麦克斯韦方程组
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25
电磁场理论
坡印廷定理
时变电磁场的基本原理
S
( E H ) dS Ee J dV
V
V
J2 W dV t
在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能 量守恒定律为：
( E H ) dS
S
V
Ee JdV
J2
V
dV
恒定场中的坡印廷定理 注意：磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成
d B e dS S t dt
又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称
为变压器电势。
图 感生电动势
5
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
2.磁场不变，回路切割磁力线
d e (ν B ) dl l dt
称为动生电动势，这是 发电机工作原理，亦称 为发电机电势。
i
e Ei dl
l
i
E dl ( E ) dS
l s
B Ei t
B dS t
图 变化的磁场产生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 是产生
Ei 的涡旋源，故又称涡旋电场。
9
B t
电磁场理论
若空间同时存在库仑电场, 即 E EC Ei , 则有
2
电磁场理论
时变场的知识结构框图：
高斯定律 电磁感应定律
时变电磁场的基本原理
磁通连续性原理 全电流定律 Maxwell方程组
坡印廷定理与坡印廷矢量 正弦电磁场 分界面上衔接条件
3
动态位A ,
达朗贝尔方程
电磁辐射、传输线及波导
电磁场理论
电磁感应定律（Faraday’s Law）
时变电磁场的基本原理
时变电磁场的基本原理
根据位移电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到 时变场，得到全电流定律的微分形式
应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式
变化的电场能产生磁场。 变化的电场也看成一种电流。
15
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
有时候在全电流中还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流 电流密度为
18
电磁场理论
5 .3 电磁场的基本方程组
积分形式
时变电磁场的基本原理
全电流定律：麦克斯韦第 一方程，表明传导电流和 变化 的电场都能产生磁场。
电磁感应定律：麦克斯韦 第二方程，表明电荷和变 化的磁场都能产生电场。 磁通连续性原理：表明 磁场是无源场 , 磁力线 总是闭合曲线。 高斯定律：表明电荷以 发散的方式产生电场 (变化的磁场以涡旋的形 式产生电场)。
中就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关
（甚至可以是假想回路），当回路是导体时，有感
e
应电流产生。
思考 电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
2016/6/30
重庆理工大学
8
电磁场理论
4. 感应电场
时变电磁场的基本原理
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该 电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场 。 在静止媒质中
时变电磁场的基本原理
例 用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载
传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分
别为a 和b。 解: 理想导体内部电磁场为零。 电场强度 磁场强度 坡印廷矢量
U E er r ln(b / a)
I H e 2 πr
图 同轴电缆中的电磁能流
U I S EH ez r ln(b / a) 2πr
若体积内含有电源，则 J ( E Ee ) , 将E J / Ee 代入上式第二项, 整理得
( E H wenku.baidu.com dS
S
V
Ee J dV
V
J2 W dV t
坡印廷定理
物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻 消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出 闭合面 S 的电磁功率。
w 则有 ( ( E H ) E J ) t 代入式(3)得
W w dV ( E H ) dS E JdV V A V t t
24
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
W ( E H ) dS E JdV A V t
电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并 不就是等于断开了电路。 电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体 现在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在 电容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场 通过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。 如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发 现总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率 的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就 可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电 流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个 等效的电流就是位移电流。
图 动生电动势
6
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样 是回路中的磁通发生变化。
7
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
3. 磁场随时间变化，回路切割磁力线
d B e (ν B) dl dS l S t dt
实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路
S1
经过S1面
l
交变电路用安培 环路定律
经过S2面
思考
2016/6/30
l
H dl J d S 0
S2
为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？原因所在？
重庆理工大学
11
电磁场理论
1.时变场的电流连续性
时变电磁场的基本原理
在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流 的连续性，有
1.1 法拉第电磁感应定律
