最新二章节平面汇交力系与平面力偶系
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第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
第二章 平面汇交力系与平面力偶系(修改后)
(b)
（压）
(b)
（拉）
【例】求如图所示梁的支座约束反力（梁重忽略不计）。
(a)
解: (1)画梁的受力图如图（b）所示。 (2)列平衡方程如下：
又 (3)联解上各式得:
(b)
(a) (b)
（压） （拉）
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：(1)以AB杆为研究对象，画其受力 图如右下方所示
指向：用右手法则，表示力矩转向
20
二、合力矩定理
FR
F1
F2
z
Fn
A
r
y x
合力对点o的力矩矢为
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和。
21
三、 力矩与合力矩的解析式 力矩 合力矩
22
[例] 力F 作用于支架上的点C,如图所示，设
F 分别对点A,B之矩。
接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，
并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时AB杆和BC杆所
受的力。
解: (1)取滑轮为研究对象，由
于滑轮的大小可忽略不计，故
其受力图如下图（b）所示。
(b) (a)
(2)列平衡方程，建立如图（b）所示的直角坐标系
(a)
其中 F1=F2=P (3)求解上两方程得
（2）任一力偶可以在它的作用平面内任意动移，而不改变力 偶对刚体的效应。
（3）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改 变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的 效应。
26
三、平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
力学基础第2章 平面汇交力系与平面力偶系
解方程得杆AB和BC所受的力:
FBA 0.366G 7.321 kN
x
FAB
FBC
B
F2
60
30
F1
FBC 1.366G 27.32 kN
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
例 题 2-6
梯长AB =l ，重G =100 N，重心假设在中点C，梯子的上 端A靠在光滑的端上，下端B放置在与水平面成40°角的光滑 斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以 及梯子和水平面的夹角θ。
a
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
例 题 2-4
y
FBC
30°
解：
1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。
x
B
30°
2.画出受力图。
FAB F G
3.列出平衡方程：
F F
联立求解得
x y
0, FBC cos30 FAB F sin30 0 0,
FBC cos60 G Fcos30 0
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN， 方向与梁的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固 定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不 计。
A
B C
a a
30º
(a)
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-2
解：
1.取梁AB作为研究对象。
60º
2.画出受力图。
30º
B C A
lB lA
PA
R
PB
§2.3 平面力偶系
4.两个反向平行力的合成 两个大小不等的反向平行力可以合成为一个合 力，其大小等于两个分力的大小差，且与较大 的分力同向，合力的作用线在较大的分力的作 用线的外侧，且到分力作用线的距离与分力的 大小成反比。 R PB PA PB R PB PA
第二章-平面汇交力系与平面力偶系
负号说明FA方向设反了
FC FA
2FC sin 30 Q 0 FC Q FA Q
例2-3：重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架 的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上。杆AB 与BC 铰接，并以铰链A、C与 墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础。 本章研究问题： (1)平面汇交力系的几何法与解析法 (2)平面力偶的基本特性 (3)平面力偶系的合成与平衡
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
所有的力在同个平面内且作用线交于一点为平面 汇交力系，三力平衡为其一。
几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。
FNA
A
B
FNA
水平坐标系：
FNB
F
y`
30 60 °
x`
FNB F
o`
A B
FNA
FNB
FNA
同样得：
也可以用几何法，画出封闭的力三角形求解，解得此结果。
工件对V形铁的压力与FNA、FNB等值反向。
例：在图示结构中各构件的自重略去不计。在构件AB上作用 一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。
(a) (b)
FBC、 FAB 均为正值，表示力的假设方向与实际方向 相同，即杆 BC 受压，杆 AB 受拉力。
例：不计杆重。D处受力G，求A、 C处的约束反力。 解：
画受力图
FLASH
Sa大小、方向不知，Sb大小不知，三个未知数
由几何关系：
1 tg tg 3
X 0, Y 0,
SB cos SA cos 0
SB sin SA sin G 0
FC FA
2FC sin 30 Q 0 FC Q FA Q
例2-3：重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架 的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上。杆AB 与BC 铰接，并以铰链A、C与 墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础。 本章研究问题： (1)平面汇交力系的几何法与解析法 (2)平面力偶的基本特性 (3)平面力偶系的合成与平衡
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
所有的力在同个平面内且作用线交于一点为平面 汇交力系，三力平衡为其一。
几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。
FNA
A
B
FNA
水平坐标系：
FNB
F
y`
30 60 °
x`
FNB F
o`
A B
FNA
FNB
FNA
同样得：
也可以用几何法，画出封闭的力三角形求解，解得此结果。
工件对V形铁的压力与FNA、FNB等值反向。
例：在图示结构中各构件的自重略去不计。在构件AB上作用 一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。
(a) (b)
FBC、 FAB 均为正值，表示力的假设方向与实际方向 相同，即杆 BC 受压，杆 AB 受拉力。
例：不计杆重。D处受力G，求A、 C处的约束反力。 解：
画受力图
FLASH
Sa大小、方向不知，Sb大小不知，三个未知数
由几何关系：
1 tg tg 3
