教用 第6讲 一元二次方程
数学《一元二次方程》教案设计
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数学《一元二次方程》教案设计1教学目标1.了解整式方程和一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1.教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：(1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( )，把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
(2)条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
(3)方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程;当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
数学《一元二次方程》教案设计2教材分析1．本节在引言中的方程基础上，首先通过两个实际问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后引导学生观察出它们的共同点，得出一元二次方程的定义。
中考数学复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第06课时 一元二次方程及其应用课件
基
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知
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考
向
探
究
(续表)
应用类型
等量关系
面积问题
AB+BC+CD=a
S阴影=⑨ (a-2x)(b-2x)
S阴影=⑩(a-x)(b-x)
第八页，共三十四页。
S阴影= ⑪
-
·x
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对点演练
题组一 必会题
1.若关于x的方程(fāngchéng)(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是 (
耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为 3 m2
(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为 x m,下列方程符合题意的
A.16(1+2x)=25
B.25(1-2x)=16
)
[答案] D
[解析]一种药品原价每盒25元,两次降价的百分
率都为x,所以第一次降价后的价格用代数式表
示为25(1-x),第二次降价后的价格用代数
式表示为25(1-x)·(1-x)=25(1-x)2,根据题意可
列方程为25(1-x)2=16,故选D.
C.16(1+x)2=25
D.25(1-x)2=16
第二十六页，共三十四页。
基
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角度( jiǎodù)2 图形面积问题
例4 [2018·安徽名校模拟] 如图6-2,某街道办事处把一块矩形空地进行绿化.已知该矩形空地
第十二章 第六节一元二次方程的应用 人教版 教案
第十二章第六节一元二次方程的应用第14课一元二次方程的应用(一)一、教学目的1．使学生会列出一元二次方程解应用题．2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：由应用问题的条件列方程的方法．难点：设“元”的灵活性和解的讨论．三、教学过程复习提问1．一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．) 2．回忆一元二次方程解的情况．(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．) 3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案．) 引入新课我们已经涉及了一个与一元二次方程有联系的应用．此类问题还有吗？回答是肯定的：还有很多！本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题．新课本章开始时，教材P3中我们提出了如下问题：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试问：应如何求出截去的小正方形的边长？解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x2-70x+825＝0．当时，我们不会解此方程．现在，可用求根公式解此方程了．∴x1＝55，x2＝15．当x＝55时，80-2x＝-30，60-2x＝-50；当x＝15时，80-2x＝50，60-2X＝30．由于长、宽不能取负值，故只能取x＝15，即小正方形的边长为15cm．我们再回忆本章第1节中的一个应用题：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．依题意，得x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．∴x＝10，x+5＝15．答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状．练习 P41 1 2小结利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答．作业：习题12.6 A组 1、2、3第15课一元二次方程的应用(二)一、教学目的使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力．二、教学重点、难点重点：用图示法分析题意列方程．难点：方程的布列．三、教学过程复习提问本小节第一课我们介绍了什么问题？引入新课今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法．新课例1如图1，有一块长25cm，宽15cm的长方形铁皮．如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm2的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？分析：如图1，考虑设截去的小正方形边长为xcm，则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长×宽＝矩形面积，可列出方程．解：设小正方形的边长为xcm，依题意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x2-20x+36＝0，解得x1＝2，x2＝18(舍去)．答：截去的小正方形的边长为2cm．例2一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数，这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？∴x＝10．答：第一、二次倒出药液分别为10升，5升．练习 P41 3、4小结1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式．作业：习题12.6 4、5、6、7第16课一元二次方程的应用(三)一、教学目的使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：弄清有关增长率的数量关系．难点：利用数量关系列方程的方法．三、教学过程复习提问1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？(3)某商店二月份的营业额为万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？新课例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？分析：用译式法讨论列式一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2吨．再根据题意，即可列出方程．解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得5000(1+x)2＝7200，即(1+x)2＝，∴1+x＝±，x1＝，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．答：平均每月增长率为20％．例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得50+50(1+x)+50(1+x)2＝182，答：二、三月份平均月增长率为20％．练习：P41 5小结依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键．作业：习题12.6 A组 8。
第六讲一元二次方程的整数解
第六讲 一元二次方程的整数解 知识清单1.直接求根法、2.判别式法、3.韦达定理法、4.因式分解法、5.综合法典例视窗：例1（杯全国数学竞赛）关于一元二次方程x 2+xy+2y 2=29的整数解（x,y ）的组数为（）A.2B.3C.4D.无穷多同类尝试1.方程2x 2+xy+y 2-x+2y+1=0的整数解（x,y ）是.2.满足(n 2-n-1)n+2=1的整数解n 有个.例2（）已知关于x 的方程（4-k ）（8-k ）x 2-(80-12k)x+32=0的解都是整数，求整数k 的值. 同类尝试3.k 为何实数时，一元二次方程（6-k ）(9-k)x 2-(117-15k)x+54=0的两个根均为整数.例3.（山东竞赛）当x 为何整数时，代数式9x 2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积. 同类尝试黄冈中学理科实验班招生）已知y=334222+-+-x x x x 已知，求使y 为整数的x 的所有整数值。
