过程建模1-最小二乘
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。
它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。
随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。
二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。
参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。
其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。
一般情况下，观测值远多于所选择的参数。
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。
高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。
令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。
人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。
除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。
确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。
偏最小二乘建模的全过程MATLAB程序与结果
一.利用160组数据建PLS 回归模型。
>> clear >> load ysj>> X=ysj(:,1:8); >> Y=ysj(:,9:11); >> E0=stand(X); >> F0=stand(Y); >> A=rank(E0);>> [W,C,T,U,P,R]=bykpcr(E0,F0); W ：自变量轴权重； C ：因变量轴权重；T ：自变量系统主成分得分； U ：因变量系统主成分得分； P ：模型效应载荷量； R ：因变量载荷量。
（一）.确定主成分个数三种方法： （1）复测定系数：2221()hkk k h tr R F =⨯=∑复测定系数表示所提取的主成分的可解释变异信息占总变异的百分比。
当 h m =，复测定系数的值足够大时，可再第m 步终止主成分的提取计算。
通常20.85m R ≥即可。
>> RA=plsra(T,R,F0,A)RA =0.3390 0.4831 0.5731 0.6358 0.6488 0.6522 0.6531 0.6537结论：利用这个方法，无法确定。
（2）类似典型相关分析中的精度分析方法：>> [Rdx,RdX,RdXt,Rdy,RdY ,RdYt]=plsrd(E0,F0,T,A) Rdx =0.3034 0.4348 0.0539 0.1326 0.0082 0.0132 0.0331 0.0208 0.2661 0.1918 0.0549 0.1932 0.1852 0.0001 0.0416 0.0671 0.0400 0.1010 0.3281 0.0191 0.4557 0.0529 0.0002 0.0030 0.0206 0.0813 0.4868 0.0492 0.0469 0.3026 0.0021 0.0104 0.0016 0.0472 0.5869 0.0921 0.0126 0.1955 0.0101 0.0540 0.2667 0.2229 0.2517 0.0002 0.0447 0.0638 0.0634 0.08660.2746 0.1859 0.0112 0.0041 0.0006 0.0434 0.4569 0.02330.5467 0.4430 0.0018 0.0001 0.0072 0.0003 0.0008 0.0001RdX =0.2150 0.2135 0.2219 0.0613 0.0951 0.0840 0.0761 0.0332 RdXt =1.0000Rdy =0.0092 0.0002 0.1325 0.0438 0.0195 0.0019 0.0002 0.00030.0761 0.0613 0.0112 0.0568 0.0001 0.0025 0.0001 0.00060.4591 0.1697 0.0009 0.0000 0.0013 0.0010 0.0011 0.0001 RdY =0.1814 0.0771 0.0482 0.0336 0.0070 0.0018 0.0005 0.0003 RdYt =0.3498>> [V]=LJRdX(RdX)V =0.2150 0.4284 0.6504 0.7117 0.8068 0.8908 0.9668 1.0000（3）累计贡献率：>> [U]=LJGXL(X,T,A)U =0.1756 0.3846 0.5791 0.6308 0.7198 0.7981 0.8711 0.9043(4) 交叉有效性由于不会编交叉有效性的MATLAB 程序，因此，没再验证。
