连续控制器离散化方法

'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) 'imp' Impulse-invariant discretization 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping.
a z 1 a

aTz z 1 aTz

aT z aT 1 z 1
zT
aT 1
Cd (z)
的极点为
1 aT 1
稳定
（3）Tustin法
Cd (z)
a 2 z 1 a

(z 1) aT 2
(1 aT )z ( aT
1)
aT

1
2 aT

z 1 aT 1
模拟(连续)控制器系统 计算机(离散)控制器系统 离散控制器等效控制系统
采用连续与离散控制器的系统系阶越响应的区别
T z 1
2
2
2
z

2 aT
1
2
1 aT
Cd (z)
的极点为
2 1 aT
, (T : 0 ,
1 1)
2
稳定
4、零极点匹配法
（1）C(s)的所有极点 s ai 映射为Cd(z)的极点 z eaiT （2）C(s)的所有有限零点 s bi 映射为Cd(z)的零点 z ebiT
解： 模拟控制器设计过程略，得到的模拟控制器为：
D(s) 16 s 2.1 s8
双线性近似法得到数字控制器为：
D(z)
差分方程为：

16
10 z 1 2.1 z 1
10 z 1 8 z 1

10.76
z z

0.65 0.11
u(k) 0.11u(k 1) 10.76e(k) 7.02e(k 1)
s : dx(t) x((k 1)T ) x(kT ) z 1 x(kT )
dt tkT
T
T
z 1 sT
s z 1 T
Cd
(
z
)

C
(
s
)

C
(
z T
1)
（2）后向差分法
s : dx(t) x(kT ) x((k 1)T ) z 1 x(kT )
dt tkT
实际使用时常常使用双线性法和后向差分法。
例：分别用前向差分、后向差分、Tustin法对 C(s) a ,(a 0)
sa
进行离散化
（1）前向差分
a
aT
Cd (z) z 1 a z 1 aT
T
Cd (z) 的极点为 1 aT
稳定条件为 T 2
a
（2）后向差分
Cd (z)
连续控制器离散化方法 前提条件：连续系统中已经设计好了模拟控制器，具有满意 的控制性能。 目标：得到一个具有相近控制性能的离散化数字控制器。 方法：
(1) 使
和
具有相同的响应特征。
脉冲不变性方法：脉冲响应相同 阶跃不变性方法：阶跃响应相同
(2) 直接对C(s)中的S变量进行近似，得到Cd(z)
1.阶跃不变性方法
y[(k 1)T ] y(kT ) T [u((k 1)T ) u(kT )] 2
y(kT ) T z 1 u(kT ) 2 z 1
1 T z 1, s 2 z 1
s 2 z 1
T z 1
Cd
(z)

C(s)

C( 2 T

z z
1) 1
The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by
SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only).
1 z eaT
Cd
(1)

1
kd eaT
C(0) 1 kd
1 eaT
Cd
(z)

1 eaT z eaT
SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following:
The default is 'zoh' when METHOD is omitted.
例：已知某系统被控对象的传递函数为 P(s) 1 要求设计控制器，使满足性能指标： s(s 2) ①闭环稳定 ②过渡过程时间Ts≤3s ③阶跃响应超调量δ≤5% 设计满足上述要求的数字控制器D(Z)（取采样周期 T=0.2秒，采用双线性近似法）
双线性近似法把左半S平面映射到Z平面的单位圆内；不改变模 拟控制器的稳定性
后向差分法把左半S平面映射到Z平面的单位圆内的一个区域内， 稳定的模拟控制器总能映射成稳定的离散控制器，但有可能把 不稳定的模拟控制器影射成稳定的离散控制器
前向差分法把左半S平面映射到Z平面的Z=1的左平面中，一个 稳定的模拟控制器可能影射不稳定的离散控制器。
（3）若C(s)的极点数与零点数之差 d 1 即C(s)有d个无限零点 s
映射为Cd(z)的d-1重零点z=-1，另一个映射成 z （4）确定Cd(z)的增益，使满足Cd(1)=C(0)，即静态增益相等
C(s) k (s b1)(s b2 ) (s bm ) (s a1)(s a2 ) (s an )
T
zT
z 1 1 sT
s z 1 zT
z 1 Cd (z) C(s) C( zT )
3、塔斯廷（Tustin）近似法
Tustin法也称为双线性近似法 考虑一个积分器
y(s) 1 u(s) s
y[(k 1)T ] y(kT ) (k 1)T u( )d kT
Cd (z)

kd
(z
1)d 1(z eb1T )(z eb2T ) (z ea1T )(z ea2T ) (z
(z ebmT ) eanT )
注：d=n-m，当 d 1 ，才有 (z 1)d 1 项
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上例中，
C(s) a sa
Cd (z) kd
阶跃不变性方法实际上就是零阶采样保持，即对C(s)进行零阶
采样保持。
存在的问题：
C(s)的极点 s i
影射为Cd(z)的极点 z eiT
，没有一个简单的从C(s)的零点映射到Cd(z)零点的关系。
（1）、C(s)中不稳定的零点可能经过零阶采样保持后变为 Cd(z)稳定的零点。 （2）、 C(s)中无零点，可能经过零阶采样保持后变为 Cd(z)不稳定的零点。
例：
C(s)
1 (s 1)(s2
s 1)
取采样周期T=0.1，经过零阶采样保持后得到
Cd
(
z)

104 z3
(1.585z 0.8z2
2 6.029z 1.434) 2.62z 0.8187
具有两个零点：-0.3549，-0.255
2、微分近似法 （1）前向差分法