连续传递函数离散化的方法与原理
连续系统模型的离散化处理方法
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系 数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
连续传递函数离散化的方法与原理
连续传递函数离散化的方法与原理连续传递函数离散化是将连续时间域中的传递函数转换为离散时间域中的传递函数的过程。
在控制系统设计中，离散化是非常重要的一步，因为大多数数字控制器本质上只能处理离散的输入和输出信号。
离散化方法的选择对系统的稳定性、性能和可实现性都有很大的影响。
离散化方法分为两大类：时域方法和频域方法。
时域方法根据传递函数的时间响应，或者根据传递函数的微分方程进行转换。
频域方法通过拉普拉斯变换和z变换之间的等价关系进行转换。
时域离散化方法：1. 脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method）：这是最常用的离散化方法之一、它通过将连续时间系统的脉冲响应对应到离散时间系统的单位冲激响应上来实现离散化。
该方法的原理是保持连续系统和离散系统的单位冲激响应相同，从而尽可能保持系统的动态特性。
2. 零阶保持法（Zero Order Hold Method）：这个方法假设连续时间系统在每个采样周期内是恒定的，即将采样周期内的连续时间系统输出等效为一个恒定值。
这个方法的原理是根据离散系统的输出间隔和连续时间系统的采样间隔，使用插值方法得到离散系统的输出值。
3. 一阶保持法（First Order Hold Method）：这个方法在零阶保持法的基础上改进，考虑了连续时间系统在每个采样周期内的变化趋势。
它假设连续时间系统在每个采样周期内是线性变化的。
通过插值方法得到离散系统的输出值。
4. 向后微分法（Backward Difference Method）：这个方法根据连续时间系统微分方程中的向后差分近似来实现离散化。
它假设离散时间系统输出的变化率等于连续时间系统输出的变化率。
频域离散化方法：1. 频率响应匹配法（Frequency Response Matching Method）：这个方法将连续时间系统和离散时间系统的频率响应函数进行匹配，使它们在一定频率范围内的增益和相位相近。
通过频率响应函数的等价性，可以使用拉普拉斯变换和z变换之间的关系得到离散时间系统的传递函数。
连续系统离散化方法
其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式 （5.16） ， 也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
Ts
21
eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开 ：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
20
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T
连续函数离散化-以SOGI为例
连续函数离散化-以SOGI为例0. 引⾔0.1 本⽂内容基于SOGI函数，将s域传递函数转换为离散的z域函数，并以m语⾔形式进⾏实现，在simulink中封装为m-function并进⾏验证0.2 学到什么离散化⽅法函数程序实现⽅法1. SOGI简介以TI官⽅⽂档中单相锁相环中SOGI应⽤为例框图如下所⽰正弦信号经过SOGI可得到同相信号及正交信号2. 传递函数同相传递函数H d(s)=v′v(s)=kωn ss2+kωn s+ω2n正交信号传递函数为H q(s)=qv′v(s)=kω2ns2+kωn s+ω2n3. 离散化采⽤双线性变换将s域函数离散⾄Z域3.1 ⼿动离散双线性变换公式为s=2T sz−1 z+1将式3代⼊式1得到H d(z)=kωn2T sz−1z+1(2T sz−1z+1)2+kωn(2T sz−1z+1)+ω2n这⾥使⽤以下两个替换x=2kωn T sy=(ωn T s)2得到H d (z )=x x +y +4+−x x +y +4z −21−2(4−y )x +y +4z −1−x −y −4x +y +4z −2=b 0+b 2z −21−a 1z −1−a 2z −2同理得到正交函数的离散形式H q (z )=k ⋅y x +y +4+2k ⋅y x +y +4z −1+k ⋅y x +y +4z −21−2(4−y )z −1−x −y −4z −2=qb 0+qb 1z −1+qb 2z −21−a 1z −a 2z 3.2 基于MATLAB 的离散⽅法看完上⾯的离散过程，很明显，太⿇烦，有没有简单点的⽅法呢？