最小二乘曲面拟合插值法
最小二乘曲面拟合插值法1. 引言1.1 背景介绍最小二乘曲面拟合插值法是一种重要的数学建模方法，它在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。
背景介绍将从最小二乘法和曲面拟合的基本概念入手，引出最小二乘曲面拟合插值法的重要性和必要性。
在数学建模中，最小二乘法是一种用于拟合数学模型与实际数据之间关系的经典方法。
通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳的拟合曲线或曲面，从而准确描述数据的分布规律。
曲面拟合则是在二维或三维空间中，用曲面来逼近一组离散数据点的方法，它在地理信息系统、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。
最小二乘曲面拟合插值法结合了最小二乘法和曲面拟合的优势，能够更加灵活地适应不规则数据的拟合需求。
通过在曲面上插值数据点，可以得到更加平滑和连续的曲面模型，提高了数据的分析和预测精度。
在接下来的将详细介绍最小二乘曲面拟合插值法的原理、算法流程、应用领域以及优缺点，以便更好地理解和运用这一重要的数学建模方法。
1.2 研究目的研究目的是通过最小二乘曲面拟合插值法，实现对给定数据集的曲面拟合，从而可以更准确地预测未知数据点的值。
目前，曲面拟合在许多领域都有着广泛的应用，比如地理信息系统中的地形建模、工程领域中的曲面设计等。
我们的研究目的是探讨最小二乘曲面拟合插值法的原理和方法，分析其在实际应用中的优缺点，为实际工程和科学研究提供一种更精确的曲面拟合方法。
我们希望通过本研究，能够为相关领域的研究者和实践者提供一个有效的工具，帮助他们更好地解决曲面拟合问题，提高数据预测的准确性和可靠性。
最终的目的是推动科学技术的发展，促进社会的进步和发展。
2. 正文2.1 最小二乘曲面拟合方法最小二乘曲面拟合方法是一种在数学建模和数据分析中常用的技术，它可以通过拟合数据点来找到最佳的曲面模型。
最小二乘曲面拟合方法的核心思想是通过最小化误差的平方和来求解最优的曲面参数，从而使得拟合曲面与实际数据点尽可能接近。
数学建模 非线性最小二乘问题
1、非线性最小二乘问题用最小二乘法计算：sets:quantity/1..15/: x,y;endsetsmin=@sum(quantity: (a+b* @EXP(c*x)-y)^2);@free(a); @free(b);@free(c);data:x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddata运算结果为：Local optimal solution found.Objective value: 44.78049 Extended solve steps: 5Total solve iterartions: 68Variable Value Reduced CostA 2.430177 0.000000B 57.33209 0.000000C -0.4460383E-01 0.000000由此得到a的值为2.430177，b的值为57.33209，c的值为-0.04460383。
线性回归方程为y=2.430177+57.33209* @EXP(-0.04460383*x)用最小一乘法计算：程序如下：sets:quantity/1..15/: x,y;endsetsmin=@sum(quantity: @ABS(a+b*@EXP(c*x)-y));@free(a); @free(b);@free(c);data:x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddata运算结果为：Linearization components added:Constraints: 60Variables: 60Integers: 15Local optimal solution found.Objective value: 20.80640Extended solver steps: 2Total solver iterations: 643Variable Value Reduced CostA 3.398267 0.000000B 57.11461 0.000000C -0.4752126e-01 0.000000由上可得a的值为3.398267，b的值为57.11461，c的值为-0.04752126。
第一节过程建模自衡单容过程的建模
f1(t)
fn(t)
x(t)
e(t) 调节器
u(t)
过程
y(t)
+
_
z(t)
测量变送
内部扰动（基本扰动）----通常是一个可控性良好的输入 量选作为控制作用，即调节器输出量u(t)作为控制作用。 基本扰动作用于闭合回路内，对系统的性能起决定作用。
外部扰动-----其他的输入量则称为扰动作用（f1（t）～ fn（t））。外部扰动对过程控制也有很大影响。
1 Ta s
e s时
Ta , ?
Ta
dy dt
t
自衡阶跃响应曲线确定模型参数
切线法（作图法）：如图所示。
y(t)
y()