例4.（2010江西数学竞赛）边长为整数的直角三角形，若其直角边长是方程x 2-（k+2）x+4k=0 的两根,求k 的值并确定直角三角形三边之长.同类尝试5.试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx+(r+2)x+3r-2=0有根且只有整数根。
实战演练 双基精练立足课标1. 设m 为整数，若关于x 的方程mx 2+(2-2m)x+m-4=0有整数解，则m 的可能值有（）个.A.1B.2C.3D.42.使得关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0无实数根的最小整数k 为（）A.-1B.2C.3D.43.已知方程x 2-1999x+m=0有两个质数解，则m=.4.使方程x 2-ax+4a=0的根都为整数的所有正整数a 是.链接赛题、冲击金牌5.（全国联赛）用表示不大于x 的最大整数，则方程x 2-2-3=0的解得个数为（）A.1B.2C.3D.46.（哈尔滨数学竞赛）使一元二次方程x 2+3x+m=0有整数根的非负整数m 的个数为（）A.0B.1C.2D.37.（2010广东竞赛）方程x 2-y 2=105的正整数解有（）A.1组B. 2组C.3组D.4组8.已知a,b,c 均为整数，且恒有(x-a)(x-10)+1=(x+b) (x+c),则整数a=.9.(浙江竞赛)设整数a 使得关于x 的一元二次方程5x 2-5ax+26a-143=0的两个根都是整数，则a 的值是.10.(天津竞赛)已知m,n,为正整数，关于x 的方程x 2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求m,n 的值.11.（江苏奥林匹克夏令营试题）已知a 为整数，关于x,y,的方程组{X+y=(a+2)xXy=(a+1)x-2a+2的所有解（x,y)均为整数，试求a 的值。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
沪教版(上海)八年级第一学期同步第6讲：一元二次方程的概念及其解法(一)-教师版
一元二次方程概念及解法（一）内容分析一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法解一元二次方程．通过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方法，公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习函数奠定基础．知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲1/ 292 / 291 一元二次方程的概念1.1整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程． 1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）2239x y +=； （2）()()233x x x x --=-； （3）()()3210x x --=； （4）242=0x -； （5）2322x x -=； （6）20,ax b +=（,a b 为已知数）；（7）23+222x y y +=．【难度】★【答案】（3）（7）是一元二次方程，其它都不是．【解析】（1）中两个未知数，是二元二次方程；（2）中对式子进行整理，两边2x 项都消去了，剩下9x -=-，为一元一次方程；（4）是分式方程；（5）是无理方程；（6）中未明 确说明0a ≠，不可判定为一元二次方程；（7）化简即为2320x +=，是一元二次方程．【总结】考查一元二次方的判定，从定义出发，有一个前提，先将方程化成一般形式才可以．【例2】 判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．例题解析3 / 29（1） 2223ax x x x b c -+=（,,a b c 为有理数）；（2） ()2123513m m m x x ++-+=．【难度】★【答案】（1）3a ≠3a =-时，不是一元二次方程；（2）不是一元二次方程．【解析】（1）首先将方程整理成一般形式，即为：((23120a x x b c +-+-=，根据二次项系数是否为0进行分类讨论，可知：30a ，即3a ≠- 次方程；30a ，即3a =-时，不是一元二次方程；（2）12m +≠时，显然不是一元二次方程；12m +=，即1m =时，此时二次项系数 2230m m +-=，也不为一元二次方程；可知方程（2）不是一元二次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．【例3】 m 为何值时，关于x 的方程2(2)(3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 【难度】★【答案】2m =-【解析】方程为一元二次方程，则有22m =，同时20m ≠，可得2m =-【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．4 / 29【例4】 当m 取何值时，方程()11320m m x x +-+-=是一元二次方程．【难度】★★【答案】1m =-．【解析】方程为一元二次方程，则有12m +=，同时10m -≠，可得1m =-．【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．【例5】 关于x 的方程()2212(1)220k x k x k -+-++=． （1） 当k 取何值时，方程为一元二次方程？（2） 当k 取何值时，方程为一元一次方程？【难度】★★【答案】（1）1k ≠±时，原方程是一元二次方程；（2）1k =-时，原方程是一元一次方程．【解析】（1）210k -≠，即1k ≠±时，原方程是一元二次方程；（2）210k -=，即1k =±时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有 ()210k -≠，可知1k ≠，则1k =-，即1k =-时，原方程是一元一次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．5 / 29【例6】 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【难度】★★【答案】3a ≠．【解析】对方程进行整理，即为：()2310a x ax --+=，方程为一元二次方程，则有30a -≠， 即3a ≠，由此确定a 的取值范围为3a ≠．【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．师生总结1、一元二次方程的二次项系数为什么不能为0？2、怎样判断一个方程为一元二次方程？6 / 291、一元二次方程一般式的概念任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a ++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax 叫做二次项，a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项．例题解析知识精讲 模块二：一元二次方程的一般式7 / 29【例7】 把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项和各项的系数．（1）2632x x =+； （2）()2134x x x -=-； （3） ()2322y y +=+；（4） 22(32)0x a x a b b --+-=．【难度】★【答案】略．【解析】（1）方程一般形式为26320x x --=；方程二次项为26x ，二次项系数为6；一次 项为3x -，一次项系数为3-；常数项为2-；（2）方程一般形式为22540x x -+=；方程二次项为22x ，二次项系数为2；一次项为5x -， 一次项系数为5-；常数项为4；（3）方程一般形式为222230y y -+-=；方程二次项为22y ，二次项系数为2；一次 项为3x -，一次项系数为3-；常数项为2-；（4）方程一般形式为222320x ax a ab b -+--=；方程二次项为2x ，二次项系数为1；一次 项为3ax -，一次项系数为3a -；常数项为()222a ab b --． 【总结】考查一元二次方程一般式的概念，一般尽量使二次项系数为正数，同时讨论相关项和系数时要注意带上前面的符号．师生总结1、一元二次方程的一般式是什么？【例8】若一元二次方程222-+++-=的常数项为零，则m的值为(2)3(15)40m x m x m_________．【难度】★★【答案】2-．【解析】常数项为0 ，即240m-=，可得2m=±，同时方程为一元二次方程，可知20m-≠，由此得2m=-．【总结】考查一元二次方程常数项的相关概念，要注意题目的隐含条件．【例9】已知关于x方程235-+-=的各项系数与常数项之和为2，求m的值．x mx m x【难度】★★8/ 299 / 29【答案】2m =-．【解析】整理方程得()2530x m x m -+--=，化为一般形式即为()2530x m x m +-+=，方程的各项分别为2x ，()5m x -，3m ，其中未知项系数分别为1，()5m -，依题意即有 ()1532m m +-+=，解得：2m =-．