当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电 动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
电磁感应定律：
d e dt
负号表示感应电流产生的
磁场总是阻碍原磁场的变化。
感生电动势的参考方向
4
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
根据磁通变化的原因， e 分为三类： 1.回路不变，磁场随时间变化
B1n B2n
H 2t H1t K
折射定律
tan 1 1 tan 2 2
tan 1 1 tan 2 2
电场：
D2n D1n
E2t E1t
21
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
当分界面上不存在自由面电流和自由面 电荷时，时变电磁场的分界面条件可简 化为
29
电磁场理论
时变电磁场的基本原理 例 导线半径为a，长为 l，电导率为 ，试用坡印 亭矢量计算导线损耗的能量。
解: 思路： 设 I E , H S P 电场 磁场
I E ez 2 πa
I H e 2 2 πa
2
J
图 计算导线损耗的 能量
导体吸收的功率为: P
l 2 ( E H ) d S I I R S 2 πa
30
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
表明：导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。 电源提供的能量一部分用于导线损耗
Sn Et H
另一部分传递给负载
时变电磁场的基本原理
B E t
表明不仅电荷产生电场，变 化的磁场也能产生电场。 思考 根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生 磁场呢？
2016/6/30
图 变化的磁场产生感 应电场
重庆理工大学
10
电磁场理论
1.2 全电流定律
问题的提出
时变电磁场的基本原理
l
H dl i H dl J dS i
能量的流动。
26
电磁场理论
1.4.2
时变电磁场的基本原理 坡印廷矢量 (Poynting Vector)
定义坡印廷矢量
S EH
W/m2
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单 位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向
代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。
电磁波的传播
27
电磁场理论
在时变场中，根据电荷守恒原理，有
12
电磁场理论
应用散度定理，可得
时变电磁场的基本原理
这就是时变场的电流连续性方程 传导电流不再保持连续。
13
电磁场理论
2.位移电流
时变电磁场的基本原理
在时变场中，传导电流不再保持连续。
可以看作是一种电流密度，记为 全电流密度为
位移电流密度
14
电磁场理论
3.全电流定律
完整的全电 流定律的微 分形式应为
全电流定律表明，除传 导电流、运流电流产生 磁场外，位移电流也产 生磁场。传导电流和运 流电流都是电荷的运动。 但位移电流却不是电荷 的运动，而只是电场的 变化。
16
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
例5-2-1求图所示平行平板电容器中的位移电流密度和位移电流。 解 设电容器极板面积为S，正负极板距离为d,电介质的介 电常数为ε，电容器正负极之间加随时间变化的电压u。
28
电磁场理论
坡印廷矢量
时变电磁场的基本原理
U I S EH ez r ln(b / a ) 2πr
流入内外导体间的横截面A 的功率为
P S dA
A
b a
UI 2πrdr UI 2 2πr ln(b / a)
电源提供的能量全部被负载吸收。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只 起导向作用。
23
电磁场理论
式(2)对 t 求导，
时变电磁场的基本原理 W w dV （3）
t
V
t
w 1 1 ( D E B H) t t 2 2
D B E H E ( H J ) H ( E ) t t
矢量恒等式
( E H ) H ( E ) E ( H )
22
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
1.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒 和转化定律——坡印廷定理； 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 1.4.1 坡印廷定理（Poynting Theorem） 在时变场中，能量密度为 1 1 w we wm D E B H （1） 2 2 体积V内储存的能量为 1 W w dV （D E B H） dV （2） V V 2
D dS q
B l E dl S t dS
S
静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
2016/6/30
重庆理工大学
20
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions ) 时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导 方式与前三章类似，归纳如下： 磁场：
u u (t ) E , D E d d D du ( ) 位移电流密度： J d t d dt
位移电流密度 位移电流密度 位移电流密度
位移电流：
du id J dS ( ) C ic S d dt dt
S du
17
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
E1 sin 1 E2 sin 2
1 E1 cos 1 E2 cos 2 H1 sin 1 H 2 sin 2 1 H1 cos 1 2 H 2 cos 2
2
1
tan 1 1 tan 2 2 tan 1 1 tan 2 2
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
电磁场理论 麦克斯韦方程
1.1 法拉第电磁感应定律 1.2 全电流定律 1.3 电磁场的基本方程组
1.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
2016/6/30
重庆理工大学
1
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标 的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产 生磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变 场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概 括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论 基础。
19
微分形式
电磁场理论
J E
时变电磁场的基本原理
在各同同性媒质中，有关场矢量之间的关系用下列辅助方 程表示:
D E
B H
麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从 中推得。
D l H dl S (J t ) dS
S
B dS 0
电磁场理论
坡印廷定理
时变电磁场的基本原理
S
( E H ) dS Ee J dV
