自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.
高等数学(医药专业)自测题
第一章章节自测一、填空题（每小题 2 分，共20 分）1. 设函数,)(,ln )(12+==x e x g x x f 则=))((x g f 。
2. 函数)2ln(34+=x xy 的定义域为 。
3. =++-∞→323)2(123lim x x x x 。
4. =→xxx 2sin lim0 。
5. e xkx x =+∞→2)1(lim ，则=k 。
6. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=01001)(x x x x x x f ，则)(lim 0x f x → 。
7. 若32lim22=-+-→x ax x x ，则=a 。
8. 设当0→x 时，2ax 与4tan 2x 为等价无穷小，则=a 。
9. 设函数)0(sin )(≠=a x ax x f 在0=x 处连续，且21)0(-=f ，则=a 。
10. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<=<<-=2131113)(2x x x ax x x f 在1=x 处连续，则=a 。
二、选择题（每小题 3 分，共30 分）1. 函数)1()(+=x x x f 与1)(+=x x x g 在（ ）内表示同一个函数。
A. ]0,1[-； B . ]1,(-∞；C . ),0[+∞；D . ),1[+∞-。
2. 设函数)(x f 的定义域为]1,0[，则函数)12(-x f 的定义域为（ ）。
A. ]21,21[-； B. ]1,21[； C. ]1,0[； D. ]1,21[-。
3. 函数x x x f sin )(3=是（ ）。
A. 奇函数 ；B. 偶函数；C. 有界函数；D. 周期函数。
4. 220sin lim xmx x →（m 为常数）等于（ ）。
A. 0； B. 1； C. 2m ； D. 21m。
5. 当0→x 时，2x 与x sin 比较，则（ ）。
A. 2x 是较x sin 高阶的无穷小量； B. 2x 是较x sin 低阶的无穷小量；C. 2x 与x sin 为同阶无穷小量，但不是等价无穷小量；D. 2x 与x sin 为等价无穷小量。
自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册
自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册第一章 函数与极限一、 选择题： 1．函数1arccos2x y +=的定义域是（ ） (A)1x ≤； (B)31x -≤≤；(C)(3,1)-； (D){}{}131x x x x <⋂-≤≤. 2.函数23,401,03x x x x --≤≤⎧⎨+<≤⎩的定义域是（ ）(A)40x -≤≤；(B)3≤;(C)(4,3)-; (D){}{}4003x x x x -≤≤⋃<≤. 3、函数cos sin y x x x=+是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数()1cos2f x xπ=+的最小正周期是（ ）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)12. 5、函数21x x +在定义域为（ ） (A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且1122()f x ≤≤； (D)有界，且 2221x x -≤≤+ .6、与()f x =等价的函数是（ ）(A) x ；(B) 2；(C)3； (D) x .7、当0x →时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ）（A ）2x ； （B ）1cos x -；（C ）tan x x -； （D ）ln(1)x +. 8、设0,0,a b≠则当（ ）时有10101010........lim .........m m m n n x na x a x a ab x b x b b --→∞+++=+++ .(A)m n > ； (B)m n = ；(C)m n < ； (D),m n 任意取 .9、设1,10,01x x x x --<≤⎧⎨<≤⎩,则0lim ()x f x →=( ) (A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 .10、0lim x xx →（ ） (A)1； (B)-1；(C)0； (D)不存在.二、求下列函数的定义域： 1sin(21)arctan ;y x x =++、 2、()x φ=三、 设2(1)231g x x x -=--（1） 试确定,,a b c的值使 2(1)(1)(1)g x a x b x c-=-+-+ ； （2） 求(1)g x +的表达式 . 四、 求2()(1)sgn f x x x=+的反函数1()f x -.五、 求极限：1、2221lim (1)n n n n →∞++- ； 2、3x → ； 3、2lim(1)xx x →+ ； 4、1lim (1)xx x e→∞- ； 5、当x ≠时，limcos cos ........cos 242n n x x x→∞ ；6、21sinlimx x →+∞.六、 设有函数sin ,1()(1)1,1ax x f x a x x <⎧=⎨--≥⎩试确定a的值使()f x 在1x =连续 . 七、 讨论函数1arctan1()sin2x x f x xπ-=的连续性，并判断其间断点的类型 .八、 证明奇次多项式： 2120121()n n n P x a xa x a ++=+++L 0(0)a ≠至少存在一个实根 .