概率论-第二十四讲--平面图

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作业： P280
习题8.5
3, 4, 7, 8
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五、图的着色
着色问题： 起源于地图的着色：一个地图中相邻国家着以不同颜 色，最少需要多少种颜色。1976年，美国数学家阿佩尔 (Appel)和黑肯(Haken)宣布：他们用计算机证明了只用四种 颜色就可以对地图进行着色，即“四色定理”。 有了对偶图的概念，对于地图的着色问题，可以归结为对于 平面图的结点的着色问题。 定义：图G的正常着色（简称着色）是指对它的每一个结点指定 一种颜色，使得没有两个相邻的结点有同一种颜色。如果图G 在着色时用了n种颜色，称G是n－着色的。对于图G着色时， 需要的最少颜色数称为G的着色数，记为χ(G)。 例：求χ(零图)，χ(Kn)，χ(二部图)是多少？ 解：χ(零图)=1，χ(Kn)=n，χ(二部图)=2。
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二、欧拉公式
a) v0 e
∵np+1= np+1； kp+1 = kp ∴np+1 –(p+1)+kp+1 = (np+1)-(p+1)+kp = np-p+kp ＝2
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二、欧拉公式
b) e
∵ np+1 = np ； kp+1 = kp +1 ∴np+1 –(p+1)+kp+1 = np-(p+1)+(kp +1) = np-p+kp ＝2
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三、库拉托夫斯基定理
定义3： 给定两个图G1和G2，如果它们是同构的，或者通过反 复插入或除去度数为2的结点后，使G1和G2同构，则称 该两图是在2度结点内同构的(或称同胚)。
若G1为平面图， G与G1同胚，则G也是平面图。
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三、库拉托夫斯基定理
库拉托夫斯基(Kuratowski)定理 定理6：一个图是平面图，当且仅当它不包含与K5或K3,3在2度 结点内同构的子图。 K5和K3,3常称为库拉托夫斯基图。
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二、欧拉公式
推论1： K5是非平面图。 证明： n＝5， m＝10， m≤3n-6 不成立， 因此， K5不是平面图。
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二、欧拉公式
定理5：设有一个连通简单平面图G，共有n个结点，m条边，若 每个面至少由4条边围成，则m≤2n-4。 证明：设图G的面数为k，因为每一面的次数不小于4，又各面的 次数之和为2m，因此，2m≥4k，即k≤m/2， 代入欧拉公式：
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一、平面图
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一、平面图
3
一、平面图
定义2：设G是一连通平面图，由图中的边所包围的区域，在区 域内既不包含图的结点，也不包含图的边，这样的区域 称为图的一个面。如果面的面积是有限的，称该面为有 限面，否则称为无限面。包围该面的诸边所构成的回路 称为这个面的边界。面的边界的回路长度称为该面的次 数，记为deg(r)。
8.5
一、平面图的概念
平面图
定义1:设G=<V,E>是一个无向图，若能把G展示在一个平面上 (所有结点和边画在一个平面上)，使得任何两条边除 了公共端点外没有其它的交点，就称G是一个平面图。 定理1： 无向图G 是平面图 iff G的每个连通分支都是平面图。 注意：有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不能就此 肯定它不是平面图。
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二、欧拉公式
c) e
∵np+1 = np ； kp+1 = kp +1 ∴ np+1 –(p+1)+kp+1 = np-(p+1)+(kp +1) = np-p+kp ＝2
综上可知，对任意有p+1条边的图，欧拉公式也成立。
源自文库
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二、欧拉公式
