44页)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March目录第一章模拟化设计基础 1 第一节步骤 1 第二节在MATLAB中离散化 3 第三节延时e-Ts环节的处理 5 第四节控制函数分类 6 第二章离散化算法10 摘要10 比较11 第一节冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 11 第二节阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 11 第三节斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 11 第四节后向差分近似法12 第五节前向差分近似法14 第六节双线性近似法(tustin) 15 第七节预畸双线性法(prevarp) 17 第八节零极点匹配法(matched) 18 第三章时域化算法19 第一节直接算法1—双中间变量向后递推19 第二节直接算法2—双中间变量向前递推20 第三节直接算法3—单中间变量向后递推21 第四节直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法) 21 第五节串联算法22 第六节并联算法23 第四章数字PID控制算法24 第一节微分方程和差分方程25第二节不完全微分25 第三节参数选择26 第四节 c51框架27 第五章保持器33 第一节零阶保持器33 第二节一阶保持器30 附录两种一阶离散化方法的结果的比较31第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第5章数字控制系统的连续——离散化设计-PPT精品文档
说明： 连续——离散化设计是一种近似的设计方法：
由D(s)到D(z)的转换是一种近似过程； 在设计中，没有考虑保持器对系统的影响。（零保带来T/2
的相位滞后，使系统闭环性能变坏。因此连续——离散化设 计的系统，要求有较小的采样周期T。） 本章重点： 1. 由D(s)到D(z)的多种近似方法。 2. 检验所设计的数控系统的性能。
改进的双线性变换为 D (z) D (s)
(z 1) 0 s tg ( T/ 2) (z 1) 0
5.3 匹配Z变换（又称零极点匹配、根匹配）
设计准则：直接将D(s)的零极点由Z变换 z=esT 映射到Z 平面上，成为D(z)的零极点。
K ( s z K ( z z s i) z i) 1 1 D ( s ) ni D ( z ) ni ( sp ( zp i) i)
1( t )
D(s)
u(t )
1( t )
1 * (t )
u * (t )
D(z)
分析保持器等效法的特点：
D(s)与D(z)极点按Z变换定义一一对应 若D(s)稳定，D(z)稳定；
z=esT；
D(z)与T有关；
D(s)与D(z)频率特性不同； D(s)与D(z)零点不是按
z=esT 一一对应的。
设计准则为： 波 使 器 D ( s 模 ) 和 拟 数 滤 字滤 D ( z ) 波 在所要求的频 有 率 相 点 同 上 的 具 频率特性 即 D ( s )sj D ( z )z T。 0 0 ej
2 T 0 2 ( ej 1 ) T 0 j A 0 A j T 0 tg ( T /2 )2 T ( e 1 ) 0
第5章 数字控制系统的 连续——离散化设计
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
离散控制与连续控制的区别与联系
离散控制与连续控制的区别与联系控制系统在现代工业中起着重要的作用，它们可以实现对各种各样的过程和设备的监控和调节。
离散控制和连续控制是两种常见的控制方式，它们虽然在某些方面有着明显的区别，但也存在一些联系。
本文将就离散控制与连续控制的区别与联系进行探讨。
一、离散控制与连续控制的区别离散控制和连续控制之间存在以下几个方面的区别：1. 控制对象的特征：离散控制多用于对离散事件进行处理，它关注于对系统中特定时间发生的事件进行决策和控制。