第二章 导数与微分一、 选择题： 1、函数()f x 在点0x 的导数0()f x '定义为（ ） （A ）00()()f xx f x x+∆-∆； （B ）000()()limx x f x x f x x →+∆-∆；（C ）00()()limx x f x f x x →-∆； （D ）000()()limx x f x f x x x →--；2、若函数()y f x =在点0x 处的导数0()0f x '=，则曲线()y f x =在点(0,()x f x )处的法线（ ）（A ）与x 轴相平行；（B ）与x 轴垂直；（C ）与y 轴相垂直；（D ）与x 轴即不平行也不垂直：3、若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x ( )（A ）必不可导； （B ）必定可导；（C ）不一定可导； （D ）必无定义.4、如果()f x =（ ），那么()0f x '=. (A) arcsin2arccos x x +；(B) 22sec tan x x +；(C) 22sin cos (1)x x +-；(D) arctan x +arc cot x .5、如果2,0()(1),0axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末（ ） （A ）1a b ==； （B ）2,1a b =-=-； （C ）1,0a b ==； （D ）0,1a b ==. 6、已知函数()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时， ()f x 的n 阶导数()()n fx 是（ ）（A ）1![()]n n f x +； （B ） 1[()]n n f x +； （C ） 2[()]nf x ； （D ）2![()]nn f x . 7、若函数()x x t =,()y y t =对t 可导且()0x t '≠,又()x x t =的反函数存在且可导，则dydx =（ ）（A ）()()y t x t '； （B ）()()y t x t '-'； （C ）()()y t x t ''； （D ）()()y t x t '.8、若函数()f x 为可微函数，则dy （ ）（A ）与x ∆无关；（B ）为x ∆的线性函数；（C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小；（D ）与x ∆为等价无穷小. 9、设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0xx+∆时，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，0lim x y dy x ∆→∆-∆等于（ ）（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）∞.10、设函数()y f x =在点0x 处可导，且0()0f x '≠，则 0lim x y dy x ∆→∆-∆等于（ ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）∞ .二、求下列函数的导数：1、2sin ln y x x =； 2、cosh xy a = （0a >）； 3、2sec (1)xy x =+ ； 4、2ln[cos(103)]y x =+；5、设y 为x的函数是由方程arctanyx=确 定的；6、设2x yy=+，322()u xx =+，求dydu .三、证明sin tx e t =，cos ty e t =满足方程222()2()d y dyx y x y dx dx+=- .四、已知()cos ,0(),0g x xx f x xa x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =，1、确定a 的值，使()f x 在0X =点连续；2、求()f x ' 五、设ln ,y x x =求()(1)n f .的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章 微分中值定理一、 选择题： 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）（A ） 它们都给出了ξ点的求法 .（B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
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第1页/共8页第一章 函数、极限与连续1.1 映射与函数1. (1)）（x f 与 ）（x h 相同; ）（x g 与）（），（x h x f 不同. (2)）（x f 与 ）（x ψ相同相同）（x ϕ与）（），（x x f ψ不同. (3) ）（x f 与 ）（x g 相同. 2. (1) [ππ）（12,2+n n ],,2,1,0 =n (2) 21≤a 时[]a a −1，;21>a 为空集. 3. (1)3arctan 213arctan 21xy y x ==；(2)xx y y y x −=−=1ln 1ln； 5.（2）,224,216==−）（）（πϕπϕ02=）（ϕ. 6. (1)奇 , (2)奇 , (3) 偶. 7..22332+∞<<−h r r h h hr ，）（π1.2 数列的极限1.（1）3⎯⎯→⎯∞→n n x .（2）.0⎯⎯→⎯∞→n n x(3)无极限. (4) 无极限. 1.3 函数的极限2. (1) 极限不存在. (2) 极限不存在. (3)，2arctan π−⎯⎯→⎯−∞→x x∞→x 时,x arctan 的极限不存在. (4)，11⎯⎯→⎯++∞→−x x e ∞→x 时,x e −+1的极限不存在. (5) 极限不存在. 1.4 无穷小与无穷大3.无界,非无穷大. 1.5 极限运算法则1. 2; 2. 0; 3. -1/5; 4. -1; 5. 2x ;6. 2; 7. 0; 1.6 极限存在准则 两个重要极限1.(1) e1; (2) a ; (3) 0 ; (4) x ; (5) 1; (6)2−e ; (7) 1−e ; (8) 3; (9) e . 2. 2 ; 3. 0 1.7 无穷小的比较1. (1)x x ~arctan . (2)e a =时等价; e a ≠时同阶. (3) 同阶. (4) 同阶. 2 (1)6=n ; (2) 1=n ; (3) 8=n . 1.8 函数的连续性与间断点1.(1)2=x ,第一类可去,补充定义-4; 3=x ,第二类无穷. (2)，，20ππ+==k x x 第一类可去, 分别补充定义1,0; ）（0≠=k k x π为第二类无穷. (3) 0x =第一类跳跃第一类跳跃 （4）0x =第二类无穷第二类无穷2. ），），（，），（，（∞+−−∞−1122.3112∞⎯⎯→⎯−⎯⎯→⎯→−→x x x f x f ）（，）（3.）