初等变换与逆矩阵的初等变换求法
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
§3.2 初等矩阵与逆矩阵的求法
6 5 4
B 6 5 4
r1 r2
1 2 3
7 8 9
7 8 9
6 5 2
c3 (1)c1
1
2
2
A.
7 8 2
23
定理2 方阵A可逆的充分必要条件是A可 经过一系列初等行变换化为单位矩阵E. 证明： 充分性
( A , E) 初等行变换 (E , A1).
例设
1 2 3
A
2
2
1
,
3 4 3
求A－1.
30
解 AE
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0
r2 2r1 r3 3r1
r1 r2 r3 r2
0 0
2 0
5 1
1 1
9 3
35
1 0 0 3 2
r1 2r3 r2 5r3
0 0
2 0
0 1
4 1
6 3
1 0 0 3 2
r2 (2) r3 (1)
xn
bs
b1
b2
bs
则线性方程组可表示为 AX
3
如何解线性方程组？
可以用高斯消元法求解. 始终把方程组看作一个整体变形， 用到如下三种变换：
(1) 交换两个方程的次序； (2) 以不等于0的数乘以某个方程； (3) 一个方程加上另一个方程的k倍．
线性代数2_6初等变换与逆矩阵的初等变换求法 - 副本
a22
a23
a24
0
0 1 a31
a32
a33
a34
a31
a32
a33
a34
1 0 0 0
AE(1,3(2))=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
0 2 0
10 0
0 0
1001
A E 行变换 E A-1
即若 Pm Pm-1 P2P1 A = E ,则 Pm Pm-1 L P2 P1 = A-1, 而 Pm Pm-1 P2 P1 = A-1 ,即 Pm Pm-1 L P2 P1E = A-1,
就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成
《线性代数》
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结束
推论 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等 矩阵的乘积.
证 （必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换 可化为单位阵E , 即存在初等矩阵 F1 ,F2 , ,Fs 使 E = Fs F2F1A
A = F1-1F2-1 L
Fs--11Fs-1E = F1-1F2-1 L
0 1 02003 1 2 3 0 0 1 2004 4 5 6
1
0
0
4
5
6
0
1
0
=
1
2
3
0 0 1 7 8 9 1 0 0
7 8 9
《线性代数》
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逆矩阵及初等变换
先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0， 即 矩阵A是可逆的
则有下列公式： 则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换， 即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
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例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
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例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0， 可逆。 经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵 的伴随阵
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由定理1和定理2可得：矩阵 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵 否则称为非 奇异方阵， 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。 奇异阵。 推论 ），则 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 （ ），
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
对调I的两行
对调I的两列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行 （或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
返回
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
1.7（2）（5）
1.10
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍.
3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
1 2
r2
12 r3
1 0
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
即： 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。 引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明 不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 , , Pt
使 Pt Pt1 P1A E ，即 Pt Pt1 P1E EA1 。于是
Pt Pt1 Pt Pt1
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 Et 1。 若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆
转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另 一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆 矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元 素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操 作，如交换两行、将某一行乘以非零 常数或加到另一行等，使得矩阵变为 另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的 应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、 判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的 对角线元素不变，非对角线元素互换。
初等矩阵与逆矩阵的求法
阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有 限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡 次初等行变换化为单位阵E.
等 矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳 左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳 右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.
