经济学中的计算方法 课程论文

二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用

摘要：本文介绍了期权在历史中是怎样形成的，并且在现代金融学快速发展的情况下，如何运用数学工具对其定价。期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。

关键词：二叉树期权定价

与其它衍生产品相比, 期权市场的发展有着更为漫长和曲折的

历史。期权交易的第一项记录是在《圣经·创世纪》中的一个合同制的协议，里面记录了大约在公元前1700年，雅克布为同拉班的小女儿瑞切尔结婚而签订的一个类似期权的契约，即雅克布在同意为拉班工作七年的条件下，得到同瑞切尔结婚的许可。从期权的定义来看，雅克布以七年劳工为“权利金”，获得了同瑞切尔结婚的“权利而非义务”。除此之外，在亚里士多德的《政治学》一书中, 也记载了古希腊哲学家数学家泰利斯利用天文知识，预测来年春季的橄榄收成，然后再以极低的价格取得西奥斯和米拉特斯地区橄榄榨汁机的使用

权的情形。这种“使用权”即已隐含了期权的概念, 可以看作是期权的萌芽阶段。也许令人印象更加深刻的是17世纪荷兰的郁金香事件，疯狂的投机损害了期权在人们心目中的形象，直至100多年后，伦敦期权交易也依然被认为不合法。

1990年，哈里·马科维茨（Harry Markowitz），威廉·夏普（William Sharp）和默顿·米勒（Merton Miller）获得诺贝尔经济学奖，让金融学进入了一个新领域，从此，人们开始更加科学化的研究股票的价值，使得传统金融发展为现代金融，现代金融理论的核心问题是金融衍生物定价问题。1994年8月，国际互换和衍生协会(interllatiollalswaPsand derivativesassoeiation，ISDA)在一份报告中对金融衍生品做了如下描述“衍生品是有关互换现金流量和旨在为交易者转移风险的双边合约。合约到期时，交易者所欠对方的金额由基础商品、证券或指数的价格决定”。期权和期货是金融市场中比较重要

的两类金融衍生物，期权是持有人在未来确定时间，按约定的价格向出售方购入货出售一定数量和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入或卖出的义务，期权按合约中有关实施的条款可以分为欧式弃权和美式期权，欧式弃权只能在合约规定的到期日实施，美式期权可以在合约规定的到期日之前（包括到期日）任何一个工作日实施，齐全按合约中购入和销售原生资产可以分为看涨期权和看跌期权，看涨期权是一张在确定的时间，按照确定的价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约，看跌期权是一张在确定时间，按照确定的价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约。期权定价问题是金融衍生物定价问题中的重要问题之一，二叉树是由考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox, Ross, Rubinstein）首先建立，本文在风险中性的市场中如何利用复制来化解风险，运用二叉树模型对欧式弃权进行定价，并利用Matlab进行了二叉树的多步实现。与马克维茨的均值-方差分析相比，期权在风险管理、组合投资方面具有着本质的不同和明显的优势。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。这种组合的确定依赖于对衍生证券价值的合理预期。当然，期权持有者也必须为自己获得的权利付出“代价”，这就产生了期权定价问题。

1.单时段二叉树模型

起点和终点分别记时刻0与时刻１，ｈ和t分别表示一枚硬币的正面和反面，时刻０股票价格为Ｓ０＞０，时刻１股票价格将为Ｓ1（h）或Ｓ1（t），上升因子为ｕ＝Ｓ1（h）/Ｓ0，下降因子为ｄ＝Ｓ1（t）/Ｓ０，

ｒ为利率 假设０＜ｄ＜１＋ｒ＜ｕ，定义如果抛掷硬币结果为正面 衍生证券在时刻１的支付为V 1（h ）如果抛掷硬币为反面 衍生证券在时刻１的支付为V 1（t ） 欧式看涨期权和欧式看跌期权是特殊的衍生证券 欧式看跌期权在时刻１的支付为（Ｋ-Ｓ1 ）+欧式看涨期权在时刻１的支付为（Ｓ１－Ｋ）+，其中Ｋ是到期日的敲定价格。为确定

衍生证券在时刻０的价格Ｖ0,我们将利用复制期权的方法。假设初始财富为Ｘ０ ，在时刻０买入Δ０份股票，现金头寸为Ｘ０－Δ０，Ｓ０在时刻１股票与货币市场账户的资产组合价值为

1010000010(1)()(1)[(1)]X S r X S r X S r S =∆++-∆=++∆-+，

选择Ｘ０ 和Δ０，使得Ｘ１（Ｈ）＝Ｖ1（Ｈ）和Ｘ1（Ｔ）＝Ｖ1（Ｔ） 为使衍生证券得以复制必须有

001010010111(())(),1111(())(),11X S H S V H r r X S T S V T r r

+∆-=+++∆-=++ 如果选取11,r d u r p q u d u d

+---==-- ，使得 0110111

10111[()()]11[()()],1()()()()S pS H qS T r

X pV H qV T r

V H V T S H S T =

++=++-∆=- 由以上对冲衍生证券的空头，到时刻1支付为V 1的衍生证券在时刻0的定价应为0111[()()],1V pV H qV T r

=++ 2.多时段定价模型

我们将上面单时段模型推广到多时段，考虑一个Ｎ时段二叉树资产定价模型

其中0＜d ＜１＋r ＜u 并且p

，q 定义如上。设V N 为一个随机变量（衍生证券在

时刻Ｎ的支付）。它取决于前Ｎ次抛掷硬币过程W 1,W 2···W n

121121121()[()()]1n n n n n n V w w w pV w w w H qV w w w T r

++=++ ， 对于0到N 之间的n ，衍生证券在时刻n 的价格有风险中性定价公式[](1)

N n N n V V E r -=+ 给出， 进一步在p 之下，衍生证券的贴现价格是一个鞅，即 11

1[](1)1(1)n n n n V V E r r r ++=+++ n=0，1，···n-1 3.隐含波动率在期权定价中的应用

通过大量实证研究表明，应用期权的市场价格和B-S 公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向的变动规律：波动率微笑（volatility smiles ）与波动率期限结构（volatility term structure ）。

首先介绍波动率微笑。Black-Scholes 模型的假设前提是，标的资产价格服从几何布朗运动且其波动率固定不变。抛开复杂的数学定义和推导，我们单从形态上观察，分别以执行价格和隐含波动率为横纵坐标轴，隐含波动率常常呈现“微笑”形态，即对于具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，这些期权的执行价格偏离现货价格越远，那么它的隐含波动率越大，看起来像个笑脸，波动率微笑也因此得名。