立体几何中平行问题
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
立体几何中的平行问题总结
立体几何中的平行问题总结1. 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；2. 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：.说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到的位置，则就说图形作了一次平移3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4. 直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类.它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，.5. 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：.证明：假设直线不平行于平面，∵，∴，若，则和矛盾，若，则和成异面直线，也和矛盾，∴.6. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：.证明：∵，∴和没有公共点，又∵，∴和没有公共点；和都在内，且没有公共点，∴.7. 平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行.图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的.8. 平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.推理模式：，，，，.分析：这个定理从正面证（用定义）比较困难，所以考虑用反证法.启发：（1）如果平面和平面不平行，那么它们的位置关系怎样?（2）如果平面和平面相交，那么交线和平面中的直线与各有怎样的位置关系?（3）相交直线与都与交线平行，这合理吗?为什么?证明：假设，∵，，∴，同理.即在平面内过点有两条直线与平行，与公理4矛盾，∴假设不成立，∴.推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：.9. 平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.推理模式：.证明：∵，∴没有公共点，又∵，∴.同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.推理模式：.。
空间向量在立体几何中的应用sxz
一.平行问题
Db
(一)证明两直线平行
A ,B a;C ,D b,A BC D a∥
C
A
b
a
B
方法思路：在两分 直别 线取 上不同的
得到两向量，转明 化两 为向 证量平行
知 A ( x 1 B ,y 1 )C , ( x 2 D ,y 2 )则 ,x 1 y 2 x 有 2 y 1 a ∥ b
方 底法 线思 性路 表： 示证 （明 即方 内直 在向 存线 平向 在的 面量 一可 向用 量平 与组 相面 方基 等 的 向）一 向 e 1 e 2
则可得面内一直外线的与线面平 ,从行而证线面. 平行
(三)面面平行
1.不重合的两 与平 的面法向量 n
分别m是 和n， mn∥
方法思路：平 求面 出的 其法 中向 一法 量向 ，量 再与 证
的不共线的量 两积 向 （ 0 为 量 即的 都数 垂直两 ）面 ，平 则
二.垂直问题
(一)证明两直线垂直
b
不 分重 别a合 为 和b的 ， a和 直 则a直 线 有 bb线 的 0 方 a向 b 向b 量 a a
方法思路：找两直线 方的 向向量 (分别
| m|
方法思路：求出任 平一 面法 的向m(量 方程
组可求 ),在面内任取Q一与点点P得一向量
转化为 P Q在法向量的投影,的 套长 公度 式。
D
(二)求两异面直线的距离d
b
知a,b是两异面直线A,，Ba,C, Db，
B
aA
C
找一向量与两异面都 直垂 线直的向m量，
则两异面直线的距 d＝离ACm
(二)证明线面垂直 l
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明要证明两个线面平行，一般可以通过以下几种方法来进行证明：方法一：使用平行线的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设线面A和线面B不平行，即存在一条线a与线面A不平行，又与线面B相交于一点P。
2.假设在线面A上存在一点Q，它与直线a上相交于一点R。
3.由于线a与线面B相交于P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于线a与线面A相交于R，所以线段PR必然属于线面A。
5.由于线面A和线面B都包含线段PR，所以它们必然相交。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法二：使用支撑面的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.过直线a作平行于线面B的平面，该平面与线面A相交于线段QR。
3.由于直线a与线面B相交于点P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于平面上的任意两点可以确定一条直线，所以线段QR也属于线面B。
5.因此，线段QR同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法三：使用平行四边形的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.在线面A上选择一点Q，并通过P点作一条平行于线面A的直线b。
3.连接直线a和直线b，得到平行四边形PQRD。
4.由于平行四边形的特性，相邻两边平行且长度相等，所以线段PD也是平行于线面A的，并且它必然属于线面B。
5.因此，线段PD同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
以上三种方法是一些常用的证明线面平行的方法，根据实际问题的具体情况，可以选择适合的方法进行证明。
专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法
有关平行、垂直问题常见判定方法一、 线线平行的判定1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与平面相交，该直线与交线平行．a ∥α，a ⊂β，αβ=b ==>a ∥bβαba4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行．α∥β,γα=a ,γβ=b ==>a ∥bγβαb a5、 平行于同一平面的两直线互相平行．a ⊥α，b ⊥α==> a ∥bαba二、 线面平行的判定1、 线面平行的判定定理：假设平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线c b a与此平面平行．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ==> a ∥ααba2、 假设两平面平行，那么一个平面内的任一直线与另一平面平行．α∥β，a ⊂α==> a ∥βαβa3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α==> a ∥αβαa4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α==> a ∥ααab三、 面面平行的判定1、 面面平行的判定定理：假设一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．a ⊂α，b ⊂α，a b =O ,a ∥β,b ∥β==> α∥βO αβa b αβa2、 垂直于同一直线的两个平面互相平行．a ⊥α，a ⊥β==> α∥β (见上图)3、 平行于同一平面的两个平面互相平行．α∥γ，β∥γ==> α∥βαγβ4、 柱体的上下底面互相平行四、 线线垂直1、线线垂直的定义：a 与b 所成的角为直角．2、线面垂直的定义：假设一条直线与一个平面垂直，那么该直线与平面内的任一直线都垂直．a ⊥α，b ⊂α==> a ⊥bαab3、a ⊥α，b ∥α==> a ⊥bαab4、三垂直定理及其逆定理l ⊥α( H 为垂足)，a ⊂α，HM 是斜线PM 在平面α内的射影三垂线定理〔垂影那么垂斜〕：a ⊥HM ==> a ⊥PM三垂线定理的逆定理〔垂斜那么垂影〕：a ⊥PM ==> a ⊥HMlM H Pαa5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β==> a ⊥bβαab五、线面垂直的判定1、线面垂直的判定定理：假设一直线和平面内的两相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．a ⊂α，b ⊂α,ab =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥αlO αa b2、a∥b，a⊥α==> b⊥ααb a3、直棱柱的侧棱与底面垂直4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面α∥β，a⊥α==> a⊥βαβa5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．α⊥β，αβ=l，a⊂α，a⊥l==> a⊥βlβαa5、 两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也与第三个平面垂直．αβ=l ，α⊥γ,β⊥γ==> l ⊥γl γβα六、面面垂直的判定1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.2、判定定理:假设一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.a ⊥β，a ⊂α ==> α⊥βl βαa2、a ∥α，a ⊥β==> α⊥ββαa。