矩阵的初等变换与逆矩阵的求法汇总
定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个 方程组，则新方程组与原方程组同解。
此性质在矩阵中如何体现呢？
2.1.2 矩阵的初等变换
1
12r2
0
1 1
1 1
2
0
1
2
0 3 3 2
0 3 3 2
1 0
1 2
1
2
r1 r2 r3 3r2
0
0
1 0
1 2
3
1
2
7
2 2
1
23 r3
0
0 1
2x2 x3 1
2x1 x2 x3 2
解 将矩阵的增广矩阵作行初等变换
1 1 1 0
1 1 1 0
0
2
1
1
r3 2r1 0
2
1
1
2 1 1 2
0 3 3 2
1 1 1 0 2 1
0 1
1
O
1
Rijຫໍສະໝຸດ ()Cij
(
)
MO
L 1
O
1
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一 类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？
逆矩阵求解方法及matlab应用
逆矩阵求解方法及matlab应用矩阵是线性代数中的基本概念，它广泛应用于各个领域中。
在实际应用中，矩阵求解是一项非常重要的工作，而逆矩阵是矩阵求解中的一个重要概念。
本文将介绍逆矩阵的概念、求解方法以及在matlab 中的应用。
一、逆矩阵的概念逆矩阵是矩阵求解中的一个重要概念，它是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它就是可逆矩阵，否则就是不可逆矩阵。
二、逆矩阵的求解方法1.初等变换法初等变换法是求解逆矩阵的一种基本方法，它是通过对矩阵进行初等行变换或初等列变换，得到一个单位矩阵，然后将这些变换逆序执行，就可以得到原矩阵的逆矩阵。
以3阶方阵为例，假设原矩阵为A，逆矩阵为B：（1）将A的行列式化为1对A进行初等行变换，将第一行除以A的行列式，得到：（2）将A的第一列化为单位矩阵对A进行初等列变换，将第一列变为单位矩阵，得到：（3）将A的第二列和第三列化为0对A进行初等列变换，将第二列和第三列分别变为0，得到：（4）将A的第二行和第三行化为单位矩阵对A进行初等行变换，将第二行和第三行分别变为单位矩阵，得到：（5）将A的第一列变为0对A进行初等列变换，将第一列变为0，得到：（6）将A的第一行变为0对A进行初等行变换，将第一行变为0，得到：最终得到的矩阵就是逆矩阵B。
2.伴随矩阵法伴随矩阵法是求解逆矩阵的另一种方法，它通过求解伴随矩阵和行列式，得到逆矩阵。
以3阶方阵为例，假设原矩阵为A，逆矩阵为B：（1）求解伴随矩阵首先求解A的伴随矩阵Adj(A)：（2）求解行列式然后求解A的行列式det(A)：（3）求解逆矩阵最后，将伴随矩阵的每个元素除以行列式，得到逆矩阵B：三、matlab中逆矩阵的应用在matlab中，可以使用inv函数来求解逆矩阵。
inv函数的语法格式为：B = inv(A)其中A为原矩阵，B为逆矩阵。
例如，如果要求解以下3阶方阵的逆矩阵：则可以使用以下代码：A = [1 2 3; 2 5 6; 3 6 9];B = inv(A)运行结果为：B =-3.0000 2.0000 -0.00002.0000 -1.0000 1.0000-0.0000 1.0000 -0.0000可以看到，matlab计算得到的逆矩阵与手工计算得到的逆矩阵相同。
矩阵的初等变换与逆矩阵
取 定 k 行 k 列 [ k m in ( m , n )]， 则 位 于 这 k 行 和 k列 交 点 上 的 元 素 , 按 原 顺 序 可 构 成 一 个 k阶 行 列 式 ， 称 这 个 k阶 行 列 式 为 矩 阵 A 的 一 个 k 阶 子 式.
k k 注 ： n 矩 阵 A 的 k 阶 子 式 共 有 C m C n个 . m
（ k c i ：数k乘第i列， 0 ） k
（3）将矩阵的某一列乘以数k后加到另一列， （ c i k c j ：第j列的k倍加到第i列上）
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
当矩阵A经过的初等变换变成矩阵B时，记 作 A B. 注：这是矩阵的演变，A与B一般不相等.
0 例1 利用初等行变换将矩阵 A 1 2 化为单位矩阵. 1 3 0 0 0 0 1
3 2 0
2 1 1
2 3 ，求该矩阵的秩． 5
解
1 0 2
0.
1 0
3 2
2 0,
1 2 3 2 0 2
计算A的3阶子式，
3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 0, 5
3 2 0
2
, 1 00
0 3 2, 1
3 00 , 5
3 例4 3 设 A 2 1 秩． 2 2 0 6 0 3 1 4 5 6 5 1 0 1 ,求矩阵 A的 3 4
1 A 1 0
2 1 3
3 1 , 5
2 B 1 1
1 1 5
1 3 . 11
注： ① 上述方法中只能用初等行变换，不能
用初等列变换. ② 初等行变换过程中若发现虚线左边某 一行的元素全为零时，说明矩阵不可逆.
