初中数学“最值问题”集锦

“最值问题”集锦

●平面几何中的最值问题 (01)

●几何的定值与最值 (07)

●最短路线问题 (14)

●对称问题 (18)

●巧作“对称点”妙解最值题 (22)

●数学最值题的常用解法 (26)

●求最值问题 (29)

●有理数的一题多解 (34)

●4道经典题 (37)

●平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

（1）应用几何性质：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：

①运用配方法求二次三项式的最值；

②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，

在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。

取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，

在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时

A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。

1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？

分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，

所以

所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．

-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，

上式只有当x=R时取等号，这时有

所以2y=R=x．

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，

这时，梯形的底角恰为60°和120°．

2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出

最大面积，使得窗户透光最好？

分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，

若窗户的最大面积为S，则

把①代入②有

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．

3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？

分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．

为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，

所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，

所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．

4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直

线MN交AB，AC于K，L．求证：S

△ABC ≥2S

△AKL

．

证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．

因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，

所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．

因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以

∠1=∠2=45°，∠3=∠4，

所以△ADN∽△BDM，

又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，

所以∠BAD=∠MND．

由于∠BAD=∠LCD，所以∠MND=∠LCD，

所以D，C，L，N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．

同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为△AKM≌△ADM，

所以AK=AD=AL．而

而

从而

所以 S

△ABC ≥S

△AKL

．

5. 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．

证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P

1，Q

1

，连结P

1

C，显然，PQ≤P

1

Q

1

．

因为∠AQ

1P

1

+∠P

1

Q

1

C=180°，

所以∠AQ

1P

1

和∠P

1

Q

1

C中至少有一个直角或钝角．

若∠AQ

1P

1

≥90°，则 PQ≤P

1

Q

1

≤AP

1

≤AB；

若∠P

1Q

1

C≥90°，则 PQ≤P

1

Q

1

≤P

1

C．

同理，∠AP

1C和∠BP

1

C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP

1

C≥90°，