立体几何平行证明题
立体证明题(2)1•如图，直二面角D- AB- E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且BF丄平面ACE(1) 求证：AE丄平面BCE(2) 求二面角B-AC- E的余弦值.2•等腰△ ABC中, AC=BC= AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将△ EFC沿EF折起，使得C 至U P,得至U四棱锥P— ABFE 且AP=BP=(1) 求证：平面EFP!平面ABFE(2) 求二面角B-AP- E的大小.3•如图，在四棱锥P- ABCD中，底面是正方形，侧面PADL底面ABCD且PA=PD= AD,若E、F分别为PC BD的中点.(I)求证：EF//平面PAD(n)求证：EF丄平面PDC4•如图：正△ ABC与Rt△ BCD所在平面互相垂直，且/ BCD=90°,/ CBD=30°(1)求证：AB丄CD(2)求二面角D- AB- C的正切值.5•如图，在四棱锥P- ABCD中，平面PADL平面ABCD^ PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD(1)求证：平面PADL平面PBD(2)求二面角A- PB- C的余弦值.6•如图，在直三棱柱ABC- A1B1C1 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是AB中点.(I)求证：AB丄平面ACE(H)求直线AG与平面ACE所成角的正弦值.7•如图，在四棱锥P- ABCD中, PA丄平面ABCD / DAB为直角，AB// CD, AD=CD=2AB=2E, F分别为PC, CD的中点.(I)证明：AB丄平面BEF;(H)若PA=求二面角E- BD- C.8•如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA丄平面ABCD , PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB 丄AD , BC // AD 且BC=4，点M 为PC 中点.(I)求证：DM丄平面PBC;BE(2)若点E为BC边上的动点，且一一，是否存在实数人使得二面角P- DE - B的EC2余弦值为-？若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由.39•如图，ABED是长方形，平面ABEDL平面ABC AB=AC=5 BC=BE=6且M是BC的中点(I) 求证：AM L平面BEC(H) 求三棱锥B- ACE的体积；(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面QECL平面BEC求线段AQ的长.10. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB// CD AB丄BC, AB=2CD=2BC EA L EB(1)求证：EA丄平面EBC(2)求二面角C- BE- D的余弦值.11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD// BC, / ADC=90°,平面PADL 底面ABCD O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC(1)求证：平面POBL平面PAD12. 如图，三棱柱ABC- A1B1C中，侧棱AA丄平面ABC △ ABC为等腰直角三角形，/BAC=90，且AB=AA, E、F 分别是CC, BC的中点.(1)求证：平面ABF丄平面AEF;(2)求二面角B1- AE- F 的余弦值.13. 如图，在菱形ABCD中，/ ABC=60°, AC与BD相交于点Q AE丄平面ABCD CF/ AE, AB=AE=2．(I )求证：BD丄平面ACFE(II )当直线FO与平面BDE所成的角为45。
立体几何证明方法——证面面平行
立体几何证明方法——证面面平行立体几何中，证明面面平行是一个常见的问题，可以通过多种方法进行证明。
下面将介绍几种常用的证明方法。
1.使用直线面法相交性质证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，选择平面ABCD上的两条相交直线AE和BF，然后分别在这两条直线上选择两个点C和D。
根据直线面法相交性质，直线AE与平面ABCD相交于点E，直线AE与平面CDH相交于点C，同理，直线BF与平面ABCD相交于点F，直线BF与平面CDH相交于点D。
连接线段AD和BC，可以得到四边形ABCD。
然后，考察四边形ABCD，如果四边形ABCD是平行四边形，则线段AD与线段BC互相平行。
由直线平行与面平行的性质可知，平面ABCD与平面EFHG平行。
因此，我们只需要证明四边形ABCD为平行四边形即可。
接下来，通过证明线段AD与线段BC互相平行来证明四边形ABCD为平行四边形。
可采用向量法、等距向量法等方法进行证明，具体方法根据题目要求来选择。
2.使用距离法证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，在平面ABCD上选择一点P，在平面EFGH上选择一点Q。
然后，构造线段PQ，并将其延长，过点P和Q分别作平行于平面ABCD和EFGH的直线。
两条直线与平面ABCD和EFGH的交点分别为A、B和E、F。
由于点P、Q到平面ABCD的距离相等，点A、B到平面EFGH的距离相等，利用距离的定义可以推出直线AE与直线BF互相平行。
同理可以证明直线BE与直线AF互相平行。
因此，根据平行四边形的性质可知线段AD与线段BC平行。
由于线段AD与线段BC平行，所以平面ABCD与平面EFGH平行。
3.使用垂线法证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，选择平面ABCD上的两条垂线，可以是两个相交直线的垂线或两个平行直线的垂线。
然后，在平面EFGH中分别找到与这两条垂线相交的直线段，并将其延长。
初步解决立体几何中的平行与相交问题
初步解决立体几何中的平行与相交问题引言：立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和形体。
在立体几何中，平行与相交是一个常见的问题，解决这些问题对于我们理解和应用立体几何知识具有重要意义。
本文将从平行和相交的概念入手，通过具体的例子和方法，初步解决立体几何中的平行与相交问题。
一、平行的概念和判定方法在立体几何中，平行是指两个或多个直线或平面在三维空间中没有交点的情况。
平行的概念是基于欧几里得几何的平行公理建立的，即通过一点可以引一条与已知直线平行的直线。
根据平行的定义，我们可以得出一些判定平行的方法。
1.1 直线的平行判定判定两条直线是否平行，常用的方法是利用直线的斜率。
如果两条直线的斜率相等，则可以判定它们是平行的。
例如，已知直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，若k1=k2，则可以判定l1和l2平行。
1.2 平面的平行判定判定两个平面是否平行，可以通过判断它们的法向量是否平行。
如果两个平面的法向量平行，则可以判定它们是平行的。
例如，已知平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，若n1∥n2，则可以判定P1和P2平行。
二、相交的概念和判定方法在立体几何中，相交是指两个或多个直线或平面在三维空间中有交点的情况。
相交的概念是平行的反义词，它表示了直线或平面之间的交集关系。
同样，我们也可以通过一些方法来判定两个直线或平面是否相交。
2.1 直线的相交判定判定两条直线是否相交，可以利用直线的方程。
如果两条直线的方程组有解，则可以判定它们相交。
例如，已知直线l1的方程为y=k1x+b1，直线l2的方程为y=k2x+b2，若方程组有解，则可以判定l1和l2相交。
2.2 平面的相交判定判定两个平面是否相交，可以通过判断它们的法向量是否相交。
如果两个平面的法向量相交，则可以判定它们是相交的。
例如，已知平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，若n1⊥n2，则可以判定P1和P2相交。
空间立体几何中的平行、垂直证明
∴DE∥平面 PAB.
精选ppt
H
构造平行四边行法
23
(2)证明 在直角梯形中，CB⊥AB， 又∵平面 PAB⊥平面 ABCD， 且平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， ∴CB⊥平面 PAB. ∵CB⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAB.