定理4：设有一个连通简单平面图G，共有n个结点，m条边， 若 n≥3，则m≤3n-6。 证明：设图G的面数为k。 因为每一面的次数大于等于3，而各面的次数之和为2m， 因此，3k≤2m， k≤2m/3，代入欧拉公式： ∵2＝n-m+k ∴ 2 ≤n-m+2m/3， 2≤n-m/3， 6≤3n-m， m≤3n-6 该定理可以用来判定某些图非平面图。
K5
K3,3
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三、库拉托夫斯基定理
例：验证彼得森图不是平面图。
1 2 5 7 9 8 10 9 3 6 4 3 5 7 8 10 7 8 6 1 2 4 2 3 1 4
可以找到一个与K3,3在2度结点内同构的子图。
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四、对偶图
定义4：将平面图G嵌入平面后,通过以下手续(简称D过程) (1)对图G的每个面Di的内部作一顶点且仅作一顶点vi*； (2)经过每两个面Di和Dj的每一共同边界ek作一条边
C B r1 r4 r2 r3 F r5 E 6个结点，9条边，5个面。 deg(r1)= 3，deg(r2)= 3， deg(r3)= 5， deg(r4)= 4，deg(r5)= 3， 各面的次数和为18，恰为边数的两倍。
A
D
定理2：一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍。
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二、欧拉公式
1750年欧拉发现任何一个凸多面体的顶点数n,棱数m 和面数k满足公式:
n–m + k = 2
可将它推广到平面图。 欧拉公式： 定理3：对任何连通的平面图G恒有n-m+k＝2。其中 n：顶点数， m：边数， k：面数。
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二、欧拉公式
欧拉公式：设有一个连通的平面图G，共有n个结点，m条边 和k个面，则欧拉公式n-m+k＝2成立。 证明：对m归纳： (1)当m＝0时，G为一个孤立结点， 则n=1,m=0,k=1，故n-m+k＝2成立； (2)当m=1时，则有两种情况， a）这条边是自回路，则n=1,m=1,k=2， n-m+k=2成立； b)这条边不是自回路，则n=2,m=1,k=1，n-m+k=2成立； (3)设对任意有p条边的图G欧拉公式成立，即np-p+kp＝2。 现考察m=p+1条边时情况： 只有三种情况：
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五、图的着色
1890年，希伍德证明了任何连通简单平面图都是可5-着色的。 引理：设G为一个至少具有三个结点的连通简单平面图，则G 中必存在结点u满足deg(u) ≤5。 证明： 假设G中所有结点的次数均大于等于6。 则2m=∑deg(vi) ≥6n ∴m ≥3n＞3n-6 这与“至少具有三个结点的连通简单平面图中m ≤ 3n-6”矛盾。 希伍德五色定理：任一连通简单平面图G=<V,E>都是可5-着色的。
(a)、(b)为同一平面图，但(a)中的对偶图有5度结点， (b)中的对偶图却没有。可见一个图的对偶图不是唯一的。
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四、对偶图
定义5：设G是无向图，满足下列条件的边的集合叫做图G的割集。 (1)把这集合中的所有边删去将增加连通分图的个数。 (2)把这集合中的任何真子集从G中删去则无此效果。
{e1,e2}、{e2,e3,e4}均为上图的割集。
∵2＝n-m+k
∴ 2 ≤n-m+m/2，
2≤n-m/2 4≤2n-m m≤2n-4 该定理也可以用来判定某些图非平面图。
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二、欧拉公式
推论2： K3,3是非平面图。 证明： n＝6， m＝9， m≤2n-4 不成立， 因此， K3,3不是平面图。
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三、库拉托夫斯基定理
一个事实： 图G的边上，插入一个新的度数为2的结点，使一条边分 成两条边，或者对于关联于一个度数为2的结点的两条边，去 掉这个结点，使两条边化成一条边，都不会影响图的平面性。
ek* =(vi*,vj*)与ek相交； (3)当且仅当ek只是面Di的边界时, vi*恰存在一自回路与ek
相交。 所得的图称为图G的对偶图,记为G*。 连通平面图G的对偶图一定是平面图。
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四、对偶图
对偶图
自对偶图
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四、对偶图
一个平面图可以有多种画法，如下图所示。
b a c (a) f e c (b) d a e b d f