高等数学(下)课件D11习题课

L

上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧 解 第二种方法 以y为积分变量 在L上 xy2 y从1变到1 因此
xydx y y( y )dy 2 y 4dy 4 L 1 1 5
2 2
1
1
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2y2a2 (2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a 0)的直线段


例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为 xRcos yRsin () 于是所求转动惯量I为
I y 2ds
L
提示 转动惯量的元素为dIy2ds y2ds
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
0 3 2 2
I [(3t) 3 3t(2t) 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 1 4 0 2 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 4
下页
0
x 2 y 2 1 例 5 一个质点在力 F 的作用下从点 A(a 0)沿椭圆 2 2 a b 按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离 成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W
r
t
ax
3(3). 计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
其中L为摆线

2 2 原式 a t sin t d t 0

2 a 2 t cos t sin t 0
3(6). 计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
L
y ds x2 1 (x2 )2 dx
0
1
1
x 1 4x2 dx 1 (5 5 1) 0 12 1 x 1 4x2 dx 1 (5 5 1) 0 12
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
L
f (x, y)ds f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t)dt ()
下页
0
1
设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则
L P(x, y)dx Q(x, y)dy {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
例 1 计算 xydx 其中 L 为抛物线 y2x
例 1 计算 xydx 其中 L 为抛物线 y2x
L

上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧 解 第一种方法 以x为积分变量 L分为AO和OB两部分
在 AO 上 y x x 从 1 变到 0
在 OB 上 y x x 从 0 变到 1 因此
xydx xydx xydx x( x )dx x x dx 4 L AO OB 1 0 5

xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧 解 在曲线上有 x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2 并且
ds (a sin t)2 (a cos t)2 k 2 dt a2 k 2 dt 所以

(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ) 3
设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则
L P(x, y)dx Q(x, y)dy {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
3

L y dx a
2
a
0dx 0
例 3 计算 2xydx x2dy 其中 L 为
L
(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB 解 (1)L yx2 x从0变到1 所以
解 质点在点M(x y)处所受到的力为 F k | r | ( r ) k (xi yj) |r |
其中 r OM xi yj, k 0 是比例常数

于是
W
AB
kxdx kydy k

AB
xdx ydy
k 2 (a2 cos t sin t b2 sin t cos t)dt
I y 2ds
R2 sin 2 (R sin )2 (R cos )2 d

3
L
R


sin 2d R3( sin cos )
例 3 计算曲线积分 (x2 y2 z 2)ds 其中 为螺旋线

xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧 解 在曲线上有 x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2 并且
L
f (x, y)ds f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t)dt ()


例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为 xRcos yRsin () 于是所求转动惯量I为
a 2 x dx a
2
2
y
C

D
2பைடு நூலகம்
2
BA
D
B
o
L
0 d x d y
思考:
2 3 a 3
Ax
(利用格林公式)
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 ( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y
L
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
L
(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB 解 (3)OA y0 x从0变到1 AB x1 y从0变到1
所以
L
2xydx x2dy
例 2 计算 y 2dx 其中 L 为
L
解 (1)L的参数方程为xacos yasin 从0变到 因此
因此
L
y dx a 2 sin 2 (a sin )d
2 0

(1 cos2 )d cos 4 a3 0 3 (1 cos2 )d cos 4 a3 3 (2)L的方程为y0 x从a变到a 因此 a
0
提示
椭圆的参数方程为xacost ybsint t从0变到 2
x 2 y 2 1 例 5 一个质点在力 F 的作用下从点 A(a 0)沿椭圆 2 2 a b 按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离 成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
y
C
这说明积分与路径无关, 故
L
2
I

AB a 2 x dx a
( x y ) d x ( y x)dy
2
B
o
Ax
解法2 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
I
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( x y ) d x ( y x) d y
z
o x
1y
原式 =
1 3 1 2 2 2 4 2 2
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;
(2) 利用积分与路径无关的等价条件;
(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
L
2xydx x dy (2xx2 x2 2x)dx
2 0
1
4 x3dx 1
0
1
(2)L xy2 y从0变到1 所以
L
2xydx x dy (2 y 2 y 2 y y 4)dy
2 0
1
5 y 4dy 1
0
1
例 3 计算 2xydx x2dy 其中 L 为
ds (a sin t)2 (a cos t)2 k 2 dt a2 k 2 dt 所以

(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
例 3 计算曲线积分 (x2 y2 z 2)ds 其中 为螺旋线
解 质点在点M(x y)处所受到的力为 F k | r | ( r ) k (xi yj) |r |
其中 r OM xi yj, k 0 是比例常数

于是
W
AB
kxdx kydy k

AB
xdx ydy
k 2 (a2 cos t sin t b2 sin t cos t)dt
OA
1
2xydx x2dy 2xydx x2dy
AB
1
(2x 0 x 0)dx (2 y 0 1)dy
2 0 0
011
例 4 计算 I x3dx 3zy 2dy x2 ydz 其中 是从点 A(3 2 1)

到点B(0 0 0)的直线段 解 直线段AB的方程是 x yz 3 2 1 化为参数方程得 x3t y2t zt t从1变到0 所以