最新线性代数教案第五章特征值和特征向量学习资料
线性代数第五章特征值和特征向量矩阵的对角化
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
10
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
1
1
1
3 2
3 1
3
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1 3
2 3
5100 2
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5100
1 1
5100 1 5100 2 5100 1
5100 1 5100 1 5100 2
33
5.3 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵特征值的相关性质 2.求正交矩阵的方法
34
共轭矩阵 如果A=(aij)为复矩阵时,用 aij 表示aij的
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
【学习】线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量
【关键字】学习第五章矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵；2）特征向量X 是非零列向量；3）方阵与特征值对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1）计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；（2）求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3）设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。
对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.3．特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。
性质2（1）（2）性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得Ｂ＝P―1ＡP则称A与B相似。
记作A∽B. 并称P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1°反身性：A∽A.2°对称性：若A∽Ｂ，则Ｂ∽A.3°传递性：若A∽Ｂ，B∽Ｃ则A∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若A∽B，则（1） ； （2） ；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，∽；（5）设f （x ）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ； 6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似-2022年学习资料
线性代数-同理对λ 2=23=-1，求相应线性方程组12E--Ax=0的一个基础解系：--4x1-2x2-4 3=0,--2x1-x2-2x3=0,-求解得此方程组的一基础解系：-C2=
线性代数-于是A的属于λ 2=入3=-1的全部特征向量为-k2a2+k3a3,-k2,k3是不全为零的实数而A的全部特征向量为11；k22+k3a3,这-里k1≠0为实数k2,k3是不全为零的实数-①⊙O
线性代数-∴.2E-P-1APP-ax-=P-12:E-APP-1a-=P2:E-Aa=0,-即P1APP a=:P-a,-故P-1au:是P-1AP属于；的特征向量-①，⊙O
线性代数-五、求方降A的特征多项式-例5-设A是n阶方阵，其特征多项式为-f42=2E-A=”+an-12 -1+…+a12+ao,-求：1求AT的特征多项式-2当A非奇异时，求A1的特征多项式-解1f2=2E-A 2E-AY-=2E-A=∫42，-·.A与AT有相同的特征多项式
线性代数-9和似拒降-定义设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使-P-AP=B,-则称B是A的相似矩阵， 说矩阵A与B相似，-对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，-可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。 矩阵之间的相似具有1自反性；2对称性；-3传递性.
线性代数-10-有芙和似拒降的性质-1喏A与B相似，则A与B的特征多项式-相同，从而A与B的特征值亦相同. 2若A与对角矩阵-λ 2-Λ =-n-相似，则1，元2，…，2m是A的n个特征值，
线性代数-三、特狃值与特狃向量的求法-第一步-计算A的特征多项式；-第二步-求出特征多项式的全部根，即得A 全部-特征值；-第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，-求出基础解系，即得该特征值的特征向量.
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
研究生数学教案：线性代数中的特征值与特征向量
研究生数学教案：线性代数中的特征值与特征向量引言在研究生数学课程中，线性代数是一个极其重要的领域。
线性代数的核心概念之一是特征值与特征向量。
这两个概念在矩阵和线性变换的理论中扮演着关键的角色，有着广泛的应用。
了解特征值与特征向量的定义、性质和计算方法，对于深入理解矩阵理论和线性代数的其他部分至关重要。
什么是特征值与特征向量？在介绍特征值与特征向量之前，我们先回顾一下矩阵的定义。
矩阵是一个按照矩形排列的数。
在矩阵中，行和列是分别从上到下和从左到右编号的。
特征值与特征向量是矩阵与线性变换之间的重要联系。
给定一个线性变换A，如果存在一个非零向量v，使得A作用在v上后，只产生一个比例因子λ，则称λ为矩阵A的特征值，v为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的定义可能有些抽象，我们可以用一个直观的例子来说明。
假设我们有一个方阵A表示二维平面上的一个线性变换。
那么特征值就是这个变换在某个方向上的拉伸或压缩程度，特征向量则是这个方向上的一个向量。
特征值与特征向量的性质了解特征值与特征向量的性质对于进一步研究线性代数中的其他概念非常重要。
性质1：特征值的存在性对于任意n阶方阵A，都至少存在一个特征值。