精选ppt
看到中点找中点
D1 A1
DE A
C1
B1
F
C B
精选ppt
7
定理应用
空间中的平行
方法一）：构造平行四边形
D1 A1
DE A
M
C1
B1
F
C
N
B
精选ppt
8
定理应用
空间中的平行
方法二）：构造平行平面
D1 A1
DE A
C1
B1
F
HC B
精选ppt
9
定理应用
空间中的平行
例 2.如图所示， P在 AB四 C 中D 棱 ，锥 已知 A四 BC 是 边 D 形 平行四M 边 ,N分 形别 ，是ＰＡ点 ，， ＢＣ的中 证明：ＭＮＤ ／／面PＰＣ
精选ppt
25
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
感 谢
感 谢
阅阅
读读
分析： (1)证明线面平行只需在平面内找一条和 该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线 的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在 一个平面内找到另一个平面的垂线.
精选ppt
21
立体几何中证明线线平行的方法
立体几何中证明线线平行的方法
在立体几何中，证明两条线平行的方法通常有以下几种：
1. 利用平行线的性质：如果可以证明两条线分别与同一条第三条线平行，则可以推断这两条线平行。
这可以通过使用平行线的定理或者平行线的判定条件来证明。
2. 利用等角定理：如果可以证明两条线与另一条线之间形成的对应角度相等，则可以推断这两条线平行。
这可以通过使用等角定理（如同位角、内错角等）来证明。
3. 利用平行四边形的性质：如果可以证明两条线分别是平行四边形的对角线，或者两条线分别平分平行四边形的两个对角线角度，则可以推断这两条线平行。
4.利用向量的性质：如果可以证明两条线的方向向量相等，则可以推断这两条线平行。
这可以通过计算两条线的方向向量并比较它们来证明。
需要注意的是，每种方法都需要根据具体问题的情况选择合适的方法，有时可能需要结合多种方法来证明两条线平行。
在证明过程中，也需要合理运用已知的几何定理和性质，并且注意推理的逻辑性和严密性。
专题08 立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题08立体几何中的平行与垂直问题【考点预测】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.,a b a b αα⊥⊂⇒⊥,a c a ⊥b b c ⇒⊥,,,,a b a c c b bc P a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥,,,b a b a a αβαβαβ⊥=⊥⊂⇒⊥,a b α⊥a b α⇒⊥,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥,a a βααβ⊥⊂⇒⊥【典型例题】例1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】①应用反证法：AB α⊥于A ，AB β⊥于B ，假设,αβ不平行，利用线面垂直的性质及三角形的内角和得到矛盾，即可判断；②③根据线面垂直的性质判断即可.【详解】①如下图，若AB α⊥于A ，AB β⊥于B ，假设,αβ不平行，则,αβ相交，，令l αβ=，在l 任找一点C ，连接,AC BC ，则,,A B C 为三角形，由,AC BC αβ⊂⊂，则AB AC ⊥，AB BC ⊥，即90BAC ABC ∠=∠=︒，显然,,A B C 不能构成三角形，与假设矛盾，所以,αβ平行，正确.②由线面垂直的性质定理知：垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；③由线面垂直的性质知：一条直线与平面垂直，则垂直于平面内所有直线，正确； 故选：D例2．（2022·河南开封·高一期中）已知直线a ，b ，平面,αβ，则下列命题中正确的是（ ）A ．,a αβα⊥⊂，则a β⊥B ．//,//a αβα，则a β∥C ．//,a b ββ⊂，则//a bD ．a 与b 互为异面直线，//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.【详解】A 选项中，只有直线a 与两平面的交线垂直的时候结论才成立；B 选项中，还有可能a β⊂；C 选项中，两直线a ，b 平行或异面；D 选项中，过直线a 上一点做//b b '，则相交直线a ，b '确定一个平面，设为γ，易得//γα且//γβ，所以//αβ；故选：D ．（多选题）例3．（2022·河南开封·高一期中）如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为侧棱PA 、PB 的中点，O 是底面四边形ABCD 对角线的交点，下列结论正确的有（ ）A ．//PC 平面OMNB ．平面//PCD 平面OMNC ．OM PA ⊥D ．PD ⊥平面OMN【答案】ABC【解析】【分析】 A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到PA PC ⊥，从而得到OM PA ⊥.【详解】因为O 为底面四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点，由M 是PA 的中点，可得∥PC MO ，因为PC ⊄在平面OMN ，OM ⊂平面OMN ，所以//PC 平面OMN ，A 正确；同理可推得//PD 平面OMN ，⋂=，而PC PD PPCD平面OMN，B正确；所以平面//因为PD⊂平面PCD，故PD不可能垂直平面OMN，D错误；设该正四棱锥的棱长为a，则,2PA PC a AC a，===⊥，所以PA PCPC MO，因为∥⊥，C正确.所以OM PA故选ABC．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知，连接DG，CD与FG交与点M，先证明四边形CFDG是平行四边形，从而得到DM＝MC．结合BH＝HC，可证明MH∥BD，再使用线面平行的判定定理即可证明；（2）先证明四边形EFCH是平行四边形，从而得到CF∥HE．因为CF⊥BC，所以HE⊥BC，再证明GH∥AB，因为AB⊥BC，所以GH⊥BC，从而利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面EGH，再使用面面垂直的判定定理即可完成证明.(1)如图所示，连接DG ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH ．在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，所以AC ＝2DF ．因为G 是AC 的中点，所以DF ∥GC ，且DF ＝GC ，所以四边形CFDG 是平行四边形，所以DM ＝MC ．因为BH ＝HC ，所以MH ∥BD ． 又BD ⊄平面FGH ，MH ⊂平面FGH ，所以BD ∥平面FGH ．(2)因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB ．因为AB ⊥BC ，所以GH ⊥BC ．又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE ．因为CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC ．又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH ．又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH ．例5．（2022·全国·高一期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是AB 、AD 的中点，E 、F 、P 分别是11B C 、1BB 、1DD 的中点.(1)证明：MN ∥平面11BDD B ；(2)证明：1CA MN ⊥；(3)请判断直线EF 与平面MNP 位置关系（不需说明理由）.【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)EF ⊂平面MNP ．【解析】【分析】（1）因为MN BD ∥，根据线面平行判定即可证明；（2）先证MN ⊥平面1A AC ，根据线面垂直性质即可证明线线垂直；（3）连接11C D 中点G 如图所示即可判断结果．(1)∵MN BD ∥，MN ⊂面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，∴MN ∥平面11BDD B ；(2)1AA ⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，∴1AA MN ⊥∵AC BD ⊥，MN BD ∥∴AC MN ⊥．又∵1AA AC A =，∴MN ⊥平面1A AC ，∴1CA MN ⊥．(3) EF ⊂平面MNP例6．（2022·河南开封·高一期中）在条件①AC BC ⊥；②1AB AC =；③平面1AB C ⊥平面11BB C C 中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．问题：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，且________，求证：11BC AB ⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】选条件①：将证明11BC AB ⊥转化为证明1BC ⊥平面1AB C ，再根据线面垂直的判定定理分析所需条件，将所需条件不断转化为线线垂直、线面垂直，结合已知可证；选择②：设11BC B C M ⋂=，连接AM ，利用等腰三角形的性质可证1BC ⊥平面1AB C ，然后可证；选择③：根据面面垂直的性质定理可证1BC ⊥平面1AB C ，然后可证.【详解】（情况一）补充条件①AC BC ⊥．