而连续控制则主要应用于对连续变量进行控制，它关注于对系统中连续变量的变化进行监控和调节。
2. 输入信号的特点：离散控制系统的输入信号一般是离散的，例如开关型信号，该信号只有两个状态（如开和关）。
而连续控制系统的输入信号则是连续的，可以是实数或模拟信号，它们可以取无限多个可能的值。
3. 控制算法的差异：离散控制系统一般采用逻辑控制算法，例如开关控制、计数控制等。
而连续控制系统则使用连续控制算法，如PID 控制算法等。
4. 控制器的实现方式：离散控制系统通常使用数字电路和逻辑芯片来实现控制器，因为它们可以处理离散信号和逻辑运算。
而连续控制系统则采用模拟电路和模拟芯片来实现控制器，因为它们可以处理连续信号和模拟计算。
二、离散控制与连续控制的联系尽管离散控制和连续控制存在一些区别，但它们在某些方面也存在联系：1. 共同的目标：离散控制和连续控制的最终目标都是对系统进行稳定的控制，以实现预期的输出效果。
无论是处理离散事件还是连续变量，控制系统都追求达到既定的控制目标。
2. 相似的控制概念：离散控制和连续控制都需要通过测量、比较和调节来实现对系统的控制。
无论是采用逻辑控制算法还是连续控制算法，控制系统都需要对系统状态进行监测和反馈，以实现控制的闭环。
3. 可能的结合应用：在某些实际应用中，离散控制和连续控制可以结合使用。
例如，工业生产中的机器人控制系统往往需要对连续运动进行控制，同时也需要对离散事件（如传感器信号）进行处理，因此需要将离散控制与连续控制相结合的方法。
连续时间积分器和离散时间积分器转换
连续时间积分器和离散时间积分器转换全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间积分器和离散时间积分器是控制系统中常见的两种积分器类型，它们分别适用于连续时间系统和离散时间系统。
在实际工程应用中，有时需要将连续时间积分器和离散时间积分器进行转换，以满足不同系统的需求和条件。
本文将从原理、特点、应用以及转换方法等方面介绍连续时间积分器和离散时间积分器的相关知识，希望对读者有所帮助。
一、连续时间积分器连续时间积分器是在控制系统中常用的一种积分器类型，用于对连续时间信号进行积分运算，其数学表达式通常为：\[ y(t) = \int_{0}^{t} x(\tau)d\tau \]\(y(t)\)为输出信号，\(x(t)\)为输入信号，t为积分上限。
连续时间积分器的特点是具有无限带宽和高精度，可以对信号进行连续的积分运算，适用于需要高精度输出的控制系统中。
在控制系统中，连续时间积分器常用于PID控制器中，用于消除系统的稳态误差，提高系统的稳定性和性能。
\[ y[k] = y[k-1] + x[k] \]三、连续时间积分器和离散时间积分器的转换在实际工程应用中，有时需要将连续时间积分器和离散时间积分器进行转换，以满足不同系统的需求和条件。
下面介绍几种常用的转换方法：1. 离散时间积分器转换为连续时间积分器：通过脉冲响应不变法或者双线性变换等方法，可以将离散时间积分器转换为连续时间积分器。
这种方法适用于需要在连续时间域中对离散时间积分器进行分析和设计的情况。
四、应用举例在控制系统中，连续时间积分器和离散时间积分器广泛应用于不同类型的系统和场合。
在机电一体化系统中，连续时间积分器常用于控制电机速度和位置，实现高精度的控制；而在数字控制系统中，离散时间积分器常用于控制温度、压力等参数，提高系统的稳定性和性能。
第二篇示例：连续时间积分器和离散时间积分器是控制系统中常用的两种积分器。
在控制系统中，积分器是一种用来对输入进行积分运算的元件，通常用来处理系统的误差信号。
4.2 连续控制器的离散化方法
教学模块4数字控制器的模拟化设计方法教学单元2连续控制器的离散化方法教学单元2连续控制器的离散化方法连续控制器的离散化——求连续控制器传递函数D(s)的等效离散传递函数D(z)。
离散化的基本原则——保证D(z)与D(s)具有相同或相近的动态性能和频率特性。