逆矩阵的计算初等变换法
如果A ，那么A的逆矩阵A1应当使
A1 ．
用一系列的矩阵逐渐把矩阵A变成单位矩阵，就可素为0．
取E2 ，那么
所得矩阵的右上角元素为0．
取E3 ，那么
因此，E3E2E1AE，而A1AE，所以
矩阵A 将单位正方形OABC变为四边形OA'B'C'（图1），则A1应该把OA'B'C'变回到OABC．
E3 ，它把OAPQ变为OABC，重新得到正方形（图4）．
图4
E3是伸压变换，沿y轴方向，把OAPQ往x轴上压缩 ，得到正方形OABC．
图1
下面我们将看到，用初等变换（反射、伸压、切变）怎样将OA'B'C'逐步变回到OABC．
E1 ，它把OA'B'C'变为OXYZ（图2）．
图2
E1是切变矩阵，它把OA'B'C'往Ox轴上作切变，使OX与OA重合．
E2 ，它把OXYZ变为OAPQ（图3）．
图3
E2是切变矩阵，它把OXYZ往Oy轴上作切变．
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。
利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。
2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。
如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。
同时，用右乘上式两端，得到（2）式。
比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。
这种方法在实际应用中比较简单。
3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。
利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。
4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。
例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。
需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。
线性代数3.2初等矩阵和求逆矩阵的初等变换法-文档资料
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。 若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A
a in
a m n
第 i行 第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用1. 前言在矩阵运算中，逆矩阵是一个重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵是指，如果一个矩阵A乘上它的逆矩阵A^-1等于单位矩阵I，那么A就有逆矩阵。
逆矩阵经常用于解线性方程组、计算行列式和计算矩阵的特征值等方面。
本文将介绍逆矩阵的求法和逆矩阵的应用。
2. 求逆矩阵的方法要求一个矩阵的逆矩阵，需要满足两个条件：该矩阵是方阵且它的行列式不等于零。
下面介绍两种求逆矩阵的方法。
2.1. 初等变换法采用初等变换法求逆矩阵，需要构造一个n阶矩阵[AB]，其中A 为待求矩阵，B为单位矩阵，即：[AB]=[A I_n]然后，对矩阵[AB]进行初等行变换，一直到[AB]变为[IBA']的形式，其中A'为A的逆矩阵。
由于[AB]=[A I_n]，所以[IBA']=[I_n A^-1]，即A的逆矩阵就构造出来了。
2.2. 公式法另一种求逆矩阵的方法是采用公式法。
设A为一个n阶矩阵，若它的行列式为D，那么它的伴随矩阵记为adj(A)，则逆矩阵为A^-1=(1/D)adj(A)。
其中，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵，它的第i行第j列元素A_ij的代数余子式与(-1)^(i+j)的乘积。
3. 逆矩阵的应用逆矩阵在数学中有多种应用，这里只介绍几个典型的应用。
3.1. 解线性方程组逆矩阵可以用于求解线性方程组，解法如下：假设有n个未知数，n个方程，可将方程组表示为AX=B的形式，其中X为未知数向量，B为常数向量，A为系数矩阵。
如果系数矩阵A有逆矩阵，那么可以将方程组A^-1AX=A^-1B简化为X=A^-1B，即可求得未知数向量X。
3.2. 计算行列式和矩阵的特征值逆矩阵还可以用于计算行列式和矩阵的特征值。
设A为n阶方阵，它的逆矩阵为A^-1，则有：det(A)=det(A^-1)^-1λ是A的特征值，那么A的逆矩阵的特征值就是λ^-1。
3.3. 计算数据的逆矩阵逆矩阵也可以用于计算数据的逆矩阵。
初等行变换法求逆矩阵原理
初等行变换法求逆矩阵原理对于一个n阶矩阵A，若存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=In，其中In为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1矩阵求逆的初等行变换法是通过一系列初等行变换将原矩阵化为对角矩阵，然后对角矩阵的对角线上的元素取倒数即可求得原矩阵的逆矩阵。
1.交换两行的位置；2.用一个非零常数乘其中一行的所有元素；3.用一个非零常数乘其中一行的所有元素之和加到另一行对应位置的元素上。
下面我们以一个2阶矩阵为例进行逆矩阵的求解过程。
设A为一个2阶矩阵：A=[ab;cd]，要求逆矩阵A^-1=[xy;zw]。
首先，将A和单位矩阵I并排写成[A，I]=[ab，10;cd，01]。
然后，通过一系列初等行变换将[A，I]化为对角矩阵[DI，B]，其中DI为对角线上的元素均为1的对角矩阵。
具体的操作过程如下：1. 将R2乘以-a，然后加到R1上，得到新的第1行和第2行：[a b，1 0; 0 d-ac，-a 1]；2. 将R1乘以1/(a(d-ac))，得到新的第1行：[1 b/a，1/(ad-ac)-a/(ad-ac); 0 d-ac，-a 1]；3. 将R2乘以1/(d-ac)，得到新的第2行：[1 b/a，1/(ad-ac) -a/(ad-ac); 0 1，(-a)/(ad-ac) 1/(ad-ac)]；4. 将R1乘以-a/(ad-ac)，然后加到R2上，得到新的第2行：[1 b/a，1/(ad-ac) 0; 0 1，1/(ad-ac) 1/(ad-ac)]。
至此，矩阵[A，I]已经变为[DI，B]的形式，其中DI为对角线上的元素均为1的对角矩阵，B为矩阵[A，I]经过一系列初等行变换得到的新矩阵。
继续求解[DI，B]的逆矩阵，将[DI，B]进行最后一步的行变换：将R2乘以1/(ad-ac)，得到新的第2行：[1 b/a，1/(ad-ac) 0; 0 1，1/(ad-ac) 0]。
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1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
c3+c1
———→
1 5 1 −2 3 8 1 −9
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0 −1 2 3 2 1 4 7
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6.2 初等矩阵 定义2 定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵） 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个 阶初等矩阵 阶初等矩阵： 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14 a31 a32 a33 a34
0 1 0 0 a11 a12 a13 a14 1 0 0 0 AE(1, 2)= a21 a22 a23 a24 = a a a a 0 0 1 0 31 32 33 34 0 0 0 1
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
r2↔r4
———→
1 5 −1 −1 1 −9 3 7 3 8 −1 1 1 −2 1 3
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 交换第i列与第j列记为ci↔cj . 例如
结束
0 0 c2+kc4 ———→ 0 1
返回
