复数的向量表示1
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
(完整版)复数知识点总结
复数一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(22121≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b3. 复数的向量表示 向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =．（5） 2z z z ⋅=， z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z = 四、复数的平方根与立方根1. 平方根 若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．） 2. 立方根 如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根： 21,,ωω．12ω=-+，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=． （2） 1-的立方根：111,22z z -=+=-． 五、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
复数及向量
面上的点( x , y ) 表示.
复数 z x iy 还可以用复平面上的 向量oz 表示.
y
该复数和向量也有一一 对应关系
z x iy
z ( x, y )
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
x
x
9
3、向量的概念及运算
日常中我们所遇到的量可以分为两类：一类量用一个数值便可以完 全表示，比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类，这一类质 量称为数量（或标量）；另一类量，除了要用一个数以外，还要指 明它的方向才能够完全表示,比如速度、加速度、力等都属于这一类， 这一类的量称为向量（或矢量）。 向量可以用一条有向线段形象地表示，线段的方向表示向量的方 向，它的长度称为向量的模。 零向量的方向可以看作是任意的。模等于1的向量叫做单位向 量。两个向量的方向相同、模相等时，称它们是相等的向量, 因此，一个向量经过平移后与原向量相等。与的模相同而方向 相反的向量叫做 的负向量
( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即： zz x y .
2 2
8
2、复平面
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面. 复数 z x iy 可以用复平
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 3. 两复数的商: z x 2 y 2 i x 2 y 2 . 2 2 2 2 2
平面向量与复数的关系
平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。
通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。
本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。
比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。
它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。
3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。
5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。
6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。
二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。
复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。
即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。
3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。
如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。
复数的向量表示
例2.复数z
sin
3
i cos
6
,则 z
6
__2___
例3.复数z=4+ti的模小于5,则实数t的取值范围是_________. -3 < t < 3
例4.已知实数m满足不等式│log2m+4i│≤5,
则m的取值范围是_________. 1 m 8 8
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(1)|z|=4;
(2)2<|z|<4.
y
y
o
x
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o
x
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1.IT复SM平/ IT面IL 问题
例1.当实数m为何值时,复数
(m2-
8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面中的对应点: (1)位于第四象限;
5.2 复数的向量表示 ITSM / ITIL
任何一个复数z = a + bi ,都可以由一个有序实数对( a , b) 唯一确 定;有序实数对( a , b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的.
复数z = a + bi 可用点Z(a,b)表示,这个建
y
立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复
平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.
(1)若z1 z2 ,求的值;
6
(2)若z1 z2 ,求的值. Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)
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人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。
要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。
） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
复数的向量表示