V
V
J2 W dV t
在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能 量守恒定律为：
( E H ) dS
S
V
Ee JdV
J2
V
dV
恒定场中的坡印廷定理 注意：磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成
d B e dS S t dt
又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称
为变压器电势。
图 感生电动势
5
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
2.磁场不变，回路切割磁力线
d e (ν B ) dl l dt
称为动生电动势，这是 发电机工作原理，亦称 为发电机电势。
i
e Ei dl
l
i
E dl ( E ) dS
l s
B Ei t
B dS t
图 变化的磁场产生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 是产生
Ei 的涡旋源，故又称涡旋电场。
9
B t
电磁场理论
若空间同时存在库仑电场, 即 E EC Ei , 则有
2
电磁场理论
时变场的知识结构框图：
高斯定律 电磁感应定律
时变电磁场的基本原理
磁通连续性原理 全电流定律 Maxwell方程组
坡印廷定理与坡印廷矢量 正弦电磁场 分界面上衔接条件
3
动态位A ,
达朗贝尔方程
电磁辐射、传输线及波导
电磁场理论
电磁感应定律（Faraday’s Law）
时变电磁场的基本原理
时变电磁场的基本原理
根据位移电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到 时变场，得到全电流定律的微分形式
应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式
变化的电场能产生磁场。 变化的电场也看成一种电流。
15
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
有时候在全电流中还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流 电流密度为
18
电磁场理论
5 .3 电磁场的基本方程组
积分形式
时变电磁场的基本原理
全电流定律：麦克斯韦第 一方程，表明传导电流和 变化 的电场都能产生磁场。
电磁感应定律：麦克斯韦 第二方程，表明电荷和变 化的磁场都能产生电场。 磁通连续性原理：表明 磁场是无源场 , 磁力线 总是闭合曲线。 高斯定律：表明电荷以 发散的方式产生电场 (变化的磁场以涡旋的形 式产生电场)。
中就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关
（甚至可以是假想回路），当回路是导体时，有感
e
应电流产生。
思考 电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
2016/6/30
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8
电磁场理论
4. 感应电场
时变电磁场的基本原理
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该 电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场 。 在静止媒质中
时变电磁场的基本原理
例 用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载
传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分
别为a 和b。 解: 理想导体内部电磁场为零。 电场强度 磁场强度 坡印廷矢量
U E er r ln(b / a)
I H e 2 πr
图 同轴电缆中的电磁能流
U I S EH ez r ln(b / a) 2πr
若体积内含有电源，则 J ( E Ee ) , 将E J / Ee 代入上式第二项, 整理得
( E H wenku.baidu.com dS
S
V
Ee J dV
V
J2 W dV t
坡印廷定理
物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻 消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出 闭合面 S 的电磁功率。
w 则有 ( ( E H ) E J ) t 代入式(3)得
W w dV ( E H ) dS E JdV V A V t t
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电磁场理论
时变电磁场的基本原理
W ( E H ) dS E JdV A V t
电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并 不就是等于断开了电路。 电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体 现在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在 电容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场 通过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。 如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发 现总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率 的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就 可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电 流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个 等效的电流就是位移电流。
图 动生电动势
6
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样 是回路中的磁通发生变化。
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电磁场理论
时变电磁场的基本原理
3. 磁场随时间变化，回路切割磁力线
d B e (ν B) dl dS l S t dt
实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路
S1
经过S1面
l
交变电路用安培 环路定律
经过S2面
思考
2016/6/30
l
H dl J d S 0
S2
为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？原因所在？
重庆理工大学
11
电磁场理论
1.时变场的电流连续性
时变电磁场的基本原理
在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流 的连续性，有
1.1 法拉第电磁感应定律
当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电 动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
