最新微分中值定理的证明题74625
微分中值定理的多种证明方法
与 ｘ的线性组合和ＦＯ与 ｇ ） ） ｌ 的线性组合。 注意到 了这一点 ，就消除了这 两个表面看 来构思别致的辅助函数的神秘 感，得到构 造这 类 辅 助 函数 的 一 般 方法 。
，
此 时也可能出现两种情况 ：
ｌ ｂ） 厂（ ，
（ ＝ ｆ（０） ｂ） １ ，则 函数 Ｆ ，
其思路就是从命题得结论入手 来分析 结论得形式特点 ，从 中得到启发，进而 构 造 出与 已知命题相符得辅 助函数 ，使命题
一
下 ｊ ｙ
：
一
） ） ． ：／ 一
一
）
，
，
得以证明。
构造两个辅 助函数的 出发点都是使之 满 足 罗尔 定 理的 条 件 （ ） ３ ，设 ：Ｒ 一
使 得 ／（） ： 号 。
辅 助 函 数 ， 有 罗 尔 定 理 可 证 ／ ） ： ， ‘ ∈ （ ｂ） ａ， 。
ＩＩ３叠加函数待定系数法 拉 氏中值 ．． 定理 与罗尔中值定理有相同的条件（）（） １ ２， 但缺 条件 （ ，设 想 厂 （ ）叠加 一 个 ３） Ｘ 适当的 函数 构成辅助 函数 审 （ ，使之 ８） 满足 罗尔 定理 的三 条 ，且 使拉 氏定理 得 证 ，经试 用叠加线性 函数 ｋ ｘ为宜 ，即令 审 （８） ＝ 厂（ Ｘ）４ｋＸ （ 中 ｋ 是定 － 其 待 系 数 ）有 审 （ ｃ ｃ ）＝ 审 （ ） ｂ ，得
罗尔定理 ，则在 （ ｂ）内至少存在一点 ａ， ＜，使得 Ｆ ＜ ＝ｆ’ ＜ 十 ’＜ ＝． （ ）｝ （） （ ） （ ） 厂’ ＜
（ ｂ３ ，显 然 易 ａ， ）
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微分中值定理及其证明及应用
定理及其证明费马定理：设)(f x 在c 的某邻域）（δδ+−c c ,内有定义，而且在这个领域上有)()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('=f ．证明：因为假设)c ('f 存在，由定义可得左导数)('-x f 和右导数)(f 'c +均存在且满足：)(f )()('''-c c f c f ==+当c x <时，0)()(≥−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≥−−=−→c x c x f c c x 当c >x 时，0)()(≤−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≤−−=+→c x c x f c cx 所以0)c ('=f以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('=f ．证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('=f ．拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使ab a f −−=)(f )b ()(f 'ξ．证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (ab a f x −−−=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且()a ab b a bf ϕϕ=−−=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )(''=−−−=ab a f ξξϕ．即()ab a f −−=)(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使()()()()ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =−−． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()()()()a g a g b a f x F −−−−=x g g )(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有()()()()()()()x R x n f x f f f x n nn +++++=!0...!20x 00f 2'''．其中()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f −−−−−−−+=!...!2t 2'''ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()−−−−−−−−−−−−−−−−−=−+11n 2'''''2''''''''!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ化简后有()()()()n 1n '!-t x n t f t −=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +−=n t x ψ．对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =−−x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ−=+!-1n '，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()nx ξξψ−+=1n -'，代入上式，即得()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ． 定理证明完毕．这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +−++−+−+=0200''00'0!...!2f ．其中()()()()()101n !1++−+=n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
考研：微分中值定理的证明题汇总
f ( )
唯一性： （反证法） 假设有两个点 1 , 2 (0,1) ，且 1 2 ，使得 F (1 ) F ( 2 ) 0
F ( x) 在 [0,1] 上连续且可导，且 [1 , 2 ] [0,1] F ( x) 在 [1 , 2 ] 上满足 Rolle 定理条件 必存在一点 (1 , 2 ) ，使得： F () f () 1 0
而 f (a) 0 故在 (a, a
f (a) ) 内 f ( x) 0 有唯一的实根 k
1 2 t0 t sin 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数 f (t ) 在 [0, x] 上应用拉 t t 0 0
格朗日中值定理得：
f ( x ) f ( 0 ) x0 1 x2 s i n 0 1 1 1 x x s i n f ( ) 2 s in co s x) (0 x0 x
即： cos
1
2 sin
1
x sin
1 x
( 0 x )
因0 x， 故当 x 0 时， 由m i l 2 n s i 0 0，
0
1
x 0
lim x sin
1 0 x
得： lim cos
x 0
1
0 ，即 lim cos
0
【证明】令 G( x) f (a x) f ( x) ， x [0, a] ． G( x) 在[0,a]上连续，且
G(a) f (2a) f (a) f (0) f (a) G(0) f (a) f (0)