复数的向量表示教学目标（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；学习数学学习教学建议一、知识结构物理二、重点、难点分析本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．三、教学建议学习物理2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示．相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．2．这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．3．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．4．讲解教材第182页上例2的第（1）小题建议．在讲解教材第182页上例2的第（1）小题时．如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒2的第（2）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．5．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。
平面向量与复数的联系与应用
平面向量与复数的联系与应用一、引言平面向量和复数是高中数学中常见的概念，它们在几何学和代数学中有着密切的联系与应用。
本文将探讨平面向量和复数之间的联系，以及它们在数学和物理中的应用。
二、平面向量与复数的定义和表示方法1. 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。
平面向量也可以用坐标表示，如A B⃗= (x,y)，其中(x,y)为向量的坐标。
2. 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中a 和b为实数，i为虚数单位。
复数可以用平面上的点表示，其中实数部分对应横坐标，虚数部分对应纵坐标。
三、平面向量与复数的联系平面向量和复数之间有着密切的联系，具体体现在以下几个方面。
1. 向量的加法与复数的加法向量的加法满足平行四边形法则，即A B⃗ +B C⃗ =A C⃗。
复数的加法满足实部相加，虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 向量的数量积与复数的乘法向量的数量积满足A B⃗·B C⃗=|A B⃗||B C⃗|cosθ，其中θ为两向量夹角。
复数的乘法满足(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 平面向量与复数的相互转换对于平面上的向量A B⃗，可以与点B对应的复数表示形式相互转换。
即向量A B⃗对应的复数表示为z=x+yi，其中x和y分别为向量的分量。
四、平面向量与复数的应用平面向量和复数在数学和物理中有广泛的应用。
1. 平面向量的应用平面向量常用于解决几何学中的问题，如直线的判定、线段的长度和夹角的计算等。
此外，在力学和电磁学中，平面向量也被广泛应用于力的合成、力矩的计算等物理问题的求解。
2. 复数的应用复数在代数学的求解中有重要的应用。
它可以用于解决各类代数方程，如一元二次方程、三角方程等。
复数向量的1范数
复数向量的1范数
复数向量的1范数是指对向量中各元素的绝对值，求和，再求其1次幂，用公式表示为$\|a\|_1=\sum_{i=1}^n|a_i|$。
其中，$a_i$表示向量$a$的第$i$个元素。
在数学中，范数可以用来衡量向量的大小和距离。
1范数表示向量中所有元素绝对值之和，它反映了向量中元素的总强度或总大小。
在某些情况下，1范数可以用来度量向量的长度或距离，例如在机器学习和信号处理中，常常使用1范数来度量向量的长度或距离。
需要注意的是，不同的范数有不同的数学性质和应用场景，具体选择哪种范数需要根据实际情况来确定。
复数与向量的关系
重视复平面上复数与向量得联系作用平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。
随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。
复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、然后复数作商:代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)［sｉn(θ-θ）]= (4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、(2) 向量内积:·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、若复数代数式得三角式分别就是,然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、二复数向向量表示上得转化联系利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、∵对应得复数就是x∴，∠ｚoz=60,ﻩ本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且|,则有,∵ 图2∴＝=≥=∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上得转化联系利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,且、o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ＝0 (2)由(１）,（2)解得不共线,可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;又、分别对应复数、∵ ,图3 ∴ ,∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++=２n-２=2n,为定值、在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,∴ 、这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。
复数的几何意义
复数的几何意义在数学中，我们经常会遇到复数的概念和使用。
虽然复数在代数学中有着重要的作用，但它们在几何学中也具有深远的意义。
本文将探讨复数在几何学中的意义，并展示它们在平面几何中的应用。
1. 复数的定义复数是由一个实数和一个虚数组成的数，通常表示为"a+bi"的形式，其中a是实部，bi是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可以用平面上的点来表示，实部对应点的x坐标，虚部对应点的y坐标。
2. 复数的模和参数复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理来计算，即模=√(a^2 + b^2)。
复数的参数表示复数与正实轴之间的夹角，可以使用反三角函数来计算，即参数=arctan(b/a)。