（）（，）（0100100f f f =−=+=−, ，0=x 第一类跳跃.4.1±=x ,第一类跳跃.1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性1..34==b a ，2. (1)112ln ++e ; (2) 0 ; (3) 1/2 ; (4)-1/56 ; (5) 1/2 ;(6) 0 ; (7) 2−e ; (8) 0 ; (9) ；x sin − (10) 1−e . 第二章 导数与微分 2.1 导数概念1、（1）-20 （2）12、（1）(0)f ′ （2）0()f x ′−（3）02()f x ′3、2，-14、1,1y x y x −=−=−2.2 函数的求导法则1、（1）′=++y x xln ln 2222 （2）′=−+⋅y x x x x x 332155222cos sin sec () (3)2-1(1)y x x =+(4)2cos sin x x x y x −= (5)(2)(3)(1)(3)y x x x x =−−+−−(1)(2)x x +−−(6)21cos sin (1cos )x xy x ++=+ （7）()22224sin1cos (1)x x x y x x ⎡⎤++⎣⎦=+(8)x x chx shx e y x tan sec )(3−+=′ 2、（1）-2 （2）2(1)42π+ 3.(1)38(25)y x =+(2)3sin(43)y x =− (3)22xy a x−=− (4)2sin 4y x =(5)2sec (12)y x x =−−(6)()arctan 21x e y x x =+ (7)211y x=+(8)12(1)y x x =− (9)sec y x =(10)csc y x =(11)()11sin cos sin sin cos n n n n y n x x x x x x −−=+(12)211y x =−− (13)()1ln ln ln y x x x =(14)′=++−y x x x xx xx 3222212123ln ()ln cos4．22()()()()()()f x f xg x g x f x g x ′′++5．445(3),5x x −6．(1)()-241xy exx =−++(2)-24()t ty e e =+或21(ch) (3)24arctan 24xy x =+ (4)arcsin 2x y =(5)4218x x x x y x x x x x x+++=+++ 7.122.3 高阶导数1. (1)214-x (2)()23222aa x −− (3)232(1)x y x −=+2．(1)!n (2) ().xx n e +(3)-1-12sin(2).2n n y x π=+3. (1)4cos xe x −(2)21225(sin 250cos 2sin 2)2x x x x x −++5022.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1 (1)22.ay x y ax −− (2)′=++−+y y x x y x x y sin cos()cos cos()2.(1)222.y x y −(2)22.e3.sin 11cot 2(1)x xx x x e e x x e ⎡⎤−+−⎢⎥−⎣⎦24.(1)cos sin 1sin cos θθθθθθ−−− (2)sin cos cos sin t t t t +−5.(1)231t t +− (2)1()f t ′′2.5函数的微分1 (1)22)sin 2).xxx e x e dx ++（（(2)231(1)dx x + (3)2ln 1)1x dx x −−−（(4)42.1xdx x −+2．dx3.提示：利用()(0)(0)f x f f x ′≈+第三章 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理1.提示：首先验证函数满足Lagrange 定理的条件，并可求得63(1,2)3ξ−=∈, 使(2)(1)()21f f f ξ−′=−.2.11ln()xe x x θ−=3.方程()0f x ′=有且仅有三个实根,它们分别在区间(0,1),(1,2),(2,3)内.4.提示：利用反证法.5.提示：作辅助函数()x ϕ=(1)10xx e −+>,利用Lagrange 中值定理.3.2 洛必达法则1.32 2. 12 3. 3. 11 4. 12 5. 5. 1 6. 1 6. 0 0 7. 528. 8. 1 1 9. ∞ 10. 13.3 泰勒公式 1.21()ln 2()()244f x x x ππ=−−−−− 232sec tan ()34x πξξ−− ,ξ在,4x π之间.2.2311()2!(1)!xn n xe x x x x o x n =+++++− 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性2. 1(,),(1,)2−∞+∞单调增加,1(,1)2上单调减少.3.2(,),(,)3a a −∞+∞单调增,2(,)3a a 上单调减.4.22[,]33−单调增, 2(,]3−∞−,2[,)3+∞单调减.7. 凸区间(,1]−∞,凹区间[1,)+∞, 拐点11(1,)9−3.5 函数的极值与最大值最小值1.2[1,]e 单调增,(0,1],2[,)e +∞单调减,极小值(1)0f =,极大值224()f e e=2.2,05x x ==3. 极大值213xy ==,极小值312.5x y ==.4. 3,0,1a b c =−==5. 0()f x 是极小值是极小值6.最大值为2,最小值为 -2.7.最小值212x y =−=8.0163x =, max 16()151.73S =9.422,33h R r R == 3.7 曲率1. 曲率2K =,曲率半径12ρ=. 2. 2x π=处曲率最大,为1.高等数学期中自测试题一、DDCDD二、1、[1,2] 2、1/2 3、-14、(1)(1)(0)(0)f f f f ′′>−>5、1t =三、1、(22)n n πππ+，(012)n =±± ，，，2lim ln sin 0x x π→=2、1/43、04、36、(]0−∞，单调减，[)0+∞，单调增单调增五、提示：利用反证法，由零点定理推出矛盾。
(完整版)高等数学测试题及解答(分章)
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
《高等数学》 详细上册答案(一--七).
