复数的向量表示数学教案
数学教案-复数的向量表示
数学教案－复数的向量表示教学目标：通过本课程，学生将学习复数的向量表示方法，掌握复数的概念、运算法则及其在几何中的应用。
教学重点：复数的向量表示教学难点：复数乘法的几何解释教学准备：黑板、彩色粉笔、复数乘法几何解释示意图教学步骤：1. 复习复习上节课所学的复数的定义和基本运算法则，并与学生一起解答相关问题。
2. 引入教师引入复数的向量表示方法，通过示意图向学生展示复数z=a+bi在平面直角坐标系上的表示，解释复数a+bi可以看做是有序对(a, b)的点。
3. 复数的向量表示教师和学生一起讨论复数的向量表示方法。
复数z=a+bi可以表示为一个复数向量v=(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
4. 复数的加法和减法教师给出两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，通过向量相加法则，解释复数的加法和减法运算法则。
即z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。
5. 复数的乘法教师引入复数的乘法，通过几何解释向学生展示复数乘法的几何意义。
即两个复数的乘积等于它们的模的乘积，且乘积的幅角等于原复数的幅角之和。
6. 解释虚数单位i教师解释虚数单位i，说明它的特殊性质i^2=-1，并与学生一起解释i的几何意义，即在平面直角坐标系中，i可以表示为(0, 1)。
7. 习题练习教师出示一些复数运算的例题，让学生进行计算并给予答案。
8. 总结教师和学生一起总结本节课所学的内容，强调复数的向量表示及其在几何中的应用。
9. 作业布置布置相关作业，要求学生练习复数的运算和乘法的几何解释。
扩展活动：1. 学生可以通过计算一些复数的乘法，并用几何解释来验证答案的正确性。
2. 学生可以探索复数在平面直角坐标系中的旋转性质，进一步了解复数的几何意义。
初中数学教案复数与平面向量
初中数学教案复数与平面向量初中数学教案主题：复数与平面向量导入部分：本节课主要介绍复数与平面向量的基本概念和运算方法，通过实际问题的解决，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
同时，通过学习本节课的知识，帮助学生对数学知识的实际运用有更深入的理解和认识。
一、复数的引入和基本概念复数的引入：通过介绍虚数单位 $i$，将虚数定义为 $i^2=-1$，从而引入了复数的概念。
复数可以表示为 $a+bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数。
复数的基本概念：1. 实部和虚部：在复数 $a+bi$ 中，实部为 $a$，虚部为 $b$。
2. 复数的相等：两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部相等。
3. 复数的共轭：如果复数 $a+bi$ 中 $b$ 的值为非零实数，则其共轭复数为 $a-bi$。
二、复数的运算复数的四则运算：1. 加法：复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
2. 减法：复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
3. 乘法：按照分配律，进行复数相乘。
4. 除法：将除数的共轭复数与被除数相乘，然后按照分配律计算。
练习：计算以下复数的加减乘除1. $(2+3i)+(4-5i)$2. $(3-2i)-(1+4i)$3. $(2+3i)\times(1-2i)$4. $\frac{4+3i}{2+i}$三、平面向量的引入和基本概念平面向量的引入：平面向量是指在平面内可以作平行移动的量，它具有大小和方向两个性质。
用有向线段来表示平面向量。
平面向量的基本概念：1. 等向量：具有相等的长度和方向的向量。
2. 零向量：长度为零的向量，它的方向可以是任意的。
3. 向量加法：向量与向量相加的运算。
4. 数乘：数与向量的乘法运算，即将向量的长度乘以一个实数。
四、平面向量的坐标表示方法平面向量的坐标表示方法：将平面上一点的坐标作为该点所对应向量的坐标，如点$A(x_1,y_1)$ 和点 $B(x_2,y_2)$ 对应的向量分别为$\vec{a}(x_1,y_1)$ 和 $\vec{b}(x_2,y_2)$。
高中数学教案：复数与向量的运算与应用
高中数学教案：复数与向量的运算与应用一、引言复数与向量作为高中数学中的重要概念，具有广泛的运用和应用。
本教案旨在帮助学生掌握复数与向量的运算规则，并了解其在实际问题中的应用。
二、复数的基本概念与运算1. 复数的定义：复数由实部和虚部组成，形如a+bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的表示方法及性质：a) 代数式表示法：将a和b分别表示出来。
b) 图形表示法：利用平面直角坐标系，将复平面上点z对应于复数z=a+bi。
c) 共轭复数：若z=a+bi，则其共轭复数为z*=a-bi。
d) 模长：模长表示了复数到原点距离（或向量长度），记作|z|，即|z|=√(a²+b²)。
3. 复数的四则运算及性质：a) 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
b) 减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
c) 乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
d) 除法：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i。
4. 复数的乘方和开平方运算：a) 乘方：(a+bi)^n=|a+bi|^n*(cos(nθ)+isin(nθ))，其中θ为复数的幅角。
b) 开平方：√(a+bi)=±√|a+bi|*(cos(θ/2)+isin(θ/2))。
三、向量的基本概念与运算1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用带箭头的字母表示。
2. 向量的表示方法及性质：a) 坐标表示法：用直角坐标系中的两个坐标差值表示向量。
b) 自由向量与定位向量：自由向量没有特定位置，而定位向量有固定起点和终点。
c) 零向量与单位向量：零向量模长为0，单位向量模长为1且方向固定。
3. 向量的加法和减法：a) 加法规则：将两个向量首尾相连形成一个新的向量，新向量从第一个原点指向第二个头端。
复数的向量表示(一) 教案示例