哎，还真有，MATLAB 只需要⼀条命令就能搞定MATLAB 中c2d 命令可通过多种离散⽅法将连续函数离散化，这⾥为保持⼀致，同样以双线性变换（tustin ）为例进⾏介绍(了解更多c2d 命令，请点击)具体⽤法如下sysd = c2d(sys,Ts,'method')其中，sys 与sysd 分别为离散前后函数，Ts 为采样周期，method 为离散化⽅式，这⾥就是tustin直接给出离散过程的MATLAB 代码%%定义s 为传递函数s = tf('s');%%定义各参数k = 0.5;Wn = 100*pi; %%50HzTs = 1e-4; %%10kHz%%写出传递函数Hd_s = k*Wn*s/(s^2+k*Wn*s+Wn^2);Hq_s = k*Wn^2/(s^2+k*Wn*s+Wn^2);Hd_z = c2d(Hd_s,Ts,'tustin')Hq_z = c2d(Hq_s,Ts,'tustin')运⾏结果为Hd_z =0.007791 z^2 - 0.007791-----------------------z^2 - 1.983 z + 0.9844Sample time: 0.0001 secondsDiscrete-time transfer function.Hq_z =0.0001224 z^2 + 0.0002448 z + 0.0001224---------------------------------------z^2 - 1.983 z + 0.9844Sample time: 0.0001 secondsDiscrete-time transfer function.3.3 对⽐()()()()()()()()()上⾯已经给出了采⽤MATLAB进⾏离散的结果，采⽤同样的参数，这⾥基于式5-8，给出传统计算⽅式的结果Parameter value Parameter valueb00.0078qb00.00012238b10qb10.00024476b2-0.0078qb20.00012238a1 1.9834a2-0.9844可能会看到，这⾥系数正负号与MATLAB计算出结果有所不同，这⾥实际结果没错哈，认为错了的⾃⼰好好检查！4.SOGI的程序实现既然已经得到离散的SOGI函数，如何将其写成程序呢，这⾥以MATLAB语⾔为例，C语⾔同理4.1 离散序列的获得根据式7和8，我们知道U o(z) i(z)=b0+b2z−21−a1z−1−a2z−2U qo(z)i==qb0+qb1z−1+qb2z−2 1−a1z−1−a2z−2容易写成序列⽅程U o(k)−a1U o(k−1)−a2U o(k−2)=b0U i(k)+b2U i(k−2)U qo(k)−a1U qo(k−1)−a2U qo(k−2)=qb0U i(k)+qb1U i(k−1)+qb2U i(k−2)4.2 封装⼀个m-function根据上⾯的式⼦我们很容易可以写出相应的程序，但为了在simulink中验证程序的正确性，我们在这⾥把SOGI封装为⼀个m-function块以便使⽤不了解Matlab的function块功能的⾃⾏百度很容易知道，对于⼀个完整的SOGI函数，有⼀个输⼊端，两个输出端。
传递函数离散化公式
传递函数离散化公式函数离散化是指将连续函数转化为离散函数，即在一定的区间内将连续函数的取值按照一定的间隔进行采样。
离散化公式的设计需要考虑到采样间隔的选择、采样点的选取以及近似误差的控制等因素。
下面介绍两种常见的离散化公式：等间隔离散化和最小二乘离散化。
1.等间隔离散化：等间隔离散化是指将函数的定义域等距地划分成若干个小区间，并在每个区间内选择一个采样点。
等间隔离散化的离散化公式如下：x_i=a+i*h，i=0,1,2,...,N其中，x_i是第i个采样点的坐标，a是定义域的起始点，h是采样的间隔，N是离散化的个数。
2.最小二乘离散化：最小二乘离散化是一种基于最小二乘法的离散化方法，它通过最小化离散函数与原始连续函数之间的均方误差来选择合适的采样点。
最小二乘离散化的离散化公式如下：E=Σ[f(x)-f_i(x_i)]^2其中，E是误差，f(x)是原始连续函数，f_i(x_i)是离散函数，x_i 是采样点的坐标。
在最小二乘离散化中，我们需要根据给定的误差函数f(x)来选择合适的离散函数f_i(x_i)。
具体的选择方式包括：2.1多项式插值：多项式插值是一种常用的最小二乘离散化方法，它通过在每个小区间内使用一个多项式来逼近原始函数。
插值公式如下：f_i(x)=a_0+a_1*(x-x_i)+a_2*(x-x_i)^2+...+a_n*(x-x_i)^n其中，a_0,a_1,...,a_n是待定系数，n是多项式的次数。
2.2样条插值：样条插值是一种更加平滑的最小二乘离散化方法，它通过在每个小区间内使用多个低次多项式来逼近原始函数。
样条插值公式如下：f_i(x)=a_0+a_1*(x-x_i)+a_2*(x-x_i)^2+...+a_n*(x-x_i)^n，x∈[x_i,x_{i+1}]其中，a_0,a_1,...,a_n是待定系数，n是每个小区间内多项式的次数。
需要注意的是，离散化公式的选择应根据具体情况进行判断。
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
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精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
传递函数离散化
传递函数离散化是指将连续的传递函数模型离散化为离散的点，以便进行数值计算。
传递函数是一种常用的电路建模方法，它可以用来描述电路的频率响应特性。
传递函数离散化的基本思想是，通过对传递函数进行采样，将连续的传递函数转换为离散的点。
这样就可以使用计算机来进行数值计算了。
传递函数离散化的方法有很多种，例如：
•均匀采样法：在频率范围内均匀地采样传递函数，得到若干个离散点。
•重心采样法：在频率范围内的重心处采样传递函数，得到若干个离散点。
•自适应采样法：根据传递函数的形态自动调整采样点的分布，使得采样点能够更准确地反映传递函数的形态。
