线性代数 特征值与特征向量

(i ) kλ为kA的特征值；
(ii ) λ 为A 的特征值；
(iii ) f ( λ )为f ( A)的特征值；
(iv ) λ−1为A−1的特征值；
(v ) A
m m
非常重要的公 式，一定要背过。
λ
为A∗的特征值；
T
A可逆。
( vi ) λ为A 的特征值.
Ex
设4阶方阵 A满足条件 : det (3E + A ) = 0, AAT = 2 E , det A < 0, 求A∗的一个特征值 .
∴ ξ1 = ( −2,1,0)T , ξ 2 = ( 2,0,1)T 为属于特征值2的线性无关的特征向量；其全部特征向量为 k1ξ1 + k 2ξ 2（ , k1 , k 2不全为零）。
同理可求 λ3 = −7的特征向量为 ξ 3 = (1， 2， − 2)T .
⎛8 A 7E = ⎜ −2 ＋ ⎜2 ⎝
⇒ k1λ1ξ1 + k 2 λ2ξ 2 + + k m λmξ m = O （2） （1）左乘 λm ⇒ k1λmξ1 + k 2 λmξ 2 + + k m λmξ m = O（3） （2）减（3）得： k1 ( λ1 − λm )ξ1 + k 2 ( λ2 − λm )ξ 2 + + k m −1 ( λm −1 − λm )ξ m −1 = O
0⎤ 0⎥ 0⎥ 0⎥ 3⎥ ⎦
λ −2 0 解： ( a ) λI − A = 1 λ −1
−5 −3 λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = −3
0 0 = (λ − 2)(λ − 1)(λ + 3) λ +3
(b) λ1 = −1, λ2 = 2, λ3 = 0, λ4 = −4, λ5 = 3
= −λ3 − 3λ2 + 24λ − 28
= −(λ − 2)(λ 2 + 5λ − 14) = −( λ − 2)( λ + 7)( λ − 2)
⇒ λ1 = λ2 = 2, λ3 = −7
（下面求特征向量。） （这就是特征值。）
对λ1 = λ2 = 2, (解( A − 2 E ) X = O ) − 1 − 2 2⎞ ⎛ −1 − 2 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⇒ x1 = −2 x2 + 2 x3 A − 2E = ⎜ − 2 − 4 4 ⎟ → ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 0 0 4 − 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
问题：对于一个给定的n阶矩阵A，是否存在n元非零向量a,使得 Aa与a平行（或倍数关系）？如果有，a如何求？
Aa = λa
例 设n阶方阵A为数量矩阵kEn，求使Aα = λα的非零向量α 及常数λ .
解：Aα = kEnα = kα 故对任何n元非零向量α 均满足Aα 与α 平行，且λ =k。 当k ≥ 1时，即将α 放大k 倍；当0 < k < 1时，将α 缩小k 倍； 当k < 0时，则将α 反向放大或缩小k 倍。
Aα = λα ⇒ ( A − λE )α = O ⇒ α是方程组( A − λE ) X = O的非零解
}⇒
A − λE = 0
∴ 满足 A − λE = 0的数λ为特征值； (或基础解系) 方程组( A − λE ) X = O的非零解为特征向量。
定义：
A − λE = 0
a11 − λ a 21 a n1 a12 a 22 − λ an2 a1 n a2n a nn − λ
(3).把 A的特征值逐个代入齐次线性方程组 ( A − λ E ) X = 0, 并求出这个方程组的一个基础解 系, 则这个基础解系的非零线性组合就是 A的属 于特征值 λ的全部特征向量.
⎛ 1 −2 2 ⎞ 例1：求矩阵的特 ⎟ ⎜ A = ⎜− 2 − 2 4 ⎟ 征 值与特征向 ⎟ ⎜ 2 4 − 2 ⎠ ⎝ 量。 解： 1− λ −2 2
解 因为 det A < 0, 故A可逆.由 det( A + 3 E ) = 0知 1 − 3是A的一个特征值 ,从而 − 是 A− 1的一个特征 3 值. 又由 A AT = 2 E得 det( A AT ) = det( 2 E ) = 16,即 (det A) = 16, 于是 det A = ±4, 但 det A < 0,因此 det A = − 4, 4 ∗ 故 A 有一个特征值为 . 3
例 设λ中方阵A的特征值, 则λ 2是A2的特征值.