【总结】考查一元二次方程的一般形式中相关项的概念，注意先将方程整理成一般形式，使二次项系数为正数，然后进行相关说明和计算．知识精讲模块三：一元二次方程的解10 / 291、一元二次方程的概念能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．【例10】判断2、5、-4是不是一元二次方程28x x x +=-的根．【难度】★【答案】2、4-是原方程的根，5不是．【解析】（1）将2x =代入原方程，左边2226=+=，右边826=-=，左边=右边，所以2 是原方程的根； （2）将5x =代入原方程，左边25530=+=，右边853=-=，左边≠右边，所以5是原方 程的根；（3）将4x =-代入原方程，左边()()24412=-+-=，右边()8412=--=，左边=右边，所以4-是原方程的根．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，检验过程注意相关格式规范．例题解析【例11】判断方程后面括号里的数是否为方程的根．（1）21223(2)2x x -=-，，；（2）()2(23)333x -=-，，．【难度】★【答案】（1）12-，2是原方程的根；（2）3是原方程的根，3-不是原方程的根．【解析】（1）将12x =-代入原方程，左边2132222⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭，右边13322⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，左边=右边，所以12-是原方程的根；将2x =代入原方程，左边22226=⨯-=，右边326=⨯=，左边=右边，所以2是原方程的根；（2）将3x =代入原方程，左边()22333=-=，右边3=，左边=右边，所以3是原方程的根；将3x =-代入原方程，左边()223327=--=，右边3=，左边≠右边，所以3-不是原方程的根．【总结】考查方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，注意相关格式规范．师生总结1、什么是一元二次方程的根？2、如何判断一个数是否为一元二次方程的根？【例12】已知关于x 的一元二次方程()2110a x x a -++-=有一个根为0，求a 的值．【难度】★★ 【答案】1a =-．【解析】将0x =代入原方程，即得10a -=，解得1a =±，同时方程为一元二次方程，故10a -≠，由此可得：1a =-．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．【例13】已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1，有一个根为1-，求a c +的值．【难度】★★ 【答案】0．【解析】由题意代入可得：00a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，由此0a c +=．【总结】考查方程的根的应用，注意整体思想的把握．师生总结1、如何判断一个一元二次方程有一个根为0，有一个根为1，有一个根为？【例14】已知关于x 的一元二次方程()22222340m x m x m +++-=有一个根为0，求22413m m -+的值．【难度】★★ 【答案】13．【解析】将0x =代入原方程，即得240m -=，解得2m =±，同时方程为一元二次方程，故()220m +≠，由此可得：2m =，原式=222421313⨯-⨯+=．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．【例15】若在一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有一个根是．【难度】★★ 【答案】1．【解析】依题意即有0a b c ++=，可知方程必有一根为1．【总结】考查方程的根的应用，注意观察方程的相同之处和相关有特征的方程．【例16】已知方程2310ax bx --=和2250ax bx +-=有共同的解1-，求a 与b 的值．【难度】★★【答案】1a =，2b =-．【解析】方程有共同的解1-，依题意有310250a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩．【总结】考查方程的根的应用，可转化为相关未知数的值的求解．模块四：直接开平方法知识精讲1、直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如()()20x h k k +=≥的形式求解．【例17】 解关于x 的方程：290x -=．【难度】★【答案】13x =，23x =-．【解析】整理方程，即得29x =，直接开平方法解方程，得：9x =±，即方程两根为13x =，23x =-．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x a =±．【例18】 解关于x 的方程：251250x -=．【难度】★【答案】15x =，25x =-．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：25x =±例题解析即方程两根为15x =，25x =-．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x a =±【例19】解关于x 的方程：296250x =．【难度】★ 【答案】153x =，253x =-． 【解析】整理方程，即得2625259x ==，直接开平方法解方程，得：259x =±即方程两根为153x =，253x =-． 【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x a =±【例20】解关于x )222592x -=【难度】★★【答案】14x =，21x =． 【解析】整理方程，即得()2922592x -=，直接开平方法解方程，得：2593x -=±±，得253x -=或253x -=-，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=ax b h +=-【例21】解关于x 的方程：()21342x +=．【难度】★★【答案】1322x =-+，2322x =--．【解析】整理方程，即得()238x +=，直接开平方法解方程，得3822x +=±=±，得322x +=或322x +=-，即方程两根为1322x =-+，2322x =--．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=或ax b h +=-．【例22】解关于x 的方程：()2422360x --=．师生总结1、直接开平方法适用于那种形式的一元二次方程求解？对于一般的一元二次方程我们能不能直接应用开平方法求解？【难度】★★ 【答案】152x =，22x =． 【解析】整理方程，即得)2362294x -==223x -=±，223x -=223x -=-，即方程两根为1522x ==，222x ==． 【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=ax b h +=-【例23】解关于x 的方程：22(31)85x +=．【难度】★★ 【答案】1251x -=2251x --= 【解析】整理方程，即得()25831202x ⨯+==，直接开平方法，得312025x +=±=±，则3125x +=3125x +=-，即方程两根为1251x -=，2251x --= 【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=ax b h +=-【例24】解关于x 的方程：()223x a -=．【难度】★★【答案】13x a =+，23x a =-．【解析】直接开平方法解方程，即得23x a a -==±，则3x a -=或3x a -=-，即方程两根为13x a =+，23x a =-．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=ax b h +=-【例25】解关于x 的2220x kx --=．【难度】★★【答案】212x k k =++222x k k =-+【解析】整理方程，得22222x kx k k -+=+，即()222x k k -=+，直接开平方法解方程，即得22x k k -=+212x k k =++222x k k =+【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，本题实际上介绍后面要学习的配方法解方程，可得ax b h +=ax b h +=【例26】解关于x 的方程：()()222332x x +=+．【难度】★★★【答案】11x =，21x =-．【解析】直接开平方法解方程，即得()2332x x +=±+，得2332x x +=+或()2332x x +=-+，即得方程两根为11x =，21x =-．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=-+．【例27】解关于x 的方程： ()()22425931x x -=-．【难度】★★★ 【答案】1135x =，2713x =-． 【解析】整理方程，即为()()22225331x x -=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，直接开平方法解方程，即得 ()()225331x x +=±-，得()()225331x x +=-或()()225331x x +=--，解得方程两根分为1135x =，2713x =-． 