传递函数离散化是一种常用的数值计算方法，它可以用于对电路的频率响应特性进行建模和分析。
tustin离散化方法
Tustin方法（也称为Bilinear变换或双线性变换）是一种用于将连续时间系统（模拟系统）离散化为离散时间系统的方法之一。
它是一种广泛使用的数值方法，尤其适用于将连续时间系统转换为数字控制系统。
Tustin方法的离散化步骤如下：1. 连续时间系统：首先，考虑一个具有传递函数H(s)的连续时间系统，其中s是复变量。
传递函数通常具有以下形式：H(s)=N(s) D(s)其中，N(s)和D(s)是多项式，表示系统的分子和分母。
2. 替换s：使用Tustin方法，我们将s替换为离散时间z上的特定映射。
Tustin方法使用双线性变换：s=2Tz−1 z+1其中，T是采样时间。
3. 替换H(s)：将s替换为上述表达式，得到离散时间系统的传递函数：H(z)=N(2Tz−1z+1) D(2Tz−1z+1)4. 优化H(z)：通常，为了方便分析和实现，可以对H(z)进行代数化简，例如通过因式分解或部分分数展开。
5. 数字实现：将H(z)转换为数字控制系统的形式，例如差分方程或脉冲响应。
示例：假设有一个连续时间系统的传递函数为：H(s)=s+1s2+3s+2采样时间T为 0.1 秒，应用Tustin方法：s=2Tz−1 z+1将其代入传递函数，进行代数化简，最终得到离散时间系统的传递函数。
这就是Tustin方法的基本过程。
它是一种将连续时间系统转换为离散时间系统的常用方法，具有一定的数值稳定性和频率响应特性。
在数字控制系统设计中，经常使用这样的方法来进行系统离散化。
传递函数离散化为差分方程
传递函数离散化为差分方程
传递函数是控制系统中非常重要的概念，它是用于描述输入和输
出之间关系的数学表达式。
但是，在处理实际的控制系统问题时，常
常需要将传递函数离散化为差分方程，以便在数字计算机上进行处理。
下面，我们将分步骤阐述如何将传递函数离散化为差分方程。
第一步：将传递函数转化为拉氏变换
在进行离散化之前，需要将传递函数转化为拉氏变换。
拉氏变换是用
于将时域信号转化为复频域信号的数学工具。
将传递函数转化为拉氏
变换的过程，可以使用MATLAB等数学软件进行实现。
第二步：将拉氏变换转化为Z变换
将传递函数转化为拉氏变换后，需要将其进一步转化为Z变换。
Z变换是一种用于将离散时间信号转化为复频域信号的数学工具，在数字控
制系统中得到广泛应用。
第三步：将Z变换离散化为差分方程
将Z变换离散化为差分方程是离散化传递函数的最后一步。
差分方程
是描述离散时间系统的数学表达式，可以用于数值计算和仿真。
总结：传递函数通过拉氏变换和Z变换的转化，最终可以离散化
为差分方程，这使得设计师能够更好地理解和处理数字控制系统的问题。
离散化传递函数的过程非常重要，它是数字控制系统工程中的基
本步骤。
希望读者能够通过本篇文章，更好地理解如何将传递函数离
散化为差分方程。
连续函数离散化
连续函数离散化 Prepared on 22 November 2020连续函数离散化替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S)，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。
然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1= 其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx取近似式：Ts e Z Ts +≈=1或：TZ s 1-= 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。
例：二阶连续系统s s s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) 001.0=T 代入双线性替换法 取近似式：2121Ts Tse Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。
相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。
例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 用双线性替换法建立差分方程。
解：双线性替换：)1()1(2+-=z T z s 代入G(s) 001.0=T 代入域离散相似法离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。
设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。
传递函数离散化公式
传递函数离散化公式
函数离散化是一种将连续函数转化为离散函数的方法，通常用于数字信号处理中。
在进行函数离散化时，需要使用一些离散化公式来计算离散函数的值。
以下是几个常用的函数离散化公式：
1. 均匀离散化公式：将一个连续函数按照等间隔划分的方式离散化，即将函数在等距离的点上进行采样。
公式如下：
$x_i = x_{min} + i times Delta x$
其中，$x_{min}$是采样区间的最小值，$Delta x$是采样区间的间隔，$i$表示采样点的序号。