证明：在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥．因为1,⊥=AC BC BC BB B ，BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C所以AC ⊥平面11BB C C ．因为1BC ⊂平面11BB C C ，所以1AC BC ⊥，因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．（情况二）补充条件②1AB AC =．证明：设11BC B C M ⋂=，连接AM ．因为1AB AC =，M 为1BC 的中点，所以1AM BC ⊥．因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为AM ⊂平面11,AB C B C ⊂平面11,=AB C AMB C M ， 所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥，（情况三）补充条件③平面1AB C ⊥平面11BB C C ．证明：在棱柱111ABC A B C -中，因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为平面1AB C ⊥平面11BB C C ，平面1AB C平面1111,=⊂BB C C B C BC 平面11BB C C ，所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．例7．（2022·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，,E F 分别为,AD PB 的中点．(1)求证：PE BC ⊥；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到PE AD ⊥，再根据//BC AD 可得PE BC ⊥； （2）根据面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面PAD ，进一步得到AB PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到PD ⊥平面PAB ，最后根据面面垂直的判定定理可证平面PAB ⊥平面PCD .(1)因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为底面ABCD 为矩形，所以//BC AD ，所以PE BC ⊥.(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB .因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例8．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，在四面体P ABD中，AD⊥平面P AB，PB ⊥P A(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质有AD PB⊥，再根据线面垂直的判定证结论.（2）由（1）及面面垂直的判定可得面PBD⊥面APD，再由面面垂直的性质有AG⊥面PBD，根据线面垂直的性质即可证结论.(1)由AD⊥平面P AB，PB⊂面PAB，则AD PB⊥，又PB⊥P A，PA AD A⋂=，则PB⊥平面APD；(2)由（1）及PB⊂面PBD，则面PBD⊥面APD，=，AG⊥PD，AG⊂面APD，又面PBD面APD PD所以AG⊥面PBD，而BD⊂面PBD，所以AG⊥BD．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·海安县实验中学高一期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，结合图形逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】⋂=，连接QO，对于A：如图所示，连接BC、DE，设BC DE O∕∕，因为Q、O分别为所在棱的中点，所以AB QOMNQ Q，即直线QO与平面MNQ不平行，又QO⋂平面=所以直线AB与平面MNQ不平行，故A符合题意；对于B：如图所示，取DG的中点E，连接CB、AD、EQ、NE，则////MQ CB MN AC ，，且AC CB C MNMQ M ==，，所以平面//ACBD 平面MNQE ，又AB 平面ACBD ，AB ⊄平面MNQ ， 所以AB ∕∕平面MNQ ，故B 不符合题意.对于C ：如图所示，连接DC ，则//AB DC ，因为M 、Q 为所在棱的中点，所以//MQ DC ，又MQ 平面MNQ ，DC ⊄平面MNQ ，所以//DC 平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故C 不符合题意；对于D ：如图所示，连接DC ，//AB DC ，因为Q 、N 为所在棱的中点，所以NQ CD ∕∕，所以//AB NQ ，又NQ ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以AB ∕∕平面MNQ ，故D 不符合题意.故选：A.2．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知平面α平面l β=，直线//,//a a αβ，则直线a 与l 的位置关系是（ ） A ．平行或异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面【答案】C【解析】【分析】过a 作平面m γα=、n ηβ=，由线面平行的性质得//m a 、//n a ，即//m n ，根据线面平行判定及性质有//m l ，最后由平行公理的推论判断直线a 与l 的位置关系.【详解】过a 作平面m γα=，//a α，则//m a ， 过a 作平面n ηβ=，//a β，则//n a所以//m n ，m β⊄，n β⊂，则//m β，而m α⊂，平面α平面l β=，则//m l ， 综上，//a l .故选：C3．（2022·广东·广州市第四十一中学高一阶段练习）已知直线m 、n 和平面αβ、，下列命题正确的是（ ）A ．若,m n n α∥∥，则m αB ．若,,m n m n ααβ⊂∥∥、，则αβ∥C ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥D ．若α∥,m ββ⊂，则m α 【答案】D【解析】【分析】本题考查平行关系的理解，常见错误有对平行线传递性的误解以及平行相关定义、定理的条件结论理解错误．【详解】A 中，可知m 与n 的位置关系：平行或相交或异面，A 不正确；B 中，根据面面平行的判定定理，前提m 与n 必须相交，B 不正确；C 中，可知m 与n 的位置关系：平行或异面，C 不正确；D 中，若α∥β，则平面α内任一条直线均平行平面β，D 正确．故选：D ．4．（2022·江苏省太湖高级中学高一期中）已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥n ，m α⊄, n ⊂α则m ∥αC ．若m ∥α, n ∥α，m β⊂，n β⊂，则α∥βD ．若m ∥α，n ∥β， α∥β，则m ∥n【答案】B【解析】【分析】利用直线和平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理即可求解.【详解】对于选项A ,由直线和平面的性质定理可知，直线m 只能和过这条直线的任意平面与平面α的交线平行，则直线m 和n 不一定平行，则A 不正确；对于选项B ，利用直线与平面平行的判定定理可知选项B 正确；对于选项C ，平面α和平面β可能相交，则选项C 不正确，对于选项D ，直线m 和直线n 可能相交或异面，则D 不正确；故选：B .5．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．②③④ 【答案】A【解析】【分析】根据空间中线面的关系，可以求解.【详解】由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．故选:A6．（2022·全国·高一课时练习）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段BC 1上任意一点，则下列结论中正确的是（ ）A ．AD 1⊥DPB ．AP ⊥B 1C C ．AC 1⊥DPD ．A 1P ⊥B 1C【答案】B【解析】【分析】 由正方体的性质有B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，再根据线面垂直的性质判断B ，根据正方体性质判断A 、C 、D.【详解】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，DP 与1BC 不垂直，而11//AD BC ，即DP 与1AD 也不垂直，A 错误；因为B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，BC 1∩AB ＝B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1，因为点P 是线段BC 1上任意一点，即AP 面ABC 1D 1，所以AP ⊥B 1C ，B 正确；若E 为AB 中点，则1//AC PE ，而DP 与PE 不垂直，则1AC 不与DP 垂直，C 错误；由下图知：结合正方体性质知，1A P 与1B C 不垂直，D 错误.故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）如图，正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 上的动点，则（ ）A ．存在点G ，使PG ⊥EF 成立B ．