考研数学经典证明题3

题目3是一道积分不等式的证明，是李永乐或者陈文灯书上都可以找到的题目。其中方法很典型，里面的一些技巧也是证明题中常用的，所以我把这道题弄出来进行剖析，将自己的思路展现给大家看看。

拿到这道题目，大家可能都有点傻眼了。怎么表达式这么复杂？！！！而且绝对值，积分号，求导号让人眼花缭乱，感觉根本不知道从何下手。我们不妨先从三个独立的表达式分析起走。

第一个表达式

首先要明白这个式子说的是什么东西。读懂表达式，是你做证明题的根本！不难看出，这个式子说的就是|f(x)|的在区间[a,b]的最大值。写的这么高深，弄得大家心里发慌，其实根本就是一只纸老虎嘛！我们并不关心最大值在哪一点取得，所以我们可以把取得最大值的这一点设为ξ，则这个式子可以化成|f(ξ)|.你看，这样一简化，是不是显得更加简洁和舒服，让自己的信心也增加了不少。

第二个表达式

这个式子对积分熟悉一点的看见了就应该有一种很强烈的反应，就是积分中值定理！！所以这个式子我们也可以简化一下成|f(η)|.这样一来，不但大大简化了表达式，而且成功的与第一个表达式联系了起来！这样对题目的认知也就在简化中一点一点的清晰化了！

第三个表达式

这个表达式相对于前面两个来说要复杂一些，因为它没有很好的化简方式。所以我们只有暂且不管这个表达式，把它作为一个常量，摆在那里，考虑去处理表达式1,2，使得能够得到表达式3！

为此，我们将表达式1和表达式2放在一起，于是移项，得到下面不等式，也就是我们需要证明的！

注意到左边两个式子|f(ξ)| -|f(η)|，看见这个，然后考虑到这是一道不等式的题目，并且ξ，η都是未知的一个数，我们应该立即联想到放缩，用什么放缩？绝对值不等式！

|x|-|y|<=|x-y|，然后逻辑方向（也就是不等式的方向）也是正确的，所以放心大胆的做吧！如此一来，我们便可以一口气做下去了。于是得到下面的解答！|

最后需要再多说两句的就是放缩的后期有一步非常经典

注意到没有，第一步的那个等号是这道题里面最难也是最精华的部分。反用牛顿--莱布尼茨公式。成功将积分和导数联系在了一起，破解了这个看似超级复杂的证明题！

后面的就是定积分的基本性质

虽然这个式子平时看起来觉得再熟悉简单不过了，可是真正使用的时候还是不简单的。

最后对这个题目打一个小结，这道题到底让我们学到了哪些知识和思想方法。

知识1：积分中值定理，在某些时候可以简化表达式

知识2：绝对值不等式以及定积分里面的绝对值不等式

知识3：牛顿--莱布尼茨公式的逆用

考察的知识不难，关键如何将这些知识串联起来，这是需要不断训练的，当然，通过平时练习多总结多思考，就是提高的最快路径了！

思想方法1：对证明的式子需要有个宏观把握，能简化的要简化，这样便于你看清楚整个题目间的关系。

思想方法2：不等式证明中间肯定有放缩，这个时候需要找出一定放缩的方法，而且更重要的是判断放缩的方向是否正确，如果正确才可继续往下做。

思想方法3：对公式的逆用。有些时候我们做题做多了，往往对有些公式只会顺着用，反过来如何用未曾或者很少想过。其实，像这种难度较大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通过这道题目，我们也学习到了牛顿莱布尼茨公式逆用的威力。可以联系积分与导数！总而言之，这道题目难度不小，不过也不是天马行空的，仔细琢磨，会发现里面有很多思想是值得学习借鉴的！

最后选了一道题目，供大家练习