单元8+++梁的弯曲

单元8 梁的弯曲

知识点：梁弯曲变形的概念；梁平面弯曲时横截面上的内力——弯矩和剪力、内力正负号规定；截面法求指定截面上的内力；用剪力方程、弯矩方程作简单梁的剪力图和弯矩图；荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制内力图上的应用；叠加法绘制弯矩图；区段叠加法绘制弯矩图。

梁纯弯曲时的正应力分布规律及正应力计算公式；梁的正应力强度条件及强度计算；矩形截面与工字形截面梁剪应力的计算公式、常用截面梁的最大剪应力公式；梁的剪切强度条件；梁的合理截面形状、提高梁抗弯强度的措施。

梁变形的概念；挠曲线近似微分方程；抗弯刚度；叠加法求梁的变形；梁的刚度条件；提高梁刚度的措施。

一点处的应力状态、单元体、平面应力状态、主应力、主平面，最大切应力；梁的主应力迹线；强度理论简介。

教学目标：理解梁平面弯曲的概念及其受力特点、变形特点；掌握用截面法计算梁的剪力和弯矩；掌握画梁的内力图的基本方法及其规律；理解荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系；理解叠加原理；掌握用叠加法画弯矩图。

掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。

掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。

理解应力状态、单元体的概念；掌握平面应力状态分析的解析法；掌握主应力、主平面、最大剪应力的概念及其计算；了解梁的主应力迹线；了解强度理论。

课题1 平面弯曲

1.1 平面弯曲

当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(下图)时，杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。

弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如下图所示。

工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，这根对称轴与梁轴线所组成的平面，称为纵向对称平面（见下图）。如果作用在梁上的外力(包括荷载和支座反力)和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。

1.2 单跨静定梁的几种形式

工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：

(1)悬臂梁梁的一端为固定端，另一端为自由端（见下图a）。

(2)简支梁梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（见下图b）。

(3)外伸梁梁的一端或两端伸出支座的简支梁（见下图c）。

课题2 梁的弯曲内力——剪力和弯矩

为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。下面将着重讨论梁的内力的计算方法。

2.1 截面法求内力

2.1.1 剪力和弯矩

下图（a）所示为一简支梁，荷载F和支座反力RA、RB是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m—m上的内力。假想将梁沿优m一m截面分为两段，现取左段为研究对象，从图9—6可见，因有支座反力RA作用，为使左段满足Σy=O，截面m—m上必然有与RA等值、平行且反向的内力Q存在，这个内力Q，称为剪力；同时，因R A对截面m—m的形心。点有一个力矩R A·a的作用，为满足三眠截面m—m上也必然有一个与力矩R A·a大小相等且转向相反的内力偶矩M存在，这个内力偶矩M称为弯矩。由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力素，即剪力和弯矩。

（a）

剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为N·m或kN·m。

剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得，即：

如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面m—m上的Q和M，根据作用与反作用力的关系，它们与从右段梁求出m—m截面上的Q和M大小相等，方向相反,(c)图所示。

2.1.2 剪力和弯矩的正、负号规定

为了使从左、右两段梁求得同一截面上的剪力Q和弯矩M具有相同的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定：

(1)剪力的正负号

使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负(下图a、b)。

(2)使梁段产生下侧受拉的弯矩为正,反之为负(下图a、b)

2.1.3 用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩

用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的步骤如下：

(1)计算支座反力；

(2)用假想的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段为研究对象；

(3)画出研究对象的受力图(截面上的Q和M都先假设为正的方向)；

(4)建立平衡方程，解出内力。

【例1】简支梁如图所示。已知F1=30kN，F2=30kN，试求截面1—1上的剪力和弯矩。

【解】 (1)求支座反力，考虑梁的整体平衡

如取1-1截面右段梁为研究对象如上图b,可得出同样的结果

课题3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图

为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。

3.1 剪力方程和弯矩方程

从上节的讨论可以看出，梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标x来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即：

Q=Q(x)， M= M (x)

以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。

3.2 剪力图和弯矩图

为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴上方，如图9—12所示。

【例2】简支梁受均布荷载作用如下图所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。

【解】 (1)求支座反力

因对称关系，可得