性质2：特征值的重数一个特征值的重数是指它对应的特征向量的个数。
性质3：特征值的和与积一个方阵的特征值的和等于矩阵的迹，特征值的积等于矩阵的行列式。
性质4：特征向量的线性无关性和属于同一特征值空间对于不同特征值对应的特征向量，它们是线性无关的。
同一特征值对应的特征向量属于同一个特征值空间。
计算特征值与特征向量的方法为了计算特征值与特征向量，我们可以使用特征方程的方法。
特征方程的定义如下：对于一个n阶方阵A，其特征方程为：|A-λI|=0，其中|A-λI|表示A-λI的行列式，λ是待求的特征值，I是n阶单位矩阵。
解特征方程，可以得到矩阵A的特征值。
对于每个特征值，我们可以通过解齐次线性方程组(A-λI)x=0，得到对应的特征向量。
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源和发展介绍线性代数的起源和发展历程，理解线性代数在数学和其他领域的重要性。
1.2 向量空间和线性映射定义向量空间和线性映射，理解它们的基本性质和概念。
1.3 矩阵和行列式介绍矩阵和行列式的概念，理解它们在线性代数中的重要性。
1.4 线性方程组理解线性方程组的定义和性质，学习解线性方程组的方法。
第二章矩阵和行列式2.1 矩阵的概念和运算介绍矩阵的概念和基本运算，如加法、减法、乘法和转置。
2.2 行列式的定义和性质定义行列式并学习其基本性质，如行列式的值与矩阵的行（列）向量之间的关系。
2.3 行列式的计算学习计算行列式的不同方法，如按行（列）展开、代数余子式和行列式的逆。
2.4 矩阵的逆定义矩阵的逆并学习其性质，如矩阵的逆与矩阵的行列式之间的关系。
第三章线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。
3.2 克莱姆法则理解克莱姆法则的原理，学习如何使用克莱姆法则解线性方程组。
3.3 线性方程组的解的性质学习线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和有无限多解。
3.4 线性方程组的应用了解线性方程组在实际问题中的应用，如线性规划、电路分析和物理学中的问题。
第四章向量空间和线性映射4.1 向量空间的概念和性质定义向量空间并学习其基本性质，如向量加法和标量乘法的封闭性。
4.2 子空间和线性相关性理解子空间的概念并学习如何判断向量组线性相关性。
4.3 线性映射的概念和性质定义线性映射并学习其基本性质，如线性映射的矩阵表示和图像。
4.4 特征值和特征向量定义特征值和特征向量，学习如何求解线性映射的特征值和特征向量。
第五章特征值和特征向量5.1 特征值和特征向量的概念定义特征值和特征向量，理解它们在线性代数中的重要性。
5.2 特征值和特征向量的计算学习如何计算线性映射的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式。
5.3 特征空间和不变子空间理解特征空间和不变子空间的概念，学习它们的性质和应用。
特征值与特征向量精品教案
特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。
3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。
难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。
二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。
教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。
例1：对于相关x 轴的反射变换σ：，从几何直观上可以发现，只有x 1001x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
因此，反射变换σ只把形如和的向量（其中，是任意常数），分别变成与自身共10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭1k 2k 线的向量。
可以发现，反射变换σ分别把向量，变成，。
10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫-= ⎪-⎝⎭特别的，反射变换σ把向量变成，把向量变成。
用矩形的形式可110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭01⎛⎫⎪-⎝⎭表示为，。
101110100⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100010111⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2：对于伸缩变换ρ：，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 1002x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴的直线在伸缩变换ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
《线性代数》教学教案—05矩阵的特征值与特征向量
3.设 为n阶实对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.
1．定理：设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得 = = ，其中 是 的n个特征值.
2．合同矩阵：给定两个n阶方阵 和 ,若存在可逆矩阵 ，使 = ，则称矩阵 与矩阵 合同，或 ， 是合同矩阵.
例2.设矩阵 是3阶实对称阵， 的特征值为 1，2，2， = 与 = 都是矩阵 的属于特征值2的特征向量.求 的属于特征值1的特征向量，并求出矩阵 .
例3.设某城市共有30万人从事农、工、商的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
(1)在这30万就业的人员中，目前约有15万从事农业、9万人从事工业、6万人从事商业；
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第2节相似矩阵
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
矩阵可相似对角化的方法
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
推论2.若n阶矩阵 与对角矩阵 = 相似，则 是 的全部n个特征值.
二．方阵的相似对角化
1.相似对角化:若方阵 能与一个对角阵 相似，则称 可以相似对角化，简称 可对角化.