【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=-+．【例28】解关于x 的方程：()2222x a a ab b -=++．【难度】★★★【答案】12x a b =+，2x b =-．【解析】整理方程，即为()()22x a a b -=+，直接开平方法解方程，即得()x a a b -=±+，得：x a a b -=+或()x a a b -=-+，解得方程两根分为12x a b =+，2x b =-．【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得ax b c +=±．【习题1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）2160x -=；（2）10x x-=； （3）2340y y -=；（4）213103x x -+=；（5）()()()142x x x x ++=-；（6）()()3340x x +-+=．【难度】★【答案】（1）（3）（4）（6）是一元二次方程，（2）（5）不是一元二次方程．【解析】（1）（3）（4）（6）可根据一元二次方程的定义判定得是一元二次方程；（2）是分式方程，故不是一元二次方程，（5）化作一般形式后即为740x +=，是一元一次方程， 也不是一元二次方程．【总结】考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，同时二次项系数不能为0，注意一定要将方程化作最简形式以后再考虑是否为一元二次方程．【习题2】 将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．（1）2435x x -=；（2）()()22831x x x ++=-；随堂检测（3）3(1)2(1)8x x x -=++； （4）2(3)3y y -=-；（5）234x x =+；（6）26y y =．【难度】★ 【答案】略．【解析】（1）方程一般形式为25430x x -+=；方程二次项为25x ，二次项系数为5；一次项为4x -，一次项系数为4-；常数项为3；（2）方程展开即为224833x x x ++=-，整理为方程一般形式为235120x x --=；方程二次项为23x ，二次项系数为3；一次项为5x -，一次项系数为5-；常数项为12-；（3）方程展开即为233228x x x -=++，整理为方程一般形式为235100x x --=；方程二次项为23x ，二次项系数为3；一次项为5x -，一次项系数为5-；常数项为10-；（4）方程一般形式为22630y y -+=；方程二次项为22y ，二次项系数为2；一次项为6y -，一次项系数为6-；常数项为3；（5）方程一般形式为2430x x +-=；方程二次项为2x ，二次项系数为1；一次项为4x ，一次项系数为4；常数项为3-；（6）方程一般形式为260y y -=；方程二次项为2y ，二次项系数为1；一次项为6y -，一次项系数为6-；常数项为0．【总结】考查一元二次方程一般式的概念，注意使二次项系数为正数，同时讨论相关项和系数时要注意带上前面的符号，不存在的项表示该项为0．【习题3】 关于x 的方程()22210mm x mx --++=是一元二次方程，求m 的值．【难度】★★ 【答案】2m =-．【解析】依题意可得222m -=，解得2m =±，同时方程为一元二次方程，则有20m -≠，由此可得2m =-．【总结】考查一元二次方程的相关定义，同时注意二次项系数不能为0的隐含条件．【习题4】 关于x 的方程()221310k x x k -++-=有一个根为0，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】1k =-．【解析】方程有一根为0，代入即得210k -=，解得1k =±，同时方程为一元二次方程，则有10k -≠，由此可得1k =-．【总结】考查一元二次方程根的定义，同时注意方程为一元二次方程的隐含条件．【习题5】 已知关于x 的一元二次方程2320x mx m -+-+=的各项系数和为5，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】3m =．【解析】将方程化为一般形式，即为2320x mx m -+-=，依题意有()()1325m m +-+-=，解得3m =．【总结】考查一元二次方程的各项系数的定义的认识，先要化作一般形式，其一般形式二次项系数必为正数，同时注意要带上各项前面的符号．【习题6】 用开平方法解下列方程：（1）2641x =；（2）27210x -+=；（3）21802x -=；（4）2361y =；（5）()()224319310x x --+=；（6）)2226x -=．【难度】★★ 【答案】（1）118x =，218x =-；（2）13x =23x =- （3）14x =，24x =-； （4）116y =，216y =-； （5）153x =-，2115x =-； （6）123x =223x =【解析】（1）整理方程，得2164x =，直接开平方法解方程，得方程两根为118x =，218x =-； （2）整理方程，得22137x ==，直接开平方法解方程，得方程两根为13x =23x =- （3）整理方程，得216x =，直接开平方法解方程，得方程两根为14x =，24x =-；（4）整理方程，得2136y =，直接开平方法解方程，得方程两根为116y =，216y =-； （5）整理方程，得()()22231331x x -=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，直接开平方法解方程，将两边底数当做一个 整体，即得()()231331x x -=+或()()231331x x -=-+，分别解两方程，即得方程两根分别为153x =-，2115x =-；（6226x -=226x -=-分别解两方程，即得方程两根分别为126232x +=226232x -=【总结】解决形如()()20ax b h h +=≥的方程用直接开平方法，可得ax b h +ax b h +=-【习题7】 已知关于x 的方程：()()()231150m m x m x +-+-+=．（1） 当m 取何值时，方程是一元二次方程？ （2）当m 取何值时，方程是一元一次方程？【难度】★★★【答案】（1）3m ≠-且1m ≠时，原方程是一元二次方程； （2）3m =-时，原方程是一元一次方程．【解析】（1）()()310m m +-≠，即3m ≠-且1m ≠时，原方程是一元二次方程；（2）()()310m m +-=，即3m =-或1m =时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有10m -≠，可知1m ≠，则3m =-，即3m =-时，原方程是一元一次方程． 【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．【作业1】 判断下列方程是否为一元二次方程． （1）2235x =+； （2）250x x -=； （3）2230x xy --=；（4）5x x +=； （5）22(3)21x x x -=+；（6）133x x x+=-； 课后作业（7）2()10abx a b x +++=； （8）23340x x -+=．【难度】★【答案】（2）（8）为一元二次方程，其它均不是．【解析】根据一元二次方程的定义，可判断（2）（8）是一元二次方程；（1）是分式方程， 不是一元二次方程；（3）含有两个未知数，是二元二次方程；（4）是无理方程；（5）整 理即为610x --=，是一元一次方程，不是一元二次方程；（6）是分式方程，不是一元二次方程；（7）未明确说明二次项系数ab 是否为0 ，也不能判定为一元二次方程．【总结】考查一元二次方程的概念，强方程整理成一般形式后，只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，同时要求二次项系数不能为0．【作业2】 （1）关于x 的方程()23120k x x k --+=，当k，方程为一元二次方程．（2）关于x 的方程()()211320m x m x m -++++=，当m 为一元一次方程；当m时为一元二次方程．【难度】★【答案】（1）13≠；（2）1=，1≠．【解析】（1）13103k k -≠⇒≠； （2）101m m -=⇒=；101m m -≠⇒≠．【总结】考查一元二次方程的存在性问题，二次项系数不为0时方程为一元二次方程；二次项系数为0且一次项系数不为0时方程为一元一次方程．【作业3】 关于x 的方程(21330mm x x ---+=是一元二次方程，求m 的值？【难度】★ 【答案】3m =-．【解析】依题意得212m -=，解得3m =，同时方程为一元二次方程，则有30m ≠，由此可得3m =．【总结】考查一元二次方程的相关定义，同时注意二次项系数不能为0的隐含条件．【作业4】 已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【难度】★★ 【答案】1a ≠±．【解析】展开方程，整理即得()2221240a x ax a --+-=，方程为一元二次方程，则有210a -≠，由此可得的取值范围为1a ≠±．【总结】考查一元二次方程的存在性，先整理成一般形式20ax bx c ++=，再确定相应的二次项系数不为0．【作业5】 用开平方法解下列方程：（1）()232x +=；（2）()23120x +-=；（3）()23210x --=；（4）()242510x +-=；（5）()222312x -=； （6）()(22212x =+；（7）()23127y -=；（8）()()111x x -+=．