电磁感应定律：
d e dt
负号表示感应电流产生的
磁场总是阻碍原磁场的变化。
感生电动势的参考方向
4
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
根据磁通变化的原因， e 分为三类： 1.回路不变，磁场随时间变化
B1n B2n
H 2t H1t K
折射定律
tan 1 1 tan 2 2
tan 1 1 tan 2 2
电场：
D2n D1n
E2t E1t
21
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
当分界面上不存在自由面电流和自由面 电荷时，时变电磁场的分界面条件可简 化为
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电磁场理论
时变电磁场的基本原理 例 导线半径为a，长为 l，电导率为 ，试用坡印 亭矢量计算导线损耗的能量。
解: 思路： 设 I E , H S P 电场 磁场
I E ez 2 πa
I H e 2 2 πa
2
J
图 计算导线损耗的 能量
导体吸收的功率为: P
l 2 ( E H ) d S I I R S 2 πa
30
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
表明：导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。 电源提供的能量一部分用于导线损耗
Sn Et H
另一部分传递给负载
时变电磁场的基本原理
B E t
表明不仅电荷产生电场，变 化的磁场也能产生电场。 思考 根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生 磁场呢？
2016/6/30
图 变化的磁场产生感 应电场
重庆理工大学
10
电磁场理论
1.2 全电流定律
问题的提出
时变电磁场的基本原理
l
H dl i H dl J dS i
能量的流动。
26
电磁场理论
1.4.2
时变电磁场的基本原理 坡印廷矢量 (Poynting Vector)
定义坡印廷矢量
S EH
W/m2
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单 位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向
代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。
电磁波的传播
27
电磁场理论
在时变场中，根据电荷守恒原理，有
12
电磁场理论
应用散度定理，可得
时变电磁场的基本原理
这就是时变场的电流连续性方程 传导电流不再保持连续。
13
电磁场理论
2.位移电流
时变电磁场的基本原理
在时变场中，传导电流不再保持连续。
可以看作是一种电流密度，记为 全电流密度为
位移电流密度
14
电磁场理论
3.全电流定律
完整的全电 流定律的微 分形式应为
全电流定律表明，除传 导电流、运流电流产生 磁场外，位移电流也产 生磁场。传导电流和运 流电流都是电荷的运动。 但位移电流却不是电荷 的运动，而只是电场的 变化。
16
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
例5-2-1求图所示平行平板电容器中的位移电流密度和位移电流。 解 设电容器极板面积为S，正负极板距离为d,电介质的介 电常数为ε，电容器正负极之间加随时间变化的电压u。
28
电磁场理论
坡印廷矢量
时变电磁场的基本原理
U I S EH ez r ln(b / a ) 2πr
流入内外导体间的横截面A 的功率为
P S dA
A
b a
UI 2πrdr UI 2 2πr ln(b / a)
电源提供的能量全部被负载吸收。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只 起导向作用。
23
电磁场理论
式(2)对 t 求导，
时变电磁场的基本原理 W w dV （3）
t
V
t
w 1 1 ( D E B H) t t 2 2
D B E H E ( H J ) H ( E ) t t
矢量恒等式
( E H ) H ( E ) E ( H )
22
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
1.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒 和转化定律——坡印廷定理； 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 1.4.1 坡印廷定理（Poynting Theorem） 在时变场中，能量密度为 1 1 w we wm D E B H （1） 2 2 体积V内储存的能量为 1 W w dV （D E B H） dV （2） V V 2
D dS q
B l E dl S t dS
S
静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
2016/6/30
重庆理工大学
20
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions ) 时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导 方式与前三章类似，归纳如下： 磁场：
u u (t ) E , D E d d D du ( ) 位移电流密度： J d t d dt
位移电流密度 位移电流密度 位移电流密度
位移电流：
du id J dS ( ) C ic S d dt dt
S du
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电磁场理论
时变电磁场的基本原理
E1 sin 1 E2 sin 2
1 E1 cos 1 E2 cos 2 H1 sin 1 H 2 sin 2 1 H1 cos 1 2 H 2 cos 2
2
1
tan 1 1 tan 2 2 tan 1 1 tan 2 2
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
电磁场理论 麦克斯韦方程
1.1 法拉第电磁感应定律 1.2 全电流定律 1.3 电磁场的基本方程组
1.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
2016/6/30
重庆理工大学
1
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标 的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产 生磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变 场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概 括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论 基础。
19
微分形式
电磁场理论
J E
时变电磁场的基本原理
在各同同性媒质中，有关场矢量之间的关系用下列辅助方 程表示:
D E
B H
麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从 中推得。
D l H dl S (J t ) dS
S
B dS 0