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5) (8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
高等数学测试题及解答上部分1-6章
第六单元 定积分的应用一、填空题1、由曲线e y e y x ==,及y 轴所围成平面区域的面积是______________ 。
2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________。
3、由曲线 1,1,1,12=-==-=x x y x x y 所围成平面区域的面积是_______ 。
4、由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成平面区域的面积是_________ 。
5、连续曲线),(x f y =直线a x =，b x =及x 轴所围图形绕x 轴旋转一周而成的立体的体积=v __________，绕y 轴旋转一周而成的立体的体积=v ____________。
6、抛物线ax y 42=及直线)0(00>=x x x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体的体积______。
7、渐伸线)sin (cos t t t a x +=，)cos (sin t t t a y -=上相应于t 从0变到π的一段弧长为______。
8、曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积_______=A 。
9、界于π==x x ,0之间由曲线x y x y cos ,sin ==所围图形的面积=S _______。
10、对数螺线θa er =自0=θ到ϕθ=的弧长_________=l 。
11、心形线)cos 1(4θρ+=和直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积为____________。
二、选择题1、曲线)0(ln ,ln ,ln b a b y a y x y <<===及y 轴所围图形的面积=A （ ）。
（A ）⎰baxdx ln ln ln ； （B ）⎰ba e exdx e ； （C ）⎰baydy e ln ln ； （D ）⎰ba e exdx ln 。
2、曲线θcos 2a r =所围面积=A （ ）。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
《高等数学练习与测试》上册测试题答案
《高等数学练习与测试》上册测试题答案第一章测试题答案一．1.4π，2. 8e ；二．1.A ，2.D ；三．1. 12，2. 32；四．1.2()2f x x =-；2. 1a =；3. 0； 4．连续区间(,1)(1,)-∞+∞ 1x =是跳跃间断点。
5．介值定理即得。
第二章测试题答案一．1．B 。
2．C 。
二．xdx 5tan 5-。
三．（1）2632+-x x ，（2）211x+，（3）)cot sin (ln )(sin x x x x x +。
四．2-e 。
五．x dx dy tan -=，θθcsc sec 31422ax d y d =。
六．切线方程0132=--y x ，法线方程0823=-+y x 。
七．连续但不可导。
第三章测试题答案 一、.)1()0()1()0(.3;22.2;3,2.1f f f f R b a '<-<'===二、..2;.1D B.1),0,0(),1,0()1,(),1()0,1(,233)3(233)3(),3,1()1,3(),,3()3,().,1()1,1()1,(±=⋃--∞+∞⋃-=-=-⋃--+∞⋃--∞+∞⋃-⋃--∞x f f 曲线有两条垂直渐近线拐点为凸区间为曲线的凹区间为，极小值为极大值为单调减区间为单调增区间为三、函数的定义域为 .0.2;2.1四、 .]1,1[)(,ln )(:值定理上连续，用拉格朗日中在令五、提示x t f t t f +=.)()()(x g ex f x F =六、提示：令.11lim )(lim )2(;1)11()()1(11en n n M n n n f n M n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→+七、 .ln )(x x g =八、提示：令 时，方程有两个实根。
当时，方程只有一个实根当方程没有实根；时当九、提示：设ea e x e a e a a a xe x f x 10)3;11)2,1)1)0()(<<==>>-=- 第四章测试题答案一．1.D ；2.B 。
高数上册1-7习题答案
高数上册1-7习题答案高等数学是大学本科阶段的一门重要的数学课程，对于理工科学生来说尤为重要。
在高数上册中，1-7习题是其中的一部分，下面将为大家提供这部分习题的答案。
1. 计算题1.1 求解方程x^2 - 4x + 3 = 0解：这是一个二次方程，可以使用求根公式来求解。
根据求根公式，设方程的两个根为x1和x2，则有：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a带入a=1，b=-4，c=3，得到：x1 = (4 + √(16 - 12)) / 2 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3x2 = (4 - √(16 - 12)) / 2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1所以方程的解为x=1和x=3。
1.2 求解方程sin^2(x) + cos^2(x) = 1解：这是一个三角方程，根据三角恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，可知方程恒成立，所以方程的解为x为任意实数。
2. 证明题2.1 证明：若a^2 + b^2 = 0，则a=0且b=0。
证明：假设a和b为实数，且满足a^2 + b^2 = 0。
根据平方非负性质，a^2和b^2都大于等于0，所以a^2 + b^2大于等于0。
而题目中给出a^2 + b^2 = 0，所以只有当a^2和b^2都等于0时，等式才成立。
由于平方非负性质，只有当a=0且b=0时，a^2和b^2才等于0。
所以可以得出结论，若a^2 + b^2 = 0，则a=0且b=0。
2.2 证明：对任意实数a和b，有|a + b| <= |a| + |b|。
证明：根据绝对值的定义，对于任意实数x，有以下两种情况：情况一：x >= 0，此时有|x| = x。
情况二：x < 0，此时有|x| = -x。
根据这两种情况，可以得出以下两个结论：结论一：对于任意实数a和b，有|a + b| >= a + b。
高等数学上册(1-7章)习题
o
x
y
x≠0
4 2
⑶
1
2
o
x
2, x < 1 − 1, x < 1 = 3 + ( x − 1) = 3+ (3) f ( x) = x −1 x ≠ 1 4, x > 1 1, x > 1 1 − x3 , x > 0 6 ( 4) f ( x ) = = 1 − x , x∈R 3 1+ x , x ≤ 0 以上各函数都是初等函数 .