存在点G ，使FG ⊥EP 成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立【答案】C【解析】【分析】A 选项假设PG ⊥EF ，证得AC ⊥面ABD ，与题设矛盾即可判断；B 选项由PE BF ∥求出异面直线,PE FG 的夹角小于2π即可判断；C 选项取CD 中点N ，过B 作BH AN ⊥于H ，先证BH ⊥面ACD ，再由BH 与面EFG 相交即可判断；D 选项直接证明当G 与BD 中点M 重合时，面ABD ⊥面EFG 即可.【详解】在A 中，取BD 中点M ，连接,AM CM ，易得,AM BD CM BD ⊥⊥，,AM CM ⊂面ACM ，AM CM M ⋂=，故BD ⊥面ACM ，又AC ⊂面ACM ，故BD AC ⊥，若PG ⊥EF ，,PG BD ⊂面ABD ，PG BD G ⋂=，则AC ⊥面ABD ，显然不成立，故不存在点G ，使PG ⊥EF 成立，故A 错误；在B 中，连接,BF DF ，易得PE BF ∥，故BFG ∠或其补角即为异面直线,PE FG 的夹角，不妨设3AB =，在ABF 中，由余弦定理2222cos 3BF AB AF AB AF π=+-⋅⋅，即22213223272BF =+-⨯⨯⨯=，解得7BF 7DF =在BFD △中，222779cos 0227BF DF BD BFD BF DF +-+-∠==>⋅⨯，则2BFD π∠<，显然2BFG BFD π∠<∠<，故不存在点G ，使FG ⊥EP 成立，故B 错误；在C 中，取CD 中点N ，连接,AN BN ，过B 作BH AN ⊥于H ，易得,BN CD AN CD ⊥⊥，,AN BN ⊂面ABN ，AN BN N =，故CD ⊥面ABN ，又BH ⊂面ABN ，故CD BH ⊥，又,AN CD ⊂面ABN ，AN CD N ⋂=，故BH ⊥面ACD ，若平面EFG ⊥平面ACD ，则BH ⊂面EFG 或BH 面EFG ，显然BH 与面EFG 相交，故不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，当G 与BD 中点M 重合时，由A 选项知有BD ⊥面ACM ，即BD ⊥面EFG ，又BD ⊂面ABD ，故面ABD ⊥面EFG ，故存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误．故选：C ．8．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，不能证明⊥AP BC 的条件是（ ）A ．BC ⊥平面APCB ．AP PC ⊥，AP PB ⊥ C ．PC BC ⊥，平面APC ⊥平面BPCD ．BC PC ⊥，AB BC ⊥【答案】D【解析】【分析】 A 选项利用线面垂直（BC ⊥平面APC ）可推出线线垂直（⊥AP BC ），B 选项利用两组线线垂直（AP PC ⊥，AP PB ⊥）推出线面垂直（AP ⊥平面BPC ），再推出线垂直（⊥AP BC ），C 选项利用面面垂直的性质定理可推出⊥AP BC ，D 选项不能证明出⊥AP BC .【详解】BC ⊥平面APC ，AP ⊂平面APC ，BC AP ∴⊥ ，故A 选项可以证明，因此不选.AP PC ⊥，AP PB ⊥，,,PC PB P PC PB ⋂=⊂平面BPC ，AP ∴⊥平面BPC ，BC ⊂平面BPC ，BC AP ∴⊥.故B 选项可以证明，因此不选.平面APC ⊥平面BPC ，平面APC 平面=BPC PC ，PC BC ⊥，由面面垂直的性质定理知BC ⊥平面APC .AP ⊂平面APC ，BC AP ∴⊥，故C 选项可以证明，因此不选.由D 选项BC PC ⊥，AB BC ⊥并不能推出⊥AP BC .故选：D.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学高一期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，若11AP B D ⊥，则线段AP 长度的可能取值为（ ）A ．1110B 23C ．65D 5 【答案】BC【解析】【分析】利用线面垂直得线线垂直，从而确定点P 的轨迹，再根据平面几何的知识求距离的最大、最小值，判断选项即可.【详解】取11B D 中点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD =，O 是11B D 的中点，11B D AO ∴⊥，同理11B D OC ⊥，11B D ∴⊥面AOC ，又点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，11AP B D ⊥P ∴一定在线段OC 上运动在AOC △中，6AO CO ==2AC = 故cos OCA ∠=132AC OC =26sin 1cos OCA OCA ∠=-∠， 故A 到OC 的距离23sin d AC OCA =⋅∠=232AP ≤故选BC ．10．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）在三棱锥P ABC -中，从顶点P 向底面作垂线，垂足是H ，给出以下命题中正确的是（ ）A ．若,PA BC PB AC ⊥⊥，则H 是ABC 的垂心B ．若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC 的垂心C ．若PA PB PC ==，则H 是ABC 的外心D ．若H 是AC 的中点，则PA PB PC ==【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，结合选项逐项分析即可求出答案.【详解】由题意知PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA PH P =，所以BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ，因此BC AH ⊥；同理AC BH ⊥，所以H 是ABC 的垂心，故A 正确；由题意知PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，又因为PA PC ⊥，PA PB ⊥，且PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以PA BC ⊥，且PA PH P =，所以BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ，因此BC AH ⊥；同理AC BH ⊥，所以H 是ABC 的垂心，故B 正确；PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，AB 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以,,⊥⊥⊥PH AB PH AC PH BC ，又因为PA PB PC ==，所以≅≅Rt PAH Rt PBH Rt PCH ，因此AH BH CH ==，所以H 是ABC 的外心，故C 正确；由题意知PH ⊥平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以PH AC ⊥，又H 是AC 的中点，所以PA PC =，当12BH AC =时，有PA PB PC ==，当12≠BH AC ，PA PC PB =≠， 故D 不一定成立；故选：ABC.11．（2022·云南师大附中高一期中）已知m ，n 是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m α⊂，n ⊂α，m n P =，//m β，//n β，则//αβB ．若m α⊥，m n ⊥，//αβ，则//n βC ．若//m α，//m β，n αβ=，则//m nD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】ACD【解析】【分析】A 根据面面平行的判定判断；B 由线面、面面位置关系，结合平面的基本性质判断；C 过m 作平面l γα⋂=，由线面平行性质及平行公理的推论判断；D 由面面垂直的判定判断.【详解】A ：由//m β，//n β且,m n α⊂，m n P =，根据面面平行的判定知：//αβ，正确；B ：m α⊥，m n ⊥，//αβ，则//n β或n β⊂，错误；C ：过m 作平面l γα⋂=，而//m α，则//m l ，又//m β则l β//，n αβ=，故//l n ，所以//m n ，正确；D ：由m α⊥，m β⊂，根据面面垂直的判定知：αβ⊥，正确.故选：ACD12．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，BC CD ⊥，AB CD ∥，3BC =12AA AB AD ===，点P ，Q ，R 分别在棱1BB ，1CC ，1DD 上，若A ，P ，Q ，R 四点共面，则下列结论正确的是（ ）A ．任意点P ，都有AP QR ∥B ．存在点P ，使得四边形APQR 为平行四边形C ．存在点P ，使得BC ∥平面APQRD ．存在点P ，使得△APR 为等腰直角三角形【答案】AC【解析】【分析】根据面面平行的性质，结合假设法逐一判断即可.【详解】对于A ：由直四棱柱1111ABCD A B C D -，//AB CD ，所以平面11//ABB A 平面11DCC D ，又因为平面APQR ⋂平面11ABB A AP =，平面APQR ⋂平面11DCC D QR =， 所以//AP QR ，故A 正确；对于B ：若四边形APQR 为平行四边形，则//AR QP ，而AD 与BC 不平行，即平面11ADD A 与平面11BCC B 不平行，所以平面APQR ⋂平面11BCC B PQ =，平面APQR ⋂平面11ADD A AR =，直线PQ 与直线AR 不平行，与//AR QP 矛盾，所以四边形APQR 不可能是平行四边形，故B 不正确；对于C ：当BP CQ =时，R 为D 时，满足//BC 平面APQR ，故C 正确.