【难度】★★【答案】（1）132x =-+232x =-2）112x -+，212x --=； （3）113x +=，213x -= （4）194x =-，2114x =-；（5）13223x +=，23223x -；（6）11x =，2122x =-- （7）14y =，22y =-； （8）12x =22x =-【解析】（1）直接开平方法解方程，得32x +=±即得方程两根为132x =-+232x =--（2）整理方程，得()2312x +=，直接开平方法解方程，得312x +=，分别解得方程两根为112x -+=，212x --； （3）整理方程，得()2213x -=，直接开平方法解方程，得213x -=±根为113x +=，213x -=（4）整理方程，得()21254x +=，直接开平方法解方程，得112542x +=±=±，即1252x += 或1252x +=-，分别解得方程两根为194x =-，2114x =-；（5）整理方程得)2236x -=236x -=±，即236x -=或236x -=-，分别解得方程两根为13632232x ++=，23632232x --=； （6）将左边底数当作未知数，直接开平方法解方程，即得212x(212x -+，分别解两方程，即得方程两根分别为为11x =，1122x =--（7）整理方程，得()219y -=，直接开平方法解方程，得193y -=±=±，分别解得方程两根为14y =，22y =-；（8）方程左边展开，整理方程，得22x =，直接开平方法解方程，可得方程两根分别为12x =22x =-【总结】解决形如()()20ax b h h +=≥的方程用直接开平方法，可得ax b h +或ax b h +=-。
2022年中考数学人教版一轮复习课件：第6课 一元二次方程的解法及应用
26．(2020·广东)已知关于 x，y 的方程组ax＋ x＋y＝2 43y＝－10 3，与 xx－ ＋yb＝y＝2， 15的解相同． (1)求 a，b 的值； (2)若一个三角形的一条边的长为 2 6，另外两条边的长是关 于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解．试判断该三角形的形状，并 说明理由．
10.(2021·菏泽)列方程(组)解应用题. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是 调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克 22 元； 小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若 每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克. 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售 利润 3 640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的销 售价为每千克多少元？
2.(2021·怀化)对于一元二次方程 2x2－3x＋4＝0，则它根的情况为
A．没有实数根
( A)
B．两根之和是 3
C．两根之积是－2
D．有两个不相等的实数根
3.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 则 x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
4.(2021·大连)“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海
水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018 年平均亩产量约 500
千克，2020 年平均亩产量约 800 千克．若设平均亩产量的年
平均增长率为 x，根据题意，可列方程为
(D)
A．500(1＋x)＝800
B．500(1＋2x)＝800
A．k>－14 C．k＞－14且 k≠0
B．k<41 D．k<41且 k≠0
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
中考数学复习考点知识专题讲义第6讲 一元二次方程及其应用
2．列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 同列一元一次方程解决实际问题的步骤一样：审、设、列、解、验、答． 关键是：审、设、列、解． 注意：检验时既要检验所求结果是否为所列方程的解，还要检验是否为原问题的解.
命题点一 一元二次方程的概念及解法(8 年 4 考)
1．(2019·山西 8 题)一元二次方程 x2－4x－1＝0 配方后可化为( D )
aa((11＋＋x)nx＝)nb＝b 或 aa((11－－x)nx＝)nb＝b
[a 为原来的量，x 为平均增长(降低)率，b 为增长(降低)后的量，n 为
增长(降低)的次数]
利率问题 销售利润问题
本息和＝本金＋利息 利息＝ 本本金×金年×利年率×利年率数×年数
利润＝售价－成本 利润
利润率＝成本×100%
2．(2019·百校联考四)一元二次方程 y2－y＝34配方后可化为( B )
B．(40－2x)(30－x)＝15×30×40 D．(40－2x)(30－x)＝45×30×40
【跟踪训练】 5．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)10 m，宽 (AB)4 m 的矩形场地 ABCD 上修建两条同样宽的小路，其中一条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 27 m2，则小路的宽应为多少？
2．一元二次方程根与系数的关系(选学内容)：
若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为 x1，x2，则 x1＋x2＝
－－ba
，x1·x2＝
c a
.
考点三 一元二次方程的实际应用 1．实际问题常见类型
类型
数量间的等量关系 增长数量 增长率＝基础数量×100%
一元二次方程的解法—配方法(2)6讲学稿
一元二次方程的解法⑵——配方法②班级________姓名__________一.学习目标：1．经历探究将一元二次方程的一般式转化为(x＋m)2＝n(n≥0)形式的过程，进一步理解配方法的意义；2．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，体会转化的思想方法．二．学习重点：掌握配方法，解一元二次方程．学习难点：体会转化思想在解题中的作用．三．教学过程Ⅰ．知识准备①填空：x2＋6x＋＝(x)2；x2－8x＋＝(x)2；x2＋32x＋＝(x)2；x2－3x＋＝(x)2．②用配方法解方程：⑴x2－6x－16＝0；⑵x2－52x＋1＝0．Ⅱ．活动探究我们已经知道二次项的系数为1题型是可以用配方法来解．那么能否将形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一类方程，化为上述形式求解呢？我们一起来探究2x2－5x＋2＝0的解法．【新知探究】Ⅰ．配方法关键在于“化”或“提”，重点在于“配”①2x2＋6x＋＝(x)2；②5x2－10x＋＝(x)2；③3x2＋2x＋＝(x)2；④2x2－9x＋＝(x)2．Ⅱ．知道配了，该如何解？例1：用“配方法”解下列方程．⑴4x2－12x－1＝0；⑵－3m2＋8m＋1＝0；⑶2x2＋2＝－2x．【题后反思】你能否总结一下，能使用配方法解的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是如何？例2：用配方法说明代数式2x2－2x＋1的值恒大于0．例3：求证：2x2－x＋3的值不小于23 8【课内反馈】解下列方程⑴2t2－7t－4＝0；⑵3y2－y－2＝0；⑶2m2－2m－2＝0.⑷(x－2)2－4(x－2)－5＝04．用配方法求代数式－x2＋4x－8的最大值．【小结】用“配方法”解一元二次方程的要点：1移2化3配4开．注意区分方程配还是式子配．【课时作业】1．①x2－8x＋＝(x)2；②4x2－6x＋＝(x)2；2．①用配方法解一元二次方程2x2－5x－8＝0的步骤中第一步是.②用配方法解方程2x2－4x＋3＝0，配方正确的是（）A.2x 2－4x ＋4＝3＋4B. 2x 2－4x ＋4＝－3＋4C.x 2－2x ＋1＝32＋1 D. x 2－2x ＋1＝－32＋1 3．解下列方程：⑴x 2－43x －5＝0；⑵3y 2＋6y －4＝0；⑶2x 2＋12x ＋10＝0；⑷14x 2－x －4＝0.4．已知实数a ，b 满足条件：a 2＋4b 2－a ＋4b ＋54＝0，求－ab 的平方根.5．用配方法求解下列问题（1）求2x 2－7x ＋2的最小值；（2）求－3x 2＋5x ＋1的最大值.【课外延伸】1．已知4x2－ax＋1可变为(2x－b)2的形式，则ab＝_______．2．⑴x2－13x＋＝(x－)2, ⑵2x2－3x＋＝2(x－)2.3．x2＋mx＋n＝(x＋)2＋.4．a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a＋)2＋(b－)2．5．当m＝时，4x2＋2(m－1)x＋9＝0是一个完全平方式．6．配方法解方程2y2－5y＝1时，方程的两边都应加上（）A．52B．54C．54D．5 167．用配方法解下列方程，配方错误的是（）A.x2＋2x－99＝0化为(x＋1)2＝100B.t2－7t－4＝0化为(t－72)2＝654C.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25D.3x2－4x－2＝0化为(x－23)2＝1098．解下列方程⑴x2－43x－2＝0；⑵2x2＋1＝3x；⑶2x2－8x＋1＝0；。
第6课时 用公式法求解一元二次方程(2)
精典范例
例4 用公式法解方程: 2x2+x＝6.