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e −b 例4. 设函数 f ( x ) = 有无穷间断点 x = 0 ( x − a )( x − 1)
及可去间断点 x = 1, 试确定常数 a 及 b . 解: Q x = 0 为无穷间断点, 所以 ex − b ( x − a)( x − 1) a =∞ lim lim =0 = x x → 0 ( x − a )( x − 1) x →0 1− b e −b
相同
x, x ≤ a 1 2 ( 2) f ( x ) = [ 与 ϕ ( x ) = a + x − ( a − x ) a , x > a 2 相同 0, x ≤ 0 (3) f ( x) = 与 ϕ ( x) = f [ f ( x)] x , x > 0 相同
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−1 , 即 x = 1 , 代入原方程得 令 t = xx 1−t 1 ) + f (t ) = 2 , 1 ) + f ( x) = 2 f (1− f ( 即 t 1−t 1− x 1− x 1 = u −1 , 1 , 令 1− x = 即 x u 1−u 代入上式得
(完整版)高等数学测试题及解答上部分1-6章-副本
第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin，则)(cos x f 。
2、)1()34(lim22x x x x。
3、0x时，x x sin tan 是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0xx kx成立的k 为。
5、xe xxarctan lim 。
6、,0,1)(xb xx ex f x在0x 处连续，则b。
7、xx x6)13ln(lim。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1x y的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim xxaxa x 。
11、已知当0x时，1)1(312ax 与1cosx 是等价无穷小，则常数________a。
12、函数x x x f 13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22xxn。
14、设8)2(lim xxa x a x ，则a________。
15、)2)(1(lim n nn nn=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l 上的偶函数，)(x h 是],[l l 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f ；（Ｂ）)()(x h x f ；（C ）)]()()[(x h x g x f ；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x 11)(，31)(x x ，则当1x时有。
（Ａ）是比高阶的无穷小；（Ｂ）是比低阶的无穷小；（C ）与是同阶无穷小；（D ）~。
3、函数)1(0,1111)(3xkx x x x x f 在0x 处连续，则k。
（Ａ）23；（Ｂ）32；（C ）1；（D ）0。
4、数列极限]ln )1[ln(lim n n n n。
（Ａ）1；（Ｂ）1；（C ）；（D ）不存在但非。
自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.
第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
《高等数学》章节自测题答案
《高等数学》章节自测题答案第1部分函数、极限与连续（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ A ）（ B ）（ D ）（ D ）（ B ）时有（ D ）二．填空题（共15分）的连续区间是三．判断下列各组极限运算的正误（8分）1．２．；；３．；；；四．求下列极限（20分）答案：2答案：答案：答案：1五．求函数的间断点，并判断类型（10分）答案：为第一类（可去）间断点；为第二类（无穷）间断点六．已知是连续函数，求的值（9分）答案：七．用零点定理证明方程在内有两个实根（20分）答案：两次利用零点定理即可．第2部分导数与微分（单元自测题）一．单项选择题（共10分）（ D ）表示（ B ）（ C ）（ D ）,函数的导数是（ C ）二．填空题（共22分）将适当的函数填入括号内(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)三．求下列函数的导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：四．求下列函数的二阶导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：五．设，求（16分）答案：六．已知曲线的方程是，求曲线在点处的切线方程（10分）答案：七．已知曲线的参数方程是，求曲线在处的切线方程和法线方程．答案：切线方程；法线方程．第3部分导数的应用（单元自测题）一．单项选择题（共10分）在区间（ B ）上满足罗尔定理条件（ D ）（ D ）（ A ）极限（ C ）二．填空题（共15分）,最小值是的单调减少区间是三．求下列极限（20分）答案：答案：答案：答案：答案：四．求函数的极值和单调区间（10分）答案：五．证明曲线总是凹的（10分）答案：六．曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径．（10分）答案：七．求函数的四阶麦克劳林公式（10分）答案：．八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？答案：第4部分不定积分（单元自测题）一．单项选择题（共15分）（ B ）（ B ）（ B ）（ C ）；；不定积分（ D ）二．填空题（共15分），称为的不定积分三．求下列不定积分（55分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．试用三种方法求不定积分（15分）答案：方法一：令；方法二：分子；方法三：令第5部分定积分（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ C ）（ A ）（ C ）（ B ）；；；（ D ）（ B ）二．填空题（共15分）原函数三．计算下列定积分（24分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．下列积分中，使用的变换是否正确?如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）答案：不正确，直接法，答案：正确，答案：不正确，几何意义或者令，五．已知有连续的二阶导数，求（10分）答案：六．判断下列广义积分的收敛性（12分）答案：答案：发散答案：答案：发散七．研究函数的单调性，并求其极值（9分）答案：第6部分定积分的应用（单元自测题）一．单项选择题（共20分）（ A ）而成的立体体积为（ B ）（ A ）4 （ C ）（ D ）二．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：三．