3. 复数的几何表示复数可以用向量来表示，向量的起点为原点，终点为该复数对应的点。
因此，复数的几何表示就是平面上的一个向量。
通过调整实部和虚部的数值，可以得到不同的向量。
4. 复数的加法和减法复数的加法可以看作是向量的相加，即将两个复数的向量相加，得到一个新的向量。
减法可以看作是向量的相减，即将两个复数的向量相减，得到一个新的向量。
这两个操作在平面几何中对应着向量的平移。
5. 复数的乘法和除法复数的乘法可以看作是向量的旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度乘以一个因子，得到一个新的向量。
除法可以看作是向量的反向旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度除以一个因子，得到一个新的向量。
6. 复数的共轭复数的共轭表示将复数的虚部取相反数，保持实部不变。
共轭的几何意义是将复数表示的向量关于实轴反射得到的新向量。
7. 复数在平面几何中的应用复数在平面几何中有广泛的应用。
例如，可以使用复数来表示平移、旋转和缩放等变换。
复数的乘法和除法可以用来进行向量的旋转和缩放操作。
此外，复数还可以表示平面上的点，通过复数的运算可以得到点之间的距离和夹角等信息。
总结：复数在几何学中有着重要的意义，可以用来表示平面上的向量和点。
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
高中数学7.1.2《复数的几何意义》基础过关练习题
第七章 7.1 7.1.2A 级——基础过关练1．(2019年北京海淀区二模)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则( ) A ．z ＝－1＋i B ．z ＝1＋i C ．z ＋i 是实数D ．z ＋i 是纯虚数【答案】C 【解析】∵复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，∴z ＝1－i.∴z ＋i ＝1－i ＋i ＝1，即z ＋i 是实数．故选C ．2．已知0<a <2，复数z ＝a －i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)【答案】B 【解析】|z |2＝a 2＋1，∵0<a <2,0<a 2<4⇒1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.故选B ． 3．(2019年陕西三模)在复平面内，表示复数z ＝5a ＋(6－a 2)i 的点在第二象限，则实数a 满足( )A ．－6<a <0B ．a <－6C ．0<a <6D ．－6<a <6【答案】A【解析】∵z ＝5a ＋(6－a 2)i对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a <0，6－a 2>0，解得－6<a <0.故选A ．4．复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i【答案】C 【解析】向量OA →向右平移一个单位后起点O ′(1,0)，∵OA ′→＝OO ′→＋O ′A ′→＝OO ′→＋OA →＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴点A ′对应复数2＋i.又O ′A ′→＝OA →，∴O ′A ′→对应复数为1＋i.故选C ．5．(2020年宜宾模拟)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】A 【解析】∵复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选A ． 6．(2020年重庆月考)已知实数m ，n 满足m －2i ＝n (2＋i)，则在复平面内，复数z ＝m ＋n i 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】∵m －2i ＝n (2＋i)，∴m －2i ＝2n ＋n i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ，n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2.∴复数z ＝m ＋n i ＝－4－2i.∴复数z ＝m ＋n i 所对应的点位于第三象限．故选C ．7．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2的共轭复数为________．【答案】－2－3i 【解析】∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i.z 2的共轭复数为－2－3i.8．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－32，32 【解析】|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 满足下列条件？ (1)对应点在x 轴上方； (2)对应点在直线y ＝－x －5上．解：(1)由m 2－2m －15>0，得当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得当m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线y ＝－x －5＝0上．10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以－3×1－4×2a ＝0，解得a ＝－38，即a 的值为－38.B 级——能力提升练11．(2020年合肥月考)设复数z 满足|z －1|＝|z －i|(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．y ＝－xB ．y ＝xC ．(x －1)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1【答案】B 【解析】由z 在复平面内对应的点为(x ，y )，且|z －1|＝|z －i|，得|x －1＋y i|＝|x ＋(y －1)i|，∴(x －1)2＋y 2＝x 2＋(y －1)2，整理得y ＝x .故选B ．12．已知复数z 满足|z |＝2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7D ．3【答案】D 【解析】|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为(－3)2＋42－2＝3.13．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|【答案】ABC 【解析】①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D 错．14．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A <cos B －sin A <0.