复数的向量表示(一)·教案示例目的要求1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义．2．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质．内容分析1．如图5－1，复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi．其中复数z＝a＋bi中的z，书写时用小写，复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时用大写．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复平面除了是用来表示复数的平面这一特点之外，其他与直角坐标系是一样的．比如它也有四个象限，在此平面内也可研究曲线方程、曲线性质等．因为任何一个复数z＝a＋bi，都是由一个有序实数对(a，b)唯一确定，所以复数集与复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．比如点(a，0)与实数a对应，点(0，b)与纯虚数bi对应，点(a，b)与复数a＋bi对应．2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．共轭复数有许多有用的性质，随着后续学习，我们会逐步体会到应用这些性质来解题的优越性．由共轭复数的定义，我们可以得到：(4)互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称．3．本课补充了三道例题．例1是为巩固共轭复数和复数相等的定义等知识而设计的．例2涉及复数的几何表示及解析几何等有关知识，其难点是解一元二次不等式组．估计部分学生会有些困难，教学中，教师要根据实际情况对学生进行启发和指导．例3涉及共轭复数的性质及解析几何中曲线与方程等有关知识，解题的关键是将问题化归成学生熟悉的问题——解析几何中动点轨迹问题．教学过程1．复习提问(1)虚数单位i的两个规定的内容是什么？(2)填空：复数z的代数形式是________；当________时，z为实数；当________时，z为虚数；当________时，z为纯虚数；z的实部为________；虚部为________．(3)已知(x ＋3y)＋(2x －10y)i ＝5－6i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y ．(4)任意一个复数z ＝a ＋bi 与一个有序实数对(a ，b)之间有什么对应关系？2．提出复平面等有关概念在复习问题(4)的基础上，指出：任何一个复数z ＝a ＋bi 都可以由一个有序实数对(a ，b)唯一确定．而有序实数对(a ，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的．由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应．这时，提出复平面、实轴、虚轴等概念，并结合实例对这些概念进行一一说明． 由此可知，复数集C 和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的，即这就是复数的几何意义．这时提醒学生注意复数z ＝a ＋bi 中的字母z 用小写字母表示，点Z(a ，b)中的Z 用大写字母表示．3．课堂练习教科书中课后练习第2、3题．4．提出共轭复数的概念(1)当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不为0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数．(2)z z a bi 复数的共轭复数用表示，即如果＝＋，那么z z a bi =-(3)Z z Z 52在复平面内，如果点表示复数，点表示复数，那么点和点关于实轴对称，如图－所示．Z z Z(4)z R z z (5)z {}z z 0z 0(6)(z)z 复数∈＝．复数∈纯虚数＋＝，且≠．＝．⇔⇔5．讲解例题．例1 已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R)是4－20i 的共轭复数，求x 的值． 分析：根据互为共轭复数的定义，已知复数为4＋20i ．由复数相等的定义，可列出关于x 的两个方程，这两个方程的公共解就是所求x 的值．解：因为4－20i 的共轭复数是4＋20i ，根据复数相等的定义，可得x x 24 x 3x 220 22＋－＝，①－＋＝．②⎧⎨⎪⎩⎪ 方程①的解是x ＝－3或x ＝2；方程②的解是x ＝－3或x ＝6．所以x ＝－3．例2 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在(1)第三象限？(2)第四象限？(3)直线x －y －3＝0上？分析：因为x 是实数，所以x 2＋x －6、x 2－2x －15也是实数．若复数z ＝a ＋bi ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限；当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．解：(1)当实数x 满足x x 60x 2x 15022＋－＜，－－＜．⎧⎨⎪⎩⎪ 即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足x x 60x 2x 15022＋－＞，－－＜．⎧⎨⎪⎩⎪ 即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0．即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．例3 已知复数3x ＋2y ＋(x 2＋y 2－1)i(x ，y ∈R)的共轭复数是它本身，试在复平面内画出复数z ＝x ＋yi 对应的点Z 构成的图形．分析：由条件求出x 、y 满足的曲线方程，就可得出点Z 在复平面内构成的图形． 解：因为x 、y ∈R ，所以3x ＋2y 、x 2＋y 2－1都是实数．由题设及共轭复数的定义，得x 2＋y 2＝1．即点Z(x ，y)的坐标满足方程x 2＋y 2＝1．因此，点Z 构成的图形是一个以原点为圆心，以1为半径的单位圆，如图5－3所示．6．课堂练习教科书中的课后练习第1、4、5题．7．归纳总结本小节内容包括复平面、共轭复数的概念，复数的几何表示等内容．教师对这些内容作一次简明扼要的概述．布置作业教科书习题5．2第2、5题．。
高中数学复数解读教案模板
高中数学复数解读教案模板教学目标：学生能够理解复数的概念，掌握复数的表示形式，进行复数的运算。
一、复数的概念与表示1. 复数的定义：复数是形如a+bi的数，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，i^2=-1。
2. 复数的表示形式：标准形式、三角形式、指数形式等。
3. 复数平面：复数可以用平面上的点表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
二、复数的运算1. 复数的加减法：实部相加，虚部相加。
2. 复数的乘法：使用分配律及虚数单位i的平方等于-1进行计算。
3. 复数的除法：先将分母有理化，再进行除法运算。
三、复数的应用1. 复数在几何中的应用：向量的表示、测量等。