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：四．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：五．求曲线所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积（10分）答案：六．半径为10m的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）答案：七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m，深6m，求当水面在闸门顶上8m的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线分圆盘为两部分，求这两部分面积的比（10分）答案：第7部分常微分方程（单元自测题）一．解下列可分离变量方程（共12分）答案：答案：答案：二．解下列齐次方程（8分）答案：答案：三．解下列一阶线性方程（25分）答案：答案：答案：答案：答案：四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）答案：答案：答案：五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）答案：答案：答案：答案：．答案：六．已知某厂的纯利润对广告费的变化率为,与常数和纯利润之差成正比，当时，,试求纯利润与广告费之间的函数关系.（1０分）答案：第8部分空间解析几何与向量代数（单元自测题）一．各类计算题（共30分）在坐标面上求与三已知点等距离的点答案：已知向量的方向角且，求答案：求过点且与平面垂直的直线方程答案：求同时垂直于向量和向量的单位向量答案：5．求过直线的平面方程答案：已知垂直，求答案：二．求以为顶点的四边形面积(10分)答案：三．求两平面，的夹角（10分）答案：四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）答案：互相垂直答案：重合答案：平行答案：直线在平面上五．求点到直线的距离（10分）答案：六．求平面曲线绕轴旋转所得曲面的方程（10分）答案：七．求曲线在面上的投影（10分）答案：第9部分多元函数微积分（单元自测题）一．关于一阶偏导数（共16分）若，求答案：若，求答案：若，求答案：若，求答案：二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）若，求答案：若，求答案：三．关于复合函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：四．关于隐函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：五．关于极值问题（12分）求的极值答案：设，求在条件下的极小值答案：六．交换下列积分次序（16分）答案：答案：答案：答案：七．计算下列二重积分（24分），答案：答案：，答案：，答案：第10部分无穷级数（单元自测题）一．判断下列级数的敛散性（共30分）答案：收敛答案：发散答案：收敛答案：发散5．答案：条件收敛答案：绝对收敛答案：绝对收敛答案：时绝对收敛；时发散答案：收敛答案：收敛二．证明（6分）答案：利用级数收敛的必要条件三．求下列级数的收敛域（12分）答案：答案：答案：答案：四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）答案：答案：五．将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：答案：六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）答案：答案：第11部分概率（单元自测题）一．单项选择题（共24分）（ B ）设为随机事件，,则必有（ A ）设互为对立事件，且,则下列各式中错误的是（ A ）抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是（ C ）设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ D ）下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）如果函数是某连续型随机变量的概率密度，则区间可以是（ C ）设随机变量的概率密度为，令,则的概率密度为（ D ）二．填空题（15分）设与互相独立，则某射手命中率为，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为设为连续型随机变量，是一个常数，则= 0设∽，则= 0.5设∽，则的概率密度=三．设（8分）答案：0.4四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分）五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：（10分）(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率．答案：(1)0.9325；(2)0.9984六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分）答案：0 1 2七．设的概率密度为, 求：（10分）(1) 的分布函数；(2) ．答案：(1) ；(2)0.625，0.625八．已知某种类型电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。
高等数学第三版自测题附答案U7
第7章自测题一、填空题1. 如果函数()f x 是周期为2π，则函数()f x 的傅立叶系数为0a = ，n a = ，n b = .答案：π0π1()d πa f x x -=⎰， ππ1()cos d πn a f x nx x -=⎰()1,2,3,n =，ππ1()sin d πn b f x nx x -=⎰ ()1,2,3,n =.2. 如果函数()f x 是周期为2π的偶函数，则函数()f x 的傅立叶系数为0a = ，n a = ，n b = .答案：0n b =，(1,2,3,)n =，π002()d πa f x x =⎰，π2()cos d πna f x nx x =⎰，(1,2,3,)n = 3. 如果周期函数() (22)2xf x x =-≤<，其傅立叶系数是0a = ，n a = ，n b = .答案：00n a a ==，20πsin d (1,2,3,)22n x n xb x n ==⎰4. 单位阶梯函数的数学表达式为()u t = ，其拉氏变换为()L u t =⎡⎤⎣⎦ . 答案：()0010t u t t <⎧=⎨≥⎩；()1L u t s =⎡⎤⎣⎦.二、解答题5.判别下列级数是否收敛：（1）111()23n n n ∞=+∑； （2）231ln0.6ln0.6ln0.6++++.解 （1）111()23n n n ∞=+∑=111123n n n n ∞∞==+∑∑，这两个级数都是公比1q <，所以级数收敛.（2）该级数是等比级数，且公比ln 0.6q =，所以级数收敛.6.求幂级数1(2)!nn x n ∞=∑的收敛半径和收敛区间.解 因为12!n a n =，111(22)!(22)(21)2!n a n n n n +==+++。