又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限．故选B ．15．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．【答案】5 【解析】由复数的几何意义可知，OC →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i.由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y＝5.16．已知两向量a ，b 对应的复数分别是z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，且a ，b 的夹角为60°，求m 的值．解：因为a ，b 对应的复数分别为z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，所以a ＝(－3,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，m .又a ，b 的夹角为60°， 所以cos 60°＝(－3，0)·⎝⎛⎭⎫－12，m (－3)2＋02·⎝⎛⎭⎫－122＋m 2，即12＝32314＋m 2，解得m ＝±32.17．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z 的模为2，求复数z .解：根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)．∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.C 级——探索创新练18．已知t 为实数，复数z ＝(t 2＋t －2)＋(t 2＋3t ＋2)i. (1)当t 为何值时，复数z 为纯虚数？(2)当t ＝0时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线y ＝－mx ＋n 上，其中mn ＞0，求1m ＋1n的最小值及取得最值时的m 和n 值． 解：(1)复数z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋t －2＝0，t 2＋3t ＋2≠0，解得t ＝1.(2)当t ＝0时，点Z (－2,2)，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线y ＝－mx ＋n 上，∴2m ＋n ＝2，∵mn ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋n 2＝32＋m n ＋n 2m ≥32＋2，当且仅当n 2＝2m 2等号成立． 又2m ＋n ＝2，∴m ＝2－2，n ＝22－2.。
复数的向量表示
复数的向量表示在数学和物理学中，复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a是实部，b是虚部，而i是虚数单位。
在向量表示中，复数可以被视为一个二维向量，由实部和虚部组成。
复数向量的表示可以提供更加简洁和方便的计算方式，尤其在涉及到向量运算和旋转操作的时候。
1. 复数向量的定义复数可以表示为一个向量(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
这个向量可以用来表示复数的位置和方向。
2. 复数向量的运算对复数向量进行加法和乘法操作时，可以将其视为二维向量的运算。
具体地，复数向量的加法和乘法运算如下：加法：对于两个复数向量(a1, b1)和(a2, b2)，它们的加法运算为(a1 + a2, b1 + b2)。
乘法：对于两个复数向量(a1, b1)和(a2, b2)，它们的乘法运算为(a1 * a2 - b1 * b2, a1 * b2 + a2 * b1)。
3. 复数向量的表示和坐标系复数向量可以使用笛卡尔坐标系或极坐标系来表示。
在笛卡尔坐标系中，复数向量可以被视为一个有序对(a, b)，其中a是复数的实部，b是虚部。
而在极坐标系中，复数向量可以通过模长和幅角来表示。
笛卡尔坐标系：复数向量(a, b)可以被视为从坐标原点开始的有向线段，其中a表示线段的水平长度，b表示线段的垂直长度，且a和b的单位相同。
极坐标系：复数向量可以使用模长（也叫向量的长度）r和幅角（也叫向量的方向）θ来表示，即(r, θ)。
模长r表示复数向量与原点的距离，幅角θ表示向量与水平轴之间的夹角。
4. 复数向量的旋转由于复数向量可以表示为一个有向线段，因此可以通过旋转操作来改变复数向量的方向。
假设有一个复数向量(a, b)，我们希望将它顺时针旋转θ角度。
那么，我们可以通过以下公式计算旋转后的复数向量(a', b')：a' = a * cos(θ) - b * sin(θ)b' = a * sin(θ) + b * cos(θ)同样，如果我们希望将复数向量(a, b)逆时针旋转θ角度，那么可以使用以下公式计算旋转后的复数向量(a', b')：a' = a * cos(θ) + b * sin(θ)b' = -a * sin(θ) + b * cos(θ)5. 总结复数的向量表示为(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
复数的向量表示
y b
o
x
|Im(z)| b
三、例题分析
例1:试求实数m的值或取值范围,使复数z=(m2-m+2)+
(m2-3m+2)i在复平面内的对应点在
(1)实轴的负半轴上;
(2)第二象限.
m2 m 2 0 1 m 2
解:(1)
m
2
3m
2
0
m 1或2
m 1.
-1
O
1x
1
例4:画出满足下列条件的复数z的对应点的图形:
(1)1≤Re(z)≤2;
(2)|z|=2且Re(z)>Imz;
(3)z=-1+ai且|z|≤ 2.
y
解:(1) y
(2)
O1 2x
(3)由已知得 (1)2 a2 2 | a | 1.
所以轨迹是连接(-1,-1) 与(-1,1)的线段(包括端 点).
显然有| z || z | . z 0 | z | 0.
注意:任意两个复数不一定可以比较大小,但它们的模 由于都是非负的实数,所以一定能比较大小.
z=a+bi
Z(a,b)
OZ
一一对应
4.复平面上的区域或轨迹问题
复数与点的一一对应,使复数问题与解析几何问题相互 转化.如果复数的实部与虚部是一对实变量,那么对应 的点在复平面上就是动点.如果变量按某种条件变化, 那么复平面上对应点就构成具有某种特征的点的集合 或轨迹,这样就把数与形有机地结合起来了.
平面向量OZ b
我们常把复数z=a+bi说成点Z或向
Z:a+bi
量OZ,并规定,相等的向量表示同 一个复数.
复数的向量表示
复数模的性质： （） = z 1 z （2）z1 − z 2 ≤ z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 （3） 1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 z z1 z1 （4） = （z 2 ≠ 0） z2 z2
1 例1.求复数z1 = 3 + 4i及z 2 = − − 2i的模, 2 并且比较它们的模的大小.
