平面图和图的着色

q=n(p-2)/(n-2)
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集合与图论
最大(极大)可平面图
一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再加 入一条边，新图必然是不可平面的。



图1



再加一条边就是k5，可证k5是不可平面图。 图1是最大可平面图。
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集合与图论
最大(极大)平面图的性质






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集合与图论 如果用V表示多面体的顶点，用E表示棱，用F表示 面数，则V-E+F=2。 定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个 顶点、q条边、f个面，则p-q+f=2。 证 对面数用归纳法 当f=1时，G没有内部面，所以G中无圈，G是树。 p-q+f=1+1=2 假如对一切不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式 成立，现证f个面时的情况。
v4
证 若G的一个面不是三角形, 1、假如有两点不相邻，则在此面中把不相邻的两 顶点连接起来，不影响平面性。 矛盾，因此不可能有两点不相邻。
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集合与图论 v2 v1
v3
v4
...
2、假如圈上每两点都相邻; 若v1,v2和v2,v4在G中都邻接,我们可以看到这两个 边不可能不相交; 综合以上情况，最大平面图的每个面都是三角形。
集合与图论 例9.1.1 顶点数p≥4的最大平面图，(G)≥3。 v
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集合与图论 f≥2，G至少有一个内部面，从而G中有一个圈。 这个内部面是由这个圈围成的，从这个圈上去掉一 条边x，则打通了两个面。
G-x有p个顶点， q-1条边，f-1个面。
由归纳假设

f3 f1 f4 f2
v
u
百度文库f3 f1 f4 f2
v
p-(q-1)+(f-1)=2
p-q+f=2
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集合与图论
平面图的内部面与外部面
f3 f1 f4 f2
u
v
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这 些区域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。
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集合与图论
f3 f1 f4 f2
v
u
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连 通区域。
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集合与图论 推论9.1.3 设G是一个(p,q)可平面连通图，而且G 的每个面都是一个长为4的圈围成的，则q=2p-4。 推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3，则q≤3p-6。 若G是2-连通的且没有三角形，则q≤2p-4。 1、因为当平面图中每个面都是三角形时其边数最 多，由推论9.1.2，则q≤3p-6。 2、若G是2-连通的且没有三角形,则G中任意两个 顶点都在同一个圈上。 已知没有三角形，所以圈的长都是4时边数最多。 所以q≤2p-4。
集合与图论
9.1 平面图及欧拉公式
v






u
v
u

定义9.1.1 图G称为被嵌入平面S内，如果G的图解 已画在平面S上，而且任何两条边均不相交(除顶点外)。 已嵌入平面的图称为平面图。 如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。
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集合与图论
几点说明及一些简单结论
一般所谈平面图不一定是指平面嵌入。但讨论 某些性质时，是指平面嵌入. 结论： (1) K5, K3,3都不是平面图(待证). (2) 设GG，若G为平面图，则G也是平面图. 由此可知，Kn(n≤4)，K2,n(n1) 都是平面图. (3) 设GG，若G为非平面图，则G也是非平面图. 由此可知，Kn(n5)，Km,n(m,n3) 都是非平面图. (4) 平行边与环不影响平面性.
图1
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没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
集合与图论
几点补充
(1)若平面图G有k个面，可用R1, R2, …, Rk表示.
(2) 面 Ri 的边界——包围Ri的闭通道组 (3) 面 Ri 的次数——Ri边界的长度 (4) 闭通道组是指：边界可能是 圈，也可能是闭通 道. 特别地，还可能是非连通的闭通道之并. 定理 平面图各面次数之和等于边数的两倍.


u
v
最大(极大)平面图的主要性质： 定理 最大(极大)平面图是连通的. 定理 n(n3)阶最大(极大)平面图中不可能有割点 和桥.
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集合与图论 推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平 面图，则G的每个面都是三角形，q=3p-6，p≥3。 v2 v1 v3 ...
u

因此面数是f时也成立。
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集合与图论 定理9.1.2 （欧拉公式的推广）设G是具有 k(k2)个连通分支的平面图，则nm+r=k+1.
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集合与图论
推论9.1.1 若平面连通图G有p个顶点q条边且每个 面都是由长为n的圈围成的，则q=n(p-2)/(n-2)。
证 因为G的每个面都是长为n的圈围成的，所 以G的每条边都在G的两个面上。 q=fn/2 f=2q/n p-q+2q/n=2
集合与图论 如果K3,3是平面图，则p-q+f=2， 即6-9+f=2，亦即f=5。 在偶图K3,3中每个圈的长至少为 4，所以2q≥4f=20，q≥10，但q=9， 矛盾。 所以K3,3不是平面图。






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集合与图论 推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超 过5， 即(G)≤5。 仍然用推论9.1.4，q≤3p-6。 如果G的每个顶点的度大于5，也就是≥6， 那么所有顶点的度数和大于或等于6p。 由欧拉定理，2q≥6p，即q≥3p。 不满足推论9.1.4，q≤3p-6。 因此，每个平面图G中顶点度的最小值不超过 5，即(G)≤5。 17/55
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集合与图论 推论9.1.5 K5与K3,3都不是可平面图 证 如果K5是平 面图，则5-10+f=2， 即f=7。
每个面至少三条边， 7个面至少需要21条边。
考虑到每条边在两个面上， 2q≥3f，即 20≥21。矛盾。 其实直接利用推论9.1.4，任意(p,q)平面图都满足 q≤3p-6，这里p≥3。 q=10≤3p-6=9，这是不成立的。 所以K5不是可平面图。 15/55