证
因 λ中方阵 A的特征值 , 故有 α ≠ 0使 Aα = λα ,
于是 所以λ 是A 的特征值.
2 2
A2α = A( Aα ) = A(λα ) = λ ( Aα ) = λ 2α ,
采用类似的方法我们可以得到以下几个重要公式
3.特征值的求法公式：设λ为A的特征值，则
A：n×n 矩阵 λ：纯量 x： Rn中的非零向量
几何表示
特征值
Ax = λx
特征向量
定义： 设A是n阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，
使Aα = λα，则称数λ为矩阵A的特征值，非零向 量α为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征值问题针对于方阵而言！ 特征向量为非零向量！
特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定 （即特征向量只能属于一个特征值）. 证明：1）Aξ＝λ0ξ → 对任意的k∈P, k≠0,A (kξ) ＝kAξ＝ k(λ0ξ)＝λ0(kξ) .
+ ann = ∑ aii
i =1
n
上面定理描述为 矩阵A的迹等于特征值的和 矩阵A的行列式等于特征值的乘积 在求行列式时特别有用。
定理（ 定理 Hamilton-Caylay 定理）设 A 是数域 P 的一个 n 级方 阵，A的特征多项式是：
f (λ ) = λ E − A = λ n + pn −1λ n −1 + pn − 2λ n − 2 + ... + p0
n
pn −1 = −∑ aii = −∑ λi
i =1 i =1
n
n
n
p0 = (−1) n | A | = ( −1) n
∏λ
i =1
i
推论：n级方阵 A 可逆的充分必要条件 A无零特征根。 或 n级方阵 A奇异的充分必要条件 A的特征根至有少一个为零。
矩阵A的迹：
trA = a11 + a22 +
即: 凡 kξ都是A 的属于λ0的特征向量.
•
2)设α是A的属于特征值λ1 ,λ2 特征向量 → A α= λ1α=
λ2α→ (λ1 －λ2)α= o → 因α≠0, 故 λ1 －λ2 = o → λ1 =λ2 .
A
λ1 统领的特征 向量全体
λ2 统领的特征 向量全体 两集合无公共向量
矩阵的特征值与特征向量的求法：
wenku.baidu.com
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ B =⎜ 4 −3 0 ⎟ ⎜ − 1 0 − 2⎟ ⎝ ⎠
A − λE =
−2 2
−2−λ 4
4 −2−λ
= (1 − λ )( 2 + λ ) 2 − 16 − 16 + 4( 2 + λ ) − 16(1 − λ ) + 4( 2 + λ )
= (1 − λ )( 4 + 4λ + λ2 ) + 24λ − 32
Ch 4 矩阵的特征值与特征向量
• 理解矩阵值与特征向量的概念及性质，熟练掌 握矩阵的特征值和特征向量的求法 • 理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵与对角 阵相似的充要条件及矩阵相似对角化的方法 • 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质， 熟练掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法
我们试图找一下“线性变换在基变换下的不变量”。已有的不变量： 线性方程组的解在初等行变换下不变； 线性方程组最终的阶梯形； 在初等变换下矩阵的秩； 在初等变换下矩阵的等价标准形； 另外，线性变换在不同基下矩阵的关系？是否可能在某组基下线性 变换的矩阵变成最简单的形式？ 相似标准形！ 在本课程中不准备展 开关于相似标准形的讨论，我们只准备讲授它的特殊形式 — 对角 形，并指出有的情形下这种特殊形式不可能做到。
则
f ( A) = An + pn −1 An −1 + pn − 2 An − 2 + ... + p0 E = 0n×n
例：
设三阶方阵A的特征值为1， − 2， − 3，求 A 及A−1，A∗，
A =6 A2 + 2 A + E的特征值。 1 1 ∗ −1 A 的特征值 : 1,− ,− ; A 的特征值 : 6,−3,−2; 2 3 2 (4,2,5) A + 2 A + E的特征值 : 4,1,4.