于是 1(2)!limlim 0(22)(21)2!n n n n a n a n n n ρ→∞→∞+===++ 所以，级数收敛半径R =+∞，收敛区间(,)-∞+∞.7.利用拉氏变换性质求下列函数的拉氏变换. (1)()3264f t t t =+-； (2)()2e sin 6t f t t -=.解 (1)()3[][264]L f t L t t =+-=421264s s s +-. (2)()2[][e sin 6]t L f t L t -==26(2)36s ++.8.求下列函数的拉氏逆变换.(1)()23F s s =-；(2)()21416F s s =+；(3)()()251F s s =-； (4) ()22325s F s s s +=-+.解 (1)()112[][]3L F s L s --==-32te . (2)()11122112[][][]41684L F s L L s s ---===++1sin 48t .(3)()()1125[][]1L F s L s --=-=5t e t . (4) ()11122232(1)5[][][]25(1)4s s L F s L L s s s ---+-+==-+-+ 11221522[][](1)42(1)4s L L s s ---=+-+-+=5(2cos2sin 2)2te t t +.9.用拉氏变换求下列微分方程的特解. (1)20y y '+=，()01y =；(2)160y y ''+=，()00y =，()04y '=.解 （1）设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取拉氏变换，有()()[]20L y t y t L '+=⎡⎤⎣⎦，由线性性质， ()()20L y t L y t '+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又由微分性质 ()()()020sY s y Y s -+=， 化简整理 ()()21s Y s +=， 于是 ()12Y s s =+. 所以微分方程的解为()()1y t L Y s -==⎡⎤⎣⎦2te -.（2）设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对方程两边取拉氏变换()()()()200160s Y s sy y Y s '⎡⎤--+=⎣⎦，代入初始条件得 ()()24160s Y s Y s -+=，()2416Y s s =+. 取拉氏逆变换得 ()1sin 4y L Y s t -==⎡⎤⎣⎦，所以方程的解 sin 4y t = (0)t >.10.将下列周期为2π的函数展开成傅里叶级数.,π0,(),0πx x f x x x ππ+-≤<⎧=⎨-≤<⎩；解 因为周期函数()f x 为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数ππ00022()d ()d πππa f x x x x π==-=⎰⎰，ππ2002221()cos d sin cos ππ2(cos π1)πn x a x nx x nx nx n n n n π-⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦-=-⎰20,,4,,πn n n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数当为奇数 (1,2,3,)n = 0n b =，(1,2,3,)n =.所以()f x 的傅立叶级数为22411()cos cos3cos(21)2π3(21)f x x x n x n π⎛⎫=++++-+⎪-⎝⎭()x -∞<<+∞。
高等数学1-6章单元自测题
《高等数学》单元自测题第一章 函数与极限专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设，则=_________________。
2. =+-∞→nn nn n 3232lim _________________。
3. =-∞→x x x 2)11(lim _________________。
4． ___________________。
5． 已知时与是等价无穷小，则__________。
6． 函数的连续区间是_____ _____。
二、 选择题：1．函数)12arcsin(412-+-=x x y 的定义域是（ ）。
（A ）)2,0[； （B ）)2,2(-； （C ）]4,0[； (D) ]4,2(-。
2．已知极限，则常数（ ）。
(A) ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。
3．若，则下面选项中不正确的是（ ）。
(A) ，其中为无穷小； (B)在点可以无意义；(C) ； (D) 若，则在的某一去心邻域内。
()xx x f +-=11()[]x f f =++∞→xx x x 1sin 2332lim 20→x ()11312-+ax1cos -x =a ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x 0)2(lim 2=++∞→kn nn n =k 1-()A x f x x =→0lim α+=A x f )(α)(x f 0x )(0x f A =0>A 0x 0)(>x f4． 当时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。
(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。
5．设函数在点处连续，则常数的值为（ ）。
(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。
6． 已知函数在上单调增加，则方程必有一个根的区间是（ ）。
(A) )0,1(-； (B) )1,0(； (C) ； (D) 。
三、 计算下列各题：1．求函数的反函数，并求反函数的定义域。
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第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
（C）它们都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .（D）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 2、若在可导且,则（）（A）至少存在一点，使；（B）一定不存在点，使；（C）恰存在一点，使；（D）对任意的，不一定能使 . 3．已知在可导，且方程f(x=0在有两个不同的根与，那么在（）.（A）必有；（B）可能有；（C）没有；（D）无法确定.4、如果在连续，在可导，为介于之间的任一点，那么在（）找到两点，使成立.（A）必能；（B）可能；（C）不能；（D）无法确定能 .5、若在上连续，在内可导，且时，，又,则（）.（A）在上单调增加，且；（B）在上单调增加，且；（C）在上单调减少，且；（D）在上单调增加，但的正负号无法确定.6、是可导函数在点处有极值的（）.（A）充分条件；（B）必要条件（C）充要条件；（D）既非必要又非充分条件.7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（）.（A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；（B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；（C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；（D）极大值必大于极小值 .8、若在内，函数的一阶导数，二阶导数,则函数在此区间内( .