◆z变换法◆差分变换法◆双线性变换法◆零极点匹配法2.1 z 变换法[])()(s D Z z D =控制器的输入[])()(s E Z z E =数字控制器算法)]()([)(1z D z E Z k u -= z 变换法的特点（1）形式简单、直观，这种变换方法符合z 变换的定义，通过z 变换直接得数字控制器。
——直接用z 变换，由模拟控制器求数字控制器sTz e=符合z 变换定义z 变换的频率映射关系（2）若D (s )稳定，则D(z)也稳定，而且变换前后频率不会发生畸变。
z 变换法的特点（3）产生频率混叠——将s 平面上角频率以采样角频率为周期的所有信号，都重叠地映射到z 平面上同一频率点的信号。
z 变换法的特点Tk j TTk j k T j Tj s eeee z )()2()2(1ωωπωπωωω+++====ωωs 平面角频率与z 平面角频率之间的关系为：sTz e=按z 变换定义（3）频率混叠现象z变换法的特点ωj s =虚轴单位圆ωσj s +-=左半平面单位圆内ωσj s +=右半平面单位圆外（3）频率混叠现象◆频率混叠将使数字控制器的频率响应与模拟控制器的频率响应的近似性变差，很少使用◆为防止混叠现象发生，需要提高采样频率2.2 差分变换法——把微分方程中的导数用有限差分来近似等效，得到一个与给定微分方程逼近的差分方程⎩⎨⎧前向差分后向差分（1）后向差分变换法假设有模拟信号e (t )，后向差分变换：()()()Tk e k e dt t de 1--=Tzs 11--=Tsz -=11或)()(z E s E =令后向差分变换拉氏变换)(1)(1z E Tz s sE --=z 变换后向差分变换法亦称为后向矩形积分法——以后向矩形面积近视代替积分面积——后向矩形积分法te (t )kT……TkT e dt t e kTTk ⋅=⎰-)()()1(后向矩形积分法设控制器传递函数为：()1()()U s D s E s s==()()du t e t dt =——微分方程(1)(1)(1)()()()kT kT kT k T k T k Tdu t dt du t e t dt dt ---==⎰⎰⎰(1)()((1))()kT k Tu kT u k T e t dt---=⎰TkT e dt t e kTTk ⋅=⎰-)()()1(取后向矩形积分：后向矩形积分法()((1))()u kT u k T e kT T--=⋅1()()()U z z U z TE z --=z 变换=Tz s 11--=1()1()()(1)/U z D z E z z T -==-数字控制器()1()()U s D s E s s==模拟控制器后向差分变换法也称为后向矩形积分变换法后向差分变换对系统性能的影响ωj s =当T e T J T j T j z ωωωωarctan 2212111212111+=-++=-=对S 左半平面，设ωσj s +-=Tj T T j T T j T z ωσωσωσ-++-+=-+=112121115.05.0=-z 5.05.0<-z ——半径小于0.5圆——半径为0.5的圆后向变换对系统性能的影响：◆若D (s )稳定，则D (z )一定稳定；◆数字控制器D (z )的频率产生畸变；◆是否存在频混叠？——不存在频率混叠。
计算机数字控制器的离散化设计方法
目录
• 引言 • 离散化设计的基本概念 • 离散化设计的实现 • 离散化设计的应用 • 离散化设计的优势与挑战
01
引言
背景介绍
计算机数字控制器是工业自动化系统中 的重要组成部分，用于控制各种物理量 ，如温度、压力、流量和位置等。
离散化设计是实现计算机数字控制器的一种 重要方法，它能够将连续的控制问题离散化 ，从而简化设计过程并提高控制精度。
连续设计
在连续设计中，控制算法是在连续时间域中设计的，通常使用微分方程或传递 函数表示。这种设计方法通常需要使用模拟计算机或模拟器进行仿真和实现。
离散化设计
离散化设计是将连续时间系统转换为离散时间系统，以便在数字计算机上实现。 离散化设计使用差分方程或离散时间系统的状态方程表示系统。这种设计方法 通常使用数字计算机进行实现和仿真。