X 0, Y 0,
SB cos SA cos 0
SB sin SA sin G 0
第二章：平汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。
能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。
对合力投影定理应有清晰的理解。
3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。
明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。
2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。
每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。
矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。
力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。
即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。
但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。
这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。
合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。
第 2 章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
例2-1
F Ptg
N
B
P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
FR FR2x FR2y ( Fxi )2 ( Fyi )2
cos(FR
,
i)
FRx FR
cos(FR ,
j)
FRy FR
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.2 力的正交分解与力的解析表达式
y
Fy j Oi
F Fx x
F F x F y Fx i Fy j
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.3 合力投影定理
平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
FRx Fxi FRy Fyi
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为：
FR F1 F2 Fn F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
解:1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
例2-1
F Ptg
N
B
P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
FR FR2x FR2y ( Fxi )2 ( Fyi )2
cos(FR
,
i)
FRx FR
cos(FR ,
j)
FRy FR
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.2 力的正交分解与力的解析表达式
y
Fy j Oi
F Fx x
F F x F y Fx i Fy j
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.3 合力投影定理
平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
FRx Fxi FRy Fyi
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为：
FR F1 F2 Fn F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
解:1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
第二章平面汇交力系与平面力偶系
和力偶矩为m的力偶作用而平衡，下列说法
正确的是（
）
A 力P和力偶矩m相平衡；
B 力P和轴承O的支反力组成的 力偶与轮子上的力偶相平衡；
C 力P对O点之矩和力偶完全等效；
D 力P和力偶虽然不等效，但它们可以使轮子平衡。
5、两正方形板组成的结构，其尺寸和受力情 况如图示，则（ ）。
A.A点约束反力与B点约束 反力等值、反向、共线；
的力矩。
抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆
的力矩。
K=抗倾覆安全系数
K MK Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
带有雨蓬的钢筋混凝土门顶过梁，尺寸如图示，梁 和板的长度均为4m。设在此梁上的砖砌至3m高时， 便欲将雨篷下的木支撑拆除。试验算此时雨蓬会不 会绕A点倾覆。已知钢筋混凝土容重为25kN／m3 ， 砖砌体容重为19kN/m3 ，验算时应考虑雨蓬最外边 缘B上作用有施工荷载F=1kN。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
各_______对_______之矩的_______和。 6、求力矩时，若力臂不易确定，可将平面力
3 如果力F通过矩心O，则mo(F)=0，此时力对物体
的作用效应为移动。
4 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
（二）、合力矩定理
平面汇交力系的合力 对于平面内任一点之 矩等于各分力(F i) 对同一点之矩的代数 和。
Mo (R)=∑Mo(Fi)
第2章 平面汇交力系和平面力偶系
9
例题 1
解：
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
F
R O
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
qP
B
由已知条件可求得
A
h
cos q R h 0.866
(a)
R
q 30
FO
再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得
解得
FB sin q F FA FB cosq P
（2）应用合力矩定理
MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy )
F cosq l cosj F sinq l sinj Fl cos(q j)
22
§2—4 平面力偶 1．力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，
称为力偶。如图所示，记作（F，F'）。力偶的两力之间
如图轧路碾子自重P = 20
kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高
h = 0.08 m碾子中心O处作用一
水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
R
FO
障碍物的压力；(2)欲将碾子拉
q
过障碍物，水平拉力至少应为多
B
大；(3)力F 沿什么方向拉动碾
A
h
子最省力，此时力F为多大。
大小取决于力的大小与力臂的乘积，平面力对点之矩是一 个代数量。它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正， 反之为负。
F对矩心点O之矩
MO(F) r
ห้องสมุดไป่ตู้Oh
B F A
M O (F ) Fh 2 AOAB
式中 AOAB为三角形OAB 的 面积，如图所示。单位为 N•m或kN •m。