对于D ：假设存在点P ，使得APR △为等腰直角三角形，令BP x =，过点D 作DE AB ⊥，则3DE BC ==DR 上取一点M 使得DM BP x ==，连接,BD PM ，则四边形BDMP 为矩形，所以2MP BD ==，则()2224PR PM MR DR x =+=+- 2224AP PB AB x +=+2224AR DR AD DR =+=+显然,AR PR AP PR ≠≠，若由AP AR =，则BP DR x ==且//BP DR ⇒四边形BPDR 为平行四边BPDR ， 所以2222228282RP BC CD AP BP x +=++D 错误； 故选：AC.【点睛】关键点睛：运用假设法进行求解是解题的关键.三、填空题13．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上，并且:1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，则线段PQ 的长为__________． 66a 【解析】【分析】过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，即可证明平面//PQM 平面SAD ，根据面面平行的性质得到//MQ SD ，再分别求出PM 、QM ，利用余弦定理求出cos ADS ∠，由此利用余弦定理能求出线段PQ 的长．【详解】 解：如图，过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上， :1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，因为//PM BC ，//AD BC ，所以//PM AD ，PM ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD ， 所以//PM 平面SAD ，又PM PQ P =，,PM PQ ⊂平面PQM ，所以平面//PQM 平面SAD ，平面PQM平面SDC MQ =，平面SDC 平面SAD SD =， //MQ SD ∴，2233PM BC a ∴==， //QM SD ∴，1233QM SD a ∴==， //SD QM ，//AD MP ，PMQ ADS ∴∠=∠，222222441cos 2224AD SD SA a a a ADS AD SD a a +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， 22222244162cos 299492233a PQ PM QM PM QM PMQ a a a a =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 6PQ ∴=． ∴线段PQ 6．6 14．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形.其侧面展开图是边长为4的正方形，E 、F 分别是侧棱11,AA CC 上的动点，点P 在棱1AA 上，且1AP =，若//EF 平面PBD ，则EF 的长=___________.6【解析】【分析】连接AC 与BD 交于点O ，取PQ =AP =1，连接QC ，得到//OP QC ，再由//EF 平面PBD ，利用线面平行的性质得到//EF OP ，进而得到//EF QC 求解.【详解】解：因为长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，所以底面边长为1AD =，高为14AA =，如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，取PQ =AP =1，连接QC ，则//OP QC ，因为//EF 平面PBD ，且EF ⊂平面1A ACC ，平面11A ACC ⋂平面BPD OP =，所以//EF OP ，则//EF QC ， 又//QE CF ，所以四边形QEFC 是平行四边形，所以26EF QC OP ===615．（2022·浙江浙江·高一期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为线段AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且1PQ BD ⊥，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的的周长等于________.【答案】32【解析】【分析】分别取111111,,,,CD CC B C A B A A 的中点E ，N ，M ，G ，F ，易证AC ⊥平面11D DBB ，则1AC BD ⊥，从而1QE BD ⊥，同理1QF BD ⊥，由线面垂直判定定理得到1BD ⊥平面ENMGFG ，进而得到所有点P 构成的平面图形为正六边形ENMGFG 求解.【详解】如图所示：分别取111111,,,,CD CC B C A B A A 的中点E ，N ，M ，G ，F ，则//QE AC ，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，又1DD BD D =， 所以AC ⊥平面11D DBB ，则1AC BD ⊥，所以1QE BD ⊥，同理 1QF BD ⊥，又1QE QF Q ⋂=，所以1BD ⊥平面ENMGFG ，即所有点P 构成的平面图形为正六边形ENMGFG ，因为正方体的棱长为1，所以正六边形ENMGFG 2，所以正六边形ENMGFG 2632= 故答案为：3216．（2022·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据线面垂直得到线线垂直，根据三角形面积求出DE 3求出线段B 1F 的长.【详解】设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又11AB A S =122＝221222+ ，所以h 23DE 3 在Rt △DB 1E 中，B 1E 2223623⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在Rt △DB 1F 中，由面积相等得：2216212222x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：x ＝12.即线段B 1F 的长为12.故答案为：12四、解答题17．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.(1)求证1AC B C ⊥；(2)求证：1//AC 平面1CDB .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由侧棱与底面垂直可得1CC AC ⊥，结合AC BC ⊥，可得AC ⊥平面11BCC B ，即可得证；（2）连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，利用中位线的性质可知1//DE AC ，进而即可证明结论.(1)证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1CC AC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ， 又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥.(2)证明：连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，因为点D 是AB 的中点，所以1//DE AC ，因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB .18．（2022·广东·广州六中高一期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)//BE 平面PAD ；(2)CD ⊥平面BEF ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明//BE 平面PAD ；(2)先根据平面与平面垂直的性质定理证明AB ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ．(1)因为E 是CD 的中点，2CD AB =，所以AB DE =，因为//AB CD ，所以//AB DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以//BE AD ，BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ；(2)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB 底面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，又//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，,AD PD ⊂平面PAD ，所以，CD AD ⊥，CD PD ⊥，因为//BE AD ，所以CD BE ⊥，因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以//EF DP ，又CD PD ⊥，所以CD EF ⊥，BE EF E =，,BE EF ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ．19．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝BC ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起、得到四锥P －DEBC ，F 为PC 的中点，M 为EB 的中点(1)证明：FM //平面PDE ；(2)证明：DE ⊥PC ；(3)当四棱锥P －DEBC 的体积最大时，求三棱锥E －DCF 的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)12.