A的相异特征值λ1，λ2， ，λm −1所对应的特征向量
ξ1 , ξ 2 ,
, ξ m −1线性无关。 下面证明m时成立。
, ξ m 线性无关。
回忆线性无关的证明方法！
即证明A的相异特征值λ1，λ2， ，λm 所对应的特征 向量ξ1 , ξ 2 ,
设k1ξ1 + k 2ξ 2 + + k mξ m = O （1） 左乘A A(k1ξ1 + k 2ξ 2 + + k mξ m ) = O (∵Aξi = λiξi )
例 设A = 0 1
Aα = 0 1 Aβ = 0 1
(
1 ,α =(1,1)T ,β =(1,2)T , 验证Aα = α , Aβ ≠ k β . 0
1 0 1 0
)
( (
)( ) ( ) )( ) ( ) ( )
1 = 1 = α, 1 1 1 = 2 ≠ k 1 = kβ. 2 1 2
特征值(eigenvalue)与特征向量(eigenvector)
⇔
=0
称以λ为未知数的一元 n次方程 A − λE = 0 为A的 特征方程 .
记 f (λ ) = A − λE , 它是 λ的n次多项式 , 称其
为方阵 A的 特征多项式 .
• 定理：三角矩阵的特征值的求法 若A为一个n×n的三角矩阵，则其特征 值为其主对角线上的元素
例：求对角矩阵及三角矩阵的特征值 −1 0 0 0 ⎡ ⎡2 0 0⎤ ⎢0 2 0 0 ⎥ (b) A = ⎢ 0 0 0 0 (a) A = ⎢ − 1 1 0 ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 −4 ⎥ ⎢ ⎣ 5 3 − 3⎦ ⎢ ⎣0 0 0 0
(i). A 的特征值就是特征方程的解； (ii). 特征方程在复数范围内一定有 n 个根（重根 按重数计算）。因此，n 阶方阵A有 n 个特征值。 实矩阵的特征值不一定是实数，复数特征值是共轭 成对出现的；
特征值与特征向量的步骤
(1).计算A的特征多项式f (λ ) =| A − λ E |; (2).求出f (λ ) = 0的全部根, 即A的全部特征值;
⎜ ⎟ T ⇒ x = 0 , x = 0 , x 任意； ⇒ ξ = ( 0 ， 0 ， 1 ) → ⎜0 1 0⎟ 1 2 3 3 ⎜ 0 0 0 ⎟ 其全部特征向量为 kξ 3 ( k ≠ 0). ⎝ ⎠
−1 5 −3
⎛5 Ex : C = ⎜ −1 ⎜3 ⎝
3⎞ −3 ⎟ , r (C) = 2, 求a及C的特征值与特征向量。 a⎟ ⎠
设三阶方阵A的特征值为1， − 1， 2，求 A + 3E . 特征值与特征向量的性质：
例：
40
性质1：n阶矩阵A的相异特征值λ1，λ2， ，λm 所对应的
证：用数学归纳法。
特征向量ξ1 , ξ 2 ,
, ξ m 线性无关。
1 . m = 1, λ1的特征向量 ξ1 ≠ O ,∴ ξ1线性无关；
2 . 假设m − 1时结论成立,即
2
特征多项式的性质：
定理：设 定理： n级方阵 A =(aij) 的特征多项式
f (λ ) = λ E − A = λ n + pn −1λ n −1 + pn − 2λ n − 2 + ... + p0
的根是 λ1, λ2,…,λn，则
1) 2) 3)
f (λ ) = ∏ (λ − λi )
i =1
−2 5 4
2⎞ ⎛ 2 0 4⎟ → ⎜ ⎜0 ⎟ 5⎠ ⎝
0 1 0
1⎞ 1⎟ 0⎟ ⎠
其全部特征向量为 kξ 3 ( k ≠ 0).
−1 0 ⎞ 线性无关 ⎟ − 3 0 ⎟ ⇒ λ1 = λ2 = −1, λ3 = −2 的特征向 量只有一个。 0 − 2⎟ ⎠ = −1, ξ1 = (1,2,−1)T 其全部特征向量为 kξ1 ( k ≠ 0). ⎛ − 1 0 0⎞ ⎛ 3 − 1 0⎞ ⎛ − 1 0 0⎞ 对λ3 = −2, ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B + 2 E = ⎜ 4 − 1 0 ⎟→ ⎜ 4 − 1 0 ⎟ → ⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⎜ 0 − 1 0⎟ ⎜ − 1 0 0⎟ ⎜ 3 − 1 0⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0 0⎞ ⎝ ⎛ 1 ⎜ B=⎜ 4 ⎜−1 ⎝ 对λ1 = λ2