解直角三角形导学案

课题：24．2解直角三角形（1）【学习目标】⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】直角三角形的解法． 【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用 【导学过程】一、自学提纲：1．在三角形中共有几个元素 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢 (1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b aB a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．a 2+b 2=c 2(勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子三、教师点拨：例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形．例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o，b=20，解这个三角形．四、学生展示：补充题1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．2、在Rt△ABC中，a=，b=，解这个三角形．3、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。

4、Rt△ABC中，若sinA=45，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则cosA的值是（）A．35B．45C．916.2525D五、课堂小结：小结“已知一边一角，如何解直角三角形”六、作业设置：课本复习巩固第1题、第2题．七、自我反思：本节课我的收获: 。

的邻边的对边AA ∠∠课题：24．2解直角三角形（2）【学习目标】⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】实际问题转化成数学模型 【导学过程】 一、自学提纲：1．解直角三角形指什么2．解直角三角形主要依据什么(1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流： 仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置这样的最远点与P 点的距离是多少(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)四、学生展示：一、课本练习第1 、2题五、课堂小结：六、自我反思：本节课我的收获: 。

课型：新授课课题：24．2解直角三角形（3）【学习目标】⑴:使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶: 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系这一关系在实际问题中经常用到。

二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本91页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本习题24．2复习巩固第5、6、7题七、自我反思：本节课我的收获: 。

课题：锐角三角函数定义检测 ：学习要求理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．课堂学习检测一、填空题1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而ACB A BC C B )()(='=''，又可得 ①='''B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值； ②=''BA C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③='''C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．第1题图2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第2题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．3．因为对于锐角的每一个确定的值，sin 、cos 、tan分别都有____________与它______，所以sin 、cos 、tan 都是____________．又称为的____________．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．二、解答题8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．9．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．综合、运用、诊断10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．12．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．拓展、探究、思考13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：(1),sin ca A =∴=⋅=c A c a ,sin ______； (2),cos c b A =∴b ＝______，c ＝______； (3),tan ba A =∴a ＝______，b ＝______； (4),23sin =B ∴=B cos ______，=B tan ______；(5),53cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______； (6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．学后反思课题：特殊锐角三角函数定义检测学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题1．填表．锐角 30° 45° 60° sin cos tan二、解答题2．求下列各式的值．(1)o 45cos 230sin 2-︒(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 2223．求适合下列条件的锐角．(1)21cos =α(2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α4．用计算器求三角函数值(精确到． (1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______． 5．用计算器求锐角(精确到1″)． (1)若cos ＝，则＝______； (2)若tan(2＋10°31′7″)＝，则＝______．综合、运用、诊断6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ACB 的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：(1)∠D 及∠DBC ；(2)tan D 及tan ∠DBC ；(3)请用类似的方法，求°．9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，求证：(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；(2)锐角的值随角度的增大而______．13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)⋅=AAA cos sin tan课题：解直角三角形(一)检测学习要求理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．课堂学习检测一、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，第1题图①三边之间的等量关系：__________________________________． ②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______；==B A tan 1tan _____； ==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．第④小题图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面积公式． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，S △ABC ＝_________．(答案不唯一)2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)3．填写下表：4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．综合、运用、诊断6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB 、BC 两段)，其中CC ′＝BB ′＝3.2m ．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB 与BC 的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝，cos30°≈，sin35°≈，cos35°≈7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．拓展、探究、思考8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离装订线10．已知：如图，在高2m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米(保留整数)、四中先学后教、当堂达标数学导学案年级：九年级 课 型： 新授课 课题：解直角三角形(二)检测 学习要求能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．课堂学习检测1．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ． 求AB 及BC 的长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．3．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ． 求AB 及BC 的长．4．已知：如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠BDC ＝60°，BC ＝6cm ．求AD 的长．综合、运用、诊断5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少(精确到海里，732.13≈)7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B到地面的垂直距离BC．8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m3到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石。