4静力学第四章习题答案

静力学第四章部分习题解答

4-1力铅垂地作用于杆AO 上,115,6DO CO BO AO ==。在图示位置上杠杆水平，杆DC 与DE 垂直。试求物体M 所受的挤压力M F 的大小。 解：

1.选定由杆OA ，O 1C ，DE 组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为M F F ,。

2.该系统的位置可通过杆OA 与水平方向的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。

3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA 有一个微小的转角δθ，相应的各点的虚位移如下： δθδ⋅=A O r A ，δθδ⋅=B O r B ，δθδ⋅=C O r C 1

δθδ⋅=D O r D 1，C B r r δδ=，E D r r δδ=

代入可得：E A r r δδ30=

4.由虚位移原理0)(=∑i F W δ有：

0)30(=⋅-=⋅-⋅E M E M A r F F r F r F δδδ

对任意0≠E r δ有：F F M 30=，物体所受的挤压力的方向竖直向下。

4-4如图所示长为l 的均质杆AB ，其A 端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度θ。 解：4a

1.选杆AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。

2.该系统的位置可通过杆AB 与z 轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知：θ

tan a h =

杆的质心坐标可表示为：

θθ

cos 2

tan ⋅-=

l a z C

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB 逆时针旋转一个微小的角度δθ，则质心C 的虚位移：

δθ

δr A

δr C

δr B δr D

δr E

δθθδθθ

δ⋅+

-

=sin 2

sin

2

l a z C

4.由虚位移原理0)(=∑i F W δ有：

0)sin 2

sin

(2

=+

-

⋅-=⋅-δθθθ

δl a P z P C

对任意0≠δθ有： 0sin 2

sin

2

=+

-

θθ

l a

即杆AB 平衡时：3

1

)2arcsin(

l

a =θ。

解：4b

1.选杆AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。

2.该系统的位置可通过杆AB 与z 轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义

坐标。由几何关系可知：θsin R

z A =

杆的质心坐标可表示为：θθcos 2

sin ⋅-=l

R z C

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB 顺时针旋转一个微小的角度δθ，则质心C 的虚位移：

δθθδθθθ

δ⋅+

⋅-

=sin 2

cos sin

2

l R z C

4.由虚位移原理0)(=∑i F W δ有：

0)sin 2

cos sin

(2

=+

-

⋅-=⋅-δθθθθ

δl R P z P C

对任意0≠δθ有：

0sin 2

cos sin

2

=+

-

θθθ

l R

即平衡时θ角满足：0sin cos 23

=-θθl R 。

4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P ，弹簧原长为2

a ，试求系统在θ角

保持平衡时的弹簧刚度系数值。

解：

1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力21,F F ，且21F F =，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有21,F F ，以及重力P 。

2. 该系统只有一个自由度，选定θ为广义坐标。由几何关系可知：

θsin ⋅==a z z B A

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移δθ，则质心的虚位移为：

δθθδδδ⋅===cos a z z z B A C

弹簧的长度2

sin 2θ

a l =，在微小虚位移δθ下：

δθθ

δ⋅=2

cos

a l

4.由虚位移原理0)(=∑i F W δ有：

0)2

cos

cos (22=⋅-⋅=⋅-⋅δθθ

θδδa F Pa l F z P C

其中)2

2

sin

2(2a a k F -

=θ

，代入上式整理可得：

02)]

2cos

sin 2(cos 2[=--δθθ

θθa

ka P

由于0≠a ，对任意0≠δθ可得平衡时弹簧刚度系数为：

)

2

cos

sin 2(cos 2θ

θθ-=

a P k

4-6复合梁AD 的一端砌入墙内，B 点为活动铰链支座，C 点为铰链，作用于梁上的力

kN F kN F kN F 3,4,5321===，以及力偶矩为m kN M ⋅=2的力偶，如图所示。试求固定

端A 处的约束力。

解：

解除A 端的约束，代之以A Ay Ax M F F ,,，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力

M F F F ,,,321的作用。系统有三个自由度，选定A 点的位移A A y x ,和梁AC 的转角ϕ

为广义坐标。

1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0==≠δϕδδA A y x ，如图所示。由虚位移原理0)(=∑i F W δ有：

0=⋅A Ax x F δ

对任意0≠A x δ可得： 0=Ax F

2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0=≠=δϕδδA A y x ，如下图所示。由虚位移原理0)(=∑i F W δ有：

0332211=⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-δθδδδδM y F y F y F y F A Ay

(1)

由几何关系可得各点的虚位移如下：

A C y y y y δδδδ===31

A

C y y y δδδ3

13

12=

=