A
D
O C T0
B
t
W 0(s) k0e0s T0s 1
由图可得：
k0
y() x ____0
0 OC
____
T0 BC
自衡阶跃响应曲线确定模型参数
两点计算法：
0
设 y*(t) y(t) y()
物料传输、管道输送等
容量时延：过程（对象 ）对于输入的响应在 时间上存在延迟。
由对象的容量大小、阻力大小决定
非自衡单容过程的建模
dh q1 C dt
q2 0
dh q1 q2 C dt
W 0(s) 1 1 Cs Ta s
Ta －积分时间常数
无自衡多容过程 的建模
k0
y() x0
自衡阶跃响应曲线确定模型参数
y(t) y() 0.8y()
0.4 y()
o
t1
t2
自衡阶跃响应曲线确定模型参数
建模方法-最小二乘法
解得 从而得到
A= −4.48072, b = −1.0567
a = e = 11.3253×10
A
−3 −1.0567t
−3
y = 11.3253×10 e
= F (t)
(2)
请回答: 请回答: 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 只要分别计算这两个数学模型的误差， 答 ： 只要分别计算这两个数学模型的误差 ， 从中挑选误差较小的模型即可。 从中挑选误差较小的模型即可。
δ = ∑δi2 = ∑[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0 i=0
m
m
[ = min ∑ S( xi ) − yi ]2
S( x)∈ ϕ i=0
m
3. 广义定义 通常把最小二乘法 δ 都考虑为加权平方和
2 2
即
δ = ∑ω(xi )[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0
m
ω( x) ≥ 0
i i
(2)使残差的绝对值之和为最小 使残差的绝对值之和为最小
∑e
i
i
= min
(3)使残差的平方和为最小 使残差的平方和为最小
∑e
i
2 i
= min
最小二乘法
2. 一般定义 已知： 一组数据（ 已知： 一组数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)， ， 求： 在函数类 ϕ = span{ϕ0 ,ϕ1,...,ϕn }中找一 ∗ 使误差平方和最小， 个函数 y = S (x) ，使误差平方和最小， 即
y = 1.2408
(i = 1,...,16) 。 xi , yi ) 可由原始 (
计算出来。 数据 (ti , yi ) 计算出来。
第二章 过程建模
2.1 先验知识
4.两个基本方法：
1）机理法建模：
根据生产过程中实际发生的物化机理，写出各种有关的 平衡方程，分析过程内在联系，消去中间变量，写出输入与 输出间的关系。
应用条件：充分掌握机理，能比较确切进行数学描述。
2）试验法建模：
根据过程输入、输出的实测数据，经过数学处理（过 程辨识与参数估计）得到完全从外特性上和过程相吻合的 数学模型。
4）滞后（迟延）过程
Q0
e-τs
Q1
纯迟延
u
Ku
Q0
1 Cs
Q1
_ Q2
h
(1)传递函数：
1 R
H (s) K e 0 s U (s) Ts 1 K （多容） e 0 s （Ts 1 n ）
4）滞后过程
(2)响应曲线：
0
2、无自平衡过程
1）单容过程
u
ku
Q1
流出量Q2由水泵强制打出。Q2 的大小决定于水泵的容量和转速 ，而与水槽水位的高低无关
一阶微分方程式
(4)原理框图：
u
Ku
Q1
1 C2 s
h1
1 R2
自平衡单容对象
1）单容过程
(5)响应曲线： u
阀门开度
u0
u0
流
量
Q
t0
dQ
Q1
Q2
t
Q10 Q20
t0
dh
t
液
位
h
h( )
t
h0
t0
多 容
1）单容过程
(6)特征参数： （选学）
放大系数K ∵ h(∞)＝KΔ u0
与输入稳态值之比，
消去中间变量，得：
最小二乘法
最小二乘法一、最小二乘法概述最小二乘法是1795年高斯在预测星体运行轨道最先提出的，它奠定了最小二乘估计理论的基础．到了20世纪60年代瑞典学者Austron 把这个方法用于动态系统的辨识中，在这种辨识方法中，首先给出模型类型，在该类型下确定系统模型的最优参数。
我们可以将所研究的对象按照对其了解的程度分成白箱、灰箱和黑箱。
于其内部结构、 机制只了解一部分，对于其内部运行规律并不十分清楚，这样的研究对象通常称之为 “灰箱”；如果我们对于研究对象的内部结构、 内部机制及运行规律均一无所知的话，则把这样的研究对象称之为“黑箱”。
研究灰箱和黑箱时，将研究的对象看作是一个系统，通过建立该系统的模型，对模型参数进行辨识来确定该系统的运行规律。
对于动态系统辨识的方法有很多，但其中应用最广泛，辨识效果良好的就是最小二乘辨识方法，研究最小二乘法在系统辨识中的应用具有现实的、广泛的意义。
应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识两种离线辨识是在采集到系统模型所需全部输入输出数据后，用最小二乘法对数据进行集中处理，从而获得模型参数的估计值；而在线辨识是一种在系统运行过程中进行的递推辨识方法，所应用的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正，以取得更为准确的参数估计值。
