28.2.1 解直角三角形(导学案)

28.2 解直角三角形及其应用

28.2.1 解直角三角形

一、新课导入

1.课题导入

如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线

的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题.

2.学习目标

（1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.

（2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

3.学习重、难点

重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形.

难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形.

二、分层学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学要求：完成探究提纲.

（4）探究提纲：

①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90 °.

b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2 .

c.边角关系：sinA＝a

c

，sinB＝

b

c

；

cosA＝b

c

, cosB＝

a

c

；

tanA＝a

b

, tanB＝

b

a

.

③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考）

已知其中两个元素（其中至少有一个是边）. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：

①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误. 4.强化

（1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）.

（2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）. ①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.

②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.

1.自学指导

（1）自学内容：教材P73例1、例2. （2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠. （4）自学参考提纲：

①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC 、BC ，需求出的未知元素是：斜边AB 、锐角A 、锐角B.

方法一：∵tanA =

BC

AC

∴∠A= 60 °,∠B=90°- ∠A = 30 °.

∵，,∴AB =

方法二：∵，,∴由勾股定理可得AB=

sinA=

BC AB A= 60 °,∴∠B=90°-∠A = 30 °. 这里∠B 的度数也可用三角函数来求，你会吗？ ②比较上述解法，体会其优劣.

③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b 和一锐角B ，则要求的未知元素有直角边a 、斜边c 、锐角A.

④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.

⑤练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：

,b=20；

b.∠B=60°，c=14；

c.∠B=30°，.

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：关注学生解直角三角形的思路是否清晰，是否会选择恰当的三角函数关系式.

②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.

（2）生助生：小组内相互交流、研讨.

4.强化：解直角三角形的思路：首先，明确已知什么，要求的元素有哪些；其次，合理选择三角函数关系式，并正确进行变形（所选的关系式必须要有两个已知元素）；第三，尽可能选用题目的原始数据，以减少误差.

三、评价

1.学生自我评价：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑问？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：从学生的学习态度、积极性、小组交流状况等方面进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想和分析问题、解决问题的能力.

一、基础巩固（70分）

1.(40分)已知在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若,则c=（2）若a=10，，则∠B=45°；

（3）若b=35，∠A=45°，则a=35；（4）若c=20，∠A=60°，则a=

2.(10分)在△ABC中，AC=2，AB=3，∠A=30°，则△ABC的面积等于（B）

B.

3.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，sinB=23

，那么AB 的

长是 9 .

4.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在

BC 边上，

且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长.（结果保留根号）

解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B=60°. 在Rt △ABC 中，AB=2

，∠B=60°, ∴BC=

cos AB B

=2

1

2

=4,AC=AB ·

tanB=∴△ABC 的周长为2+二、综合应用（20分）

5.(20分)在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=

12

5

，△ABC 的周长为

45cm ，CD 是斜边AB 上的高，求CD 的长.（精确到0.1 cm ）

解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=

BC AC =12

5

，AB+AC+BC=45 cm ，

∴AC=45×551213++=152(cm),sinA=12

13

.

∴CD=AC ·sinA=

152×12

13

≈6.9(cm). 三、拓展延伸（10分）

6.(10分)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，

AC=6，D

是AC 上一点，若tan ∠DBC=1

5

，求AD 的长.

解：在Rt △ACD 中,BC=AC=6,tan ∠DBC=1

5,

∴CD=BC

·tan

∠

DBC=6×15=6

5.

∴AD=AC-CD=6-65=24

5

.