第2章平面汇交力系与平面力偶系
FBA
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础，本章将分别研究两种力系的合成与平衡问题。
§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则如图a 所示，作用在刚体上的四个力1F ，2F ，3F 和4F 汇交于点A 。
连续应用平行四边形法则，即可求出通过汇交点A 的合力R 。
合力R 的大小和方向也可用图(b)所示的力三角形法则或力多边形法则得到。
后者，作出图示首尾相接的开口的力多边形abcde ,封闭边矢量ae 即所求的合力。
通过力多边形求合力的方法称为几何法。
改变分力的作图顺序，力多边形改变，如图(c)所示，但其合力不变。
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。
即∑==+++=n i i 1n 21F F F F R 简写为 ∑=F R （2-1）二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。
其矢量表达式为∑==0F R （2-2）力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。
例2-1 如图所示，钢梁的重量kN 6N 1063=⨯=P ,︒=30θ，试求平衡时钢丝绳的约束力。
解：取钢梁为研究对象。
作用力有：钢梁重力P ，钢绳约束力AF 和B F 。
三力汇交于D 点 ，受力如图a 所示。
作力多边形，求未知量。
首先选择力比例尺，以1cm 长度代表2kN 。
其次，任选一点e ，作矢量ef ，平行且等于重力P ，再从e 和f 两点分别作两条直线，与图(a)中的A F 、B F 平行，相交于h 点，得到封闭的力三角形efh 。
按各力首尾相接的次序，标出fh 和he 的指向，则矢量和he 分别代表力A F 和B F （如图b 所示）。
按比例尺量得和的长度为：45.3=fh cm ， 45.3=he cm即 45.3145.3=⨯=A F kN ，45.3145.3=⨯=B F kN 从力三角形可以看到，在重力P 不变的情况下，刚绳约束力随角θ增加而加大。
理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系
理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。
本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题，同时介绍平面力偶的基本特性及平面力偶系合成与平衡问题。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一 点的力系。
1．平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则设一刚体受到平面汇交力系 1F ， 2F ， 3F ， 4F 的作用，各力作用线汇交于点A ，根据刚体内部力的可传性，可将各力沿其作用线移至汇交点A ，如图2-la 所示。
为合成此力系，可根据力的平行四边形规则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A 的合力R F ;还可以用更简便的方法求此合力R F 的大小与方向。
任取一点a ，先作力三角形求出1F 与2F 的合力大小与方向R1F ，再作力三角形合成R1F 与3F 得R2F ，最后合成R2F 与4F 得R F ，如图2-lb 所示。
多边形abcde 称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae 称此力多边形的封闭边。
封闭边矢量ae 即表示此平面汇交力系合力R F 的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A ，如图2-la 所示的R F 。
必须注意，此力多边形的矢序规则为:各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。
由此组成的力多边形abcde 有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。
多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。
根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图2-lc 所示。
总之，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。
设平面汇交力系包含n 个力，以R F 表示它们的合力矢，则有RF =1F +2F +…+nF =∑=n1i iF(2-1)合力R F 对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。
工程力学ppt 2平面汇交力系和平面力偶系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
且在同一平面内，由平面力偶系的合成理论．其合力偶矩为
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
第2章：平面汇交力系和平面力偶系
力和力偶是静力学的两个基本要素， 也就是说任何力系都是由力和力偶组成的。 力偶只改变物体的转动状态。因此，力偶对刚体 的转动效应，可用力偶矩来度量。
26
三、力偶和力偶矩
力偶矩：力偶中两个力对其 作用面内某点的矩的代数和。
M o ( F , F ) F (d x ) F x F d
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
FR FR2x FR2y 171.3N
M1 FA r sin 0
36
取杆BC，画受力图。
M 0
r F M2 0 sin
' A
37
33
例2-7：已知:
F , , xB , yB , l; 求：平衡时，CD 杆的拉力。
FR 0
M A ( FR ) 0
M A ( Fi ) 0
F cos yB F sin xB FCD l 0
34
例2-8：已知：q, l; 求：合力及合力作用线位置。 解：取微元如图
第二章：平面汇交力系与平面 力偶系
1
§2-1 平面汇交力系
定义： 各力的作用线都在同一个平面内且汇交于一点。 一、平面汇交力系合成的几何法--力多边形规则
2
FR1 F1 F2 FR 2 FR1 FR 3
i 1
Fi
3
n FR Fi Fi
θ 20 , r 60mm
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
第2章1 平面汇交力系和平面力偶系PPT课件
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
力系：
平面力系 空间力系
平行力系
汇交力系 任意力系
本章主要介绍： ❖ 平面汇交力系的合成与平衡问题（几何法；解析法） ❖ 平面力偶系的合成与平衡问题
重点：
1、力在坐标轴上的投影，求解平面汇交力系平衡问题 的几何法和解析法
2、力偶矩的概念，平面力偶的性质和力偶等效条件
Fx Fcoθs Fy Fcoβs
2、力沿轴的分解 （矢量）
FF xF y
思考：力的合成、分解是否唯一？
二、平面汇交力系合成的解析法
FRFi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix FRy Fiy
合力的大小为：
FR FRx2FRy2
方向为：
cosF(R,i)
Fix FR
cosF(R,
12
解得： FBA7.32k1N
Fiy 0
F F c3 o F 0 s c6 o 0 s
BC1
2
解得： FBC2.73k2N
例2-5 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.