2. 最近邻离散化公式：将一个连续函数在每个采样点上的值赋给其最近的离散点作为离散函数的值。
公式如下：
$y_i = f(x_{j})$
其中，$f(x_{j})$表示函数在离散点$x_{j}$上的值，$y_i$表示离散点$i$处的离散函数值。
3. 线性插值离散化公式：将一个连续函数在每个采样点上的值用线性插值的方式计算出其在离散点上的值。
公式如下：
$y_i =
frac{(x_{j+1}-x_i)f(x_{j})+(x_i-x_{j})f(x_{j+1})}{x_{j+1}-x _{j}}$
其中，$f(x_{j})$和$f(x_{j+1})$分别表示函数在离散点
$x_{j}$和$x_{j+1}$上的值，$y_i$表示离散点$i$处的离散函数值。
这些离散化公式可以根据实际情况进行灵活使用，以达到最佳的
离散化效果。
连续传递函数离散化的方法与原理
目录第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第一节 步骤步骤1 模拟控制器的处理在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控制器D(s)。
事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。
然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢还没有这方面的实际经验。
以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。
步骤2 离散化模拟控制器离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。
离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。
确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。
假设模拟控制器为s 2D s 8s 15+=⋅+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为：转换结果为：步骤3 检验数字控制器的性能数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。
连续函数离散化
1.1.2
取近似式： 或
用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin变换。相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。
例：二阶连续系统 ，
用双线性替换法建立差分方程。
解：双线性替换： 代入G(将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。
或
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
1.1.1
由幂级数展开式：
取近似式：
或：
用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler法。
例：二阶连续系统 ，
解：简单替换法 代入G(s)
连续系统模型
离散化模型
经采样后是离散信号 ，加保持器 后，将离散信号 转化成连续信号 ，并作用于连续系统G(S)上输出 。
离散模型：
例：二阶连续系统 ，
以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程
解：零阶保持器
代入
经过z变换后可以写成
对于 经过z变换
连续函数离散化连续函数离散化方法传递函数离散化例题连续函数离散化参数计算传递函数离散化公式传递函数z变换离散化连续函数微分方程离散化传递函数离散数据离散化matlabz域与s域
连续函数离散化
1.1
传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。
替换法的基本思想：
4.2 连续控制器的离散化方法
教学模块4数字控制器的模拟化设计方法教学单元2连续控制器的离散化方法教学单元2连续控制器的离散化方法连续控制器的离散化——求连续控制器传递函数D(s)的等效离散传递函数D(z)。
离散化的基本原则——保证D(z)与D(s)具有相同或相近的动态性能和频率特性。
◆z变换法◆差分变换法◆双线性变换法◆零极点匹配法2.1 z 变换法[])()(s D Z z D =控制器的输入[])()(s E Z z E =数字控制器算法)]()([)(1z D z E Z k u -= z 变换法的特点（1）形式简单、直观，这种变换方法符合z 变换的定义，通过z 变换直接得数字控制器。
——直接用z 变换，由模拟控制器求数字控制器sTz e=符合z 变换定义z 变换的频率映射关系（2）若D (s )稳定，则D(z)也稳定，而且变换前后频率不会发生畸变。
z 变换法的特点（3）产生频率混叠——将s 平面上角频率以采样角频率为周期的所有信号，都重叠地映射到z 平面上同一频率点的信号。