微分中值定理练习题
微分中值定理练习题1．试证拉格朗日中值定理．2．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导， (0)(1)0f f ==，11,2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=． （2）对任意实数,(0,)λξη∃∈，使[]()()1f f ξλξξ'--=．3．模型Ⅰ：设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，则下列结论皆成立：（1）存在(,)a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=（为实常数）．（2）存在(,)a b ξ∈，使1()()0k f k f ξξξ-'+=（0,k k ≠为实常数）．（3）存在(,)a b ξ∈，使()()()0f g f ξξξ'+=（()g x 为连续函数）．4．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，1(0)(1)0,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=． （2）存在(0,)ξη∈，使[]2()3()1f f ξξξξ'+-=．5．模型Ⅱ：设(),()f x g x 在[],a b 上皆连续，在(,)a b 内皆可导，且()0,()0f a g b ==，则存在(,)a b ξ∈，使()()()()0f g f g ξξξξ''+=．6．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，k 为正整数，求证：存在(0,1)ξ∈，使()()()f kf f ξξξξ''+=．7．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =．当0x >时，()0,f x > 试证：对任意正整数k ，存在()0,1ξ∈使()(1)()(1)f kf f f ξξξξ''-=-． 8．设0x >，试证ln(1)1x x x x<+<+． 9．设不恒为常数的函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，证明：在(,)a b 内至少有一点ξ使得()0f ξ'>．10．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-． 11．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明存在一点,(,)a b ξξ∈，使()()()ln b f b f a f aξξ'-=． 12．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0a b <<，证明：存在(,),(,)a b a b ξη∈∈，使()()2a b f f ξηξ'+'=⋅． 13．设()f x 在(,)a b 内有123()0,,,f x x x x ''>是(,)a b 内相异的三个点， 求证：[]1231231()()()33x x x f f x f x f x ++⎛⎫<++ ⎪⎝⎭ 14．若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且(0)(1)0f f ==，设3()()F x x f x =．试证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'''=．15．设()f x 在[]0,1上可导，在(0,1)内有二阶导数，且(0)(1)0f f ==．试证：方程2()()0f x xf x '''+=在(0,1)内有一实根．16．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证：存在(,)a b ξ∈使得()()()f f a f b ξξξ-'=-． 17．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(),()f a b f b a ==，试证明：存在(,)a b ξ∈使得()()f f ξξξ'=-．18．设()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导， 证明：0,2πξ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()sin 22()cos 20f f ξξξξ'+=．19．设()f x 在[]0,1上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：(0,1)ξ∃∈，使()tan ()0f f ξξξ'+=．20．设()f x 在[]1,1-上具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0,f f f '-===， 证明：(1,1)ξ∃∈-，使()3f ξ'''=．21．设()f x 在[],(0)a a a ->上具有二阶连续导数，且(0)0f =．（1）写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明：[],a a η∃∈-，使3()3()aa a f f x dx η-''=⎰．22．设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．23．设0()lim 1x f x x→=，且()0f x ''>，证明：()f x x ≥． 24．设函数()f x ，在闭区间[]0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且1(0)0,(1)3f f ==证明：存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．使得22()()f f ξηξη''+=+． 25．证明（1）对任意正整数n ，都有111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ （2）设1111ln (1,2,)23n a n n n =++++-= 证明数列{}n a 收敛．微分中值定理练习题答案或提示（凡是证明题均为提示，为节约篇幅，在题号后不再写“提示”二字）1．作辅助函数()()()()f b f a F x f x x b a-=--，用罗尔定理． 2．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理．（2）令()()()x F x ef x x λ-=-，用罗尔定理． 3．（1）令()()x F x e f x =，用罗尔定理．（2）令()()kx F x e f x =，用罗尔定理． （3）令()()()G x F x e f x =，其中()()G x g x '=，用罗尔定理．4．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理． （2）令[]3()()x F x e f x x =-5．令()()()F x f x g x =，用罗尔定理．6．令()(1)k g x x =-，用模型Ⅱ（第5题）．7．令()()(1)kF x f x f x =-． 8．令()ln(1)f t t =+，在[]0,x 用拉格朗日定理． 9．