解：AB、BC杆为二力杆.
取销钉B.
用解析法
j)
Fiy FR
作用点为力的汇交点.
三、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
说明：平面汇交力系沿任意轴投影的代数和为零， 则该力系平衡。
例2-2
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力. 解：用解析法
F R x F i x F 1 c 3 o F 2 c 0 6 s o F 3 c 0 4 s o F 4 c 5 4 s o 1 . 5 3 N s F R y F i y F 1 s 3 i F 2 n 0 s 6 i F 3 n 0 s 4 i F 4 n 5 s 4 i 1 n 5 . 3 N 1
力系：
平面力系 空间力系
平行力系
汇交力系 任意力系
本章主要介绍： ❖ 平面汇交力系的合成与平衡问题（几何法；解析法） ❖ 平面力偶系的合成与平衡问题
重点：
1、力在坐标轴上的投影，求解平面汇交力系平衡问题 的几何法和解析法
2、力偶矩的概念，平面力偶的性质和力偶等效条件
Fx Fcoθs Fy Fcoβs
2、力沿轴的分解 （矢量）
FF xF y
思考：力的合成、分解是否唯一？
二、平面汇交力系合成的解析法
FRFi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix FRy Fiy
合力的大小为：
FR FRx2FRy2
方向为：
cosF(R,i)
Fix FR
cosF(R,
12
解得： FBA7.32k1N
Fiy 0
F F c3 o F 0 s c6 o 0 s
BC1
2
解得： FBC2.73k2N
例2-5 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.
解：AB、BC杆为二力杆.
取销钉B.
用解析法
j)
Fiy FR
作用点为力的汇交点.
三、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
说明：平面汇交力系沿任意轴投影的代数和为零， 则该力系平衡。
例2-2
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力. 解：用解析法
F R x F i x F 1 c 3 o F 2 c 0 6 s o F 3 c 0 4 s o F 4 c 5 4 s o 1 . 5 3 N s F R y F i y F 1 s 3 i F 2 n 0 s 6 i F 3 n 0 s 4 i F 4 n 5 s 4 i 1 n 5 . 3 N 1
第二章1 平面汇交力系与平面力偶系
Fx F1x F2 x Fnx Fx Fy F1 y F2 y Fny Fy
平面汇交力系合成的解析法:
FRx FX
FR
2 2
FRy FX
y
F Ry ( FX )2 ( FY )2 F Rx
FX 0, FY 0,
选坐标轴如图所示.由平衡方程有:
4 5 4 RD RA 0 4 5 P RA 8 0
各力的汇交点
(4) 解得
RA 5 P 22.4kN 2
RD RA
1 10kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB 、AC与铅垂线成角时，托板给被压物体的力。
求: M O (F )
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3
已知： q,l ;
求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
=
=
=
=
力偶的性质
性质1：力偶对任意点取矩都等于力偶矩，
不因矩心的改变而改变。
性质2：力偶在任意坐标轴上的投影等于零。 所以力偶没有合力，力偶只能由力偶来 平衡。
六、平面力偶系的合成和平衡
已知:
M 1 , M 2 , M n ;
M1 F1 d
任选一段距离d
M 1 F1d M 2 F2 d
Rh θ arccos 30 R
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关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变
力偶是一个新的力素。力偶既不能用一个力来代替，也不
能用一个力来平衡，力偶只能由力偶来平衡。
力矩是力使物体绕某点转动效应的度量
力偶矩是力偶使物体转动效应的度量
二者相同点： 单位统一,符号规定统一
二者主要区别： 力矩随矩心位置的不同而变化。 力偶使物体转动的效果与所选矩心的位置无关,它完全由力偶
Ⅲ、力偶可在其平面内任意移动，而不改变它对 刚体的转动效应。
Ⅳ、在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可 以任意改变力偶中力与力偶的数值，而不改变它 对刚体的转动效应。
力偶性质
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面 内任意移动，其对刚体的作用效果不变
关于力偶性质的推论
F
F
F´
F´
只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面 内任意转动，其对刚体的作用效果不变
q1
x
dx
a
用绳索开启重为G的天窗。如图示，求在天窗 开启过程中所需绳索拉力的最大值和最小值。
Gα
T
90 0 -α 2
A
抗倾覆验算
倾覆：就是结构或构件在受到不平衡力矩
作用时发生倾翻现象。
倾覆力矩（Mq）：使结构或构件产生倾覆
的力矩。
抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆
的力矩。
K=抗倾覆安全系数
两轮各重Q1 及Q2，用长L的细杆连接，各自放在倾 角为45°的光滑斜面上，如图示，设杆的自重不 计，轮轴光滑，求系统平衡时的距离u.