z 变换法的特点Tk j TTk j k T j Tj s eeee z )()2()2(1ωωπωπωωω+++====ωωs 平面角频率与z 平面角频率之间的关系为：sTz e=按z 变换定义（3）频率混叠现象z变换法的特点ωj s =虚轴单位圆ωσj s +-=左半平面单位圆内ωσj s +=右半平面单位圆外（3）频率混叠现象◆频率混叠将使数字控制器的频率响应与模拟控制器的频率响应的近似性变差，很少使用◆为防止混叠现象发生，需要提高采样频率2.2 差分变换法——把微分方程中的导数用有限差分来近似等效，得到一个与给定微分方程逼近的差分方程⎩⎨⎧前向差分后向差分（1）后向差分变换法假设有模拟信号e (t )，后向差分变换：()()()Tk e k e dt t de 1--=Tzs 11--=Tsz -=11或)()(z E s E =令后向差分变换拉氏变换)(1)(1z E Tz s sE --=z 变换后向差分变换法亦称为后向矩形积分法——以后向矩形面积近视代替积分面积——后向矩形积分法te (t )kT……TkT e dt t e kTTk ⋅=⎰-)()()1(后向矩形积分法设控制器传递函数为：()1()()U s D s E s s==()()du t e t dt =——微分方程(1)(1)(1)()()()kT kT kT k T k T k Tdu t dt du t e t dt dt ---==⎰⎰⎰(1)()((1))()kT k Tu kT u k T e t dt---=⎰TkT e dt t e kTTk ⋅=⎰-)()()1(取后向矩形积分：后向矩形积分法()((1))()u kT u k T e kT T--=⋅1()()()U z z U z TE z --=z 变换=Tz s 11--=1()1()()(1)/U z D z E z z T -==-数字控制器()1()()U s D s E s s==模拟控制器后向差分变换法也称为后向矩形积分变换法后向差分变换对系统性能的影响ωj s =当T e T J T j T j z ωωωωarctan 2212111212111+=-++=-=对S 左半平面，设ωσj s +-=Tj T T j T T j T z ωσωσωσ-++-+=-+=112121115.05.0=-z 5.05.0<-z ——半径小于0.5圆——半径为0.5的圆后向变换对系统性能的影响：◆若D (s )稳定，则D (z )一定稳定；◆数字控制器D (z )的频率产生畸变；◆是否存在频混叠？——不存在频率混叠。
传递函数零阶保持离散化
传递函数零阶保持离散化1.引言1.1 概述在控制系统中，传递函数是描述系统动态特性的重要数学模型。
传递函数可以用于描述连续系统的输入与输出之间的关系，通过它我们可以预测系统的响应和行为。
然而，在实际应用中，我们常常需要将连续系统进行离散化处理，以适应数字控制系统的要求。
离散化是将连续系统转化为离散系统的过程，它的目的是将连续信号转换为离散信号，并用离散数学方法对其进行处理和分析。
对于传递函数的离散化来说，就是将连续传递函数转换为离散传递函数的过程。
在离散控制算法中，离散传递函数扮演着重要的角色，它可以描述离散系统的输入和输出之间的关系。
本文将探讨传递函数零阶保持离散化的问题。
零阶保持器是一种常用的离散化方法，它的基本原理是将连续信号在某个特定时间间隔内进行采样，然后在每个采样点上保持采样值不变，以离散的形式表示连续信号。
通过对零阶保持器的定义和原理的介绍，我们将了解它在传递函数中的作用，并探讨离散化对传递函数的影响和应用。
同时，我们还将展望传递函数零阶保持离散化的意义和应用，并总结本文的内容。
在接下来的章节中，我们将深入探讨零阶保持器和离散化方法，并分析它们对传递函数的影响。
通过这些内容的学习，读者将能够更加全面地了解传递函数零阶保持离散化的原理和应用。
随着数字控制技术的发展，离散化方法在工程领域的应用将会越来越广泛，因此对于传递函数零阶保持离散化的研究具有重要的现实意义和应用价值。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕传递函数的零阶保持离散化展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个主要部分，具体结构如下：引言部分首先概述了本文的研究内容和目的，对传递函数的零阶保持离散化进行了简要介绍。
接着介绍了本文的结构安排，明确了每个小节的主要内容和意义。
最后，明确了本文的目的，即探讨传递函数的零阶保持离散化在工程应用中的意义和潜在影响。
正文部分主要分为两个小节，分别是零阶保持器和离散化方法。
在2.1小节中，将详细讨论零阶保持器的定义和原理，包括其在控制系统中的作用和优势。
连续系统模型的离散化处理方法
计算各环节输出量
打印间隔到否 N
打印Yn+1 计算次数到否 N
结束
*
31
五、离散相似模型的精度与稳定性
离散相似模型只能等效于原来的连续系统 其精度受采样周期和信号重构器性能的影响 信号重构器存在一定程度的幅值减小和相位
滞后 在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
*
32
1 采样周期对精度的影响
Tmin—系统中反应最快的那个闭环子系统的 最小时间常数
*
34
2 信号重构器对仿真模型精度的影响
加入一个理想滤波器,保留输入信号主频段,滤 掉附加的频谱分量,不失真
理想滤波器不存在,一般用零阶、一阶、三角 保持器来近似
3 离散相似模型的稳定性
稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器 选择不当，离散模型的稳定性变差
*
22
离散模型
C 惯性环节
*
23
D 超前-滞后环节
*
24