2. 复数在物理中的应用：交流电路中的阻抗等。
教学过程：1. 复数的概念与表示（30分钟）- 教师引导学生了解复数的概念，并通过例题演示不同表示形式。
- 学生掌握复数的概念及表示方法。
2. 复数的运算（40分钟）- 教师讲解复数的加减法、乘法和除法，并进行相关例题讲解。
- 学生完成相关练习，巩固复数的运算规则。
3. 复数的应用（30分钟）- 教师介绍复数在几何和物理领域中的应用，引导学生理解复数的实际意义。
- 学生通过实际问题解决复数的应用题目。
教学反馈：- 教师根据学生的掌握情况进行课堂检测与反馈，帮助学生弥补不足，巩固学习成果。
教学资源：- PowerPoint课件、复数计算工具、复数应用案例等。
教学评价：- 学生能够准确理解复数的概念和运算规则，能够运用复数解决实际问题。
教学延伸：- 学生可自主学习复数的高级运算、复数的根和方程等内容，拓展复数的应用领域。
教学反思：- 教师应根据学生的学习状况调整教学内容和方法，有效提高学生的学习兴趣和成绩。
高中数学教案：理解复数在几何中的应用
高中数学教案：理解复数在几何中的应用理解复数在几何中的应用一、引言复数是高中数学中一个重要的概念，它不仅在代数运算中起着关键作用，还在几何中有着广泛的应用。
本教案旨在帮助学生理解复数在几何中的应用，并掌握相关的解题技巧。
二、复数平面和向量表示1. 复数平面复数可以通过平面上的点来表示，被称为复平面。
实部表示点的横坐标，虚部表示纵坐标。
这样，每个复数都对应于平面上唯一一个点。
2. 向量表示法复数也可以使用向量来表示。
向量与复数之间的对应关系非常简单：向量OA对应于复数a。
三、复数的模与幅角1. 模复数z=a+bi的模定义为正实数|z|=√(a^2+b^2)。
模描述了从原点到该点所对应向量的长度。
2. 幅角复数z=a+bi（b≠0）的幅角定义为θ=arctan(b/a)。
幅角描述了从正实轴逆时针旋转到该点所对应向量时经过的角度。
四、复数与几何图形1. 复平面中的点复数z=a+bi对应于复平面上的一个点P，实部a和虚部b可以分别看作是点P在x轴和y轴上的投影。
由此可见，复数可以用来表示平面上的点。
2. 折线段中点的坐标设AB是复平面上两个不同的点A和B对应的复数。
那么，折线段AB中点C所对应的复数可以表示为C=(1/2)(A+B)。
这一结论可以通过向量运算来证明。
3. 直线方程在复平面上，直线可以用线性方程ax+by+c=0来表示。
其中a、b、c都是实数，同时满足a和b不全为0。
这与我们熟悉的直线方程在笛卡尔坐标系中的表示形式相类似。
4. 圆与圆心坐标复平面上与原点O距离为r(r>0)的所有点P构成一个圆。
设圆心为C，则C 对应的复数为z=r(cosθ+isinθ)，其中θ是COP与正实轴之间夹角。
五、复数求解几何问题方法1. 直角三角形边长求解如果已知直角三角形斜边长度c以及某个锐角θ，则直角三角形其他两条边分别为a=c*cosθ和b=c*sinθ。
通过复数表示，可以很方便地求解直角三角形的边长。
小学数学教案计算复数和向量
小学数学教案计算复数和向量小学数学教案：计算复数和向量一、引言数学作为一门科学，是培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要学科之一。
在小学数学教学中，计算复数和向量是一个关键的内容。
本教案旨在帮助小学生掌握计算复数和向量的方法，并培养他们的计算能力和应用能力。
二、基础知识概述1. 复数的概念：复数是由实数和虚数单位构成的数，可表示为a+bi 的形式，其中a和b分别是实数，i是虚数单位（i² = -1）。
2. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算规则类似于实数。
3. 复数的乘法：复数的乘法使用分配律和虚数单位的平方等规则进行计算。
4. 复数的除法：复数的除法涉及到共轭复数的概念，其中分母的共轭复数为原复数实部不变、虚部相反构成的复数。
三、教学过程1. 第一节：复数的加法和减法- 引导学生了解复数、实部和虚部的概念。
- 通过具体的实例，教授复数的加法和减法的运算规则。
- 由浅入深，引导学生进行练习，巩固所学知识。
2. 第二节：复数的乘法- 通过实例展示复数的乘法规则，包括虚数单位的平方等。
- 帮助学生理解复数乘法的几何意义。
- 练习乘法的计算，培养学生的计算能力。
3. 第三节：复数的除法- 引导学生理解共轭复数的概念。
- 演示复数的除法过程和计算步骤。
- 练习复数的除法，加深对身边实际问题的应用。
4. 第四节：向量的概念和计算- 介绍向量的概念、表示方法和方向。
- 教授向量的加法和减法运算规则。
- 通过具体的问题，引导学生运用向量运算解决实际问题。
5. 第五节：复数与向量的关系- 学生通过前面的学习，回顾复数和向量的概念，发现两者之间的联系。
- 引导学生应用复数和向量知识解决复杂问题，如平面图形的运动变化问题等。
四、教学评价1. 在每个小节的结尾，设计相应的练习题，检查学生对所学内容的掌握情况。
2. 定期进行形成性评价，考察学生的基础知识掌握情况和应用能力。
五、教学延伸1. 引导学生进行更多的复习和练习，巩固所学内容。
高中数学教案：复数与向量的运算与应用 (2)
高中数学教案：复数与向量的运算与应用一、引言复数与向量是高中数学重要的概念，它们在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
本教案将介绍复数与向量的运算方法和应用，并提供相应的例题进行解析。
通过学习本教案，同学们将能够掌握复数和向量的基本性质，并能运用它们解决实际问题。
二、复数的引入及基本概念1. 复数的定义复数是由实部和虚部构成的有序对，常用形式为a + bi（其中a、b均为实数），其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i表示虚单位。
2. 复数表示形式复数可以表示为代数式、三角式或指数式。
代数式就是通常所见到的a + bi形式；三角式则使用模长（绝对值）和辐角进行表示；指数式则利用欧拉公式e^(iθ)进行表示。
3. 复数运算规则复数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
加减法按照实部和虚部分别相加相减；乘法采用分配律，并记得i^2 = -1；除法需要借助共轭复数进行计算。
三、复数的应用1. 复平面及复数的几何解释复平面是以实轴和虚轴为坐标轴所构成的平面，利用复平面可以直观地表示复数。
复数在复平面上对应着点，其横纵坐标分别对应实部和虚部。
利用复平面，我们可以将复数的运算视为对点的移动和变换。
2. 共轭复数的性质与应用共轭复数是指虚部符号取相反数的两个复数，即a + bi和a - bi互为共轭。
共轭具有保持实部不变而改变虚部符号的特性。
在计算过程中，共轭可以消去分母中含有虚部的项，使得计算更加简洁。
3. 模长和辐角及其运算模长是指从原点到复平面上一个点到距离，通常表示为|z|。
模长可以通过勾股定理计算得出。
辐角是指从正实半轴（x轴）到线段所包含与负半实轴（y轴）之间的夹角。