2．定理：n阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 有n个线性无关的特征向量．
推论1.如果n阶方阵 的n个特征值互不相等，则 与对角阵相似.
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特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在很多实际问题中具有广泛的应用。
本文将从定义、性质、求解方法以及应用等几个方面介绍特征值和特征向量。
特征值（eigenvalue）是一个方阵在一些线性变换下的伸缩因子，而特征向量（eigenvector）则是特征值对应的非零向量。
对于一个给定的方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应的特征向量。
特征值和特征向量具有以下几个重要性质：
1.特征值是矩阵的本质性质，不依赖于矩阵的表示方式。
2.每个特征值都有对应的特征向量，但一个特征向量可能对应多个特征值。
3.特征值和特征向量可以是复数，不一定是实数。
要求解特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：
1. 求解矩阵的特征方程：det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。
2.解特征方程得到特征值。
3.将特征值代回到特征方程，解得对应的特征向量。
特征值和特征向量在很多应用中具有重要的意义，如以下几个方面：
1.特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化，简化复杂计算。
2.特征值和特征向量在数据降维中有广泛应用，如主成分分析（PCA）。
3.特征值和特征向量可用于解决线性方程组、求解线性变换等问题。
4.特征值和特征向量在机器学习算法中有很多应用，如图像处理、聚类算法等。
综上所述，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
掌握特征值和特征向量的求解方法和性质，有助于理解和应用线性代数的相关知识。
高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量
高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量本文将介绍高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量，包括定义、求解方法和相关应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵运算中，特征值与特征向量是非常重要的概念，下面将对其进行详细定义。
设$A$为$n$阶矩阵，如果存在数$\lambda$和$n$维非零向量$\boldsymbol{x}$，使得$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，则称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，$\boldsymbol{x}$为矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量。
二、特征值与特征向量的求解方法在实际应用中，特征值与特征向量的求解十分重要，下面将分别介绍求解的方法。
1. 求解特征值设$\boldsymbol{x}$是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，根据定义可得：$$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$$将两边同乘$\boldsymbol{x}^T$，即：$$\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}$$由于$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，所以$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} \neq 0$，因此可以将上式两边同时除以$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}$，即：$$\frac{\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x}} {\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}} = \lambda$$上式右侧的$\lambda$即为对应的特征值，左侧的式子可以通过变形，变为关于$\lambda$的一元高次方程，进一步求解。
2. 求解特征向量在已知$A$的特征值$\lambda$的情况下，要求对应的特征向量$\boldsymbol{x}$，也是十分关键的一步。
大学线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量
在解决实际问题时，特征值和特征向量可以帮助我们理解数据的变化趋势和模式，例如在图像处理、信 号处理等领域有广泛应用。
在矩阵分解中的应用
01
矩阵分解是将一个复杂的矩阵 分解为几个简单的、易于处理 的矩阵，例如三角矩阵、对角 矩阵等。
矩阵的分解，如三角分解、 QR分解等，都涉及到特征值 和特征向量的应用，它们是构 造这些分解的基础。
02
矩阵的特征值与特征向量的定义
特征值的概念
特征值是指一个矩阵在某个非零常数倍下的不变性，即当矩阵A 乘以一个非零向量x得到0时，称该非零向量x为矩阵A的对应于 特征值λ的特征向量。
特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到，即|λE-A|=0。
密切的关系。
02
特征值和特征向量的关系可以通过矩阵的行列式、转
置、共轭等运算得到进一步的理解。
03
特征值和特征向量的关系性质在解决实际问题中具有
广泛的应用，如信号处理、控制系统等领域。
05ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵特征值与特征向量的应用
在线性变换中的应用
矩阵特征值与特征向量是线性变换的一个重要工具，它们可以描述一个线性变换对一个向量空间的影 响。
特征值和特征向量在解决线性方程组、矩阵的相似变换、矩阵的 分解等领域有广泛应用。
矩阵特征值与特征向量的重要性
在解决线性方程组时，特征值 和特征向量可以提供一种有效 的解法，特别是对于一些特殊 类型的线性方程组。
在矩阵的相似变换中，特征值 和特征向量是确定相似变换的 关键，有助于理解矩阵的性质 和行为。
大学线性代数第五章第一节矩 阵的特征值与特征向量
线性代数教案-第五章 特征值和特征向量
第五章特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、 教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1)则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T)(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,, 1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==n i i A 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相 似 矩 阵定义5.3.1设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论 若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化. 定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时第二节特征值和特征向量的性质 2学时第三节相 似 矩 阵 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：特征根及特征向量的求法2、难点：什么时候可以将矩阵对角化四、教学内容的深化和拓宽：大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。
线性代数第5章 特征值及特征向量
A 123 2, A A A1 2 A1
( A) A 3 A 2 E 2 A1 3 A 2 E
的三个特征值为 (i ) 21 3i 2 ( i 1,2,3) i 计算得 (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 3
B 的特征值为 1 3, 2 3 3
对于 1 3 ，解方程组 (1 E B ) x 0
4 2 2 1 0 1 1 E B 3 E B 3 4 1 0 1 1 2 2 4 0 0 0
解 (1) a+2+2=4+1+1 |A|=4*1*1 (2) |A-4E|=0
|A-2E|=0
a 2 . b 1 a 3 . b 0
4 40 a 2 2 a 0 b 1 3 b 0
的特征值。
例1
解
设n阶方阵A有n个特征值1，2，….，n，求|A+3E|.