未来研究可以进一步探讨离散化设计与连续时间系 统之间的关系，以更好地理解离散化设计的原理和 应用。
发展自适应离散化设计方 法
针对不同的应用需求和系统特性，未来研究 可以发展自适应的离散化设计方法，以实现 更好的系统性能。
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离散化设计的方法和步骤
采样
采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。采样 率决定了离散化系统的精度和性能。
量化
量化是将连续变量转换为离散变量的过程。量化误差是由 于将连续信号转换为离散信号而引入的误差。
差分方程建模
差分方程是描述离散时间系统的数学模型。通过建立差分 方程，可以描述离散时间系统的动态行为。
离散化设计在机器人控制中还可以实现快速响应和精确控 制，从而提高机器人的运动性能和作业效率。
在航空航天控制中的应用
连续控制器离散化方法
u ( ) d
T [u (( k 1)T ) u ( kT )] 2
T z 1 u ( kT ) 2 z 1 1 T z 1 2 z 1 , s s 2 z 1 T z 1 2 z 1 ) C ( Cd ( z ) C ( s ) T z 1
连续控制器离散化方法 前提条件：连续系统中已经设计好了模拟控制器，具有满意 的控制性能。 目标：得到一个具有相近控制性能的离散化数字控制器。 方法：
1使
和
具有相同的响应特征。 脉冲不变性方法：脉冲响应相同 阶跃不变性方法：阶跃响应相同 2 直接对C(s)中的S变量进行近似，得到Cd(z)
1.阶跃不变性方法
1 z 1 sT z 1 s zT Cd ( z ) C ( s ) C ( z 1 ) zT
3、塔斯廷（Tustin）近似法 Tustin法也称为双线性近似法 考虑一个积分器
y( s) 1 u (s) s y[( k 1)T ] y ( kT ) y[( k 1)T ] y ( kT ) y ( kT )
SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following: 'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) 'imp' Impulse-invariant discretization 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only). The default is 'zoh' when METHOD is omitted.
状态方程 离散化 前向欧拉法
状态方程离散化前向欧拉法离散化是将连续的系统或过程表示为离散的形式，以便于数值计算和分析。
在控制系统领域，状态方程是描述系统行为的重要工具。
离散化状态方程是将连续时间状态方程转化为离散时间状态方程的过程。
在控制系统中，连续时间状态方程描述了系统的动态行为。
它是一个微分方程，其中包含系统的状态变量和控制输入。
然而，由于计算机是离散的，所以需要将连续时间状态方程转换为离散时间状态方程，以便在计算机上进行数值计算。
离散化的方法有很多种，其中之一是前向欧拉法。
前向欧拉法是一种简单易懂的离散化方法，也是最为常用的方法之一。
它基于对微分方程的近似，通过将微分方程中的导数替换为差分来进行离散化。
在前向欧拉法中，将连续时间状态方程表示为：x[k+1] = x[k] + Δt * f(x[k], u[k])其中，x[k]表示第k个时刻的状态变量，u[k]表示第k个时刻的控制输入，Δt表示离散时间步长，f(x[k], u[k])表示系统的状态更新函数。
在离散化的过程中，需要选择合适的离散时间步长Δt。
通常情况下，Δt的选择应该满足系统的稳定性和响应速度等要求。
前向欧拉法的离散化过程非常简单，只需要按照上述公式进行计算即可。
首先，需要确定初始状态x[0]和初始控制输入u[0]。