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊 时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
W3
F
W2
W1
塔吊及所受荷载如图。自重P=200kN，中心 通过塔基中心。起重量W=25kN，距右轨B为 15m.平衡物重Q，距左轨A为6m，在不考虑风 荷载时， 求： （1）满载时，为了保证塔
身不至于倾覆，Q至 少应多大？ （2）空载时，Q又应该不 超过多大，才不至于 使塔身向另一侧倾覆？
如图示，一钢筋混凝土梁BC置于砖墙上，挑出1.5m， 顶端C作用一集中力P=1kN，梁自重q=1.2kN/m，取 抗倾覆安全系数κ=1.5，试求BA段的长度a。
K MK Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
带有雨蓬的钢筋混凝土门顶过梁，尺寸如图示，梁 和板的长度均为4m。设在此梁上的砖砌至3m高时， 便欲将雨篷下的木支撑拆除。试验算此时雨蓬会不 会绕A点倾覆。已知钢筋混凝土容重为25kN／m3 ， 砖砌体容重为19kN/m3 ，验算时应考虑雨蓬最外边 缘B上作用有施工荷载F=1kN。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
2.3 平面力对点之矩的概念及计算
（一）、力对点之矩
力对点的矩简称为 力 矩
Mo (F)= ± Fd O —— 矩心 d —— 力臂
力对点的矩是代数量。
力矩的单位是：N.m
方向： tg FRy FR x
tg1 FRy tg1 Y
FRx
X
作用点： 为该力系的汇交点
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
FRx X 0
FRy Y 0 平衡方程
图示，塔吊起重W=10kN的构件，已知钢 丝绳与水平线成α=45°的夹角，在构件匀
速上升时，求钢丝绳AC和BC所受的拉力。
符号规定：力 F 使物体绕矩心作逆时针方向 转动时为正，顺时针转动时为负。
力矩的性质
1 力对O点的矩不仅仅取决于力F的大小，同时与矩心 的位置有关。 2 力F对O点的矩不会因为F在其作用线上移动而改变。
3 如果力F通过矩心O，则mo(F)=0，此时力对物体
的作用效应为移动。
4 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
（二）、合力矩定理
平面汇交力系的合力 对于平面内任一点之 矩等于各分力(F i) 对同一点之矩的代数 和。
Mo (R)=∑Mo(Fi)
例:重量为P的均质细杆AB可绕固定在地上的铰B转 动，为使杆在平衡状态时与竖直线成ɑ角，试求作 用在杆AB末端A且沿水平线向右的力F。
水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载 荷的最大值为q，梁长L。试求合力作用线的位置。
四块相同的均质板，各重P，长2b，叠放如图示。 在板I右端点A挂着重物B，其重2P。欲使各板都平衡， 求每块板可伸出的最大距离。
3P
P
N3
4P
P
N4
P 2P
求图示结构AB杆与AC杆所受的力，已知F力位于AD 的中点E且垂直AD。
F A FAB
A FA
FAC
45 o 45 o
F
FA
FD
45 0
F
B
矩这个代数量唯一确定。
力偶矩完全可以描述一个力偶，而力对点的矩却不能完全
描述一个力。
四 、平面力偶系的合成与平衡
作用在刚体同一平面内的许多力偶称 为平面力偶系
C
D
FAC
F A 45 0 FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
二 力偶对物体的作用效果： F
o
x
d
F′
力偶矩：力偶中力的大小与两力间的垂直距离的乘积。
M = ±F d
+
力偶矩是代数量
-
力偶矩是力偶对刚体转动效应的度量，且与转动中心无关。
三 力偶的基本性质：
Ⅰ、力偶没有合力，不能、力偶对其平面内任一点的力矩为定值，就等 于力偶矩。
二章节平面汇交力系与平面力偶 系
2.1平面汇交力系
合成与平衡的几何法
F1
FR
(一) 两个共点力的合成
F2
力三角形的矢序规则：分力矢 F1 F2 沿三角
形某一边界的某一方向首尾相接，而合力 FR则沿相反方向，从起点指向最后一个分 力矢的末端。
合力的大小： FR＝ FR2x＋FR2y ＝ X2＋Y2