辐角可以使用反三角函数来计算，并通常表示为θ。
4. 欧拉公式的推导与应用欧拉公式将复杂数字的指数式与三角函数和复数的关系联系了起来。
它是数学中一种重要而美丽的公式，应用广泛。
欧拉公式是物理学和工程学领域中许多问题求解的基础。
四、向量的引入及基本概念1. 向量的定义向量表示大小（模长）和方向的有向线段，常用形式为→AB（其中A、B为点）。
数学教案复数的向量表示
数学教案－复数的向量表示教学目标（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；（4）通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想；（5）通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法．教学建议一、知识结构本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式．二、重点、难点分析本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．三、教学建议1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视．2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示．相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．2．这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．3．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．4．讲解教材第182页上例2的第（1）小题建议．在讲解教材第182页上例2的第（1）小题时．如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒2的第（2）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．5．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。
小学数学教案计算复数与向量
小学数学教案计算复数与向量一、引言数学作为一门基础学科，在小学阶段就开始接触并学习。
本教案将介绍如何在小学数学课堂上进行复数与向量的计算，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
二、复数的引入与基本概念1. 复数的定义复数由实数部分和虚数部分组成，表示为z=a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分。
2. 复数的表示方式复数可以用代数形式表示，也可以用坐标形式表示。
3. 复数的加减法复数的加减法遵循实部相加、虚部相加的规则。
4. 复数的乘法复数的乘法可以通过分配律和虚数单位i的性质来计算。
5. 复数的除法复数的除法可以通过分子分母同时乘以共轭复数，并利用除法的性质来计算。
三、向量的引入与基本概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，表示为→AB。
2. 向量的表示方式向量可以用坐标表示，也可以用有向线段表示。
3. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，连成一个平行四边形的对角线，该对角线就是两个向量的和向量。
4. 向量的数乘向量的数乘即将向量的长度与一个实数相乘。
5. 向量的线性运算向量的线性运算包括加法、减法和数乘，满足相应的运算法则。
四、复数与向量的关系1. 复数的坐标形式与向量的关系复数a+bi可以表示为点A(x, y)，其中x和y分别为复数的实部和虚部，点A可以看作是一个点的坐标，即向量→OA。
2. 复数和向量的加法复数的加法可以看作是向量的加法，在坐标平面上进行。
3. 复数乘向量复数乘向量相当于对向量进行缩放和旋转。
五、教学设计本教案采用任务型探究教学法，通过问题引导学生进行探究和讨论，激发学生的学习兴趣和思维能力。
1. 导入引出本节课的教学内容，简要介绍复数和向量的基本概念，并与学生进行互动。
2. 讲解分步骤讲解复数和向量的定义、表示方式以及基本运算法则，引导学生理解。
3. 练习提供一些练习题，让学生巩固所学内容。
可以分为基础题和拓展题两部分，满足不同学生的需求。
高考数学复数的概念及向量表示
复数的概念及向量表示一. 教学内容： 复数数的概念的发展 复数的有关概念 复数的向量表示二. 重点、难点：1. 数的概念的发展：数的概念的产生、发展源自社会实践的需要，且经历了漫长的历程。
最早，由于计数的需要，人们建立起了自然数的概念（自然数的全体构成了自然数集N ），为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们又引进了零以及负数。
（此时，自然数被看成正整数，而把正整数、零、负整数合并在一起，构成了整数集Z ）为了解决测量、分配中遇到的把某些量等分的问题，人们又引进了分数，即形如()mnn N m Z Q ∈∈，的数，人们把这样的数连同整数统称为有理数。
（有理数的全体构成了有理数集。
）为了解决有些量与量之间的比值不能用分数（即有理数）来表示的矛盾，人们又引进了无理数。
例如正方形的对角线与其边长之比为。
而易证不是有理数。
（反证法）。
这样以来，数的概念又得到了发展，原有的有理数与新引进的无理数统称为实数。
（而把实数的全集称为实数集）2122:=R数的概念的发展远未停止。
为了满足研究方程的需要，（数学的内部需要），人们又引进了一种新的数——虚数。
事实上，解方程的需要也是促进数的概念不断发展的重要动力。
例如，方程x+5=3在自然数集N 中无解，而在扩充后的整数集Z 中则有解；方程2x=5在整数集Z 中无解，而在扩充后的有理数集Q 中则有解；方程x 2 = 2在有理数集Q 中无解，但在实数集R 中则有解。
新的问题：x 2 + 1 = 0在实数集R 中无解，为解决这个方程有解的问题，人们引进了一个新数i ，（虚数单位），对i 作出如下规定： （1）i 2 = -1；（2）实数与i 可进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法，乘法算律仍然成立。
如此以来，就出现了a ＋bi （a ，b ∈R ）的数。
人们就把形如a ＋bi 的数叫做复数。
而全体复数构成的集合称为复数集。
记作C 。
（英文Complex number 的第一个字母） 至此，复数的引入已很好地解决了实数集内一元二次方程无解的矛盾。
高中数学教案复数与向量
高中数学教案复数与向量高中数学教案——复数与向量第一部分：复数复数概念和表示法（300字）复数是数学中的一个重要概念，由实数和虚数构成。
实数是我们平常所熟悉和使用的常规数字，而虚数则包含形如√-1的虚数单位i。