(,)c a b ∃∈使()()()f c f a f b ≠=，若()()f c f a >，则在[],a c 上用拉格朗日定理； 若()()f c f a <，则在[],c b 上用拉格朗日定理．10．令()()F x xf x =．用拉格朗日定理．11．令()ln ,(),()g x x f x g x =在[],a b 上用柯西中值定理．12．令2(),(),()g x x f x g x =在[],a b 上先用柯西中值定理，然后用拉格朗日中值定理． 13．令12303x x x x ++，将123(),(),(),f x f x f x 在0x 处展开成一阶泰勒公式，将三式相加可证得结论． 14．将3()()F x x f x =在0x =处展开成二阶泰勒公式．15．()f x 在[]0,1上先用罗尔定理11()0,(0,1)f x x '=∈，令2()(),F x x f x '=在[]10,x 上用罗尔定理．16．令()()()()F x f x f a b x =--⎡⎤⎣⎦，在[],a b 上用罗尔定理．17．令()()F x xf x =，在[],a b 上用罗尔定理．18．令()()sin 2F x f x x =，用罗尔定理．19．令()()sin F x f x x =，用罗尔公式．20．写出()f x 的二阶麦克劳林公式（拉格朗日型余项）．21．（2）利用（1）的展开式，对展开式两边取从a -到a 的定积分．22．令22()(1)ln (1)F x x x x =++-，对()F x 用二阶麦克劳林公式．23．写出()f x 的一阶麦克劳林公式． 24．令31()()3F x f x x =-，对()F x 在110,,,122⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上分用拉格朗日中值定理． 25．（1）用拉格朗日中值定理 （2）证明{}n a 单调递减有下界．。
微分中值定理的证明题660
微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。
证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。
2.设，证明：，使得。
证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。
3.设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。
证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证4.设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是5.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。
辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．6.若在上可导，且当时有，且，证明：在内有且仅有一个点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件必存在一点，使得：即：，这与已知中矛盾假设不成立，即：在内仅有一个根，综上所述：在内有且仅有一个点，使得7.设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1。
试证至少存在一个(0，1)，使=1。
分析：=1=1=x=0令()=证明：令F()=()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，(1)=()=由介值定理可知，一个(，1)，使()=0又(0)=0=0对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使=0即=18.设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。
微分中值定理及其证明及应用
定理及其证明费马定理：设)(f x 在c 的某邻域）（δδ+-c c ,内有定义，而且在这个领域上有)()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('=f ．证明：因为假设)c ('f 存在，由定义可得左导数)('-x f 和右导数)(f 'c +均存在且满足：)(f )()('''-c c f c f ==+当c x <时，0)()(≥--c x c f x f ，所以0)(f )(lim )(f '≥--=-→c x c x f c c x当c >x 时，0)()(≤--c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≤--=+→c x c x f c cx 所以0)c ('=f以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('=f ．证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('=f ．拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使ab a f --=)(f )b ()(f 'ξ．证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (ab a f x ---=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且()a ab b a bf ϕϕ=--=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )(''=---=ab a f ξξϕ．即()ab a f --=)(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使()()()()ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =--． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()()()()a g a g b a f x F ----=x g g )(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有()()()()()()()x R x n f x f f f x n nn +++++=!0...!20x 00f 2'''．其中()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f -------+=!...!2t 2'''ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----------⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=-+11n 2'''''2''''''''!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ化简后有()()()()n 1n '!-t x n t f t -=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +-=n t x ψ．对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =--x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ-=+!-1n '，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()nx ξξψ-+=1n -'，代入上式，即得()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．定理证明完毕．这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +-++-+-+=0200''00'0!...!2f ．其中()()()()()101n !1++-+=n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。