则 设A有特征值 ， A 3E
3
所以，A+3E的特征值： 4，5，…..，n+3
(n 3)! | A 3E | 3!
例2 设3阶矩阵A的三个特征值为 1,1,2
求 A 3 A 2 E 解 A的特征值全不为零，故A可逆。
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
若数 和 n维非零列向量 X，使得
注意
AX X 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， X 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 （1） A 是方阵
线性代数中特征值与特征向量的教学设计
线性代数中特征值与特征向量的教学设计《线性代数中特征值与特征向量的教学设计》一、线性代数中特征值与特征向量的概念特征值（eigenvalue），即特征根或者特征数，是指一个矩阵的线性变换下的某个特殊的复数，用denotationlambda表示，它满足矩阵A与列向量x的某种关系：A*x=lambda*x。
特征向量（eigenvector）是一个实向量，表达线性变换中关于A的任意倍数x，它满足A*x=lambda*x，其中lambda是矩阵A的某个特征值。
二、特征值与特征向量的实践应用特征值和特征向量非常实用，能被广泛应用在计算机科学，图论，生物学，信号处理，数据挖掘，模式识别，机器学习，机械工程，系统分析和网络优化等研究领域中。
特征值和特征向量 often used in principal components analysis (PCA)研究来确定矩阵中最重要的特征，在多维数据分析中得到广泛的应用。
另外，有些科学研究和实际应用中，特征值也可以用来判断系统的稳定性。
三、特征值与特征向量的教学设计（一）理论知识篇首先，给学生介绍线性代数中的特征值和特征向量的概念，包括它的定义，限制条件和属性。
然后，为了让学生更好地理解这两个概念，介绍几何意义和计算过程，以及更深入的概念，如矩阵特征值分解，特征值与特征向量之间的有限关系，特征向量的归一化，叉乘定理等内容。
（二）实践演练篇学习理论知识后，学生可以用一些练习题和习题熟悉这些内容，并用一些实际案例进行实践练习。
学生可以自己实现求特征值或特征向量的算法，并探讨算法的时空复杂度，或者学生可以编程求解一些实际的问题，如矩阵最大特征值，最大特征向量等。
（三）应用实践篇学生可以对某些给定的矩阵计算特征值和特征向量，并对矩阵进行分析。
另外，学生要学习如何将特征值和特征向量应用在实际问题中，如运动学，图论和通信等领域，以及如何重新组合它们来解决实际问题。
(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)
Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .
第5章特征值与特征向量教育研究
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5.1 矩阵特征值与特征向量
性质6 设 1, 2, , s 是方阵A 的s 个互不相同的特征值,
p1, p2 , , ps依次是与之对应的特征向量, 则 p1, p2 , , ps 线性无关. 证 用数学归纳法证明.
s 1: 特征向量不为零,因此定理成立.
设s－1时, 定理成立, 即方阵A的s－1个不相同的特征值
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 1 0
例2 求矩阵A 4 3 0 的特征值与特征向量.
1 0 2
1 1 0 解 E A 4 3 0 0.
1 0 2 ( 2)( 1)2 0.
A的特征值为1 2,2 3 1.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
称为的特征方程,其根即为A的特征值,又称为特征根.
