立体几何中平行问题

立体几何中的平行问题

（1）线面平行思考途径

I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行；III.转化为面面平行

支持定理 ①////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭

； ②////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭； 配图助记

（2）线线平行：思考途径

I.转化为判定共面二直线无交点； II.转化为二直线同与第三条直线平行；

III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行.

支持定理

①////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；②//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭

；④//////a b c b a c ⎫⇒⎬⎭

配图助记

（3）面面平行：思考途径

I.转化为判定二平面无公共点； II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直.

支持定理 ①,////,//a b a b o a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭

；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭ 配图助记

αb βa a b α b γβ α a a β α

b O β a α β α

γ α β a a α b β α a

一、线面平行

1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥立体中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；

2、在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，

4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；

3、如图，直三棱柱-'''ABC A B C ，=90BAC ∠︒，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'A B 和''B C 的中点

（1）证明：//''MN AACC

平面；

P

D C B A

4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面

ABC , AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.

求证：（1）1AC BC ⊥；（2）1//AC 平面1B CD .

5、如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且a AB AE 2==，a CD =，F 是BE 的中点.

(1)求证：DF ∥平面ABC ；

(2)求三棱锥ABD E -的体积.

6、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E

为CD 中点。

（Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；

（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若

存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。

7、如图，平面ABEF ⊥平面A B C D ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，BC ∥1

2AD ，BE ∥12

AF ．

（Ⅰ）证明：C 、D 、F 、E 四点共面；

（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．

二、面面平行

1、如图，在正方体111ABCD A B C D -1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面1D BQ ∥平面PAO ?

2、如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面CFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==△OAC ，△ODE ，△GDE 都是正三

角形。

（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；

立体几何中的平行问题答案

1、（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ，

ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点

又E 是PD 的中点， ∴EO//PB.

又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，

∴PB //平面AEC 。

2、（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，

所以CD //平面PAB . ………………………………………2分

因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，

所以CD //m . ………………………………………4分

3、【解析】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠︒

三棱柱-'''ABC A B C 为直三棱柱，

所以M 为'AB 中点.又因为N 为''B C 中点

所以//'MN AC ，又MN ⊄平面''A ACC

解：证明：（1）1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC

∴

1CC AC ⊥，

AC BC ⊥，1BC CC C =， ∴AC ⊥平面11BCC B ，

1BC ⊂平面ABC

∴1AC BC ⊥. -------------------5分

（2）设1BC 与1BC 的交点为O ，连结OD ， 11BCC B 为平行四边形，所以O 为1BC 中点，

又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD . ---------------------10分

5、解：（1）设G 为AB 的中点，连GC FG ,，则

GF ∥AE 且AE GF 2

1=

--------------2分 又 CD ∥AE 且AE CD 21= ∴CD ∥GF 且GF CD =，即四边形CDFG 为平行四边形.------------4分 ∴DF ∥GC 又⊂GC 平面ABC

∴DF ∥平面ABC ---------------------------------------6分

6、解答：

（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA