干散货航运市场运费期权定价计算方法研究

干散货航运市场运费期权定价计算方法研究＊
林国龙 尹利贤
（上 海 海 事 大 学 物 流 研 究 中 心 上 海 ２００１３５）
摘要：采用挪威奥斯陆国际海事交易 所 推 出 的 运 费 期 权 为 研 究 对 象，借 鉴 金 融 市 场 中 的 期 权 定 价
方法，建立亚式期权定价的理论框架．运费期权属于算 术 平 均 亚 式 期 权，原 生 资 产———运 价 就 不 再
下求期望．
１．２ ＦＦＡ 价格的近似计算
由式（２）知，ＦＦＡ 价格 Ｆ（ｔ，０，Ｔ）为测度 Ｑ 下
现货价格Ｓ 期望的算术平均，即Ｆ（ｔ，０，Ｔ）由平均
价格决定．为计算 平 均 价 格，将 期 权 的 有 效 期 ［０，
Ｔ］进行ｎ 等分，设第ｉ个时刻为Ｔｉ，则 Δｔ＝ Ｔ／Ｎ
Ｓｉ 为 运 费 在 Ｔｉ 时 刻 的 值，则 其 算 术 平 均 价 格
ｎ
∑ Ｆ（ｔ，０，Ｔ）＝
１ ｎ
ＥｔＱ
ｉ＝１
［ＳＴｉ
］
（２）
在 Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ环境下，即期和远期价格均
服从对数正态分 布 （或 几 何 布 朗 运 动）．在 风 险 中
性 世 界 中 ，在 鞅 测 度 下 ，原 生 资 产 的 连 续 模 型 是 适
合 几 何 布 朗 运 动 的 ，因 此 ，用 几 何 布 朗 运 动 来 描 述
为 Ｋ 的欧式看涨期权价格则为 Ｂ［Ｔ，μ珔，σ珋］＝ｅ－μＴＥ｛［Ｑ（Ｔ）－Ｋ］＋ ｝
由于用几何布朗运动 Ｑ（ｔ）＝Ｓ０ｅ Ｘ（ｔ），作 为 ＳＡ
的 近 似 值，因 此 用 Ｅ｛［Ｑ（Ｔ）－Ｋ］＋ ｝ 代 替
Ｅ｛［ＳＡ －Ｋ］＋ ｝就可得到无 风 险 利 率ｒ，波 动 率σ， 初始价格Ｓ０ 和执行价格 Ｋ 的 情 形 下 的 看 涨 期 权 价 格Ｃ（ｔ，Ｔ）的 近 似 值 ，即 为
设 Ｑ（ｔ）＝Ｓ０ｅ Ｗ（ｔ），
［ ］ Ｗ （ｔ）～ Ｎ （μ珔－σ２２ ）（Ｔｎ －ｔ），σ２（Ｔｎ －ｔ）
式中：Ｗ （ｔ）为维纳过程．
由于用 Ｑ（ｔ）近 似 作 为 ＳＡ 的 近 似 值，所 以 参
数μ珔，σ珋 必 须 使 Ｑ （ｔ）与 ＳＡ 的 一 阶 矩 和 二 阶 矩 相
等．
Ｅ［Ｑ（Ｔ）］＝ Ｅ［Ｓ０ｅ Ｗ（Ｔ）］＝ Ｓ０ｅμ珔Ｔ
第３６卷 第３期 ２０１２ 年 ６ 月
武 汉 理 工 大 学 学 报 （交 通 科 学 与 工 程 版 ）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｕｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ （Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ＆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）
Ｖｏｌ．３６ Ｎｏ．３ Ｊｕｎｅ ２０１２
｝ ２ｅ （１－ｅ ） （ｒ＋２）ｒ ｔ＋σ２ｔ
（ｒ＋σ２）ｎ ｔ
１－ｅ（２ｒ＋σ２）ｔ
（１１）
当对ｎ 取极限，离散情况就转换成连续情况，
有
ｌｉｍＥ［ＳＡ
ｎ→ ∞
］＝ｌｎｉ→ｍ∞ Ｓ０ｎｅｒ（ １ｔ（１－－ｅｒ ｅｔｒ） ｔ）＝
Ｓ０ （ｅｒ Ｔ ｒＴ
－１）
（１２）
ｌｉｍｅ２［ＳＡ
ｎ→ ∞
］＝
在风险中性测度Ｑ 下的微分为
ｄＳｔ Ｓｔ
＝λｄｔ
＋σｄＷｔＱ
（４）
式中：λ＝（μ－σｒ）为一实值函数，其中ｒ 为风 险 溢
价
，且ｒ
＝
μ－λ． σ
式（４）的 解 即 为 在 鞅 测 度 Ｑ 意 义 下，原 生 资
产价格的运行规律为
∫ ＳＴ
Ｓ σ ＝ ｅ ＋ （λ－σ２２）（Ｔ－ｔ） ｔ
Ｔ
ｄＷ Ｑ （ｓ）
服从几何布朗运动，也就难以得到显 性 解．文 中 用 几 何 布 朗 运 动 近 似 代 替 离 散 时 间 下 的 算 术 平 均
亚式期权，然后求出其一阶矩和二阶矩，并对其求极限，这样得 到 的 结 果 就 与 连 续 情 况 下 算 术 平 均
亚式期权价格的一阶矩和二阶矩相等．
关 键 词 ：运 费 期 权 ；算 术 平 均 亚 式 期 权 ；干 散 货 市 场 ；风 险 管 理
运费期权的 意 义 在 于，它 为 航 运 经 营 者 和 投 资者提供了一种 效 率 更 高 的 航 运 金 融 工 具．将 期 权引入航运市场，只 是 为 航 运 经 营 者 和 投 资 者 提 供了一种新的选 择，而 航 运 经 营 者 和 投 资 者 可 以 根据其对风险的承受程度选择更适合自己的运价 交易工具．运费期 权 既 可 以 在 ＯＴＣ 场 外 交 易，也 可以选择交易所进行清算．
力．Ｋｅｍｎａ和 Ｖｏｒｓｔ［５］通 过 改 变 波 动 率 和 敲 定 价 格提出了一个几 何 平 均 期 权 的 定 价 解 析 公 式，但 是得不出 算 术 平 均 期 权 模 型．Ｒｏｇｅｒｓ和 Ｓｈｉ［６］提 出了用有限差分 法 来 解 析 亚 式 期 权 问 题，他 们 根 据比例缩放的性 质，将 平 均 亚 式 期 权 价 格 计 算 简 化为解一个二元 抛 物 线 偏 微 分 方 程．但 这 种 方 法 仅适用于较低的波动率和较短的到期时间．
中 图 法 分 类 号 ：Ｕ６９５．２
ＤＯＩ：１０．３９６３／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９５－３８４４．２０１２．０３．０１１
０ 引 言
鉴于干散货航运市场自身的市场特性， 其在受到企业自 身 经 营 状 况 的 影 响 外，注 定 还 受 到世界经济和政 治 发 展、干 散 货 航 运 市 场 的 供 求 关系、投 机 因 素、自 然 因 素 等 的 冲 击，这 就 引 起 干 散货国际航运市 场 运 价 的 剧 烈 波 动，给 市 场 参 与 者 带 来 了 巨 大 的 经 营 风 险．为 此，Ｔｖｅｄｔ［１］ 以 ＢＩＦＦＥＸ（波罗的海运 费 指 数 期 货）为 基 础 建 立 了 一个期权定价模 型，给 出 了 航 运 费 率 市 场 的 一 些 特征．Ｋａｖｕｓｓａｎｏｓ和 Ｎｏｍｉｋｏｓ［２］提 出 了 关 于 运 价 期货市场最优对冲的理论并给出实证研究结果． １９９２ 年，远 期 运 费 协 议 （ｆｏｒｗａｒｄ ｆｒｅｉｇｈｔ ａｇｒｅｅ－ ｍｅｎｔ，ＦＦＡ）进 入 市 场．Ｋａｖｕｓｓａｎｏｓ［３］与 其 他 学 者 合作既研 究 了 远 期 与 即 期 运 价 之 间 的 波 动 性 关 系，也检验了 ＦＦＡ 随时间变化的套期保值率在降 低运费风 险 上 的 有 效 性．Ｋａｖｕｓｓａｎｏｓ［４］等 人 就 注 意到相较于目 前 干 散 货 ＦＦＡ 的 结 算 价 格 是 基 于 交 割 月 的 最 后 七 个 交 易 日 的 平 均 价 格 ，１９９９ 年 １１ 月以前的干散 货 ＦＦＡ 的 结 算 价 格 是 基 于 交 割 月 的最后５个交易 日 的 平 均 价 格．这 样 的 清 算 方 法 能很好的模拟船 队 的 现 金 流，也 就 能 提 高 对 冲 能
Ｃ（ｔ，Ｔ）＝ｅ－ｒＴＥ｛［Ｑ（Ｔ）－Ｋ］＋ ｝＝
ｅｒｎ ｔ（（１ｅｒ－ ｔ －ｅ－１ｎ ｒ） ｔ）Ｄ［Ｆ（ｔ，０，Ｔ）Ｎ（ｄ１）－
ｅ－μ珔ＴＫＮ （ｄ２）］
（１６）
［ （ ） （ ） ］ 式中：ｄ１ ＝
ｌｎ
Ｆ（ｔ，０，Ｔ） Ｋ＋
μ珔＋σ２２
Ｔ
σ２ 槡Ｔ，
ｄ２ ＝ｄ１ －σ珋 槡Ｔ ．
Ｎ（ｘ）是标 准 累 积 正 态 分 布 函 数．相 应 的，看
ｎ
∑ ＳＡ ＝
ｉ＝０Ｓｉ．根据 假 设，各 个 时 段 的 运 费 价 格 ｎ
均遵循几 何 布 朗 运 动，但 算 术 平 均 价 格 ＳＡ 已 不 再服从对 数 正 数 分 布，这 样 就 很 难 找 到 ＳＡ 的 密 度函数．所以，考 虑 用 对 数 正 态 分 布 Ｑ（ｔ）近 似 代
替运费现货价格的算术平均值 ＳＡ ，从 而 找 到 亚 式 看涨期权价格 Ｃ（ｔ，Ｔ）的近似值．
数）折现价格为一鞅，因此，敲定价格为 Ｋ 的算术
平均亚式上涨期权的价格由折现条件期望给出：
ＣＦ（Ｋ，ｔ）＝ｅ Ｅ －ｒ（Ｔ－ｔ） Ｑ［（Ｓｔ －Ｋ）＋｜Ｆｔ］ （７） 式中：ＣＦ （Ｋ，ｔ）为 敲 定 价 为 Ｋ 的 算 术 平 均 亚 式 看 涨期权在时刻ｔ 的 价 格；ＥＱ （·）为 在 概 率 测 度 Ｑ
ｔ
（５）
亚式期权可以看作是欧式期权在远期协议下
的 一 种 推 广 ．下 面 仅 以 亚 式 看 涨 期 权 为 例 ．亚 式 看
涨期权的价格在到期日 Ｔ 的值依赖于整个路径
的均值
∫ Ｋ
＝
１ ｈ
Ｔ
Ｓｕｄｕ
Ｔ－ｈ
（６）
于 是，该 期 权 在 到 期 日 的 收 益 为 ｍａｘ（Ｓｔ－ Ｋ）＋ ．由于在鞅测度 Ｑ 下，原 生 资 产 （航 运 均 价 指
到交付时间Ｔ 之间价格 的 算 术 平 均，即 亚 式 期 权
就是欧式期权在远 期 协 议 下 的 应 用．由 式 （２）知，
设定运费期权中存在敲定价格 Ｋ，且以 Ｔ 为 到 期
日的看涨期权的收益可以等价的表示为
Ｔ２（σ２２Ｓ＋２０ ｒ２）×
［ ］ ｅ（２２ｒｒ＋σ２＋Ｔ）σ－２ １－ｅｒｒＴ
（１３）
这样，由 Ｑ（ｔ）与ＳＡ 的一阶矩和 二 阶 矩 相 等，
列方程可解得
［ ］ μ珔 ＝ Ｔ１ｌｎ
ｅｒ ｔ（１－ｅｎ ｒ ｔ） ｎ（１－ｅｒ ｔ）
（１４）
· ４８６ ·
武 汉 理 工 大 学 学 报 （交 通 科 学 与 工 程 版 ）
１ 定价模型框架
１．１ 模 型 的 假 设 条 件 假设市场投资 者 能 自 由 进 出 市 场，且 借 入 利
率和贷出利 率 相 等，均 为 无 风 险 利 率ｒ．另 外，假 设存在风险中性测度Ｑ 与测度Ｐ 等价的鞅测度． 基本的 ＦＦＡ 是一 种 现 金 结 算 合 同，等 于 Ｓｔ 的 算
收 稿 日 期 ：２０１１－１２－１５ 林国龙（１９５１－ ）：男，教授，博士生导师，主要研究领域为供应链与物流管理 ＊ 上海教育委员会科研创新重点项目（批准号：１１ＺＳ１４５）、上海海事大学创新基金项目资助
的天数以及协议中涉及的 船 型 等．ＦＦＡ 的 值 可 通
过 Ｔ 时刻得到的现金流 折 算 得 到，并 计 算 鞅 测 度
Ｑ 下的条件期望．因为进入 ＦＦＡ 市场不需要花费
任 何 成 本 ，因 此 ，可 得 下 式
［ （∑ ）］ ＥｔＱ
ｅ Ｄ －ｒ（Ｔ－ｔ）
ｎ ｉ＝１
ＳＴｉ ｎ
－Ｆ（ｔ，０，Ｔ）
＝ ０ （１）
第３期
林 国 龙 ，等 ：干 散 货 航 运 市 场 运 费 期 权 定 价 计 算 方 法 研 究
· ４８５ ·
术平均值与 ＦＦＡ 价格 Ｆ（ｔ，０，Ｔ）之差再乘以一个
常数 Ｄ，Ｄ 不 仅 取 决 于 价 格 是 按 美 元／天 还 是 美
元／吨计算，Ｄ 还 取 决 于 ＦＦＡ 协 议 覆 盖 的 日 历 年
２０１２Βιβλιοθήκη Baidu年 第 ３６ 卷
［ σ珋２ ＝ Ｔ１ｌｎ ｅ２ｒ ｔ１（１－－ｅｅｒ ｔｎ ｒ ｔ）×
｛ｅ（２ｒ＋σ２）ｔ（１１－－ｅ（ｅ２ｒ＋（２σｒ２＋）σｎ２ ｔ）ｔ）（１＋ｅｒ ｔ）－
｝］ ２ｅ （１－ｅ ） （ｒ＋２）ｒ ｔ＋σ２ｔ
（ｒ＋σ２）ｎ ｔ
１－ｅ（ｒ＋σ２）ｔ
（１５）
因此，在 无 风 险 收 益 率 为μ珔，运 费 价 格 Ｓｔ 的 波动率为σ珋 的 情 形 下，初 始 价 格 为 Ｓ０，执 行 价 格
即期运费的动态性．
ｄＳｔ Ｓｔ
＝μｄｔ ＋σｄＷｔＰ
（３）
式中：Ｓｔ 为ｔ 时刻 原 生 资 产 （航 运 运 价 指 数）的 现
货价格，不可交 易；μ，σ 均 为 常 数，其 中 μ 为 期 望
回报率，σ为波动率；Ｗｔ 为随机布朗运动．
根据 Ｇｉｒｓａｎｏｖ 定 理，进 行 测 度 变 换 得 到 Ｓｔ
（８）
Ｅ［Ｑ２（Ｔ）］＝
Ｅ［Ｓ２０ｅ２ Ｗ
（Ｔ）］＝
Ｓ ｅ ２ （２μ珔＋σ珋２）Ｔ ０
（９）
对ＳＡ ，由布朗运动独立增量性有
Ｅ［ＳＡ
］＝
Ｓ０ｅｒ ｔ（１－ｅｎ ｒ ｔ） ｎ（１－ｅｒ ｔ）
（１０）
Ｅ［Ｓ２Ａ ］＝ｎ２（１Ｓ－２０ｅｎ ｒ ｔ）×
｛ｅ（２ｒ＋σ２）ｔ（１１－－ｅ（ｅ２ｒ＋（２σｒ２＋）σｎ２ ｔ）ｔ）（１＋ｅｒ ｔ）－
跌期权也可以近似得出．
Ｐ（ｔ，Ｔ）＝ ｅｒｎ ｔ（（１ｅｒ－ ｔ －ｅ－１ｎ ｒ） ｔ）Ｄ × ［ｅ－μ珔ＴＫＮ （－ｄ２）－Ｆ（ｔ，０，Ｔ）Ｎ（－ｄ１）］
（１７）
１．３ 运 费 期 权 价 格 从式（１）和式 （２）可 以 看 出 ＦＦＡ 的 合 约 价 格
Ｆ（ｔ，０，Ｔ）可 以 被 定 义 为 ［０，Ｔ］时 间 段 内，时 刻ｔ