复数通常可以用a+bi的形式表示，其中a和b都是实数，a称为复数的实部，b称为复数的虚部。
复数运算（400字）复数的运算是对实部和虚部进行分别计算。
对于复数a+bi和c+di 的运算，我们可以分别对实部和虚部进行加减运算。
加法的运算规则是实部相加，虚部相加，得到复数的和，而减法的运算规则则是实部相减，虚部相减，得到复数的差。
除了加减运算之外，复数还可以进行乘法和除法运算。
复数的乘法运算需要根据分配律展开计算，在实部和虚部上进行运算，最后得到一个新的复数。
而复数的除法运算则是通过对复数的分子和分母进行有理化处理，将复数除法转化为乘法，并进行类似的运算步骤。
复数的几何意义（300字）复数不仅可以进行运算，还可以用于表示平面上的点。
我们可以将复数a+bi理解为复平面上的一个点P，其中a是点的横坐标，b是点的纵坐标。
利用这种表示方法，我们可以进行复数的平移、旋转、缩放等操作，进一步探索复数的几何意义。
第二部分：向量向量的定义和表示（300字）向量是数学中描述方向和大小的概念，具有大小和方向两个属性。
向量通常用一个箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以用字母加上一个箭头或在字母上方加上一条横线来表示。
向量的运算（400字）向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法规则是对应位置上的数进行加法运算，得到一个新的向量。
减法的运算规则是对应位置上的数进行减法运算，得到一个新的向量。
而数量乘法则是将向量的每一个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
向量的线性相关与线性无关（300字）向量的线性相关和线性无关是向量空间中重要的概念。
如果存在一组实数，使得向量的线性组合等于零向量，则这组向量是线性相关的。
高中数学教案复数与平面向量
高中数学教案复数与平面向量高中数学教案：复数与平面向量引言：本教案旨在帮助高中数学教师教授复数与平面向量这一重要的数学概念。
复数和平面向量在解决数学问题和实际应用中具有重要作用。
本教案将侧重于复数的基本概念、运算规则以及平面向量的定义、运算法则和相关应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这两个概念。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，用符号 z=a+bi 表示，其中 a 和 b 分别表示实数部分和虚数部分。
复数可以用坐标形式表示，并在复平面上对应一个点。
1.1 复数的定义复数是实数与虚数的和，其中实数部分和虚数部分分别用 a 和 b 表示。
实部用 a 表示，虚部用 b 表示。
1.2 复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为 z=a+bi，三角形式为z=r(cosθ+isinθ)，其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角。
1.3 复数的运算规则复数的加法、减法、乘法、除法运算规则需要掌握。
具体运算规则如下：- 加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i- 减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i- 乘法：z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i- 除法：z1/z2=(a1*a2+b1*b2)/(a2^2+b2^2)+((b1*a2-a1*b2)/(a2^2+b2^2))i二、复数的应用复数在实际应用中具有广泛的应用，例如在电路分析、信号处理、量子力学等领域。
以下是一些常见的应用案例：2.1 电路分析复数在电路分析中用于计算交流电路中的电压、电流和功率。
通过将电路中的电阻、电感和电容与复数形式的阻抗相结合，可以简化计算过程。
2.2 信号处理复数在信号处理中用于表示和分析模拟和数字信号。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将时域信号转换为频域信号，并使用复数进行频域分析。
2.3 量子力学复数在量子力学中用于描述粒子的波函数。
波函数是一个复数函数，描述了粒子的位置和动量的概率分布。
高中数学课教案：探索复数和向量的应用
高中数学课教案：探索复数和向量的应用复数和向量是高中数学中重要的概念，它们具有广泛的应用领域。
本教案旨在通过探索复数和向量的应用，帮助学生更好地理解并运用这两个概念。
一、复数的应用1. 复数在电路分析中的应用复数能够方便地描述交流电路中电压和电流之间的关系。
通过将电阻、电感和电容等元件对应到复平面上，可以使用复数来表示电路中各个元件之间的相位差和幅值关系，进而分析交流电路中的信号传输特性。
2. 复数在几何问题中的应用在平面几何问题中，有时需要求解与负数相关联的平方根，例如求解一个负半径的圆或者在复平面内寻找特定点。
利用复数可以简化计算过程，并且提供了一种直观的形象描述方法，在解决几何问题时能够更加便捷和高效。
3. 复数在信号处理中的应用信号处理是现代通讯技术和图像处理领域重要的一部分。
傅里叶变换是信号处理中常用的分析工具之一，它可以将一个复杂的信号分解成一系列简单的正弦和余弦函数。
利用复数表示这些正弦和余弦函数，可以简化计算过程，并且提供了一种方便的表示方法。
二、向量的应用1. 向量在物理力学中的应用向量是描述物体运动或力的重要工具。
在物理力学中，可将各个力按照大小和方向用向量表示，并根据向量运算法则进行计算和推导。
例如，在斜面上滑动物体或者施加挤压力等问题中，通过对各个力进行叠加和分析，可以准确地求解出所需结果。
2. 向量在解析几何中的应用解析几何是数学与几何相结合的一个分支，而向量则是解析几何中最基本的概念之一。
在平面和空间几何问题中，我们经常需要求出两点之间的距离、直线与平面之间的关系，以及角度等。
利用向量可以将这些问题转化为简单而直观的计算过程。
3. 向量在电磁学中的应用电磁场是电磁学研究的核心内容之一。
在描述电场和磁场时，往往需要使用到向量的概念。
例如，电场强度和磁感应强度分别可以用向量表示，并根据向量的运算规律进行求解。
通过运用向量，我们可以更好地理解电磁场在空间中的分布和传播规律。
人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿
人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿一、引言在高中数学中，复数是一个非常重要的概念。
复数的引入不仅拓宽了数的域，使得我们可以解决更多的数学问题，同时也具有深刻的几何意义。
本课程旨在通过学习《复数的几何意义》，让学生了解并体会复数的几何意义，从而帮助他们更好地理解复数及其在数学中的应用。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将达到以下教学目标： 1. 理解复数的几何意义及其在平面内表示； 2. 能够用向量表示复数，并进行复数相加、相减、相乘的运算； 3. 能够解决与复数相关的几何问题。
三、教学内容1. 复数的引入及定义首先，我们将回顾复数的引入，描述复数的定义及其表示方法。
复数是由实部和虚部组成的，可以用a+bi来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的几何意义接下来，我们将讲解复数的几何意义。
复数可以用向量表示，实部对应向量在实轴上的投影，虚部对应向量在虚轴上的投影。
我们可以直观地理解复数在平面内的表示，并通过几个例子演示。
3. 复数的运算然后，我们将学习关于复数的运算。
复数的加法减法可以通过向量的相加减来完成。
复数的乘法可以通过向量乘法和极坐标形式来理解。
我们将通过具体的例题进行讲解和练习，帮助学生掌握复数的运算规则。
4. 解决几何问题最后，我们将应用所学的复数知识解决几何问题。
例如，平面上的旋转、缩放等问题都可以通过复数的运算来表示和解决。
我们将带领学生分析和解决一些实际问题，培养他们运用复数解决几何问题的能力。
四、教学方法1.探究方法：通过引导学生提出问题，思考并探索复数的几何意义和运算规律，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2.演示法：通过具体的几何图形演示复数的表示和运算，帮助学生直观地理解和记忆。
3.实践方法：通过解决实际问题，培养学生应用复数解决几何问题的能力。
五、教学步骤步骤一：复习导入1.复习上节课所学的复数的引入和定义。
2.引导学生思考：复数在平面内的几何意义是什么？步骤二：讲解复数的几何意义1.通过一些例子，让学生感受复数在平面内的表示。
高中数学复数教案（精选五篇）
高中数学复数教案（精选五篇）第一篇：高中数学复数教案高中数学复数教案教学目标：（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．教学重点难点：复数的概念，复数相等的充要条件．用复平面内的点表示复数Ｍ．以及复数的运算法则教学过程：一、复习提问：1．复数的定义。
2．虚数单位。
二、讲授新课1．复数的实部和虚部：复数z=a+bi中中的a与b分别叫做复数的实部和虚部2．复数相等如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数复平面的定义:立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．复数可用点来表示．其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
原点只在实轴x上，不在虚轴上． 4．复数的几何意义：复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的． 5．共轭复数(1)复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
（虚部不为零也叫做互为共轭复数）（2）a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（3复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称．6.复数的四则运算：加减乘除的运算法则。
小结：1．在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
2．复数集与复平面上的点注意事项：（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
高三数学教案：复数的向量表示
高三数学教案：复数的向量表示一、教学目标1.理解复数的向量表示方法，掌握复数的向量表示与几何意义。
2.能够利用复数的向量表示解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
3.培养学生合作探究、主动学习的习惯，提高课堂参与度。
二、教学重点与难点1.教学重点：复数的向量表示方法及其几何意义。
2.教学难点：复数的向量表示在实际问题中的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾复数的基本概念，如复数的定义、复数的表示方法等。
（2）提问：复数在平面直角坐标系中有何几何意义？2.知识讲解（1）讲解复数的向量表示方法：复数a+bi可以表示为一个向量，实部a为横坐标，虚部b为纵坐标。
向量表示的复数可以用箭头表示，起点为原点，终点为对应的坐标点。
（2）讲解复数的向量表示的几何意义：向量表示的复数与平面直角坐标系中的点一一对应。
向量的长度表示复数的模，向量的方向表示复数的辐角。
3.课堂练习（1）让学生举例说明复数的向量表示方法。
已知复数z1=3+4i，z2=1-2i，求z1+z2的向量表示。
已知复数z1=2+i，z2=4-3i，求z1·z2的向量表示。
4.小组讨论（1）让学生分组讨论复数的向量表示在实际问题中的应用。
（2）每组选代表进行分享，其他组进行补充和评价。
5.课堂小结（2）回顾课堂所学，巩固知识点。
6.作业布置（1）课后练习：教材P页习题1、2、3。
（2）思考题：如何利用复数的向量表示解决复数乘法和除法问题？四、教学反思1.讲解复数的向量表示时，要让学生充分理解向量表示的几何意义。
2.在课堂练习环节，要关注学生的解题过程，及时给予指导和反馈。
3.在小组讨论环节，要引导学生积极参与，提高学生的合作能力。
4.课后作业要针对不同层次的学生进行分层设计，提高学生的巩固效果。
五、教学评价1.学生对复数的向量表示方法及几何意义的掌握程度。
2.学生在课堂练习和课后作业中的表现。
3.学生在小组讨论中的合作能力和参与度。
高中数学教案复数的几何应用
高中数学教案复数的几何应用一、引言复数以及其在数学中的应用是高中数学中的重要内容之一。
本教案旨在帮助学生理解复数的几何意义与应用，通过几个实际问题的分析来加深对复数的理解和应用能力。
二、复数的几何意义1. 复数的概念首先，让学生了解复数的概念。
复数可以表示为 a+bi 的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
复数可以在坐标平面中表示为点，即复平面，实数部分对应x轴，虚数部分对应y轴。
通过复数对应的点在复平面上的位置，可以看出复数的几何意义。
2. 复数的坐标表示接下来，教师可以通过示意图来说明如何将复数表示为坐标。
例如，当复数为5+3i时，应该将该点表示在复平面上的什么位置。
3. 模与幅角介绍复数的模和幅角的概念。
复数的模表示复数与原点之间的距离，而幅角表示复数与正实数轴之间的夹角。
通过计算模和幅角，可以进一步理解复数的几何意义。
三、复数的几何应用1. 平面向量的表示复数可以用来表示平面向量，实际上复数和向量是一一对应的。
通过将复数表示为向量，可以方便地进行向量加法和减法运算。
2. 复数的旋转复数可以通过乘以单位复数来实现平面向量的旋转。
教师可以通过示意图来说明复数乘以单位复数后的旋转效果，从而引出复数的旋转性质。