是复数z= 点Z(a,b), 向量 OZ 是复数 a + bi ( a , b∈R) ∈ 的另外两种表示形式,它们都是复数 它们都是复数z= 的另外两种表示形式 它们都是复数 a + bi 的几何表示. 的几何表示
复数z= 复数 a + bi ( a , b∈R) ∈
一一对应
复平面上的点Z(a,b) 复平面上的点
2 2
4.复数 复数模的图形问题 复数,复数模的图形问题 复数 复数z=icosθ,θ∈[0,2π)的几何表示是 ) 的几何表示是( 例1.复数 复数 ∈ 的几何表示是 (A)虚轴 (B)虚轴除去原点 虚轴; 虚轴除去原点; 虚轴 虚轴除去原点 (C) 线段 线段PQ,点P,Q的坐标分别为 的坐标分别为(0,1),(0,-1); 点 的坐标分别为 (D) C中线段 中线段PQ,但应除去原点 但应除去原点. 中线段 但应除去原点 C 例2.设z= x + yi ( x , y∈R),在复平面上画出满 设 ∈ 在复平面上画出满 足下列条件的点Z的集合所表示的图形 的集合所表示的图形: 足下列条件的点 的集合所表示的图形 (1)x∈R＋且y∈R; (2) │x│≤4且0<│y│<2; (3) ∈ ∈ 且 │z│≤2且x+y=2; 且 (4)z= x + yi, x<0, y>0,且x2 +y2 <9. 且
高中数学竞赛复数法解决平面几何
高中数学竞赛复数法解决平面几何近年来，高中数学竞赛中，复数法在解决平面几何问题中发挥着重要的作用。
复数法作为一种独特的解题方法，通过将平面上的点和向量用复数表达，不仅简化了计算过程，而且能够直观地理解几何性质，极大地提高了解题效率和准确性。
本文将介绍复数法在高中数学竞赛中解决平面几何问题的具体应用。
一、利用复数表示平面上的几何图形在复数法中，我们可以将平面上的点用复数表示。
假设平面上有一个点A(x1,y1)，那么我们可以用复数z1=x1+iy1来表示它。
同理，另一个点B(x2,y2)可以用复数z2=x2+iy2表示。
通过这种方式，我们可以将平面上的任意点都用复数表示出来，从而在解决几何问题时可以直接利用复数的性质进行运算。
二、利用复数表示向量及其性质在平面几何中，向量是一个非常重要的概念。
利用复数法，我们可以将向量也用复数表示。
假设平面上有一个向量AB，我们可以用复数z表示，其中z=z2-z1。
这样，通过相减操作，我们可以得到向量的复数表示。
利用复数表示向量后，我们可以方便地进行向量运算，如向量的加法、减法、数量乘法等，从而简化计算过程。
三、利用复数解决平面几何问题利用复数法解决平面几何问题的关键是要灵活运用复数的性质和运算规则。
例如，在解决线段的中点问题时，我们可以利用复数的加法和数量乘法运算轻松得出线段的中点坐标。
同样，在解决直线的垂直平分线问题时，我们可以利用向量复数表示和向量垂直的性质推导出垂直平分线的方程。
此外，利用复数法还可以解决三角形的性质问题。
例如，在解决等边三角形的外接圆问题时，我们可以利用复数表示三角形的顶点，通过求解复数的模长和距离的关系得出外接圆的半径。
这种方法不仅简洁高效，而且可以避免繁琐的计算过程。
四、复数法解决平面几何问题的优点与传统的解题方法相比，复数法在解决平面几何问题时具有以下优点：（1）简化计算：通过利用复数的性质，可以通过简单的加减乘除运算得到所需的几何性质或结果，避免繁琐的计算过程。
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z a bi
b d.
(3)共轭复数: z a bi实部相等,虚部互为
相反数.
向量----既有大小又有方向的量，如图 AB
向量的模----向量 AB 的大小,用 AB 表示
B
A
D
C
⑴ 向量的两要素： 大小；方向
F
E
⑵ 相等向量：模相等，方向一致的向量。AB CD
⑶ 反向量：模相等，方向相反的向量。AB EF
结论:两个共轭复数 z 和
z , 它们在复平面内所对C(-3,2)
应的点是关于 x 轴对
y
3 2 1 A(2,0)
称的-----共轭复数的几
-3
-2
-1
0 -1
12 B(0,-1)
3x
何性质
-2 D(-3,-2) -3
测试题
1.在复平面内,下列复数所对应的点在 第四象限的是( B ).
( A)3 4i (B)4 3i (C) 4 3i (D) 3 4i
2. 复数 0, 1 i, 1 i,在复平面上对应的
点构成的三角形是(C )三角形.
( A) 等边 (B)锐角 (C)等腰直角 (D)钝角 3.若复数 (m2 4) (m 1)i 在复平面上 所对应的点在第三象限,则实数 m 的 值范围是___(-_2_,1_)_ 提示:解 m2 4 0 和 m 1 0 两个不等式的
复数的向量表示
知识回顾 讲解新课 思考练习 小结作业
知识回顾
复数 z a表示bi, 实部,a虚部, b
i 虚数单位, i2 1.
