电路原理-动态电路的暂态过程.

δ(t t0 ) 0

δ(t t0 ) dt 1
t t0
1
O
t
t
0
三、单位阶跃函数与单位冲激ห้องสมุดไป่ตู้数的关系
0 ε(t) 1
t 0 t 0
ε(t) 1
O δ(t)
δ(t) 0
t0
1

δ(t)dt 1
O
t t
δ(t) dε(t) dt
t
0 - ε(t t0 ) 1
t t0 t t0
1
单位阶跃函数对应着物理世界中在某一时刻发生突变的
物理量。应用单位阶跃函数可以描述电路中因开关动作导
致的某些电压、电流发生的跃变。
S (t 0)
1
u/V
+
+6
6V 6V
Ru
-
-
S (t 1s)
2
O
1
u/V 6 (t)
当电路中的电阻元件、电容元件、电感元件 都是线性非时变元件时，输入——输出方程将是线 性常系数微分方程。
线性常系数微分方程的求解
A df (t) Bf (t) C dt
1. 先求对应的齐次方程的通解
通解前的 系数a是未 知量
A df (t) Bf (t) 0 特征方程 Ap B 0
0 1
t 0 t 0
O
t
移位的单位阶跃函数：
ε(t t ) 0
1
0 ε(t t0 ) 1
t t0 t t0
O
t 0
t
幅度为A的阶跃函数：
Aε(t)
A
0
Aε(t
)


A
t 0 t 0
O
t
负单位阶跃函数：
ε(t t ) 0 t 0
O
第四章 动态电路的暂态 过程·暂态与稳态
内容提要
➢ 动态电路的过渡过程
➢ 单位阶跃函数
➢ 单位冲激函数 ➢ 电容电压和电感电流的
连续性条件 ➢ 输入-输出方程和初始条件
的确定 ➢ 动态电路的响应
4-1 动态电路的过渡过程
动态电路
电容和电感元件是动态元件，其电压
电流关系（u-i关系）是用导数或积分形式 表示的。
+
1μF
u 5V
-C
i C
+
1μF
u
-C
u /V C 5
t/s O
uc 51 (t)
例4-2-3 图示电路，开关S在 t 0 时断开，求电感
电流 iL 和电感电压uL
S(t 0) 0.2A 6V
瞬间完成 渐变完成
新稳态 新稳态
动态电路的渐变过程称为瞬态过程（又称过渡过程），处 于瞬态过程中的工作状态称为瞬态。此过程中的电路响应称 为瞬态响应。求解瞬态响应的过程称为瞬态分析。
电路出现瞬态过程的原因是，动态元件的储能不能突变。
S(t 0) 10
+ 6V-6V
+
50 u
-
S(t 0) 10
0
t t 0
t t 0
O
f (t)ε(t t ) 0
tO
t 0
t
二、单位冲激函数
δ(t)
单位冲激函数的定义：
δ(t) 0

δ(t)dt 1
t0
1
O
t
单位冲激函数的理解：从一个时刻看，其幅度是无穷大，但从一段
时间看，它带来的能量变化是有限的。
移位的单位冲激函数：
δ(t t ) 0
dt
特征根
通解
p


B A
f
(t)

ae
B A
t
至此a仍 然未知
2. 求特解
根据原方程等号右边的函数式，设特解为与其相同的形
式b，并将特解带回原方程求出特解 b C / B
3. 通解与特解之和就是方程的解 f (t) aeBAt C / B
4. 利用初始条件求出通解中的未知系数a
f (t) aeBAt C / B f (0) a C / B a f (0) C / B
)V-6V
+
1μF
u
-C
ic (t) C
duc dt
5106 (t)
这是一个瞬间存在的，幅度无穷大，强度有限的电流
例4-2-2 图示一个已充电且电压为 5 V 的电容元件在 t 0 时，通过开关S闭合使电容元件两极板被短接 放电的电路。求电容的放电电流 iC 。
S(t 0) i C
i C du dt
u L di dt
u(t
)

u(t0
)

1 C
t
i( )d
t0
1
i(t) i(t0) L
t
u( )d
t0
含有动态元件的电路是动态电路。
电路的输入、输出方程
如果将电路中的电压源的电压或电流源的电流 称为输入，将待求的响应电压或响应电流称为输出， 可以建立一种描述该电路的输出变量与输入变量之 间的关系的电路方程，通常称其为输入——输出方 程。
到0+的瞬 间内完成
t＝0＋ 表示换路后的初始瞬间。
本章以后分析的动态电路大多是t≥0时的电路，电路方
程亦是指t≥0时电路的输入—输出方程。如果输入—输出方
程是n阶微分方程，则电路方程的初始条件是所求变量（电
压或电流）及其(n－1)阶导数在t＝0＋时的值。
电路的瞬态过程
电路 条件 改变
电阻电路 动态电路
t
ε(t) δ( ) d
t
δ( )

d

0 1
t 0 t 0
例4-2-1 图示电路表示一个未充电的电容元件在 t 0 时通过开关S接入一个5 V的电压源，求电容
电压 uC 和电容电流 iC
S(t 0) i C
i C
+
5V 6V
-
+
+
1μF
u
-C
u s

5ε(t
+ 6V-6V
+
5μF u
-
10 u u 6 50
解得 u＝5V
u/V
5
10 5106
duC dt
uC
6
uC (6e－2000t 6) V t≥0
u/V
6
O
t/s O
t/s
4-2 单位阶跃函数和 单位冲激函数
一、单位阶跃函数
单位阶跃函数的定义：
ε(t)
1
ε(t
)

6
t/s O
u/V
1
t/s
O
t / s 6 6 (t 1)
t<0 S1断开，S2闭合； t=0 S1闭合，S2闭合； t=1 S1闭合，S2断开。
u [6ε(t) 6ε(t 1)]
单位阶跃函数还可以用来“起始”任意一个函数f(t)
f (t)
f (t)
f
(t)ε(t

t 0
)

A df (t) Bf (t) C 的完整解为： dt
f (t) ( f (0) C / B)eBAt C / B
换路
换路：指电路工作条件的改变。
包括：电源或电路的接通与断开、开关的接通与断开、
电路连接结构或元件参数的改变。
设定 t＝0 发生换路。
换路在0-
t＝0－ 表示换路前的终了瞬间。