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变式练习
4.用公式法解方程： x2－6x＋1＝0.
P有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ B ） A.m <-1 B. m <1 C.m >-1 D. m >1
6.已知方程
的一个根为3，则
3 x2 2
（3）x1=1+2 ，x2=1﹣2
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巩固提高
9.已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0. （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值. 解：（1）由题意得a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， ∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根.
第二章 一元二次方程
第6课时 用公式法求解一元二次方程（2）
精典范例（变式练习） 巩固提高
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精典范例
例1:用公式法解方程：x2-4x－7＝0.
解：∵a= 1 ,b= -4 ,c= -7 .
∴b2－4ac= 44.
∴x＝
.
∴x1＝
，x2＝
.
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变式练习
1:用公式法解方程：2x2-x＝6.
2. 下列方程中没有实数根的是（A）
A、 x2 3 0 B、 x2 2x 0 C、 (x 1)2 0 D、 x2 4x 5 0
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精典范例
例3 关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相
等的实数根，则k的值是
．
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变式练习
3. 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 （ m-1 ） x2+x+m2+2m3=0有一根为0，则m的值是_-_3___．
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。
数学教案一元二次方程的应用(6篇)
数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
第6课时用因式分解法解一元二次方程
第6课时 用因式分解法解一二次方程
例 3 教材补充例题 选择合适的方法解下面的方程： (1)3x2－1＝6x； (2)(3x－2)2＝(2x－3)2； (3)y2－2y－399＝0.
解：(1)将原方程整理，得 3x2－6x－1＝0.
∵a＝3，b＝－6，c＝－1，b2－4ac＝36＋12＝48，
❖
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。16:20:3816:20:3816:209/9/2021 4:20:38 PM
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11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.916:20:3816:20Sep-219-Sep-21
3 ＝2这个根．
正解：移项，得(2x－3)2－3(2x－3)＝0. 因式分解，得(2x－3)(2x－3－3)＝0，
3 ∴2x－3＝0 或 2x－6＝0，∴x1＝2，x2＝3.
6± 48 3±2 3
3＋2 3
3－2 3
∴x＝ 6 ＝ 3 ，即 x1＝ 3 ，x2＝ 3 .
第6课时 用因式分解法解一元二次方程
(2)将原方程整理，得(3x－2)2－(2x－3)2＝0. (3x－2＋2x－3)(3x－2－2x＋3)＝0， (5x－5)(x＋1)＝0，5x－5＝0 或 x＋1＝0， ∴x1＝1，x2＝－1. (3)y2－2y＝399，y2－2y＋1＝400，(y－1)2＝400，y－1＝±20， ∴y1＝21，y2＝－19.
第6课时 用因式分解法解一元二次方程
目标突破
目标一 会用因式分解法解一元二次方程
例 1 教材补充例题 下面四个方程：(1)x2－25＝0；(2)y2＝ 3 y；(3)(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝0；(4)x2＋2x＋1＝0.其中能用因式分 解法求解的个数是( D )
第21章一元二次方程第6课时《因式分解法解一元二次方程》课件人教版数学九年级上册
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
新课导入
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
x 50 50 49 49
x 50 50 49 49
x1
100 49
，
x2 0
x b b2 4ac 10 10
2a
2 4.9
x1
100 ， 49
x2 0
探究新知
探究
10x 4.9x2 0
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0。
因式分解
x 10 4.9x 0
可以试
用多种方法 解本例中的
两个方程 .