3. 复数的线性运动与导数复数可以表示平面上的线性运动，通过计算复数的导数可以得到速度矢量和加速度矢量。
教师可以通过具体实例来说明复数的线性运动与导数的关系。
四、实际问题解析1. 复数在物理中的应用通过解答一些物理问题，如抛体运动中的速度和加速度矢量问题，让学生了解到复数在物理中的应用。
2. 复数在工程中的应用通过解答一些工程问题，如电路中的电流和电压问题，让学生了解到复数在工程中的应用。
3. 复数在几何中的应用通过解答一些几何问题，如三角形的外心、内心和质心的坐标问题，让学生了解到复数在几何中的应用。
五、总结通过本教案的学习，学生掌握了复数的几何意义和应用。
复数不仅在代数中有广泛应用，在物理、工程和几何等实际领域也有重要的作用。
复数的向量表示(二) 教案示例
复数的向量表示(二)·教案示例目的要求1．掌握复数的向量表示，理解复数z 、复平面内的点Z 及向量之间的一一对应关系．2．理解复数的模的概念及其几何意义，掌握复数的模的计算方法．内容分析1．在复平面内用向量表示复数z 与用点Z 表示复数z 是完全平行的．教学中，要注意有机地把三者联系起来，使学生理解复数的三种表示形式及其相互关系．在全日制普通高级中学教科书数学第一册(下)中，学生学习过平面向量的有关知识，并且知道，在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．这样，就为用平面向量来表示复数提供了依据．如图5－4，设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋bi ，显然是由点Z 唯一确定的；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定．因此，复数集C 与复平面内的向</PGN0212B.TXT/PGN>量所组成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)．即复数z ＝a ＋bi 、点Z(a ，b)、向量三者之间有如下对应关系：对于用向量表示复数z ＝a ＋bi 来说，要注意方向问题，即向量是以原点为起点，点Z(a ，b)为终点．这样，讨论复数的运算、性质和应用时，也可以在复平面内，用向量方法进行．这是与以前学习实数最大的区别之一，同时也说明复数有关知识的应用是非常广泛的．2．关于复数的模，应从以下几个方面来加深对这一概念的理解．(1)|z||a bi|r (r 0)计算公式：＝＋＝＝≥．a b 22(2)几何意义：复数z ＝a ＋bi 的模的几何意义是点Z(a ，b)到原点的距离，即向量的模(长度)．(3)|z||z|＝．(4)复数的模就是实数的绝对值概念的推广．(5)两个不全为实数的复数不能比较大小，但任何两个复数的模是可以比较大小的．3．本课安排了三道例题，其中例1和例2是教科书上的例题，例1说明复数的模与实数的绝对值一样，也是非负数，因而复数的模是可以比较大小的．例2讲的是复数z 对应的点Z 的轨迹问题，对于简单的问题来说，直接由有关概念就可判断点Z 的轨迹是什么图形．而对于较复杂的问题来说，一般设复数z ＝x ＋yi ，将条件转化成解析几何中的曲线方程问题来求解．例3是补充的一道例题，直接考查复数模的计算公式、复数的基本概念以及解方程组的能力；间接考查轨迹问题及数形结合思想．因为复数z 对应的点既在⊙P1：(x －2)2＋y2＝8上，又在⊙O ：x2＋y2＝4上．因此点Z 在这两圆的交点上．教学过程1．复习提问(1)说明可以用直角坐标系中的点Z(a ，b)来表示复数z ＝a ＋bi 的依据．(2)互为共轭复数的概念是怎样定义的？根据这一定义，你能得出哪些简单的结论？</PGN0213B.TXT/PGN>(3)复数集C 与复平面内所有点所组成的集合之间可以建立怎样的对应关系？2．在复习提问的基础上，提出复数的向量表示的有关知识内容这里应结合图形对用向量表示复数的可行性、表示方法、书写方法一一加以说明．3．提出复数的模的概念复数的模是复数这一章中最重要的概念之一．教学中，要结合图形、实例对它的定义、计算公式、与实数的绝对值的性质、几何意义及其简单性质逐一解释清楚，使学生通过理解相关知识很好地掌握这一重要概念． 教学中，可采用如下的板书形式，使学生一目了然，加深记忆和理解这一概念．(1)定义：向量的模r 叫做复数z ＝a ＋bi 的模．(2)r |z||a bi|计算公式：＝＝＋＝．a b 22+(3)复数z 的模的几何意义，就是复数z 在复平面内的点到原点的距离，即||．(4)复数的模就是实数绝对值概念的推广，它也是一个非负实数． (5)|z||z|＝．4．讲解例题</PGN0214A.TXT/PGN>例求复数＝＋及＝－－的模，并且比较它们模的大小．1 z 34i z i 12122分析：利用复数模的计算公式可求出|z1|及|z2|，它们都是非负实数，可以比较大小．解：＝＝，＝．∵＞，∴＞．|z |5|z |5|z ||z |12123412232322222+-+-=()()例2 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z|＝4；(2)2＜|z|＜4．分析：|z|的几何意义是复平面内表示复数z 的点Z 到原点的距离．由此可得出点Z 的集合表示的图形． 解：(1)满足条件|Z|＝4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆(图5－5(甲))．(2)不等式2＜|z|＜4可以化为不等式组|z|4|z|2＜，＞．⎧⎨⎩满足条件|z|＜4的点Z 的集合表示的图形是圆|z|＝4内部所有的点构成的图形，满足|z|＞2的点Z 的集合表示的图形是圆|z|＝2外部所有的点构成的图形．这两个集合的交集就是原不等式的解集，因此，满足原不等式的点Z 的集合是一个圆环(图5－5(乙))．例3 已知复数z1＝x －2＋yi ，z2＝3x ＋2y ＋(2x －3y)i ，其中，∈．若＝，＝，求复数＝＋的值．x y R |z ||z |z x yi 1222213分析：根据复数模的计算公式及＝、＝可列出关于实数|z ||z |1222213x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x 、y 的值．解：根据复数模的计算公式及已知条件，可得方程组(x 2)y 8(3x 2y)(2x 3y)522222－＋＝＋＋－＝⎧⎨⎪⎩⎪解这个方程组，得＝，＝－；或＝，＝．x 0y 2x 0y 2⎧⎨⎩⎧⎨⎩所以，z ＝－2i 或z ＝2i ．5．课堂练习(1)教科书中的课后练习第1、2题；(2)教科书中的课后习题第1题．6．归纳小结(1)对复数的三种表示法及相互联系加以总结．(2)对共轭复数、复数的模等概念进行小结．布置作业教科书习题5．3第4、6、7题．。
复数的向量表示PPT课件
巩固知识 典型例题
在例1中，z1 3 4i 与 z2 3 4i 是 共轭复数，它们所对应的点 Z1与 Z2 关于
实轴对称．
一般地，复平面内表示一对共轭复数
z a bi和z a bi的点 Z (a，b) 和Z (a， b) 关
于实轴对称.