【解析】【分析】（1）连接CM 并延长与DE 延长线交于G ，在△CPG 中//FM PG ，根据线面平行的判定即可证结论.（2）H 为DE 中点，连接,PH CH ，易得DEBC 为平行四边形、△PDE 为等边三角形且60EDC ∠=︒，进而可得PH DE ⊥、CH DE ⊥，再根据线面垂直的判定、性质证明结论. （3）首先确定四棱锥P －DEBC 的体积最大时面PDE ⊥面DEBC ，再确定P －DEBC 的体高，并求得F 到面DEBC 的距离，由E DCF F DEC V V --=及棱锥的体积公式求体积.(1)连接CM 并延长与DE 延长线交于G ，则G 在面PDE 内，M 为EB 的中点，则M 为CG 中点，在△CPG 中//FM PG ，又PG ⊂面PDE ，FM ⊄面PDE ，所以FM //平面PDE .(2)若H 为DE 中点，连接,PH CH ，由题设//CD EB 且2CD EB ==，即DEBC 为平行四边形，则2DE BC ==， 所以△PDE 为等边三角形，故PH DE ⊥，又ABCD 为等腰梯形，则60EBC ∠=︒ 所以60EDC ∠=︒，又1DH =，2CD =，易知：CH DE ⊥，又PHCH H =，则DE ⊥面PHC ，PC ⊂面PHC ，故DE ⊥PC . (3)当四棱锥P －DEBC 的体积最大时，面PDE ⊥面DEBC ，则△PDE 的高PH 即为四棱锥P －DEBC 的体高，又F 为PC 的中点，所以F 到面DEBC 的距离32PH h ==，由（2）易知DEBC 为边长为2的菱形， 又132DEC DEBC S S =1132E DCF F DEC DEC V V hS --===. 20．（2022·湖南·长沙市南雅中学高一期中）已知正方体1111-ABCD A B C D ．(1)求证：AD1//平面1C BD ；(2)求证：1AD ⊥平面1A DC ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明11//AD BC ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）利用线面垂直的性质证明1CD AD ⊥，再利用线面垂直的判定推理作答.(1)在正方体1111ABCD A B C D -中，1111////C D A B AB ，1111C D A B AB ==，则有四边形11ABC D 是平行四边形，有11//AD BC ，而1BC ⊂平面1C BD ，1AD ⊄平面1C BD ，所以1//AD 平面1C BD ．(2)在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11A ADD ，1AD ⊂平面11A ADD ，则1CD AD ⊥， 在正方形11A ADD 中，11A D AD ⊥，又1A D CD D =，1,A D CD ⊂平而1A DC ， 所以1AD ⊥平而1A DC ．21．（2022·云南昆明·高一期中）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1AA 中点，12AA AB ==.(1)求证：1AC ∥平面11B D E ；(2)求三棱锥11A B D E -的体积；(3)在1AC 上是否存在点M ，满足1AC ⊥平面11MB D ？若存在，求出AM 的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析 3(3)32【解析】【分析】 （1）连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可； （2）过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由线面垂直的判定证明1B H ⊥平面11AA D D ，最后由1111113AED B AED V S B H =⋅三棱锥-△得出体积； （3）由线面垂直的性质证明111AC B D ，作1⊥FM AC ，垂足为M ，由线面垂直的判定证明1AC ⊥平面11MB D ，最后得出AM 的长.(1)证明：连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，∵1111D C B A 是菱形，∴F 是11A C 中点，∵E 是1AA 中点，∴1∥EF AC ，∵EF ⊂平面11B D E ，1AC ⊄平面11B D E ，∴1AC ∥平面11B D E .(2)解：过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由1AA ⊥底面ABCD 知1AA ⊥平面1111D C B A ，则11⊥AA B H ，又1111=⋂AA A A ，1B H ⊥平面11AA D D .由11160∠=∠=︒A B C ABC 知1160︒∠=A H B ，又112A B =，则13B H =1111111113123332AED A B D E B AED V V S B H --==⋅=⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥 (3)解：∵1AA ⊥平面ABCD ，平面1111∥A B C D 平面ABCD ，∴1AA ⊥平面1111D C B A ，∵11B D ⊂平面1111D C B A ，∴111⊥B D AA ，∵菱形1111D C B A 中1111B D A C ⊥，1111A C AA A =，11A C ，1AA ⊂平面11AA C ，∴11B D ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C ，∴111AC B D ， 过F 在11Rt AAC △中，作1⊥FM AC ，垂足为M ，则由11⋂=M B F D F ，FM ，11B D ⊂平面11MB D 知1AC ⊥平面11MB D ，∴存在M 满足条件，在11Rt AAC △中，1112AA AC ==，122AC =F 是11A C 中点， ∴12==C M FM 23222==AM 22．（2022·江苏·盐城中学高一期中）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，3PC =E 是线段PC 上的一点，()R PE EC λλ=∈．(1)试确定实数λ，使//PA 平面BED ，并给出证明；(2)当2λ=时，证明：PC ⊥平面BED ．【答案】(1)1λ=，证明见解析。
立体几何平行
A BC DA B ` C` DE FAED 1CB 1D CBA立体几何——平行关系11．线面平行：（1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 。
(记忆口诀：线线平行 线面平行)（2）性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． (记忆口诀：线面平行 线线平行)2．两个平面平行：（1）判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)（2）性质定理：① 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行② 一个平面内的任一直线平行另一平面(记忆口诀：面面平行，则线线平行)1． a ∥α，b ∥α则a 与b 的位置关系（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．以上情况均有可能2．a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面（ ）A ．有且只有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．以上答案都不对3、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点。
求证：EF ∥面AD 1C 。
4、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，E 、F 分别是AB, PC 的中点 ，求证：EF ∥平面PAD ；5. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；6、如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，E 是1AA 的中点， 求证：1//AC 平面BDE 。
CBDAPE F1A 17. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 是PD 的中点． 求证：PB ∥平面AEC ．8．已知正四棱锥P —ABCD ，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ∶MA=BN ∶ND=5∶8，求证：直线MN ∥平面PBC ； 9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心。
空间立体几何中的平行问题
感 谢
感 谢
阅阅
读读
2023最新整理收集 do something
立体空间中的平行
复习定理
空间中的平行
解决空间直线与平面平行的相关问题，特别要注意下面的 转化关系：
空间平行之间的转化
⑤
② ①③ ④
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
CD / / AB, BC AB ，且 AB AE BE 2BC 2CD 2，动点 F 在棱 AE 上，且
EF FA.试探究 的值，使 CE / / 平面 BDF ，并给予证明；
E
●F
B
A
C
D
小结：
关键
高频 考点
线线平行-------- 线面平行------- 面面平行
转化思想：把空间问题转化为平面问题解决 证明推理过程要规范、严密，条件缺一不可！
a,b
a a
//
b
A
//
b //
☺ 简称：线面平行，面面平行.