假设一个SISO 系统如下图所示：图1 SISO 系统结构图其离散传递函数为：（1）输入输出的关系为：)()()()(1k y k e z G k u =+•- （2）进一步，我们可以得到：)()()()()(11k e z B k u z A k y +⋅=⋅-- （3）其中，扰动量)(k e 为均值为0，不相关的白噪声。
将式（3）写成差分方程的形式：)()()2()1()()2()1()(2121k e n k u b k u b k u b n k y a k y a k y a k y n n +-⋯+-+-+--⋯-----=（4）令T n k u k u k u n k y k y k y k ])()2()1()()2()1([)(-⋯----⋯----=ϕnn n n z a z a z a z b z b z b z A z B z G ---------+⋯++++⋯++==221122111111)()()(][2121n nb b b a a a ⋯⋯=θ则式（4）可以写为：)()()(k e k k y T+=θϕ （5）将上述式子扩展到N 个输入、输出观测值{)(),(k y k u }，k=1,2,…，N+n 。
最小二乘法
L B L B[0.45 ( B 60)/900]
的大小比较成绩优劣的建议。
上述公式具有各不相同的基准，无法相互比较。为了使公式具 有可比性，需要对公式稍作处理。例如，我们可以要求各公式 均满足在 B=75公斤时有 L’=L，则上述各公式化为：
（1）Austin公式：
（2）经典公式： （3）O’ Carroll公式：
九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举 52 109 141 和挺举。 表中给出了到1977年底为止九个 56 120.5 151 重量级的世界纪录。 60 130 161.5
显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重 67.5 141.5 180 成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的 75 157.5 195 成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理 82.5 170 207.5 因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模 90 180 221 型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录， 110 185 237.5 根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见， 我们不妨取表中的数据为例。 200 255 110以上
K k k k 1 2 3 3
2 3
2 3
L k1 k 2 ( B
k3
) KB
2 3
2 3
显然，K越大则成绩越好，故可用 比赛成绩的优劣。
L LB
来比较选手
模型4（O’ Carroll公式）
经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可 信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。1967年，O’ Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的 公式。O’ Carroll模型的假设条件是： (1) L=k1Aa, a<1 1 k越大成绩越好。因而建议 (2) A=k2Lb, b< 2 L L(B 35) 3 (3) B-Bo =k3根据的大小 L3 来比 较选手成绩的优劣。 假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中O’ Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。 根据三条假设可 得L=k(B-B0 故有： L
最小二乘法在数学建模中的应用
最小二乘法在数学建模中的应用
最小二乘法在数学建模中的应用
最小二乘法（Least Squares Method，LSM）是一种用来近似拟
合数据的算法，它能够有效地从一组数据中求出最佳拟合的参数。
它的应用广泛，可以用于各种类型的数据拟合，如线性回归，逻辑函数拟合，多项式拟合等等。
这篇文章旨在介绍最小二乘法在数学建模中的应用。
最小二乘法的基本原理是：给定一组数据坐标点，寻找一组参数，使得模型函数与所有数据点的距离的平方和最小。
最小二乘法可以用于找到上述最佳参数，从而求出模型函数的最优拟合。
最小二乘法是一种直观而有效的拟合方法，可以通过给定数据解决许多问题，如多项式拟合，曲线拟合，线性回归等等。