定理1 是一个m× 矩阵 矩阵， 施行一次初等行变换相当于在A 定理 设A是一个 ×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在 是一个 施行一次初等行变换相当于在 的左边乘以相应的m阶初等矩阵 阶初等矩阵； 施行一次初等列变换相当于在A 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在 施行一次初等列变换相当于在 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 的右边乘以相应的 阶初等矩阵
1 0 E= 0 0 1 0 E= 0 0
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0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
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r2+kr4
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1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 k
0 0 1 0 0 0 1 0
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0 k =E = r(2,4(k)) 0 1 0 0 =Ec(2,4(k)) 0 1
1 0 = E= 0 0 1 0 E= 0 0
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0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
4 r3
———→
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 4 0 0 0 4 0
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0 0 =E(3(4)) = 0 1 0 0 =E(3(4)) 0 1
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a12 a11 a13 a14 a22 a21 a23 a24
a32 a31 a33 a34
与交换A的第一行 列 与第二行 与第二行(列 所得结果相同 所得结果相同. 与交换 的第一行(列)与第二行 列)所得结果相同 的第一行
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定理1 是一个m× 矩阵 矩阵， 施行一次初等行变换相当于在A 定理 设A是一个 ×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在 是一个 施行一次初等行变换相当于在 的左边乘以相应的m阶初等矩阵 阶初等矩阵； 施行一次初等列变换相当于在A 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在 施行一次初等列变换相当于在 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 的右边乘以相应的 阶初等矩阵
1 0 = E= 0 0 1 0 E= 0 0
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0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
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1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
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0 1 =E(2, 4) = 0 0 0 1 =E(2, 4) 0 0
第6节 初等变换与逆矩阵的初等变换求法
一、初等变换 二、初等矩阵 初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性 三、求逆矩阵的初等行变换法
注意： 注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记. 节与教材内容及次序有所不同,请作笔记.
Байду номын сангаас
《线性代数》
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 交换第i行与第 行记为 i↔rj . 交换第 行与第j行记为 行与第 行记为r 例如
a11 a12 a13 a14 例如，设 例如 设 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 0 1 0 a11 a12 a13 a14 E(1, 2)A= 1 0 0 a21 a22 a23 a24 = 0 0 1 a a a a 31 32 33 34
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
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r3−3r1
———→
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 0 −7 2 4 1 −9 3 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
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0 0 c2↔c4 ———→ 0 1
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6.2 初等矩阵 定义2 定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵） 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个 阶初等矩阵 阶初等矩阵： 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
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《线性代数》
4c3
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1 5 −4 −1 1 −2 4 3 3 8 −4 1 1 −9 12 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
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初等矩阵的可逆性
初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵. 这是因为，初等矩阵的行列式要么为 要么为 要么为k(k≠0) . 要么为-1,要么为 这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为 要么为 其逆阵分别为: 其逆阵分别为
E(i, j)−1=E(i, j)； E(i(k))−1=E(i(k−1))； E(j,i(k))−1=E(j,i(−k)) .
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6.3 求逆矩阵的初等变换方法
阶矩阵A可逆 初等行变换将 化为单位矩阵 化为单位矩阵. 定理2 阶矩阵 可逆，则可以通过初等行变换 定理 若n阶矩阵 可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵. 因为A可逆 可逆,即 的第一列不全为0,不妨设 证： 因为 可逆 即|A|≠0，所以 的第一列不全为 不妨设 11 ≠ 0. ，所以A的第一列不全为 不妨设a . 的第一行元素乘以1/a 再将变换后的第一行的 再将变换后的第一行的(-a 倍加到第 倍加到第i行 将A的第一行元素乘以 11 ,再将变换后的第一行的 i1)倍加到第 行， 的第一行元素乘以 i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1: 使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵 使第一列其他元素全化为零
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 用数k乘以第i列记为kci . 例如