(1)
b 0, z a
实数, b
0, a 0, z a bi 虚数
a 0, z bi 纯虚数
(2) a bi c di 的充要条件: a c;
z 2; z 3i; z 2 3i.
复平面与一般坐标平面的区别：
y
复平面:由于原点表示的是
实数,所以只在实轴上, 虚轴不包括原点; 一般坐标平面:原点既在
x 轴上,也在 y 轴上,是
z 2 3i
o
z2
x
x 轴和 y 轴的公共点。
z 3i
3.复数的向量表示
在复平面内以原点为起点, y
点 Z (a, b) 为终点的
练习思考题
1.已知：z1 1 3i, z2 2i, z3 4, z4 1 3i,
⑴在复平面内，画出这些向量；
⑵计算它们的模，并比较它们的大小. y
解： z1 10; z2 2; z3 4; z4 10.
z3 z1 z4 z2 结论:复数 z a bi 和它的共轭
z3
复数 z a bi它们的模相等.
2 .复平面的建立
在直角坐标系中,
y
b
z : a bi
横坐标为实部 a ,
纵坐标为虚部 b 的
o
a
x
点 Z(a,b) 来表示复数 z a bi.
这个直角坐标平面叫做复平面
x 轴----实轴, 表示实数的点都在 x上, z 2
y 轴----虚轴, 表示纯虚数的点都在 y上, z 3i
如图所示:在复平面上表示复数
z z a2 b2
z1
o
x
z2
z4
2.若复数 z1 3 2i, z2 1 3i, 在复平面上对
应的点依次为A、B,求 AOB的面积.
解:
SAOB SACB SAOE SBOD SOECD
1
1
SAOB
2
1
4
5
2
3
2
y
A(-3,2) 3 E 2
C
131 2
1
7 2 2
-3
-2
-1
b
z : a bi
向量 OZ ,由点 Z (a, b)
唯一确定.
o
a
x
如图向量 OZ 就表示复数 z a bi 当点 Z 与点 O重合时, OZ 就是零向量,
它表示实数0.
4.复数、点、向量三者的对应关系: 复数 z a bi 与点Z (a, b) 一一对应
向量 OZ ,由点 Z (a, b) 唯一确定.
如图:正方形ABCD的中心在复平面的原点上,
已知A点的复数坐标为1 B: 2 i
C: 1 2i D: 2 i
2
B
1
O
C
A(1+2i)
1
x
D
5.复数的模
概念:在复平面内，有向线段OZ 的长度
y
叫做复数 z a bi的模（或绝对值），
b
表示方法：
z a bi a2 b2 o
0 -1
-2
-3
D
1 2 3x
B(1,-3)
3
3
5
如图(左),正方形的面积
5
S 88 64
5
3
如图(下),长方形的面积
S 135 65
tan 2
5 tan 3
8
21485 203322
5
8
3
5 3
小结
1.复数与点的对应关系 2.复平面的建立 3.复数的向量表示 4.复数的模
谢谢您的关注
z : a bi
ax
复数模的几何意义:它表示的是向量的长度,也就是
复平面上的点到原点的距离.
注意点： (1)复数模的公式与以前关于实数绝对值
及算术平方根规定一致; （2）两个复数，如果不全是实数，只有相等
与不相等的关系,而不能比较大小,如
z1 3, z2 3 4i
（3）任何两个复数，它们的模都能比较大小。
⑷ 零向量：模为零的向量，所有的零向量都
相等。 AB 0
讲解新课
1.复数与点的对应关系
☺任何一个复数 z a bi 都能确定惟
一的一个有序实数对 Z (a, b) ☺反之任何一个有序实数对Z (a, b) 都能
确定惟一的一个复数 z a bi 结论：复数 z a bi 与有序实数
对 Z (a, b) 一一对应。
复数 z a bi
一一对应
点 Z (a, b)
向量 OZ
注意点：（1）复数z a bi 用小写z来表示
(2)向量 OZ 与点Z (a, b)用大写字母表示
例:1.用复平面的点和向量分别表示表示复数:
2, i, 3 2i, 3 2i,
如图:两个共轭复数 3 2i, 3 2i,
是关于实轴 x 轴对称的.