连续系统离散化方法

其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式 （5.16） ， 也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
Ts
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eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开 ：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
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第 2 章 计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T
使用正向差分方法时，有个严重问题是， s 平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆外。因 为 s 平面的稳定域为 Re( s ) < 0 ，参考式（5.10） ，可以写出 z 平面的稳定域为：
−1
的。即
g D (kT ) = g (t ) t = kT
因此，脉冲响应不变保持了脉冲响应的形状
D ( z ) = Z [ D ( s )]
（5.20）
因而，上面给出的连续滤波器 D ( s ) ，采用脉冲响应不变法所得到的离散滤波器 D ( z ) 即
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
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D ( s ) 的 z 变换。所以，脉冲响应不变法也称 Z 变换法。
z −1 = e−Ts = 1 − Ts +
取一阶近似 z
−1
T 2s2 − ... 2
（5.6）
≈ 1 − Ts ，也可得到
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第 2 章 计算机控制系统的信号转换
s=
1 − z −1 T
（5.7）
s 平面的稳定域可以通过式（5.4）映射到 z 平面。因为 s 平面的稳定域为 Re( s ) < 0 ，参
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
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D(s ) 稳定，则变换后的 D( z ) 也是稳定的；
③离散滤波器的过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定的失真， 需要较小的采样 周期 T 。
2、正向差分变换法
对于给定的
D( s ) =
U ( s) 1 = E (s) s
（5.8）
du (t ) = e(t ) ，用正向差分代替微分，即 其微分方程为 dt du (t ) u (k + 1) − u ( k ) ≈ = e( k ) dt T
T (1+ z −1 )
1 s
=
s=
2(1− z −1 )
T (1+ z −1 )
T (1 + z −1 ) 2(1 − z −1 )
上式可以写成
(1 − z −1 )U ( z ) =
由上式可以得出相应的差分方程
T (1 + z −1 ) E ( z ) 2 T {e(kT ) + e[(k − 1)T ]} 2
即： σ + ω < 1
2 2 2
这相应于 z 平面单位圆内部，如图 5-6 所示。因此，双线性变换将 s 平面上整个左半平面 映射到 z 平面上以原点为圆心的单位圆内部（这是 z 平面上的稳定区） 。这和 z = e 映射是一
Ts
样的，但是离散滤波器的过渡响应及频率响应特性有显著的不同。
jω
Im
ωB
−1
（5.2）
D( z ) =
U ( z) 1 = E ( z ) 1 − z −1 T
（5.3）
比较式（5.1）与式（5.3）可知，将式（5.1）中的 s 直接用
s=
代入即可，即
1 − z −1 T
（5.4）
D( z ) = D( s)
另外，还可将 z 作级数展开
−1
s=
1− z −1 T
（5.5）
⎛ 2 1 − z −1 ⎞ ⎛ 2 z −1 ⎞ = Re ⎜ Re ⎜ ⎟<0 −1 ⎟ ⎝ T z +1⎠ ⎝ T 1+ z ⎠
因为 T>0，上面的不等式可以简化为
⎛ σ 2 − 1 + ω 2 + j 2ω ⎞ ⎛ σ + jω − 1 ⎞ ⎛ z −1⎞ ⎜ ⎜ ⎟ = Re⎜ Re = Re ⎟ ⎜ σ + jω + 1 ⎟ ⎜ (σ + 1) 2 + ω 2 ⎟ ⎟<0 ⎝ z + 1⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
D( s) =
例 5.1 解 用双线性变换法将模拟积分控制器
U (s) 1 = E ( s ) s 离散化为数字积分控制器。
由式（5.14） ，得数字控制器的脉冲传递函数为
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
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D( z ) =
U ( z) = D( s) E( z)
s=
= 2(1− z −1 )
Z 变换法的特点是： ① D ( z ) 和 D ( s ) 有相同的单位脉冲响应序列； ②若 D ( s ) 稳定，则 D ( z ) 也稳定； ③ D ( z ) 存在着频率失真； ④该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。 它主要应用于连续控制器 D ( s ) 具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及
jωT 设 s = jΩ ， z = e ，代入
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1 得到
2 1 − e − jωT jΩ = T 1 + e − jωT ωT 2 = j tan T 2
（5.18）
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第 2 章 计算机控制系统的信号转换
于是
Ω=
2 ωT tan T 2
（5.19）
上式表明了模拟频率 Ω 和离散频率 ω 之间的非线性关系。当 ωT 取值 0 ~ π 时， Ω 的值 为 0 ~ ∞ 。这意味着，模拟滤波器的全部频率响应特性被压缩到离散滤波器的 0 < ωT < π 的 频率范围内。这两种频率之间的非线性特性，使得由双线性变换所得的离散频率响应产生畸 变。这种缺点可以通过预畸变的办法来补偿。 补偿的基本思想是：在 D ( s ) 变换成 D ( z ) 之前，将 D ( s ) 的断点频率预先加以修正（预畸 变） ，使得修正后的 D ( s ) 变换成 D ( z ) 时正好达到所要求的断点频率。 预畸双线性变换的特点为： （1） 将 S 平面左半平面映射到 Z 平面单位圆内。 （2） 稳定的 D ( s ) 变换成稳定的 D ( z ) 。 （3） 没有混叠现象。 （4）
D ( s ) 具有陡衰减特性，且为有限带宽的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，
从而保证 D ( z ) 的频率特性接近原连续控制器 D ( s ) 。
5、阶跃响应不变法
所谓阶跃响应不变法就是将连续滤波器 D ( s ) 离散后得到的离散滤波器 D ( z ) ，保证其阶 跃响应与原连续滤波器的阶跃响应在各采样时刻的值是相等的。 用阶跃响应不变法离散后得到的离散滤波器 D ( z ) ，则有
1 ⎤ 1⎤ ⎡ ⎡ Z −1 ⎢ D( z ) = L−1 ⎢ D( s ) ⎥ −1 ⎥ s⎦ 1− z ⎦ ⎣ ⎣
上式可以写成
1⎞ ⎛ ⎛1⎞ 2 ⎜σ − ⎟ + ω < ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠
2
2
由上式可以看出， s 平面的稳定域映射到 z 平面上以 σ = 1 / 2 ， ω = 0 为圆心， 1 / 2 为半 径的圆内，如图 5-3 所示。
jω
Im
ω =0
σ
Re
z =1
图 5-3 反向差分变换 s 平面与 z 平面的对应关系 反向差分变换方法的主要特点如下： ①变换计算简单； ②由图 5-3 看出， s 平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果
⎛ z −1⎞ Re ⎜ ⎟<0 ⎝ T ⎠
令 z = σ + jω ，则上式可以写成
⎛ σ + jω − 1 ⎞ Re⎜ ⎟<0 T ⎝ ⎠
因为 T > 0 ，则有 σ − 1 < 0 即 σ < 1 ，如图 5-4 所示。
jω
Im
ω =0
σ
Re z =1
图 5-4 正向差分变换 s 平面与 z 平面的对应关系 由此，得出正向差分法变换的特点： s 平面左半平面的极点可能映射到 z 平面单位圆外。 因而，用这种方法所得到的离散滤波器可能是不稳定的，实际应用中基本上不采用这种方法。
考式（5.4） ，可以写出 z 平面的稳定域为：
⎛ 1 − z −1 ⎞ ⎛ z − 1⎞ Re⎜ ⎜ T ⎟ ⎟ = Re⎜ Tz ⎟ < 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