复习定理
空间中的平行
4.平面与平面平行的判定与性质
➳性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的任何一条直线都平行于另外一个平面。
a
//
a
//
☺ 简称：面面平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
5.平面与平面平行的判定与性质
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
高三一轮复习 立体几何中的平行问题
α
a a
A
α
α
直线在平面α 内a α
有无数个交点
直线与平面α相交 a ∩ α= A 有且只有一个交点
直线与平面α 平行
a∥α无交点
2、直线与平面平行定义： 一条直线和一个平面没有公共点， 叫做直线与平面平行.
3、直线和平面平行的判定定理
①定义.
②判定定理
线线平行
线面平行
4.下列说法中正确的有（C E） A.如果一个平面内一条直线和另一个平面 平行，那么这两个平面平行。 B.如果一个平面内无数条直线和另一个平 面平行，那么这两个平面平行。 C.如果一个平面内的任何直线和另一个平 面平行，那么这两个平面平行。 D.如果两个平面平行于同一条直线，那么 这两个平面平行。 E.如果两个平面平行于同一个平面，那么 这两个平面平行。
（2）直线 a∥平面α，平面α内有无数条直线 交于 一点，那
么这无数条直线中与直线 a 平行的（ B ）
（A）至少有一条
（B）至多有一条
（C）有且只有一条
（D）不可能有
练习：
(3)如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ） A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
（2009广东卷理）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，
那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个
平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线
不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中点、线、面的相互关系和性质。
在立体几何中，平行是一个基本的概念，它描述了两个或多个线或面在空间中不相交且始终保持相同的间距。
本文将从线面平行的定义、性质和应用等方面进行阐述，以展示立体几何中线面平行的证明方法。
一、线面平行的定义在立体几何中，我们常常会遇到线和面的关系。
当一个线和一个面的方向相同，并且线上的任意一点到面的距离保持不变时，我们称这个线和面是平行的。
具体来说，设有一条直线l和一个平面P，如果直线l上的任意一点到平面P的距离d保持不变，那么我们就说直线l和平面P是平行的。
二、线面平行的性质线面平行具有以下性质：1. 平行线和同一平面内的直线没有交点；2. 平行线和同一平面内的直线的距离是恒定的；3. 平行线在同一平面内的投影线也是平行的；4. 平行线和平行面之间的角度为零。
三、线面平行的证明方法证明线面平行的方法有多种，下面列举几种常用的证明方法：1. 利用垂直关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线上的任意一条垂线和平面垂直。
2. 利用距离关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线上的任意一点到平面的距离是恒定的。
3. 利用投影关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线在平面上的投影线也是平行的。
四、线面平行的应用线面平行在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑工程：在建筑设计中，我们常常需要考虑墙壁和地面的平行关系，以保证建筑的稳定和美观。
2. 几何光学：在光学中，光线和镜面的关系是平行的，这是实现反射现象和成像的基础。
3. 地理测量：在地理测量中，为了计算地球上两点之间的距离，我们需要考虑经线和纬线的平行关系。
4. 电磁学：在电磁学中，电场线和等势面的关系是平行的，这是电场分布和电势分布的重要性质。
线面平行是立体几何中一个重要的概念。
通过定义、性质、证明方法和应用等方面的介绍，我们可以更深入地理解和应用线面平行的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
立体几何中的平行问题
（1）线面平行思考途径
I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行；III.转化为面面平行
支持定理 ①////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭
； ②////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭； 配图助记
（2）线线平行：思考途径
I.转化为判定共面二直线无交点； II.转化为二直线同与第三条直线平行；
III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行.
支持定理
①////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；②//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭
；④//////a b c b a c ⎫⇒⎬⎭
配图助记
（3）面面平行：思考途径
I.转化为判定二平面无公共点； II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直.
支持定理 ①,////,//a b a b o a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭
；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭ 配图助记
αb βa a b α b γβ α a a β α
b O β a α β α
γ α β a a α b β α a
一、线面平行
1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥立体中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；
2、在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，
4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；
3、如图，直三棱柱-'''ABC A B C ，=90BAC ∠︒，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'A B 和''B C 的中点
（1）证明：//''MN AACC
平面；
P
D C B A
4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面
ABC , AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.
求证：（1）1AC BC ⊥；（2）1//AC 平面1B CD .
5、如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且a AB AE 2==，a CD =，F 是BE 的中点.
(1)求证：DF ∥平面ABC ；
(2)求三棱锥ABD E -的体积.
6、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E
为CD 中点。
（Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；
（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若
存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。
7、如图，平面ABEF ⊥平面A B C D ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，BC ∥1
2AD ，BE ∥12
AF ．
（Ⅰ）证明：C 、D 、F 、E 四点共面；
（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．
二、面面平行
1、如图，在正方体111ABCD A B C D -1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面1D BQ ∥平面PAO ?
2、如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面CFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==△OAC ，△ODE ，△GDE 都是正三
角形。
（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；
立体几何中的平行问题答案
1、（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ，
ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点
又E 是PD 的中点， ∴EO//PB.
又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，
∴PB //平面AEC 。
2、（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，
所以CD //平面PAB . ………………………………………2分
因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，
所以CD //m . ………………………………………4分
3、【解析】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠︒
三棱柱-'''ABC A B C 为直三棱柱，
所以M 为'AB 中点.又因为N 为''B C 中点
所以//'MN AC ，又MN ⊄平面''A ACC
解：证明：（1）1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC
∴
1CC AC ⊥，
AC BC ⊥，1BC CC C =， ∴AC ⊥平面11BCC B ，
1BC ⊂平面ABC
∴1AC BC ⊥. -------------------5分
（2）设1BC 与1BC 的交点为O ，连结OD ， 11BCC B 为平行四边形，所以O 为1BC 中点，
又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD . ---------------------10分
5、解：（1）设G 为AB 的中点，连GC FG ,，则
GF ∥AE 且AE GF 2
1=
--------------2分 又 CD ∥AE 且AE CD 21= ∴CD ∥GF 且GF CD =，即四边形CDFG 为平行四边形.------------4分 ∴DF ∥GC 又⊂GC 平面ABC
∴DF ∥平面ABC ---------------------------------------6分
6、解答：
（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA
得：1111111111,,AD A D AD A B A D A B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD 1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥
（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22
PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1
此时11
1
22AP AA ==
面面平行
1、解：当Q 为CC 1的中点时，
平面D 1BQ ∥平面PAO.证明如下：
∵ Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，
∴ QB ∥PA.
∵ P 、O 分别为DD 1、DB 的中点，
∴ D 1B ∥PO.
又∵ D 1B ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，
QB ⊄平面PAO ，PA ⊂平面PAO ，
∴ D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，
又D 1B ∩QB ＝B ，D 1B 、QB ⊂平面D 1BQ ，
∴ 平面D 1BQ ∥平面PAO.
2、。