1.将方程右边等于0;
2. 将方程左边因式分解为A×B;
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
探究新知
例3 解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
02
探究新知
Explore new knowledge
探究新知 实际问题
根据物理学规律，如果把 一个物体从地面 10 m/s 的速度 竖直上抛，那么经过 x s 物体离 地面的高度（单位：m）为
10x 4.9x2
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第6讲 判别式和根与系数的关系【学习目标】1、 使学生会运用根与系数关系解题 2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆，（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=；（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，abx x 221-==； （3）当042<-ac b 时，方程无实数解。
2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式a acb b x x 24221-±-==，有ab x x -=+21，a cx x =⋅213、常见的形式：（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ （3）21221214)(x x x x x x -+±=-【典型例题】例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ， 求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程（2）01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解【经典练习】姓名： 成绩：一、选择题1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、 没有实数根D 、 与k 的取值有关2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ).A 、2±B 、2C 、 2-D 、03、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-B 、-2C 、91D 、92-4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±15、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫⎝⎛22，则方程的两根之比为（ ）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶3 二、填空题1、已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x =_____2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=?4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；51为根构造一个一元二次方程 三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。
初三-第6讲一元二次方程的应用(提高)-教案
第06讲 一元二次方程的应用温故知新解下列关于x 方程：(1)0542=-+x x (2) 05422=+-x x (3)x 2-2x=-1【解答】 ：（1）（2）无实数解 （3）121==x x课堂导入1、初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题-------一元二次方程的应用。
2、从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题3、列方程解应用问题的步骤：①审题；②找相等关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥答。
一元二次方程数字问题1、两位数表示：十位数字 × 10 + 个位数字2、三位数字：百位数字 × 100 + 十位数字 × 10 +个位数字3、三个连续偶数：2,,2+-x x x 三个连续整数：1,,1+-x x x典例分析例1．有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
举一反三1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．【解答】解：设原两位数的个位数字为x ，十位数字为（6-x ），根据题意可知，[10（6-x ）+x][10x+（6-x ）]=1008，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴6-x=4，或6-x=2， ∴10（6-x ）+x=42或10（6-x ）+x=24， 答：这个两位数是42或24知识要点一1、矩形面积= 长 × 宽2、三角形面积 =2高底⨯ 3、梯形面积=21× （上底 + 下底）× 高 4、圆的面积= R R (2π为半径）典例分析例1．有一块长方形的铝皮，长24cm 、宽18cm ，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高． 【解答】解：设盒子高是xcm ．列方程得（24-2x ）•（18-2x ）=0.5×24×18， 解得x=3或x=18（不合题意，舍去）． 答：盒子高是3cm ．例2．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?【解答】解：⑴设所围矩形ABCD 的长AB 为x 米，则宽AD 为米．依题意，得 即，解此方程，得∵墙的长度不超过45m ，∴不合题意，应舍去． 当时，一元二次方程的面积问题知识要点二所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m２．⑵不能．因为由得又∵＝(－80)2－4×1×1620=－80＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2举一反三1、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：（32-x）（20-x）=540，解之得x1=2，x2=50（不合题意舍去）．答：道路宽为2m．2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：×2t（6﹣t）=××6×8，解得：t=2或4．答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：（6﹣x）2+（2x）2=36，解得：x=0（舍去）或x=．答：秒时，P、Q相距6厘米3.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长（24﹣3x）米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．【解答】解：（1）BC=22+2﹣3x=24﹣3x．故答案为（24﹣3x）；（2）x（24﹣3x）=45，化简得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=5，x2=3．当x=5时，24﹣3x=9＜14，符合要求；当x=3时，24﹣3x=15＞14，不符合要求，舍去．答：花圃的宽为5米一元二次方程的利润问题1、每件利润=售价 - 进价 总利润=每件利润 × 销售量 利润率 =%100⨯进价每件利润利润 = 进价 × 利润率 售价 = 进价 × 利润率）+1(典例分析例1．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 解：设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得w=（40-x ）（20+2x ）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250 （1）当w=1200时，-2x2+60x+800=1200， 解之得x1=10，x2=20．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元． 答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利（40-x ）（20+2x ）=-2（x-15）2+1250． 当x=15时，商场盈利最多，共1250元． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．知识要点三举一反三1．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？【解答】解：设每台冰箱应降价x元 ,那么(8+×4) ×(2400－x－2000)=4800 所以(x - 200)(x - 100)=0x = 100或200所以每台冰箱应降价100或200元.2.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得：解得：＝0.2，＝0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。
第06课 一元二次方程的应用(平均变化率、握手、面积问题)(学生版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
第06课一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题）课程标准课标解读1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。
知识精讲知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点02一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.常见模型问题常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式：(1)增长率问题：a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.“共”或“累计问题”(2)降低率问题：(3)传染问题(4)握手问题(5)送礼问题(6)枝干问题（1）平均增长率：设原价为a ，连续增长两次，价格变为b ，每次增长的百分率为x ，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格2(1)a x b +=，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可）“累计问题”：设第一个月为a ，连续增长两个月，累计总数为b ，设平均增长率为x ，则：第一个月为a ，第二个月为，第三个月为，所以三个月累计（2）平均降低率：设原价为a ，连续降价两次，价格变为b ，每次降价的百分率为x ，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格，得出等量关系；（3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a ，一个病人一轮传染x 个病人，两轮传染之后一共有b 个人挈带病毒，则：传染轮数挈带病毒人数传染人数第一轮第二轮两轮结束后一共挈带病毒数（4）握手问题：这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例：首先A 站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；然后B 站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；以此类推，每个人都站起来和其余人握手，一共握手：6(61)´-次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以12去重复；也就是一共握手16(61)2创-次。
