数学常见辅助线做法与小结

数学常见辅助线做法与

小结

集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面可小编给大家整理了一些常见的添加辅助线的方法，掌握了对你一定有帮助！

1

三角形中常见辅助线的添加

1. 与角平分线有关的 ??

（1）可向两边作垂线。 ??

（2）可作平行线，构造等腰三角形 ??

（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 ??

2. 与线段长度相关的 ??

（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 ??

（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 ??

（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 ??

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。 ?

3. 与等腰等边三角形相关的 ??

（1）考虑三线合一 ??

（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60?°

2

四边形中常见辅助线的添加

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。

1. 和平行四边形有关的辅助线作法 ? ????

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。?

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形 ?

（2）利用两组对边平行构造平行四边形 ?

（3）利用对角线互相平分构造平行四边形 ??

2. 与矩形有辅助线作法 ? ?

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题 ?

（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

3. 和菱形有关的辅助线的作法 ? ??? ? ?

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.?

（1）作菱形的高 ??

（2）连结菱形的对角线?

4. 与正方形有关辅助线的作法 ? ???

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线?

3

圆中常见辅助线的添加

1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时） ??

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 ??

作用：?

① ?利用垂径定理? ? ? ? ?

② ?利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系? ? ? ? ?

③ ?利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量?

2. 遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角 ? ?

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形? ?

3. 遇到90度的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端点???作用：利用圆周角的性质，可得到直径 ??

4. 遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点 ?

作用：①可得等腰三角形

②据圆周角的性质可得相等的圆周角 ??

5. 遇到有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切

点）?? ? ? ? ?

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形 ??

常常添加连结圆上一点和切点 ? ?

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 ??

6. 遇到证明某一直线是圆的切线时 ? ?

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。 ?作用：若OA=r，则l为切线 ??

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） ?

作用：只需证OA⊥l，则l为切线 ??

（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线?

7. 遇到两相交切线时（切线长） ??

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点 ? ?

作用：据切线长及其它性质，可得到 ? ??

① ?角、线段的等量关系 ? ??

② ?垂直关系 ? ? ??

③ ?全等、相似三角形 ?

8. 遇到三角形的内切圆时 ??

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段 ? ?

作用：利用内心的性质，可得 ??

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线

②内心到三角形三条边的距离相等 ??

9. 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 ? ??

作用：外心到三角形各顶点的距离相等 ??

10. 遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） ??常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线 ? ??

作用：①利用切线的性质； ? ?②利用解直角三角形的有关知识 ?? 11. 遇到两圆相交时 ?常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等 ? ? ?

作用：?① ?利用连心线的性质、解直角三角形有关知识? ? ? ? ??

② ?利用圆内接四边形的性质 ? ? ? ?

③ ?利用两圆公共的圆周的性质 ? ? ? ??

④垂径定理 ??

12．遇到两圆相切时 ??

常常作连心线、公切线 ? ? ??

作用：① ?利用连心线性质 ? ? ? ? ?

② ?切线性质等 ??

13. 遇到三个圆两两外切时 ??

常常作每两个圆的连心线 ? ? ? ?

作用：可利用连心线性质 ? ?

14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时?

常常添加辅助圆 ??

作用：以便利用圆的性质