（A）单调减少，曲线是凹的；（B）单调减少，曲线是凸的；（C）单调增加，曲线是凹的；（D）单调增加，曲线是凸的.9、设，且在点的某邻域中（点可除外），及都存在，且,则存在是存在的（）.（A）充分条件；（B）必要条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件 .10、（）.（A）0；（B）；（C）1；（D）.二、求极限：1、（）；2、；三、一个半径为的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？四、若,试证.五、设有拐点（1，2），并在该点有水平切线，交轴于点（3，0），求.六、确定的值，使抛物线与正弦曲线在点相切，并有相同的曲率.七、绘出函数的图形.八、设在上连续，在(0,1内可导，且,试证：对任意给定的正数在内存在不同的，使第四章不定积分一、选择题：1、设是区间内连续函数的两个不同的原函数，且,则在区间内必有（）（A）；（B）；（C）；（D）.2、若则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.3、在某区间内具备了条件（）就可保证它的原函数一定存在（A）有极限存在；（B）连续；（B）有界；（D）有有限个间断点4、下列结论正确的是（）（A）初等函数必存在原函数；（B）每个不定积分都可以表示为初等函数；（C）初等函数的原函数必定是初等函数；（D）都不对 .5、函数的一个原函数(（A）; （B）;（C; （D） .6、已知一个函数的导数为，,这个函数是（）（A）（B）（C）; （D）7、下列积分能用初等函数表出的是（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、且则（）（A）；（B）;（C）; （D） .9、（）（A）; （B）;（C）；（D）.10、（）（A）；（B）；（C）；（D）.二、求下列不定积分：1、;2、;3、;4、;5、;6、;7、; 8、;9、; 10、.三、设，求.四、设,(为不同时为零的常数，求.五、时，连续，求.第五章定积分一、选择题：1、 (（A）；（B）；（C）；（D） .2、=（）（A）；（B）；（C）；（D） .3、 =(（A）；（B）；（C）；（D） .4.、定积分的值是（）（A）；（B）；（C）；（D） .5、下列积分中，使用变换正确的是（）（A）令；（B），令；（C），令；（D），令 .6、下列积分中，值为零的是（）（A）； (B）；（C）；（D） .7、已知,则（）（A）12；（B）8；（C）7；（D）6.8、设，则定积分（）（A）；（B）；（C）; （D）.9、广义积分=（）（A）；（B）；（C）；（D）发散. 10、广义积分（）（A）；（B）；（C）；（D）发散.二、证明不等式: .三、求下列函数的导数：1、;2.、由方程，函数，求.四、求下列定积分：1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、； 8、.五、设上有连续导数，且,试证：.六、设在[0，1]上有二阶连续导数，证明：.第六章定积分的应用一、选择题：1、曲线与直线，及所围成的区域的面积（）；（A）；（B）；（C）；（D） .2、曲线与所围图形公共部分的面积（）；（A）；（B）；（C）；（D） .3、曲线所围图形的面积（）；（A）；（B）；（C）；（D）.4、由球面与旋转锥面之间包含轴的部分的体积( ；（A）；（B）；（C）；（D）5、用一平面截半的球，设截得的部分球体高为体，则（）；（A）；（B）；（C）；（D）.6、曲线上点处的切线与曲线所围图形的面积（）；（A）（B）；（C）；（D）.7、抛物线自点至点的一段曲线弧长=（）；(A；(B；(C；(D .二、在区间内求，使及所围成两块面积之和为最小 .三、设曲边梯形是由连续曲线，与两直线所围成的，求证：存在直线将曲边梯形的面积平分 .四、求摆线，1、旋转一周所成曲面的面积；2、旋转一周所成曲面的面积 .五、有一旋转体，它由曲线，，以及直线所围成的平面图形旋转而成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴的距离，求它的质量 .六、以的流量往半的半球形水池内注水1、求在水池中水深时水面上升的速度；2、若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？第七章微分方程一、选择题:1、一阶线性非齐次微分方程的通解是( . (A；(B；(C；(D.2、方程是( .(A齐次方程； (B一阶线性方程；(C可分离变量方程 .3、的特解是( .(A； (B；(C； (D.4、方程的通解是( .(A；(B；(C； (D.5、方程的通解是( .(A；(B；(C；(D.6、若和是二阶齐次线性方程的两个特解,则(其中为任意常数((A是该方程的通解； (B是该方程的解；(C是该方程的特解； (D不一定是该方程的解.7、求方程的通解时,可令( .(A； (B；(C； (D.8、已知方程的一个特解为,于是方程的通解为( .(A； (B；(C； (D.9、已知方程的一个特,则另一个与它线性无关的特解为( .(A ；(B ；(C ；(D .10、方程的一个特解形式是 ( .(A ；(B ；(C ；(D .二、求下列一阶微分方程的通解:1、；2、；3、.三、求下列高阶微分方程的通解:1、；2、.四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、,；2、,.五、已知某曲线经过点,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程 .六、设可导函数满足, 求.七、我舰向正东处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?第一章函数与极限测验题答案一、1、B； 2、D； 3、B； 4、C； 5、C；6、D；7、C；8、B；9、D； 10、D；二、1、 2、[4,5].三、.四、.五、1、2； 2、； 3、； 4、1； 5、；6、.六、七、可去间断点, 跳跃间断点,无穷间断点,为其它实数时连续.第二章导数与微分测验题答案一、1、D； 2、B； 3、A； 4、D； 5、D；6、A；7、C；8、B；9、B； 10、A；二、1、；2、；3、；4、；5、；6、.四、1、；2、.五、.六、2.09.七、(公里/小时.第三章微分中值定理测验题答案一、1、D； 2、D； 3、A； 4、B； 5、D；6、B；7、C；8、D；9、B； 10、C.二、1、； 2、； 3、； 4、不存在.三、.五、.六、.第四章不定积分测验题答案一、1、D； 2、D； 3、B； 4、D； 5、D；6、B；7、D；8、B；9、D； 10、C.二、1、； 2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、.三..四.;五..第五章定积分测验题答案一、1、C； 2、A； 3、C； 4、D； 5、C；6、D；7、B；8、A；9、C； 10、D.三、1、； 2、.四、1、； 2、； 3、； 4、；5、1；6、；7、；8、.第六章定积分的应用测验题答案一、 1、A； 2、D； 3、B； 4、D；5、B；6、D；7、A；8、A .二、. 四、1、； 2、.五、.六、1、； 2、.第七章微分方程测验题答案一、1、C； 2、A； 3、B； 4、A； 5、B；6、B；7、B；8、B；9、A； 10、C.二、1、；2、；3、.三、1、；2、.四、1、；2、.五、.六、.七、.。