最小二乘法可以用于数学建模中的不同手段。
下面介绍其在数学建模中的三种典型应用：
（1）多项式拟合。
多项式拟合是最小二乘法的一种重要应用。
在数学建模中，多项式拟合可以用来描述数据集的趋势，让测量者以把握变化的方式进行测量。
最小二乘法可以用来找出最佳多项式参数，从而优化拟合精度。
（2）线性回归分析。
线性回归是建模的常用方法，它可以用来
预测一个变量和多个变量之间的关系。
最小二乘法可以用来拟合这种多变量关系，确定线性回归模型的最优参数，从而进行预测。
（3）逻辑函数拟合。
最小二乘法可以用来适应数据集，并找出
符合数据趋势的函数模型。
逻辑函数拟合就是其中之一，它可以用来求解复杂的数学问题。
最后，最小二乘法在数学建模中的应用十分广泛，它可以帮助更好地估计数据模型的参数，用来更精准地拟合分析数据，并有助于精细地控制数学建模过程的结果。
最小二乘法及数据拟合
实验五 最小二乘法及数据拟合建模的回归分析一、实验目的:1．掌握用最小二乘建立回归数学模型。
2．学习通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，通过回归分析来判断模型建立是否正确。
3．应用建立的模型进行预测。
二、基本原理和方法 1．建立回归数学模型在进行建模和仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合。
拟合的目的是寻找给定的曲线（直线），它在某种准则下最佳地拟合数据。
最佳拟合要在什么准则下的最佳？以及用什么样的曲线模型去拟合。
常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。
本实验在Matlab 平台上，以多项式最小二乘拟合为例，掌握回归模型的建立（包括参数估计和模型建立）和用模型进行预测的方法，并学习回归分析的基本方法。
2．在MATLAB 里，用于求解最小二乘多项式拟合问题的函数如下： polyfit 最小二乘多项式拟合p=polyfit(x,y,n) 对输入数据y 的n 阶最小二乘拟合多项式p(x)的系数Y=polyval(p,x) 求多项式的函数值Y )1n (p x )n (p x )2(p x )1(p Y 1n n +++++=−L以下是一个多项式拟合的例子。
已知 x=0,0.1,0.2,0.3,...,0.9,1 共11个点（自变量），实测数据y=-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56,9.48, 9.30, 11.2求：2阶的预测方程，并用8阶的预测方程与之比较。
x=linspace(0,1,11);y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; p=polyfit(x,y,2)%求2阶的预测方程 2210x b x b b y ++= 的系数 p= b 2 b 1 b 0z=polyval(p,x); %求预测的y 值 （z 表示y )） p2=polyfit(x,y,8) %求8阶的预测方程 z1=polyval(p2,x);plot(x,y,'om',x,z,':*r'x,z1, ':+b')图中：”0” 代表散点图 “+”代表8阶预测方程“*”代表2阶预测方程图1 散点图与2阶预测方程3．回归模型的检验回归模型的检验是判断数据拟合的好坏即模型建立的正确与否，为建立模型和应用模型提供支持。
最小二乘法探究
最小二乘法探究0. 前言最小二乘法发源于天体物理学，并广泛应用于其他各个学科。
最小二乘法（Least squares ）又称最小平方法，一元线性回归法，是一种数学优化技术，用于建立经验公式，利用它可以把生产或实验中所积累的某些经验提高到理论上加以分析。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合,是我们在建模竞赛中常用的一种手段。
一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法发源于天体物理学，并广泛应用于其他各个学科。
最小二乘法对于统计学具有十分重要的意义。
相关回归分析，方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础，正如美国统计学家斯蒂格勒（S.M,Stigler ）所说，“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。
故对最小二乘法做一番探究进而理解并掌握这一思想是十分有必要的。
1. 原理在古汉语中“平方”称为“二乘”，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。
根据教材中的描述（两个变量间的函数关系），其基本原理为： 根据已知的自变量与因变量数据做出散点图，进而观察判定出两者间的函数关系，本次探讨以一次函数关系为例，其他类型的函数关系也可通过两边取对数等方法转化为一次函数形式进行求解。
认定y =f (x )是线性函数：f (x )=ax +b a,b 即为待求的常数。