中值定理证明练习题
中值定理证明练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间内存在一个点，该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。
在本文中，我将给出中值定理的证明练习题，帮助读者更好地理解和掌握这个定理的应用。
题目一证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f(a) ≠ f(b)，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。
解答：根据中值定理的条件，我们可以先定义一个新的函数g(x)，使得g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (x - a)。
这里，我们先把中值定理的结论作为一个已知条件，然后通过构造g(x)来证明中值定理。
因为根据题目中的条件，f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，所以函数g(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
首先，计算g(a)和g(b)：g(a) = f(a) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (a - a) = f(a)g(b) = f(b) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)由于f(a) ≠ f(b)，所以g(a) ≠ g(b)。
接下来，我们利用罗尔定理（Rolle's theorem）来证明函数g(x)在区间[a, b]上存在一个点x0，使得g'(x0) = 0。
根据罗尔定理，在区间[a, b]上，如果函数g(x)在(a, b)内可导，且满足g(a) = g(b)，则必定存在一个点x0 ∈ (a, b)，使得g'(x0) = 0。
因为g(a) ≠ g(b)，所以我们可以得出结论：函数g(x)在区间[a, b]上必有一个点x0，使得g'(x0) = 0。
中值定理证明题
即 e k f ( ) e k kf ( ) 0 由于e k 0, f ( ) kf ( ) 0 f ( ) 即 k. f ( )
F ( x )在[0,1]上 用罗尔定理, (0 , 1) , 使 F ( ) f ( ) 2 f ( ) 0
即有
例6. 设函数f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 : 至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2 [ f (1) f (0)]. 证法1: 分析 欲证上式成立，只须证 f ( x ) x f (1) f ( 0) f ( ) 2 1 0 2 ( x )
f ( x ) x [ f (1) f (0)]
2
2
0
x
记 F ( x ) f ( x ) x [ f (1) f (0)] F ( x ) 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且F (0) f (0) F (1) , 由罗尔中值定理, 至少存在一点 (0,1) , 使得 F ( ) 0. f ( ) 2 [ f (1) f (0)]. 即
例 证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2 证 设 f (x x , x [1,1] 0) arcsin x 0 arccos 0 1 1 f ( x ) ( ) 0. 由推论 2 2 1 x 1 x f ( x ) C , x [1,1] 又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即 C . arcsin x arccos x . 2 2 说明 欲证 x I , f ( x ) c 只需证在 I 上 f ( x ) 0 且 x0 I , 使 f ( x0 ) C
中值定理等式证明题型题法大全收藏版
1 。 3
f ¢ (x ) = f (x ) 。
【解】构造辅助函数 F ( x ) = e - x f ( x ) Þ F ¢ ( x ) = e - x é ë f ¢ ( x ) - f ( x )ù û
-1 F ¢ (1) = e-1 é ë f ¢ (1) - f (1) ù û = -e f (1) = - F (1) ，下面只要证明 F ¢ ( x ) 在 ( 0, 1) 内有零点。
é 1ù 积分中值定理 é ® f (h ) + f (1 - h ) = 0，h Î ê0, ú ë f ( x ) + f (1 - x ) ù û dx = 0 ¾¾¾¾¾ ë 2û
设 F ( x ) = f ( x ) + f (1 - x ) Þ F ( 0 ) = F (h ) = 0 ，根据罗尔定理 存在 x Î ( 0, 1) ，使得 F ¢ ( x ) = 0 Û f ¢ (1 - x ) = f ¢ ( x ) 。 11．设 f ( x ) ， g ( x ) 在 [1, 3] 上连续，在 (1， 3) 上可导，且 f (1) = 2, f ( 2 ) = 1, f ( 3) = 3 ，求证：存在
3
f ¢ (x ) = 10 。 f ¢ (h )
f ( 3) - f (1) f ¢ (h ) f ¢ (h ) 1 4 x ，利用柯西中值定理： = Þ f ( 3) - f (1) = 20 3 3 1 4 1 4 4 h h ´ 3 - ´1 4 4
f ¢ (h )
Þ f ( 3) - f (1) = 2 f ¢ (x ) = 20
假设 F ¢ ( x ) > 0 Þ F ¢ (1) ³ 0, F (1) > F ( 0 ) = f ( 0 ) = 0, F ¢ (1) = - F (1) < 0 ，矛盾；
微分中值定理题型
()
（凸的）
鉴定法则3
设f '( x), x I , 若x1, x2 I ( x1 x2 )有
f
(
x2
) (
f )
( x1 )
f
'( x1 )( x2
x1 )
f ( x) 在I上的图形是严格凸的;
（凸的）
(3) 拐点旳定义及鉴定法
拐点 — 连续曲线上有切线旳凹凸分界点
设 f ( x0 )，点x0 , f ( x0 )是曲线 y f ( x)的拐点的
中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要 注意合适放大或缩小旳技巧.