四、采用离散化模型的系统仿真
把各个环节有机地连接起来。 1 连接矩阵（面向结构图）
1
2
-
-
4
6
5
3 -
a
*
25
*
26
*
27
连接方程
U=w yK U—输入向量 YK—输出向量 W—连接矩阵
*
28
2 仿真计算过程
基本计算单元：各环节的离散化模型
两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似 处理—离散化状态方程
*
11
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
*
12
Z反变换得差分模型
*
控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果
控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果在控制系统中，传递函数描述了输入信号和输出信号之间的关系。
传递函数通常采用连续时间表示，但在实际应用中，为了能够在数字控制器中进行计算和实现，需要将传递函数离散化。
离散化是将连续时间信号转化为离散时间信号的过程，离散化后的控制系统可以方便地在数字控制器中进行实时计算和控制。
传递函数的离散化可以通过多种方法实现，其中最常见的是Z变换法。
在Z变换法中，将传递函数中的连续时间变量s替换为离散时间变量z，即进行变量替换s->z。
通过这种变换，将连续时间域的传递函数转化为离散时间域的递推公式。
对于一个一阶系统，其传递函数为G(s)=K/(Ts+1)，其中K为增益，T为系统的时间常数。
将s替换为z，得到G(z)=K/(T(z-1)+z)。
为了将这个传递函数离散化为递推公式，可以使用Z变换的定义：X(z)=Σ[x(n)*z^(-n)]，其中x(n)为离散时间输入信号。
将G(z)的分子和分母分别进行Z变换得到X(z)=K/(T(z-1)+z)，Y(z)=X(z)*G(z)。
将X(z)代入Y(z)的表达式中，得到Y(z)=K/(T(z-1)+z)*X(z)。
对Y(z)进行逆Z变换，得到y(n+1)=K/T*[x(n)-x(n-1)]+y(n)。
以上就是一阶系统离散化后的递推公式。
通过递推公式可以实现对一阶系统的离散时间域模拟和控制。
对于高阶系统，可以使用相同的方法进行离散化。
将传递函数中的s替换为z，得到离散时间域的传递函数。
然后使用Z变换的定义计算输入信号和输出信号的Z变换，最后将Z变换后的表达式进行逆Z变换，得到系统的递推公式。
通过离散化后的递推公式，可以在数字控制器中进行实时计算和实现控制操作。
递推公式可以实现反馈控制、滤波器设计等。
总结起来，控制系统的传递函数离散化就是将连续时间域的传递函数转化为离散时间域的递推公式的过程。
通过Z变换法将传递函数中的s替换为z，然后通过逆Z变换得到递推公式。
传递函数离散化例题
传递函数离散化例题
传递函数离散化是将连续传递函数转换为离散形式的过程。
离散化可以让我们在数字系统中对传递函数进行分析和处理。
这里我将以一个例题来说明传递函数离散化的过程。
假设我们有一个连续传递函数H(s) = 1/(s+1)，我们希望将其离散化为一个差分方程形式。
首先，我们可以使用双线性变换（也称为脉冲响应不变法）来进行离散化。
双线性变换可以将连续时间变量s映射到离散时间变量z。
其变换公式为：
z = (1+T/2) / (1-T/2) (1+sT/2) / (1-sT/2)。
其中，T为采样周期。
将传递函数H(s) = 1/(s+1)代入上述公式，我们可以得到离散化后的传递函数H(z)。
接着，我们可以通过一些代数运算将H(z)表示为差分方程的形式，通常是z变换域的有理多项式。
另一种离散化方法是使用脉冲响应不变法。
该方法将连续时间系统的冲激响应映射到离散时间系统的冲激响应，然后通过卷积求得离散系统的差分方程。
除了上述方法外，还有其他离散化方法，如双向差分变换法、
双向拉普拉斯变换法等，它们各自有适用的场景和特点。
总之，传递函数离散化是将连续传递函数转换为离散形式的重
要过程，它可以帮助我们在数字系统中对传递函数进行分析和处理。
在实际应用中，选择合适的离散化方法并进行准确的离散化是非常
关键的。
希望这个例题能够帮助你更好地理解传递函数离散化的过程。
连续函数离散化
连续函数离散化1.1替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。
然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。
G(S) G(Z) 差分方程根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1=其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
1.1.1 简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx+++++==!)(!2)(12n Ts Ts Ts e Z nTs取近似式：Ts e Z Ts +≈=1 或：TZ s 1-=用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。