然后，根据上述公式，计算出下一个时刻的状态变量x[1]。
重复这个过程，即可得到系统在离散时间上的状态变化。
尽管前向欧拉法简单易懂，但它也存在一些限制和缺陷。
首先，由于是对微分方程的近似，所以前向欧拉法在精度上有一定的误差。
其次，前向欧拉法对于某些系统可能会导致不稳定性，需要进行调整和改进。
此外，前向欧拉法在面对复杂系统和高阶系统时，可能需要更复杂的离散化方法来保证效果。
在实际应用中，处理离散化状态方程的方法很多，不同方法适用于不同的系统和要求。
尽管前向欧拉法存在一定的问题，但由于其简单性和易实现性，而被广泛应用于离散化系统建模与控制器设计中。
总之，离散化是将连续系统转化为离散形式的重要过程，离散化状态方程是控制系统中的一个关键概念。
连续离散化方法范文
连续离散化方法范文连续离散化是一种将连续变量划分为离散数据的方法。
在大数据分析和机器学习中，离散化是一种常见的数据预处理技术，它将连续数据划分为有限的离散值域，从而便于进一步的分析和处理。
连续离散化方法有多种，包括等宽离散化、等频离散化、最优化离散化等。
下面将逐一介绍这些方法。
1.等宽离散化方法：等宽离散化是将连续变量划分为等宽的离散区间。
首先确定需要划分的离散区间的个数n，然后对连续变量的取值范围进行区间划分。
例如，若连续变量的取值范围为[a,b]，则每个区间的宽度为(b-a)/n。
接着，根据区间的宽度对连续变量进行离散化。
等宽离散化方法简单易懂，但在一些情况下可能无法准确反映数据的分布特征。
2.等频离散化方法：等频离散化是将连续变量划分为等频的离散区间。
先确定需要划分的离散区间个数n，然后根据连续变量的取值频率进行区间划分。
首先将连续变量的取值排序，然后将排序后的数据划分为n个区间，使得每个区间内的数据个数相等。
等频离散化方法可以较好地保持数据的分布特征，但需要额外的排序操作。
3.最优化离散化方法：最优化离散化方法是通过最小化离散化误差来确定离散化区间。
最优化离散化方法依赖于优化算法，可以得到最佳的离散化结果。
其中一种常用的最优化离散化方法是划分点选择算法。
该算法通过迭代的方式来选择最佳的划分点，使得划分后的离散数据与原始数据之间的误差最小化。
最优化离散化方法可以更好地保持数据的分布特征，但计算复杂度较高。
连续离散化方法的选择应根据具体的场景和需求来确定。
等宽离散化方法简单易懂，适用于数据分布相对均匀的情况；等频离散化方法可以更好地保持数据的分布特征，适用于数据分布不均匀的情况；最优化离散化方法能够得到最佳的离散化结果，但计算复杂度较高，适用于对结果精度要求较高的情况。
除了以上介绍的方法，还有其他一些离散化方法，例如基于聚类分析的离散化方法、基于决策树的离散化方法等。
这些方法在实际应用中根据具体问题和数据特点进行选择和调整。
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阶跃不变性方法实际上就是零阶采样保持，即对C(s)进行零阶
采样保持。
存在的问题：
C(s)的极点 s i
影射为Cd(z)的极点 z eiT
，没有一个简单的从C(s)的零点映射到Cd(z)零点的关系。
（1）、C(s)中不稳定的零点可能经过零阶采样保持后变为 Cd(z)稳定的零点。 （2）、 C(s)中无零点，可能经过零阶采样保持后变为 Cd(z)不稳定的零点。
双线性近似法把左半S平面映射到Z平面的单位圆内；不改变模 拟控制器的稳定性
后向差分法把左半S平面映射到Z平面的单位圆内的一个区域内， 稳定的模拟控制器总能映射成稳定的离散控制器，但有可能把 不稳定的模拟控制器影射成稳定的离散控制器
前向差分法把左半S平面映射到Z平面的Z=1的左平面中，一个 稳定的模拟控制器可能影射不稳定的离散控制器。
'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) 'imp' Impulse-invariant discretization 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping.
