最新微分中值定理的证明题74625

微分中值定理的证明

题74625

微分中值定理的证明题

1.若?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，在?Skip Record If...?上可

导，?Skip Record If...?，证明：?Skip Record If...?，?Skip Record If...?使

得：?Skip Record If...?。

证：构造函数?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，在?Skip Record If...?内可导，

且?Skip Record If...?，由罗尔中值定理知：?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?

即：?Skip Record If...?，而?Skip Record If...?，故?Skip Record If...?。

2.设?Skip Record If...?，证明：?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?。

证：将上等式变形得：?Skip Record If...?

作辅助函数?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，在?Skip Record If...?内可导，

由拉格朗日定理得：

?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?，

即 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?，

即：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?。

3.设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内有二阶导数，且?Skip

Record If...?，有?Skip Record If...?证明：在?Skip Record If...?内至少存在一点?Skip Record If...?，使得：?Skip Record If...?。

证：显然?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，在?Skip Record If...?内可导，又?Skip Record If...?，故由罗尔定理知：?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?

又?Skip Record If...?，故?Skip Record If...?，于是?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足罗尔定理条件，故存在?Skip Record If...?，使得：?Skip Record If...?，而?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?，即证4.设函数?Skip Record If...?在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，?Skip

Record If...?，?Skip Record If...?.证明：

(1)在(0,1)内存在?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．

(2) 在(0,1)内存在两个不同的点?Skip Record If...?，?Skip Record If...?

【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.

【证明】（I）令?Skip Record If...?，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,

F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在?Skip Record If...?使得?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?.

（II）在?Skip Record If...?和?Skip Record If...?上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?，?Skip Record If...?

于是 ?Skip Record If...?

5.设?Skip Record If...?在[0，2a]上连续，?Skip Record If...?，证明

在[0,a]上存在?Skip Record If...?使得

?Skip Record If...?.

【分析】?Skip Record If...?在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到

?Skip Record If...?

【证明】令?Skip Record If...?，?Skip Record If...?．?Skip Record If...?在[0,a]上连续，且

?Skip Record If...?

当?Skip Record If...?时，取?Skip Record If...?，即有?Skip Record If...?；

当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，由根的存在性定理知存在?Skip Record If...?使得，?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．

6.若?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上可导，且当?Skip

Record If...?时有?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，证明：在?Skip Record If...?内有且仅有一个点?Skip Record If...?使得?Skip Record If...?

证明：存在性

构造辅助函数?Skip Record If...?

则?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，且有?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，

?Skip Record If...?由零点定理可知：?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内至少存在一点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?，即：?Skip Record If...?

唯一性：（反证法）

假设有两个点?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续且可导，且?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足Rolle定理条件

?Skip Record If...?必存在一点?Skip Record If...?，使得：?Skip Record If...?

即：?Skip Record If...?，这与已知中?Skip Record If...?矛盾

?Skip Record If...?假设不成立，即：?Skip Record If...?在?Skip Re cord If...?内仅有一个根，

综上所述：在?Skip Record If...?内有且仅有一个点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?

7.设?Skip Record If...?在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且?Skip

Re cord If...?=?Skip Record If...?=0，?Skip Record If...?=1。试证

至少存在一个?Skip Record If...?(0，1)，使?Skip Record If...?=1。

分析：?Skip Record If...?=1?Skip Record If...??Skip Record If...?=1?Skip Record If...??Skip Record If...?=x?Skip Record

If...??Skip Record If...?=0 令?Skip Record If...?(?Skip Record

If...?)= ?Skip Record If...?

证明：令 F(?Skip Record If...?)= ?Skip Record If...?

?Skip Record If...?(?Skip Record If...?)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，

?Skip Record If...?(1)= ?Skip Record If...?

?Skip Record If...?(?Skip Record If...?)= ?Skip Record If...?

由介值定理可知，?Skip Record If...?一个?Skip Record If...?(?Skip Record If...?，1)，使

?Skip Record If...?(?Skip Record If...?)=0 又?Skip Record If...?(0)=?Skip Record If...?0=0

对?Skip Record If...?(?Skip Record If...?)在[0，1]上用Rolle定理，?Skip Record If...?一个?Skip Record If...?(0，?Skip Record If...?)?Skip Record If...?(0，1)使

?Skip Record If...?=0 即?Skip Record If...?=1

8.设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，在?Skip Record

If...?内可导，且?Skip Record If...?试证存在?Skip Record If...?和

?Skip Record If...?.满足?Skip Record If...?，使?Skip Record

If...?。

证由拉格朗日中值定理知，

?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...?

9.设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,?Skip Record If...?内可导

?Skip Record If...??Skip Record If...?

证明: ?Skip Record If...?使得

?Skip Record If...? (1)

证: (用?Skip Record If...?乘于(1)式两端,知)(1)式等价于

?Skip Record If...? (2)

为证此式,只要取?Skip Record If...?取?Skip Record If...?和?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上分别应用Cauchy中值定理,则知

?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?.

10.已知函数?Skip Record If...?在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，?Skip

Record If...?，证明存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?

解：利用柯西中值定理?Skip Record If...?

而?Skip Record If...?则

?Skip Record If...?（后面略）

11.设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?时连续，?Skip Record If...?，当

?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，则在?Skip Record If...?内?Skip Record If...?有唯一的实根

解：因为?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上单调增加

?Skip Record If...?（中值定理）

而?Skip Record If...?故在?Skip Record If...?内?Skip Record If...?有唯一的实根12.试问如下推论过程是否正确。对函数?Skip Record If...?在?Skip Record

If...?上应用拉格朗日中值定理得：

?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

即：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

因?Skip Record If...?，故当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，由?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

得：?Skip Record If...??Skip Record If...?，即?Skip Record If...?解：我们已经知道，?Skip Record If...?不存在，故以上推理过程错误。

首先应注意：上面应用拉格朗日中值的?Skip Record If...?是个中值点，是由?Skip Record If...?和区间?Skip Record If...?的

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理

微分中值定理班级：姓名：学号：

摘要微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使

()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ．此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。