设n阶矩阵A特征方程 f () n a1n1 an 0 的n 个特征根为 1,2 , ,n ,
1 2 n a1, 12 n | A | .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义3 设A (aij )nn ,是阶方阵,则 a11 a22
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5.1 矩阵特征值与特征向量
性质7 设 1, 2, , s 是方阵A 的s 个互不相同的特征值,
A 的对应于λ i的线性无关的特征向量为 pi1, pi2 , , piti (i 1, 2, , s),
则向量组
p11, p12 ,
线性无关.
, p1t1 , p21, p22 ,
, p2t2 ,
f () n a1n1 an.
a1 (a11 a22 ann ), an (1)n | A | .
特征值与特征向量学案.doc
特征值与特征向量学案文正实验学校高二数学学案(选修4-2)第五节特征值与特征向量2013/6/19§ 2. 5特征值与特征向量【学习目标】1.理解特征值与特征向量的含义.2.掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法，能从几何变换的角度加以解释.3.能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果.【学习重点】特征值与特征向量的概念【学习难点】求矩阵的特征值和特征向量【学习过程】一、问题情境：10 1 0 1已知伸压变换矩阵M=,向量a= 和&= 在M对应的变换作用下得到001220的向量a '和B '分别与a, fJ有什么关系？对伸压变压矩阵2 呢？01二、建构数学1.矩阵的特征值和特征向量的定义.2.特征多项式ab 3.矩阵M= 的特征值和特征向量的计算方法：cd三、数学应用例1从几何变换的角度对问题情境中的两个矩阵M,N的特征值与特征向量加以解释1文正实验学校高二数学学案(选修4-2)第五节特征值与特征向量2013/6/19变式从几何变换的角度写出矩阵的特征向量与特征值。
.1 10 (1)A= (2) B= 01 00 12 1 (3) C= (4) D=2 01 10 0思考1属于一个特征值的特征向量唯一吗？如何解释？思考2不同特征值下的特征向量是否共线？思考3并非所有的变换都是我们熟悉的常见变换，那若不是常见变换，又该如何求特征值与特征向量呢？有没有更一般的方法呢？例2求出变式1中矩阵A, B, C, D的特征值和特征向量变式1求下列矩阵的特征值和特征向量：1 2 (1) (2) 2114 2 1 2文正实验学校高二数学学案(选修4-2)第五节特征值与特征向量2013/6/19变式2已知a是矩阵M属于特征值入=3的特征向量，其中M=a+b+m=3 , 求 a , b , m .例3已知矩阵A = ,(1)求出A的特征值与特征向量。
并从几何的直观角度加以解释am 1 , a=,且 2b 5 1 00 21 20 (2) ,求A312 1 50变式1已知M= ,B=,计算MB. 7 211 0变式2若矩阵A有特征向量i 和j ,且它们所对应的特征值分别为1 2, 2 1 0 1(1)求矩阵A及其逆矩阵A； (2)求逆矩阵A的特征值与特征向量； 1 1x 100 (3)对任意向量，求A y 3文正实验学校高二数学学案(选修4-2)第五节特征值与特征向量2013/6/19四、课堂练习1.下列对于矩阵A的特征值的描述正确的是()A、存在向量，使得B、对任意向量，有C、对任意非零向量，A 成立D、存在一个非零向量，有A2.矩阵A= 2 1 ,其特征多项式为，特征值为-2-3al 2 , a = 3 ,求a , b . lb 3.已知a是矩阵A属于特征值X ~2的特征向量，其中A=4.求投影变换矩阵M何意义。
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二、教学内容及学时分配：
第一节 线性变换的特征值和特征向量
2 学时
第二节 特征值和特征向量的性质
2 学时
第三节 相 似 矩 阵
2 学时
三、教学内容的重点及难点：
1、 重点：特征根及特征向量的求法
2、难点：什么时候可以将矩阵对角化
四、教学内容的深化和拓宽 ：
大部分矩阵不能对角化 ,那么什么时候可以对角化 ,对角化在实际中的例子 .
使 C1 1 AC1 B , C2 1B (C1C2 ) 1 A
(C1C2 ) , 故 D 与 A 相似 .
定理 5. 3. 1 若 n 阶方阵 A 与 B 相似 , 则 A 与 B 的特征多项式相同 , 从而 A 与 B 的特征值
亦相同 . 而且 det A det B . 推论 若 n 阶方阵 A 与对角阵 Λ diag( 1, , n ) 相似 , 则 1 , , n 即为 A 的 n 个特征值 . 若一个 n 阶方阵 A 与一个对角阵 Λ diag( 1, , n ) 相似 , 就称 A 可以 对角化 .