对于求的函数，我们希望它可以尽可能多的拟合到已知的数据点，或者说尽可能的靠近。
转化为量化形式即为使偏差y i −f (x i ) 都很小，对此经过综合分析我们用M =∑[y i −(ax i +b )]2imax i=0最小来保证每个偏差的绝对值都很小，即根据偏差的平方和为最小的条件来确定常数a,b 。
然后运用多远函数的极值求法知识来求解求M =(a,b ）的极小值，具体步骤为：{M a (a,b )=0M b (a,b )=0>>>>>>>>>>>>>>{ðM ða =−2∑[y i −(ax i +b )]x i =0imax i=0ðM ðb =−2∑[y i −(ax i +b )]=0imax i=0 >>>>{∑[y i −(ax i +b )]x i =0imax i=0∑[y i −(ax i +b )]=0imax i=0>>>>>>{a ∑x i 2+b ∑x i imax i=0=∑y i x i imax i=0imax i=0a ∑x i + 8b =∑y i imax i=0imax i=0 (1) 然后再列表计算∑x i 2,∑x i imax i=0,∑y i x i imax i=0imaxi=0,及 ∑y i imax i=0，代入方程组（1），即可求出a,b 。
数学建模-最小二乘拟合实验
《数学建模期末实验作业》院系：数学学院专业：信息与计算科学年级：2014级试题编号：37胡克定律的综合评价分析背景摘要:利用一个打蛋器和一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚的承重墙，这么天方夜谭的事你能相信吗？但它却真的发生了！《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没看过里面的内容，但应该都曾经听过它的大名。
在《越狱》第一季第六集中，Michael要通过地下管道爬到医务室的下面，但是一条重要通道是被封死的，因此必须要把这个封死的墙破坏掉，由于是混凝土结构，因此破坏起来很难，Michael从纹身上拓下魔鬼的画像，投影在掩住管道入口的墙上，用“胡克定律”计算出最佳位置，再用小巧的打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。
相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。
搜狐娱乐曾经报道过，有《越狱》粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。
胡克定律的表达式为F=k・x或厶F=k・A x,其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -k • x。
k 是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
但当我们进行多次实验，便会发现随着F的逐步增大，便不再服从胡克定律。
为此我们应当运用插值与拟合的内容，探索更加准确的公式。
一、建模问题1•问题提出1.1 问题背景弹簧在压力F的作用下伸长x, —定范围内服从胡克定理：F与x成正比, 即F=kx。
现在得到下面一组F，x数据，并在（x，F）坐标下作图，可以看到当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。
2022年秋季-福师《数学建模》在线作业二-[复习资料]-答案3
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2022年秋季-福师《数学建模》在线作业二-0003
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 40 道试题,共 80 分)
1.最小二乘法估计是常见的回归模型参数估计方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
2.样本平均值和理论均值不属于参数检验方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
3.量纲齐次原则指任一个有意义的方程必定是量纲一致的<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
4.对实际问题建模没有确定的模式
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
5.数学建模以模仿为目标
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
6.利用乘同余法可以产生随机数
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
7.大学生走向工作岗位后就不需要数学建模了
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A。
基于模糊最小二乘支持向量机的发酵过程建模研究