1. 研究函数旳性态:
导数旳应用
增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 . 2. 处理最值问题
f (1), f ( x) 1,证明 : f ( x) 1 ( x [0,1]) 2
证 设 x0 [0,1], 在 x0 处把 f ( x) 展成一阶泰勒公式 ,有
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0
)
1 2
f ( )( x
x0 )2
令 x 0, x 1,则有
f (0)
(1
)
f
(
x2
)
则称f为I上的凸函数； 凹
若x1 x2 I， (0,1)有
f
x1
(1
) x2
f
(
x1 )
(1
)
f
(
x2
)
则称f 为I上的严格凸函数；严格凹
微分中值定理有关证明
☆例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f .试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故M f f f m ≤++≤)]2()1()0([31. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得1)]2()1()0([31)(=++=f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ使得()0f ξ'=。
☆例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且⎰=132)0()(3f dx x f求证：存在)1,0(∈ξ使0)('=ξf证：由积分中值定理可知，存在2[,1]3c ∈，使得⎰-=132)321)(()(c f dx x f得到 ⎰==132)0()(3)(f dx x f c f对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在)1,0(),0(⊂∈c ξ，使()0f ξ'=☆例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有⎰-=k x dx x f xe k f 11)()1(，求证存在)1,0(∈ξ使1()(1)()f f ξξξ-'=-证：由积分中值定理可知存在1[0,]c k∈使得)01)(()(1101-=--⎰k c f ce dx x f xe ck x令)()(1x f xex F x-=，可知)1()1(f F =这样1110(1)(1)()()()x c k F f kxe f x dx ce f c F c --====⎰，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理（三个条件都满足）存在)1,0()1,(⊂∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()xx x F x ef x xe f x xe f x ---''=-+∴ 11()[()(1)()]0F ef f ξξξξξξ-''=--=又01≠-ξξe，则1()(1)()f f ξξξ'=-在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(x f 用罗尔定理，否则结论只是()0f ξ'=，而且条件也不满足。
(整理)微分中值定理的证明题74625
微分中值定理的证明题1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ∀∈，(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=。
证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ∃∈（，使()0F ξ'=即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。
2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ∃∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。
证：将上等式变形得：1111111111(1)()b ae e e b a b aξξ-=--作辅助函数1()xf x xe =，则()f x 在11[,]b a 上连续，在11(,)b a内可导，由拉格朗日定理得：11()()1()11f f b a f b aξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 11111(1)11b ae eba eb a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即：ae (1)(,)b e be e a b ξξ-=- (,)a b ξ∈。
3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。
证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ∃∈，使得0()0F x '=又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈⊂(0,1)，即证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明：(1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ．(2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.【分析】)(x f 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。
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微分中值定理的证明题74625微分中值定理的证明题1.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»上可导，«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»使得：«Skip Record If...»。
证：构造函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»，由罗尔中值定理知：«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»。
2.设«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»。
证：将上等式变形得：«Skip Record If...»作辅助函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，由拉格朗日定理得：«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»，即 «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...» «Skip Record If...»。
3.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内有二阶导数，且«SkipRecord If...»，有«Skip Record If...»证明：在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使得：«Skip Record If...»。
证：显然«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，又«Skip Record If...»，故由罗尔定理知：«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»又«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足罗尔定理条件，故存在«Skip Record If...»，使得：«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即证4.设函数«Skip Record If...»在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，«SkipRecord If...»，«Skip Record If...».证明：(1)在(0,1)内存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．(2) 在(0,1)内存在两个不同的点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令«Skip Record If...»，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».（II）在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»5.设«Skip Record If...»在[0，2a]上连续，«Skip Record If...»，证明在[0,a]上存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».【分析】«Skip Record If...»在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。
辅助函数可如下得到«Skip Record If...»【证明】令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．«Skip Record If...»在[0,a]上连续，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，取«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，由根的存在性定理知存在«Skip Record If...»使得，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．6.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，且当«SkipRecord If...»时有«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，证明：在«Skip Record If...»内有且仅有一个点«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»证明：存在性构造辅助函数«Skip Record If...»则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»由零点定理可知：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»唯一性：（反证法）假设有两个点«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续且可导，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足Rolle定理条件«Skip Record If...»必存在一点«Skip Record If...»，使得：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»，这与已知中«Skip Record If...»矛盾«Skip Record If...»假设不成立，即：«Skip Record If...»在«Skip Re cord If...»内仅有一个根，综上所述：在«Skip Record If...»内有且仅有一个点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»7.设«Skip Record If...»在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且«SkipRe cord If...»=«Skip Record If...»=0，«Skip Record If...»=1。