1 线性变换的特征值和特征向量
定义 5. 1. 1 设 V 是一个线性空间 , T: V→V 是一个线性变换 . 若对于数 向量 x, 使得
, 存在一个非零
T(x) x
(
5. 1. 1)
则称 为 T 的一个 特征值 , 而称 x 为 T 的属于特征值 的 特征向量 .
定义 5. 1. 2 设 A [ aik ] 是一个 n 阶方阵 , 是一个变量 , 矩阵 E A 的行列式
优秀教案
ξ1 , , ξn 是分别属于它们的特征向量 . 则 { ξ1, , ξn } 是 V 的一组基 , 且 T 在此基下的矩阵表 示就是对角阵 A diag( 1 , , n ) .
性质 4 若 A 是实对称方阵 , 1 , 2 是其相异特征值 , ξ1 , ξ2 是分别属于它们的特征向量 , 则
ξ1 与 ξ2 正交 .
性质 5 设 1 , 2, , n 是 n 阶方阵 A [ aik ] 的全部特征值 , 则
( 1) f ( ) | E A | n (a11 a22
a nn ) n 1
( 1)n det A ,
( 2) tr A
n
i,
i1
( 3) det A 1 2 n
3 相似矩阵
定义 5. 3. 1 设 A, B 都是 n 阶方阵 , 若有可逆方阵 C, 使
( 2) 对称性 : 若 B 与 A 相似 , 则 A 与 B 相似 . 因为 ( 5. 3. 5) 式两端左乘 C, 右乘 C 1 , 有
CBC 1 A .
( 3) 传递性 : 若 B 与 A 相似 , D 与 B 相似 , 则 D 与 A 相似 . 因为据假设 , 有可逆方阵 C1 及 C2 ,
名师精编
优秀教案
第五章 特征值和特征向量
特征值和特征向量理论 , 不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题
, 在诸如
几何中的变换 , 振动问题中的稳定性 , 微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用
.
由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换
, 本章着重讨论矩阵的特征值和特征向
量.
一、 教学目标与基本要求
1是 A
1
的特征值
.
性质 2 设 1 , 2 是方阵 A 的相异的特征值 , ξ1 , ξ2 是分别属于 1 及 2 的 A 的特征向量 , 则
ξ1 , ξ2 是独立的 . 性质 3 设 V 是 n 维线性空间 , T: V→ V 是一个线性变换 , 它有 n 个彼此相异的特征值 1, , n ,
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a11
a12
a1n
det( E A)
a 21
a 22
a2n
a n1
an 2
被称为 A 的特征多项式 , 记为 f ( ) . 这是一个变量
a nn
的 n 次多项式 . 而称以 为未知量的方
程 det( E A) f ( ) 0 为 A 的 特征方程 .
讨论一个方阵 A ( 被视着某个线性变换的矩阵 ) 的特征值和特征向量的求法 . 这可以归 纳为以下步骤 :
1. 求出方阵 A 的特征方程 det( E A) 0 的全部根 , 它们就是 A 的特征值 .
2. 将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组 于每个特征值的全部特征向量 .
( E A) x T θ, 求其通解 , 就得到了属
2 特征值和特征向量的性质
性质 1 若 是方阵 A 的特征值 , 则 2 是 A 2 的特征值；若 A 可逆 , 则
C 1 AC B ,
(
5. 3. 5)
则称 B 是 A 的 相似矩阵 , 或说 B 与 A 相似 . 对 A 进行运算 C 1 AC , 被称为对 A 进行 相似变换 .
可逆方阵 C 被称为将 A 变成 B 的相似变换矩阵 . 相似关系是同阶方阵之间的一种关系 , 具有 :
( 1) 自反性 : A 与 A 相似 . 因为取单位阵 E, 有 E 1 AE A .
五、思考题与习题
1 (3)(4)(5)
3 警 4 6 8 9 10 11 13 14
六、教学方式（手段）
本章主要采用讲授新课的方式。
定理 5. 3. 2 实对称阵的特征值为实数 .
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定理 5. 3. 3 设 A 为 n阶实数对称阵 , 是 A 的特征方程的 r 重根 , 则方阵 E A 的秩是 n r ,
从而属于 的特征向量中 , 恰有 r 个独立的特征向量 .
定义 5. 3. 2 由 n 个两两正交的 n 元单位列向量所构成的 n 阶方阵 , 被称为 正交阵 .