ｐ ｎ ｃｌ ｎ ｅ ｍ ｅ ｔｔｏ ｍ ｏ ｅｉ ｇ． Ｔｈ ｓｍ ｕ ａｉ ｎ ｅ ｕｔ ｓ ｏ ｅ ｉｌ ｆｒ ｎ ａｉ ｎ ｉ ｉ ｄ ｌｎ ｅ ｉ ｌｔｏ ｒ ｓ ｌｓ ｈ ｗ ｔａ ｔ ｅ ｉ ｈ ｒ ｒ ｄ ｃ ａ ｃ ｒ ｃ ａ ｄ ｅ ｔｒ ｈ ｔ ｈ ｈ ｇ ｅ ｐ ｅ ｉｔ ｃ ｕ ａ ｙ ｎ ｂ ｔ ｅ
基金项 目：国家 “６ ”项 目 （０ ６ Ａ０ ０ ０ ） ８３ ２０Ａ ２３ １ 作者简介 ：王 闻侠 （９ ３ ） １８ 一 ，男，硕士研究生 通讯联系人 ：潘丰 ，教授． — ｉ ａ＿ｅ ｇ ６ ＠１３ ｏｎ Ｅｍａ ：ｐｎ ｆｎ＿ ３ ６ ． ｉ ｌ ｃ
青霉素发酵过程极其复杂，反应过程 中非线性、 时变性和不确定性严重 ，菌体浓度 、基质浓度等重 ”
要变量难以在线测量 ，这给生产带来 了很大的影 响。 解决这一 问题主要通过软测量建模 。９ ５ ， ａｎ 嘲 １９ 年 Ｖ ｐ ｋ ｉ 等人提 出了以有 限样 本统计学 习理 论为基础 的支持
ｖ ｒ ｉ ｃ ｌ ｔ ａｕｅ ｔｅｍｙ ｅ ａｃ ｎ ｅ ｔ ｔ ｎ ｏ ｌ ｅ Ｔ ｅ ｌａｔｓ ｕ ｒ ｕ ｐ ｒ ｅ ｔｒｍａ ｈｎ ＬＳ Ｓ ｅｙ ｄｆ ｕｔ ｏ ｍｅ ｓ ｒ ｈ ｃ ｌ ｏ ｃ ｎｒ ｉ ｎｉ ． ｈ ｅ ｓ ｑ ａｅ ｓｐ ｏｔｖ ｃｏ ｃ ｉｅ（ ・ ＶＭ） ｉ ｉ ａｏ ｎ
最小二乘法 相关系数
最小二乘法相关系数
最小二乘法建模中相关系数取值范围是[-1，1]。
1、符号：如果为正号，则表示正相关，如果为负号，则表示负相关。
通俗点说，正相关就是变量会与参照数同方向变动，负相关就是变量与参照数反向变动。
2、取值为0，这是极端，表示不相关。
3、取值为1，表示完全正相关，而且呈同向变动的幅度是一样的。
4、如果为-1，表示完全负相关，以同样的幅度反向变动。
最小二乘估计量的特性
根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。
但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳）（Best）性、线性（Linear）及无偏（ Unbiased）性，简称为BLU特性。
这就是广泛应用普通最小二乘法估计经济计量模型的主要原因。
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② 计算已知过程模型在选定的输入和噪声数据下的输 出数据；
③ ④ ⑤ 这样获得了过程的一组输入输出数据，假定模型类 ，其中参数未知，用这组数据进行递推辨识； 将辨识获得的参数估计值与真值进行比较，求出相 对误差； 记录递推过程中的误差序列，检验其白色性。
1 最小二乘法
白噪声序列
1.2.2 递推算法
上篇
线性系统建模
1 最小二乘法 1.1 最小二乘问题的提出
1801年，德国科学家Gauss
1 最小二乘法 1.1 最小二乘问题的提出
回顾：
最小二乘法属于系统辨识中模型参数辨识的一种现代辨 识方法，它基于模型结构已知情况下，获取模型参数的 一种建模方法。
1 最小二乘法 1.1 最小二乘问题的提出
针对带噪声的输入输出数据和一个确定的模型结构：
z k hT k θ e k
问题是如何得到模型参数的估计值。最小二乘法就是求出 使实际观测值与模型计算值之差的平方和达到极小的参数 值作为估计值。
J f k 2 k
k 1 k 1
ˆ
1 最小二乘法
仿真举例：
考虑如下图所示的仿真对象，
1.2.2 递推算法
图中vk 是服从N(0,1)分布的不相关随机噪声；输入信 号uk 采用四阶M序列，幅度为1，循环周期Np＝15bit
1 最小二乘法
辨识仿真研究的步骤 ①
1.2.2 递推算法
选取和产生一组输入数据、噪声数据（长度为L）；
定理2 如果最小二乘模型的噪声向量 n L 是均值为零的白 噪声，则一次完成算法给出的参数估计值 ˆLS 是一致收敛的 ，即 ˆ lim LS 0
L
0 为模型参数真值。 其中，
1 最小二乘法
！总结
1.2.1 一次完成算法
当获得一批数据后，利用 一次完成算法 可一次求得相应的 参数估计值。 此种方法在理论研究中有许多方便之处，但在计算方面要 碰到矩阵求逆的困难。矩阵维数的增加会带来求逆运算的 计算量急剧增加，这会给计算机的计算速度和存储量带来 负担。
1 P A A A 2) （为A的任何一种范数与其逆的乘积）
1 最小二乘法
1.2.1 一次完成算法
极小化准则函数 J ，求得参数 的估计值。 假设 ˆWLS 使得 J | WLS min ，则有
J | WLS T Z H L L L Z L H L | WLS 0T
u k 和 z k 是过程的输入输出量； v k 是均值为零的白噪声。
一般先假定模型的阶次 na 和 nb 已经确定，然后辨识模型的 参数，写成最小二乘格式
z k hT k v k
式中
T k [ z k 1 , , z k n , u k 1 , , u k n ] a b [ a , a , , a , b , b , , b ] 1 2 na 1 2 nb
ˆ k z
J z k h
k 1
L
T
k
2
使 J min 的 估计值记作 ˆ ，称作参数 的最小二 乘估计值。