1 z eaT
Cd
(1)
1
kd eaT
C(0) 1 kd
1 eaT
Cd
(z)
1 eaT z eaT
SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following:
y[(k 1)T ] y(kT ) T [u((k 1)T ) u(kT )] 2
y(kT ) T z 1 u(kT ) 2 z 1
1 T z 1, s 2 z 1
s 2 z 1
T z 1
Cd
(z)
C(s)
C( 2 T
z z
1) 1
（3）若C(s)的极点数与零点数之差 d 1 即C(s)有d个无限零点 s
映射为Cd(z)的d-1重零点z=-1，另一个映射成 z （4）确定Cd(z)的增益，使满足Cd(1)=C(0)，即静态增益相等
C(s) k (s b1)(s b2 ) (s bm ) (s a1)(s a2 ) (s an )
T
zT
z 1 1 sT
s z 1 zT
z 1 Cd (z) C(s) C( zT )
3、塔斯廷（Tustin）近似法
Tustin法也称为双线性近似法 考虑一个积分器
y(s) 1 u(s) s
y[(k 1)T ] y(kT ) (k 1)T u( )d kT
连续控制器离散化方法 前提条件：连续系统中已经设计好了模拟控制器，具有满意 的控制性能。 目标：得到一个具有相近控制性能的离散化数字控制器。 方法：
(1) 使
和
具有相同的响应特征。
脉冲不变性方法：脉冲响应相同 阶跃不变性方法：阶跃响应相同
(2) 直接对C(s)中的S变量进行近似，得到Cd(z)
1.阶跃不变性方法
T z 1
2
2
2
z
2 aT
1
2
1 aT
Cd (z)
的极点为
2 1 aT
, (T : 0 ,
1 1)
2
稳定
4、零极点匹配法
（1）C(s)的所有极点 s ai 映射为Cd(z)的极点 z eaiT （2）C(s)的所有有限零点 s bi 映射为Cd(z)的零点 z ebiT
实际使用时常常使用双线性法和后向差分法。
例：分别用前向差分、后向差分、Tustin法对 C(s) a ,(a 0)
sa
进行离散化
（1）前向差分
a
aT
Cd (z) z 1 a z 1 aT
T
Cd (z) 的极点为 1 aT
稳定条件为 T 2
a
（2）后向差分
Cd (z)
s : dx(t) x((k 1)T ) x(kT ) z 1 x(kT )
dt tkT
T
T
z 1 sT
s z 1 T
Cd
(
z
)
C
(
s
)
C
(
z T
1)
（2）后向差分法
s : dx(t) x(kT ) x((k 1)T ) z 1 x(kT )
dt tkT
例：
C(s)
1 (s 1)(s2
s 1)
取采样周期T=0.1，经过零阶采样保持后得到
Cd
(
z)
104 z3
(1.585z 0.8z2
2 6.029z 1.434) 2.62z 0.8187
具有两个零点：-0.3549，-0.255
2、微分近似法 （1）前向差分法
模拟(连续)控制器系统 计算机(离散)控制器系统 离散控制器等效控制系统
采用连续与离散控制器的系统系阶越响应的区别
a z 1 a
aTz z 1 aTz
aT z aT 1 z 1
zT
aT 1
Cd (z)
的极点为
1 aT 1
稳定
（3）Tustin法
Cd (z)
a 2 z 1 a源自(z 1) aT 2(1 aT )z ( aT
1)
aT
1
2 aT
z 1 aT 1
The default is 'zoh' when METHOD is omitted.
例：已知某系统被控对象的传递函数为 P(s) 1 要求设计控制器，使满足性能指标： s(s 2) ①闭环稳定 ②过渡过程时间Ts≤3s ③阶跃响应超调量δ≤5% 设计满足上述要求的数字控制器D(Z)（取采样周期 T=0.2秒，采用双线性近似法）
Cd (z)
kd
(z
1)d 1(z eb1T )(z eb2T ) (z ea1T )(z ea2T ) (z
(z ebmT ) eanT )
注：d=n-m，当 d 1 ，才有 (z 1)d 1 项
上例中，
C(s) a sa
Cd (z) kd
The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by
SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only).
解： 模拟控制器设计过程略，得到的模拟控制器为：
D(s) 16 s 2.1 s8
双线性近似法得到数字控制器为：
D(z)
差分方程为：
16
10 z 1 2.1 z 1
10 z 1 8 z 1
10.76
z z
0.65 0.11
u(k) 0.11u(k 1) 10.76e(k) 7.02e(k 1)