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第6讲 一元二次方程命题点1 一元二次方程的解法1．(2012·河北T8·3分)用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是(A)A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x －2)2＝5D ．(x ＋2)2＝52．(2014·河北T21·10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac ＞0的情况，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a，……第一步x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，……第二步(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2，……第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac ＞0)，……第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.……第五步(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac ＞0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝－b ±b 2－4ac2a；(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.解：x 2－2x ＝24， x 2－2x ＋1＝24＋1，(x －1)2＝25， x －1＝±5， x ＝1±5，∴x 1＝－4，x 2＝6.命题点2 一元二次方程根的判别式3．(2015·河北T12·2分)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是(B)A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ≥14．(2016·河北T14·2分)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为0重难点1 一元二次方程的解法 解方程：x 2－1＝2(x ＋1)． 【自主解答】 解：方法一(因式分解法)： (x ＋1)(x －1)＝2(x ＋1)， (x ＋1)(x －3)＝0. ∴x ＋1＝0或x －3＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝3. 方法二(配方法)：整理，得x 2－2x ＝3.配方，得(x －1)2＝4.两边开平方，得x －1＝±2. 解得x 1＝－1，x 2＝3. 方法三(公式法)：整理成一般形式为x 2－2x －3＝0. ∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0. ∴x ＝－（－2）±162×1＝1±2.∴x 1＝－1，x 2＝3.【变式训练1】 解方程：4x 2－3＝12x.解：原方程整理为4x 2－12x －3＝0. ∵a ＝4，b ＝－12，c ＝－3，∴Δ＝(－12)2－4×4×(－3)＝192＞0. ∴x ＝12±1928＝3±232.∴x 1＝3＋232，x 2＝3－232.【变式训练2】 解方程：25(x ＋1)2＝9(x －2)2.解：25(x ＋1)2－9(x －2)2＝0，[5(x ＋1)＋3(x －2)][5(x ＋1)－3(x －2)]＝0， (8x －1)(2x ＋11)＝0， ∴8x －1＝0或2x ＋11＝0. ∴x 1＝18，x 2＝－112.方法指导解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法．口诀如下：方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b ，c 相等都为零，等根是零不要忘； b ，c 同时不为零，因式分解或配方； 也可直接套公式，因题而异择良方． 易错提示1．用因式分解法解一元二次方程，易出现方程的右边没有化为0，而对左边直接因式分解的错误．2．用公式法解一元二次方程，在确定系数a ，b ，c 时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式．3．对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项，如解x 2－5x ＝0时，易出现方程两边同时除以x ，遗漏x ＝0的情况．重难点2 一元二次方程根的判别式(2018·石家庄二模改编)已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x＋1＝0没有实数根，则k 的取值范围是k＞2．【问题拓展1】若该方程有实数根，则k的取值范围是k≤2且k≠1．【问题拓展2】若该方程有两个相等的实数根，则k 的值是2．【问题拓展3】若该方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜2且k≠1．【问题拓展4】已知关于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5．【变式训练3】(2018·唐山乐亭县二模)下列方程中，没有实数根的是(D)A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0【变式训练4】(2018·河北中考预测)已知关于x的方程(k－1)x2－(2k＋1)x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k有可能是(C)A．－2 B．－1 C．0 D．1方法指导判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，要明确a，b，c的值，然后比较b2－4ac与0的大小．易错提示注意方程中“二次项系数不为0”这一隐含条件．重难点3 一元二次方程的实际应用(2017·深圳)已知，一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．【思路点拨】(1)设矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据矩形的面积公式列出相应方程求解即可；(2)同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．【自主解答】解：(1)设矩形的长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意，得x(28－x)＝180.解得x1＝10(舍去)，x2＝18.则28－x＝28－18＝10.答：长为18厘米，宽为10厘米．(2)不能围成面积为200平方厘米的矩形．理由：设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，得x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0，则b2－4ac＝282－4×200＝784－800＜0，∴原方程无解．故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．【变式训练5】某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，第一季度总产值为275亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意所列方程是(B)A．80(1＋x)2＝275B．80＋80(1＋x)＋80(1＋x)2＝275C．80(1＋x)3＝275D．80(1＋x)＋80(1＋x)2＝275【变式训练6】(2017·白银)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A)A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×32－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝570方法指导列一元二次方程解应用题的常见关系：(1)平均变化率问题：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；(2)利润问题：利润＝售价－成本；利润率＝利润成本×100%；(3)矩形面积问题：①镶边矩形如图，镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S＝(a－2x)(b－2x)；②内嵌十字架型矩形如下图，图1中阴影区域可以通过平移的方法变成图2中的样子，此时易得图1矩形ABCD中空白区域的面积为S＝(a－x)(b－x)．图1图21．(2018·保定二模)若关于x 的一元二次方程(a －1)x2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值为(B)A ．1B ．－1C ．1或－1D.122．(2018·河北模拟)如果一元二次方程x 2－2x ＋12p＝0总有实数根，那么p 应满足的条件是(A)A ．p ≤1B ．p<1C ．p ＝1D ．p>13．(2018·桂林)已知关于x 的一元二次方程2x 2－kx ＋3＝0有两个相等的实根，则k 的值为(A)A ．±2 6B ．± 6C ．2或3 D.2或 3 4．(2018·石家庄新华区二模)若n(n ≠0)是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值为(C)A ．1B ．4C ．－2D ．－4 5．(2018·河北中考预测)数学课上，老师讲解配方法解一元二次方程时，让嘉淇在黑板上用配方法解方程，嘉淇在黑板上的书写过程如下：2x 2＋4x －1＝0，解：由于2≠0，可将方程2x 2＋4x －1＝0变形为：x 2＋2x ＝12， 第一步x 2＋2x ＋1＝12， 第二步(x ＋1)2＝12， 第三步x ＝－2±22. 第四步这位同学第一次出错的步骤是(B)A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步 6．(2018·眉山)我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4 860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是(C)A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%7．(2018·保定一模)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1 035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为(C)A ．x(x ＋1)＝1 035B ．x(x －1)＝1 035×2C ．x(x －1)＝1 035D ．2x(x ＋1)＝1 035 8．(2018·大连)如图，有一张矩形纸片，长10 cm ，宽6 cm ，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm 2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm ，根据题意可列方程为(B)A ．10×6－4×6x ＝32B ．(10－2x)(6－2x)＝32C ．(10－x)(6－x)＝32D ．10×6－4x 2＝329．(2018·乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10 890元？设房价定为x 元，则有(B)A ．(180＋x －20)(50－x10)＝10 890B ．(x －20)(50－x －18010)＝10 890C ．x(50－x －18010)－50×20＝10 890D ．(x ＋180)(50－x10)－50×20＝10 89010．解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：方法一：原方程可化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0， (x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0， (x －3)(x －9)＝0， ∴x －3＝0或x －9＝0. ∴x 1＝3，x 2＝9.方法二：原方程可化为x 2－12x ＋27＝0. 这里a ＝1，b ＝－12，c ＝27. ∵b 2－4ac ＝(－12)2－4×1×27＝36>0，∴x ＝12±362×1＝12±62＝6±3.∴原方程的根为 x 1＝3，x 2＝9.(2)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：原方程可化为x 2－6x ＋8＝0. ∴(x －2)(x －4)＝0. ∴x －2＝0或x －4＝0. ∴x 1＝2，x 2＝4.11．已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5的值．(要求先化简，再求值)解：(1)证明：∵Δ＝(2m ＋1)2－4m(m ＋1)＝1＞0. ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0.∴原式＝4m－4m＋1＋9－m＋7m－5＝3m2＋3m＋5＝3m(m＋1)＋5＝5.12．(2018·张家口一模)已知n边形的对角线共有n（n－3）2条(n是不小于3的整数)；(1)五边形的对角线共有5条；(2)若n边形的对角线共有35条，求边数n；(3)若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n.解：(2)n（n－3）2＝35，整理，得n2－3n－70＝0.解得n＝10或n＝－7(舍去)．所以边数n＝10.(3)根据题意，得（n＋1）（n＋1－3）2－n（n－3）2＝9.解得n＝10.所以边数n＝10.13．(2018·河北模拟)若关于x的方程2x(ax－4)＝x2－6有两个不相等的实数根，则a所能取的最大整数是(B)A．2 B．1 C．－1 D．不存在14．(2018·河北模拟)若a，b满足b＝a＋3，则关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的根的情况是(D)A．没有实数根 B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根15．(2018·河北中考预测)已知关于x的方程mx2＋4x＋3－m＝0，以下判断正确的是(D)A．这个方程一定有两个实数根B．这个方程的一个根是－1C．当m＝－1时，这个方程有两个相等的实数根D．当m＝1时，这个方程有两个不相等的实数根16．(2018·石家庄模拟)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是(D)A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－317．(2018·河北中考预测)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝a2－2ab，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如1⊗1＝12－2×1×1.(1)求3⊗(－1)的值；(2)嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：x⊗(－3)＝－5，你能求出其中x的值吗？请写出求解过程．解：(1)3⊗(－1)＝(3)2－2×3×(－1)＝3＋2 3.(2)x⊗(－3)＝x2－2x·(－3)＝x2＋6x＝－5，即x2＋6x＋5＝0，(x＋1)(x＋5)＝0，解得x1＝－1，x2＝－5.。