例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) )()(501)250(400)1(50)1(400)(2222z U z Y T z T z T T z T z z G =-+-+=-+-=)(400)()501()()250()(22z U T z Y T z zY T z Y z =-+-+⇒ )(400)()501()()250()(2221z U z T z Y z T z Y z T z Y ---=-+-+⇒ )2(400)2()501()1()250()(2-+------=⇒k u T k y T k y T k y001.0=T 代入)2(104.0)2(95.0)1(95.1)(3--⋅+---=k u k y k y k y 1.1.2 双线性替换法+-++-+-+++++===---!)2/(!2)2/(21!)2/(!2)2/(21222/2/)2(2k Ts Ts Ts k Ts Ts Ts ee e e k kTs Ts Ts Ts Ts 取近似式：2121Ts Ts e Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。
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目录第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第一节 步骤步骤1 模拟控制器的处理在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控制器D(s)。
事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。
然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢？还没有这方面的实际经验。
以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。
步骤2 离散化模拟控制器离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。
离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。
确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。
假设模拟控制器为s 2D s 8s 15+=⋅+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为：转换结果为：步骤3 检验数字控制器的性能数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。
直流增益 dcgain(dz)返回直流增益频率特性 bode(ds,'r',dz,'g') 伯德图，见下页左图 零极点分布 pzmap(dz) 零极点分布图，见下页右图步骤4 离散化控制对象为了进行模拟仿真，需要对控制对象进行离散化，由于步骤1所说的原因，应把被控对象视为零阶保持器与原对象的串连，即应对Ts1e G s s()--进行离散化，这时可在c2d 函数中使用零阶保持器(zoh)方法，如果认为不需要添加零阶保持器，即直接对G(s)离散化，则应在c2d 函数中使用冲击响应不变法（imp ）。
借用零阶保持器(zoh)方法，将对象20G s s s 2()()=+带一阶保持器离散化的过程如下：转换结果为： 步骤5 模拟仿真求离散系统的闭环传递函数和连续系统的闭环传递函数。
ds=zpk(-2,-15,8) %建立模拟控制器的s 传递函数dz=c2d(ds,,'tustin') %将模拟控制器按tustin 方法转换为z 传递函数的数字控制器...... %模拟控制器D(s)转换为D(z)的过程见前 gs=zpk([ ],[0,-2],20) %建立对象的s 传递函数g1z=c2d(gs,,'zoh') %借用c2d 函数进行带零阶保持器的对象的离散化离散系统的闭环传递函数为：CZ D z G 1z TR 1D z G 1z ()()()()=+连续系统的闭环传递函数为：CS D s G s TR 1D s G s =+()()()()用MATLAB 算TR CZ 与TR CS ：结果为： 用MATLAB 函数STEP 画阶跃响应图形：响应图形为：步骤6 求数字控制器的时域表达式上面已经求出， 连续传递函数s 2D s 8s 15+=+⋅()的tustin 离散式为11U z 61091z 09048 6.1091-5.527z D z E z z 0454*******z ---===--().(.)()()..，或 11U z 61091E z 5527E z z 04545U z z ().().().()--=-+。
对上式取z 反变换，得时域表达式u k 61091e k 5527e k 104545u k 1=--+-().().().()，根据此式就可以写出计算u k ()的程序代码来了。
除上述步骤之外，在编写程序代码时，还需要考虑几个问题： ① ADC 位数ADC 位数是一个硬件问题，在系统设计时，就应该结合控制算法，仔细分析ADC 位数对控制精度的影响。
② 数据类型在控制算法中有3种数据类型可以采用：无符号整数，定点数，浮点数。
我们知道，无符号整数运算既是最简单和速度最快的运算，又是定点数运算和浮点数运算的基础。
在数据动态范围比较小的情况下，应尽可能用无符号整数运算代替定点数运算和浮点数运算。
