算法学习：图论之图的割点,桥,双连通分支

图的割点、桥与双连通分支

[点连通度与边连通度]

在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。一个图的点连通度的定义为，最小割点集合中的顶点数。

类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。

注：以上定义的意思是，即有可能删除两个或两个以上点的时候才能形成多个连通块！

[双连通图、割点与桥]

如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的(point biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point)，又叫关节点(articulation point)。

如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的(edge biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge)，又叫关节边(articulation edge)。

可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。

[双连通分支]

在图G的所有子图G’中，如果G’是双连通的，则称G’为双连通子图。如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集，则G’为极大双连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支又叫做块。

[求割点与桥]

该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。根据定义，则有：

Low(u)=Min

{

DFS(u)

DFS(v) (u,v)为后向边(返祖边) 等价于 DFS(v)

}

一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)

(1) u为树根，且u有多于一个子树。（很关键，根节点要特殊处理）

(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFS(u)<=Low(v)。

一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFS(u)

下面要分开讨论点双连通分支与边双连通分支的求法。

对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边 (u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。

对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。

[构造双连通图]

一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。

统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

[图的双连通性问题例题]

备用交换机

求图的割点，直接输出。

pku 3177(3352) Redundant Paths

求桥，收缩边双连通子图，构造边双连通图。

POI 1999 仓库管理员 Store-keeper

求点双连通子图。

POJ 3352

题目大意：给定一个双向连通的公路网，当某些公路路段检修的时候可能会由于该段公路不通，可能会使某些旅游点之间无法通行，求至少新建多少条公路，使得任意对一段公路进行检修的时候，所有的旅游景点之间仍然畅通；

分析：检修某一路段导致公路网不畅通的原因必然是该段公路在图中是桥（割边），因此完全畅通的方法就是，加最若干条边，使图中不存在桥。先找出图中所有的双连通分量，将双连通分量进行缩点，得到一个树形图，求出这个树形图中度为1的点的个数，新加边的条数即是（度为1的点数目+1）/2，考虑到题目只要求求度为1的点数目，因此可以部分缩点，利用并查集，保存每个割边的顶点，统计每个顶点在并查集中的代表元的度数即可。

Sample 1中存在4个双连通分量：{1}，{2，5，6}，{3，7，8}，{4，9，10}，进行缩点之后，求得一个4个节点的树形图，其中一个点的度数为3，其余3个点的度数为1，得到需要加的边的数目为(3+1)/2=2。

#include

#include

using namespace std;

const int MAXN = 5001;

vector< vector > adj;

int cnt,low[MAXN],pre[MAXN],visit[MAXN],degree[MAXN];

void dfs(int u,int v){

visit[u]=1;

pre[u]=cnt++,low[u]=pre[u];

int i,len=adj[u].size();

for(i=0;i

if(adj[u][i]==v) continue;

if(!visit[adj[u][i]]) dfs(adj[u][i],u);

if(low[adj[u][i]]

}

visit[u]=2;

}

int main(){

int i,j,u,v,n,m,len,ans;

scanf("%d %d",&n,&m);

adj.assign(n+1,vector());

while(m--){

scanf("%d %d",&u,&v);

adj[u].push_back(v),adj[v].push_back(u);

}

memset(visit,0,sizeof(visit));

cnt=0,dfs(1,1);

memset(degree,0,sizeof(degree));

for(i=1;i<=n;i++){

len=adj[i].size();

for(j=0;j

if(low[i]!=low[adj[i][j]])

degree[low[i]]++;

}

for(ans=i=0;i<=n;i++)

if(degree[i]==1) ans++;

printf("%d\n",(ans+1)/2);

return 0;

}

有向图强连通分量的Tarjan算法

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为

O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

?View Code CPP

Low(u)=Min

{

DFN(u),

Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点

DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)

}

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

?View Code CPP

tarjan(u)

{

DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值

Stack.push(u)// 将节点u压入栈中

for each (u, v) in E // 枚举每一条边if(v is not visted)// 如果节点v未被访问过

tarjan(v)// 继续向下找

Low[u]= min(Low[u], Low[v])

else if(v in S)// 如果节点v还在栈内

Low[u]= min(Low[u], DFN[v])

if(DFN[u]== Low[u])// 如果节点u 是强连通分量的根

repeat

v = S.pop// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

print v

until (u== v)

}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，

DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以

LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量

{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju 算法。Kosaraju 是基于对有向图及其逆图两次DFS 的方法，其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan 算法相比，Kosaraju 算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan 只用对原图进行一次DFS ，不用建立逆图，更简洁。 在实际的测试中，Tarjan 算法的运行效率也比Kosaraju 算法高30%左右。此外，该Tarjan 算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan 算法也有着很深的联系。学习该Tarjan 算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan 算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan 算法是以其发明者Robert Tarjan 命名的。Robert Tarjan 还发明了求双连通分量的Tarjan 算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan 算法，在此对Tarjan 表示崇高的敬意。

附：tarjan 算法的C++程序

?View Code CPP

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void tarjan (int i )

{

int j ;

DFN [i ]=LOW [i ]=++Dindex ;

instack [i ]=true ;

Stap [++Stop ]=i ;

for (edge *e =V [i ];e ;e =e ->next )

{

j =e ->t ; if (!DFN [j ]) { tarjan (j ); if (LOW [j ]

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39 } void solve () { int i ; Stop =Bcnt =Dindex =0; memset (DFN,0,sizeof (DFN )); for (i =1;i <=N ;i ++) if (!DFN [i ]) tarjan (i ); }

[参考资料]