1 最小二乘法 1.1 最小二乘问题的提出
例如，对于线性时不变SISO(单输入单输出)动态模型：
A z 1 z k B z 1 u k v k
k 1
其中 k 0称为加权因子；
将准则函数写成二次型的形式
J ( Z L H L )T Λ L ( Z L H L )
式中 L 称为加权阵，一般是正定的对角矩阵，对角线上元素为加权 因子。
0 1 0 2 ΛL 0 0 0 0 L
1 最小二乘法
参数估计结果
参数 a1 a2
1.2.2 递推算法
b1
b2
真值
估计值 相对误 差
-1.5
-1.4851 0.99％
0.7
0.6859 2.01％
1.0
0.9566 4.34％
0.5
0.5102 2.04％
1 最小二乘法
递推算法实现的参数估计值变化过程
1.2.2 递推算法
1 最小二乘法
0 1 0 2 L 0 0
1.2.1 一次完成算法
运用一次完成算法的关键是根据离线采集的一批辨识数据确定计 算公式中的各元素。例如，对于1.2.1所述线性SISO系统：
0 0 L
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如何由过程 输入输出数 据确定HL
1 最小二乘法
经证明，有如下定理：
1.2.2 递推算法
定理3 如果噪声 v k 是零均值的白噪声，则递推算法 ˆk 给出的参数估计值 是一致收敛的，即
ˆk lim 0
k
1 最小二乘法
1.2.2 递推算法
ˆ0 和 P0 ，可有两种方法来确 递推计算需要事先选择初始状态 定：
1 最小二乘法
过程输入输出数据序列
1.2.2 递推算法
1 最小二乘法
选择如下的模型类
1.2.2 递推算法
zk a1 zk 1 a2 zk 2 b1uk 1 b2uk 2 vk
其中加权因子取 L I ，输入数据长度L＝480；初 始条件取 P(0)＝106I， (0)=0.001。
1、根据一批数据，利用一次完成算法，预先求得
P 0 L0 L0
T L0
0
0
1
ˆ 0 P 0 T L L ZL
0
其中 L0 为数据长度，为了减少计算量，不宜取得太大。
2、直接取
P0 a 2 I a为充分大的实数
ˆ0
为充分小的实数
1 最小二乘法
1.2 最小二乘估计算法
1.2.1 一次完成算法
1.2.2 递推算法
1.2.3 病态方程的求解
1 最小二乘法
1.2.1 一次完成算法
对于上式，当k=1,2,…,L时，数据向量分别为
注意：本课件里 hT 1 [ z 0 ,, z 1 n , u 0 ,, u (1 n )] a b 数据长度设为L
更为实用的方法是 递推算法 ，计算复杂度大为降低， 这样便于在线辨识，而且大大数据贮存，节省了计算 机的内存。
1 最小二乘法
递推算法的基本思想可概括成——
1.2.2 递推算法
ˆk 老的估计值 ˆk 1 修正项
加权最小二乘参数估计递推算法（简称RWLS）如下：
实数
当加权阵 Λ L I 时，就称最小二乘递推算法（简称RLS）。
ˆ k ˆ k 1 K k z k T k ˆ k 1 计算 P k I K k T k P k 1
1
k k 1
ˆi k ˆi k 1 判断max ？ ˆ i k 1 i
ZL z 1 z 2 z L
T 1 z 0 T 2 z 1 HL T L z L 1
z 1 na u 0 z 2 na u 1 z L na u L 1
L
L
k 是定义在区间（0，L）上的误差函数。 其中，
——最小二乘估计
1 最小二乘法 1.1 最小二乘问题的提出
设线性过程可以描述成以下的最小二乘格式
z k hT k v k
已经知道， zk 是过程的输出量； k 是可观测的数据向量； v k 是均值为零的白噪声。极小化下列准则函数
展开求解此方程，可得
ˆWLS
1 T T H L L L L L Z L
1 最小二乘法
加权最小二乘估计值
1.2.1 一次完成算法
其中加权阵 L ，一般是正定的对角矩阵，对角线上元素为加权因 子 k 0。 如果加权阵 L I ，最小二乘估计值
1 最小二乘法
nL [v 1 , v 2 ,, v L ]T
则可将原最小二乘式写为
Z R
L1
, H L R Ln , R n1
1 最小二乘法
辨识准则函数为
L
1.2.1 一次完成算法
引入加权因 子的意义？
J k [ z k hT k ]2
0.1
0.5
1
1 最小二乘法
1.2.3 病态方程的求解
最小二乘的一次完成算法求解模型参数估计值公式为：
！！！理论上只要矩阵 H L L 满秩，最小二乘估计有解。
但实际情况是，由于各种原因，使得矩阵 L 的列向量之间存在近似 线性关系，表现为矩阵 H L L 虽然满秩，但其行列式的值很小（接 近于零）。这时上式的解变得对数据特别敏感，这种现象称为 病
态。 输入变量之间线性相关
过程受外加激励不够
采样间隔太密
1 最小二乘法
1.2.3 病态方程的求解
病态(ill-conditioned)问题的后果：
估计误差方差很大
解对原始数据非常敏感
所得的解失去实用价值
1 最小二乘法
对于给定的线性方程组 Ax b ，
1.2.3 病态方程的求解
衡量病态程度的量——条件数：
另外，可用下式作为递推算法的停机标准