第6页，共18页。
动脑思考 探索新知
于是，复数 z a bi(a，b R) 可以用直角坐标系中的点Z(a，b)表示．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（如图）. b
Z(a,b)
Ｏ
a
x
第3页，共18页。
动脑思考 探索新知
在复平面内，x轴上的点都表示实数，y轴
上除去原点以外的点都表示纯虚数，因此，一
般将x轴称为实轴，y轴称为虚轴.
复数的向量表示
第1页，共18页。
创设情境 兴趣导入
任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示．
例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示
第2页，共18页。
动脑思考 探索新知
一.复数的向量表示
由复数相等的定义知，任何一个复数 z a bi(a，b R) 都对应唯一的有序
实数对(a，b)，而有序实数对(a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z ， 其坐标为(a，b)。
如图所示，设复平面内的点Z（a，b）表示复数 z a bi，以原点
O为始点，点Z为终点作位置向量 OZ ，那么向量 OZ 由点Z唯一确定；
反之，点Z（a，b）（即复数 z a bi ）
y
也可以由向量 OZ 唯一确定. 于是复数
b
Z(a,b)
z a bi 与向量 OZ 之间具有一一对应
关系（复数0与零向量对应），因此，
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复数的向量表示数学教案
教学目标
(1)掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量;
(2)理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系;
(3)掌握复数的模的定义及其几何意义;
(4)通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想;
(5)通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法.
教学建议
一、知识结构
本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式.
二、重点、难点分析
本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难点是复数模的概念.复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离.
三、教学建议
1.在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视.
2.理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系
如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成―一对应关系，而点又与复平面的向量构成―一对应关系.因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形
成―一对应关系.因此，我们常把复数说成点Z或说成向量.点、向量是复数的另外两种表
示形式，它们都是复数的几何表示.
相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数
集不能与复平面上所有的向量相成―一对应关系.复数集只能与复平面上以原点为起点的
向量集合构成―一对应关系.
2.
这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何
问题创造了条件.
3.向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度.它的计算公式是，当实
部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致.这
些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握.
4.讲解教材第182页上例2的第(1)小题建议.在讲解教材第182页上例2的第(1)小
题时.如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆
面(曲线所包围的平面部分).对于倒2的第(2)小题的图形，画图时周界(两个同心圆)都应
画成虚线.
5.讲解复数的模.讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，
结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。
向量的模，又叫做向量的绝对值，也就是有向线段OZ的长度.它也叫做复数的模或绝对值.它的计算公式是.
教学设计示例
复数的向量表示
教学目的
1掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义.
2通过数形结合研究复数.
3培养学生辩证唯物主义思想.
重点难点
复数向量的表示及复数模的概念.
教学学具
投影仪
教学过程
1复习提问：向量的概念;模;复平面.
2新课：
一、复数的向量表示：
在复平面内以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ，由点Z(a，b)唯一确定.
因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点
为起点的向量一一对应.
常把复数z=a+bi说成点Z(a，b)或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数.
二、复数的模
向量OZ的模(即有向线段OZ的长度)叫做复数z=a+bi的模(或绝对值)记作|Z|或
|a+bi|
|Z|=|a+bi|=a+b
例1求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小.
解：∵|Z1|2=32+42=25|Z2|2=(-1)2+22=5
∴|Z1|>|Z2|
练习：1已知z1=1+3iz2=-2iZ3=4Z4=-1+2i
⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量.
⑵计算它们的模.
三、复数模的几何意义
复数Z=a+bi，当b=0时z∈R|Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z(a，b)到原点的距离.
例2设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形?
⑴|Z|=4⑵2≤|Z|<4
解：(略)
练习：⑴模等于4的虚数在复平面内的点集.
⑵比较复数z1=-5+12iz2=�D6�D6i的模的大小.
⑶已知：|Z|=|x+yi|=1求表示复数x+yi的点的轨迹.
教学后记：
板书设计：
一、复数的向量表示：三、复数模的几何意义
二、复数的模例2
例1
探究活动
已知要使，还要增加什么条件?
解：要使，即由此可知，点到两个定点和的距离之和为6，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆.
因此，所要增加的条件是：点应满足条件.
说明此题是属于缺少条件的探索性问题，解决这类问题的一般做法是从结论出发，并采用逆推的方法得出终结的结论，便理所求的条件.
感谢您的阅读。
祝语：一壶老酒，绵香醇厚；一首老歌，情意悠悠；一人段岁月，天长地久；一句祝福，伴随左右；一群朋友，知心牵手；一条短信，伴着春风送去问候！。