浮点数运算是一整套运算，包括加，减，乘，除，对阶，规格化，溢出处理等一系列子程序，使用浮点数的程序，将占用比较多的代码空间和比较长的运行时间。
不论使用汇编语言还是c 语言，对于是否使用浮点数运算，都应进行比较仔细的酌斟。
③ 数值计算误差数值计算引入的误差有3个方面，一是定点数字长不够或者浮点数有效数字过少，一是两个相近的数相减，一是加减乘除次数过多。
在程序设计中，应优化算法以避免计算误差的引入。
trcz=dz*g1z/(1+dz*g1z)trcs=ds*gs/(1+ds*gs)hold on %图形保持step(trcs,'r',2) %画连续系统的阶跃响应图,红色,终止时间为2秒 step(trcz,'b',2) %画离散系统的阶跃响应图,兰色,终止时间为2秒第二节 在MATLAB 中离散化1. 建立s 降幂传递函数 ① 建立多项式型s 降幂传递函数 方法1. sys = tf(num,den) 方法2. s = tf('s')，再令sys = f(s) 例： 已知03215s 3G 025s 125s s...+=++，用tf 函数建立多项式型s 降幂传递函数，0G tf 153********([.],[..])=，若G 0以零极点形式给出，即已知0305s 1G s s 1025s 1(.)()(.)+=++，仍可用tf 函数建立多项式型s 降幂传递函数，但需用多项式乘法函数conv 配合，G0=tf(conv([3],[ 1]),conv(conv([1 0],[1 1]),[ 1])) ② 建立零极点型s 传递函数 方法1. sys = zpk(z,p,k)方法2. s = zpk('s')，再令sys = f(s)。
2. 传递函数的转换① 将任意形式的s 传递函数转换为s 降幂传递函数 sys = tf(sys) ② 将任意形式的s 传递函数转换为s 零极点传递函数 sys = zpk(sys)3. 建立z 传递函数① 将连续传递函数转换为离散传递函数 sysd = c2d(sysc,t,method) ② 建立多项式形式的z 传递函数 方法1. sys = tf(num,den,?t) 方法2. z = tf('z',?t)，再令sys = f(z) ③ 建立零极点z 传递函数 方法1. sys = zpk(z,p,k,?t)方法2. z = zpk('z',?t)，再令sys = f(z) 4. 建立z -1格式的传递函数直接根据分子和分母建立z -1格式的传递函数sys_z = filt(num,den,?t)当已有多项式形式的z 降幂传递函数时，按以下步骤：① 取z 降幂传递函数a 的分子多项式系数 [num,den] = tfdata(sys_s,'v') ② 建立z -1格式的传递函数sys_z = filt(num,den,?t)5. 将多项式形式的高阶z -1降幂传递函数转换为并联传递函数，按以下步骤： ① “手工”将z -1降幂传递函数a 改写成多项式形式的z 降幂传递函数b 。
② 取z 降幂传递函数b 的分子多项式系数num 和分母多项式系数den 。
③ 利用residue 函数取z 降幂传递函数b 的分项分式，[an ad ak]=residue(num,den)。
分项结果可能出现共轭复数，在这种情况下应将含有共轭复数的分式合并成二次有理质分式。
④ 根据分项结果手工写出z 降幂多项式形式的并联表达式。
⑤ “手工”将z 降幂多项式形式的并联表达式改写成z -1降幂多项式形式的并联表达式。
⑥ “手工”对z -1降幂多项式形式的并联表达式中的每一个分式项降阶，即将每一个分式项变形，使得分式项的分子的阶次比分母的阶次低1阶，变形完毕再将全部常数项合并。
举例设有z -1降幂传递函数 1212010186z 00864z tz 01127z 027z ----++=-+..._..改写成z 降幂传递函数 2201z 0186z 00864tz 01z 127z 027..._..++=-+，取分项矢量 [an ad ak]=residue(nz,dz) 得 an=[ ] ad=[ ] ak=手工写分项分式 1110510105101z 0510105101z 11z 1z ....---==-+---， 令 105101t z p 11z ._-=-1110197101971z 073073z 0271027z 1027z .......------==+---， 令 1073tz p21027z ._.--=- 又令 t z p 3010510107303199_....=-+=故 1105101073t z 0t z p3t z p1t z p2031991z 1z ..____.--=++=+--- 验证 12111205101073010186z 008637z 031991z 1z 1127z 027z ........------+++-=---+实际上，大多数数字控制器的传递函数都是一阶或者二阶的，所以需要分解的并不是很多。
6. 将高阶z -1降幂传递函数生成串联传递函数 使用zpk 函数 sys_zpk= zpk(sys_pl)零极点的概念是相对于z 而不是相对于z -1说的，但对于以z -1为变量的降幂传递函数sys_pl 来说，仍然可以用zpk(sys_pl)生成以z -1为变量的因式积形式传递函数，权且也称为零极点形式。
zpk 函数对于z 降幂传递函和z -1降幂传都能得到合理的结果，原因是zpk 函数的作用就是把分子多项式和分母多项式分别进行因式分解。