最新线性代数教案第五章特征值和特征向量学习资料

二、教学内容及学时分配：
第一节 线性变换的特征值和特征向量
2 学时
第二节 特征值和特征向量的性质
2 学时
第三节 相 似 矩 阵
2 学时
三、教学内容的重点及难点：
1、 重点：特征根及特征向量的求法
2、难点：什么时候可以将矩阵对角化
四、教学内容的深化和拓宽 ：
大部分矩阵不能对角化 ,那么什么时候可以对角化 ,对角化在实际中的例子 .
使 C1 1 AC1 B , C2 1B (C1C2 ) 1 A
(C1C2 ) , 故 D 与 A 相似 .
定理 5. 3. 1 若 n 阶方阵 A 与 B 相似 , 则 A 与 B 的特征多项式相同 , 从而 A 与 B 的特征值
亦相同 . 而且 det A det B . 推论 若 n 阶方阵 A 与对角阵 Λ diag( 1, , n ) 相似 , 则 1 , , n 即为 A 的 n 个特征值 . 若一个 n 阶方阵 A 与一个对角阵 Λ diag( 1, , n ) 相似 , 就称 A 可以 对角化 .
1 线性变换的特征值和特征向量
定义 5. 1. 1 设 V 是一个线性空间 , T: V→V 是一个线性变换 . 若对于数 向量 x, 使得
, 存在一个非零
T(x) x
(
5. 1. 1)
则称 为 T 的一个 特征值 , 而称 x 为 T 的属于特征值 的 特征向量 .
定义 5. 1. 2 设 A [ aik ] 是一个 n 阶方阵 , 是一个变量 , 矩阵 E A 的行列式
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ξ1 , , ξn 是分别属于它们的特征向量 . 则 { ξ1, , ξn } 是 V 的一组基 , 且 T 在此基下的矩阵表 示就是对角阵 A diag( 1 , , n ) .
性质 4 若 A 是实对称方阵 , 1 , 2 是其相异特征值 , ξ1 , ξ2 是分别属于它们的特征向量 , 则
ξ1 与 ξ2 正交 .
性质 5 设 1 , 2, , n 是 n 阶方阵 A [ aik ] 的全部特征值 , 则
( 1) f ( ) | E A | n (a11 a22
a nn ) n 1
( 1)n det A ,
( 2) tr A
n
i,
i1
( 3) det A 1 2 n
3 相似矩阵
定义 5. 3. 1 设 A, B 都是 n 阶方阵 , 若有可逆方阵 C, 使
( 2) 对称性 : 若 B 与 A 相似 , 则 A 与 B 相似 . 因为 ( 5. 3. 5) 式两端左乘 C, 右乘 C 1 , 有
CBC 1 A .
( 3) 传递性 : 若 B 与 A 相似 , D 与 B 相似 , 则 D 与 A 相似 . 因为据假设 , 有可逆方阵 C1 及 C2 ,
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第五章 特征值和特征向量
特征值和特征向量理论 , 不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题
, 在诸如
几何中的变换 , 振动问题中的稳定性 , 微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用
.
由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换
, 本章着重讨论矩阵的特征值和特征向
量.
一、 教学目标与基本要求
1是 A
1
的特征值
.
性质 2 设 1 , 2 是方阵 A 的相异的特征值 , ξ1 , ξ2 是分别属于 1 及 2 的 A 的特征向量 , 则
ξ1 , ξ2 是独立的 . 性质 3 设 V 是 n 维线性空间 , T: V→ V 是一个线性变换 , 它有 n 个彼此相异的特征值 1, , n ,
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a11
a12
a1n
det( E A)
a 21
a 22
a2n
a n1
an 2
被称为 A 的特征多项式 , 记为 f ( ) . 这是一个变量
a nn
的 n 次多项式 . 而称以 为未知量的方
程 det( E A) f ( ) 0 为 A 的 特征方程 .
讨论一个方阵 A ( 被视着某个线性变换的矩阵 ) 的特征值和特征向量的求法 . 这可以归 纳为以下步骤 :
1. 求出方阵 A 的特征方程 det( E A) 0 的全部根 , 它们就是 A 的特征值 .
2. 将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组 于每个特征值的全部特征向量 .
( E A) x T θ, 求其通解 , 就得到了属
2 特征值和特征向量的性质
性质 1 若 是方阵 A 的特征值 , 则 2 是 A 2 的特征值；若 A 可逆 , 则
C 1 AC B ,
(
5. 3. 5)
则称 B 是 A 的 相似矩阵 , 或说 B 与 A 相似 . 对 A 进行运算 C 1 AC , 被称为对 A 进行 相似变换 .
可逆方阵 C 被称为将 A 变成 B 的相似变换矩阵 . 相似关系是同阶方阵之间的一种关系 , 具有 :
( 1) 自反性 : A 与 A 相似 . 因为取单位阵 E, 有 E 1 AE A .
五、思考题与习题
1 (3)(4)(5)
3 警 4 6 8 9 10 11 13 14
六、教学方式（手段）
本章主要采用讲授新课的方式。
定理 5. 3. 2 实对称阵的特征值为实数 .
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定理 5. 3. 3 设 A 为 n阶实数对称阵 , 是 A 的特征方程的 r 重根 , 则方阵 E A 的秩是 n r ,
从而属于 的特征向量中 , 恰有 r 个独立的特征向量 .
定义 5. 3. 2 由 n 个两两正交的 n 元单位列向量所构成的 n 阶方阵 , 被称为 正交阵 .