奥数第12讲.竞赛123班.教师版

1.如果()3a b +是7的倍数，那么下面算式中______一定也是7的倍数。

（a 、b 都是自然数）⑴a b -⑵2a b -⑶4a b -⑷23a b +⑸3a b-【分析】()3a b +是7的倍数，()62a b +也是7的倍数，所以()2762a b a a b -=-+也是7的倍数。

()473a b a a b -=-+也是7的倍数，()2373223a b a a b a b +=-+÷=+⎡⎤⎣⎦也是7的倍数。

所以只有⑵⑶⑷一定是7的倍数。

2.在一次考试中，甲乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的13，乙答错了7道题，甲乙都答错的题目占全部试题的15，则甲、乙两人都答对的题目最少有______道。

【分析】容斥原理。

甲答错，乙答对的题占全部试题的13－15＝215。

那么甲乙都答对的题目有1315的全部试题减去7道乙答错的题目。

可见全部试题越少，甲、乙都答对的题目就越少。

则至少有15道全部试题，则15×1315－7＝6道。

3.在1到100中，恰好有6个约数的数有______个。

【分析】6只能表示为()51+或()()1121++，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：2222222222222222325272112132172192238323537311452532721⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 种种种种所以符合条件的自然数一共有1842116++++=种。

4.某地收费的标准是：若每月用电不超过50度，则每度收5角；若超过50度，则超出部分按每度8角收费。

某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月乙用了______度电。

【分析】因为33既不是5的倍数又不是8的倍数，所以甲用电超过50度，乙用电不足50度。

设甲用电()50x +度时，乙用电()50y -度时。

因为甲比乙多交33角电费，所以有8533x y +=。

容易看出1x =，5y =，推知甲用电51度，乙用电45度。

期末考试第十二讲5.如果一个质数加上2，8，14，26以后，得到的和都是质数，那么，原来的质数是______。

【分析】因为2，8，24，26除以5，余数依次为2，3，4，1，所以这四个数加上一个比5大的质数，得到的和必有一个能被5整除，不是质数，所以原来的质数不大于5，通过尝试可得到这个质数是5。

6.四组平行线（每组两条，共八条直线）最多能将平面划分成______个部分。

【分析】两组平行线能将平面分割成9个部分，再加一组平行线，每条直线最多能和原来的直线有4个交点，被分割成5段，所以一组平行线一共是10段，所以平面上的分区增加10快，即分成19块。

增加到四组平行线，新增加()26114⨯+=段线段，所以最多能将平面分成191433+=个部分。

7.将3，5，7，11，13，17，19，23，29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条直线上的○中的数之和都相等。

请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和的差：______。

【分析】设三个交点○内所填的数为a ,b ,c ，每条边上的和为K ，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得()()3571113171923291273a b c a b c K +++++++++++=+++=；由于所得的和必须能被3整除，而1273421÷= ，所以()a b c ++的和应被3除余2，a b c++的最小值是571123++=，最大值是29231971++=，所以K 的最小值是()12723350+÷=，最大值是()12771366+÷=。

差为16。

8.甲、乙、丙三队要完成A ，B 两项工程，B 工程的工作量是A 工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A 工程，乙队做B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B 工程若干天，然后再与甲队合做A 工程若干天.问丙队与乙队合做了______天。

【分析】三队合做完成二项工程所用的天数111111184202430⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭天，丙帮乙队做的天数：1111181542430⎛⎫+-⨯÷= ⎪⎝⎭天。

9.小李小张和小朱三人参加灯谜会，他们分别猜对了一条二条三条灯谜。

小赵问他们各猜对了几条。

小李说：“我猜对了两条”。

小朱说：“我猜对的灯谜最多”。

小张说：“我猜对的不是偶数条。

”他三人只有一人说的不对。

请问，小朱猜对了______条灯谜。

【分析】分别假设没有猜对的人是小李、小张、小朱，可以发现只有小朱没有猜对时，不会有矛盾，所以，此时小李猜对两条，小朱猜对的不是最多，所以1条。

10.在一次象棋比赛中，每两人之间都要比赛两盘，每盘比赛胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分。

现有6名同学统计全部选手的总分，分别是920，921，922，923，924，925分。

但只有一个数据是正确的，共有_______名选手参加了这次比赛。

【分析】n 个人之间比赛场数为()1n n -，每一场产生2分，所以比赛的分数一定能写成()21n n -，在920，921，922，923，924，925这几个分数当中，只有92422221=⨯⨯，所以其中正确的分数是924，共有22名选手参加了这次比赛。

1.如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为多少？【分析】三角形ABD 的面积为162347---=，四边形ABCD 的面积为162329---=，三角形ACD的面积等于122325---=，所以:5:9OD BD =，阴影部分的面积等于535799⨯=。

2.一次足球比赛，有A ，B ，C ，D 四队参加，每两队都比赛一场，按规定胜一场得2分，平一场各得1分，负一场得0分。

比赛结果，B 队得了5分，C 队得3分，A 队得1分，所有场次共进9个球，B 队进球最多，共进4个球，C 队共失3个球，D 队一个球未进，A 队与C 队的比分为2：3，则A 队与B 队的比分是多少？【分析】3:0，首先由D 队一个球未进，可得到D 从来没有赢过，A 队得1分，所以A 队也没有赢过，所以A 和D 之间是平局，并且A 负于B 和C ，而C 队得3分，所以C 对B 和D 的两场比赛一平一负，而D 从来没有赢过，所以C 对D 是平局，由此可得到对阵图：D CA D 的三场比赛都是平局，根据D 队一个球未进，可得出，这三场比赛的比分为0:0，C 队在与A 的比赛当中失球2个，所以在与B 的比赛当中失球1个，所以B 与C 的比赛只能是1:0，B 与A 的比赛当中进球413-=个，这时除了A 与B 的比赛中的进球外，其它的进球已经达到31329+++=，所以A 队与B 队的比分是3:0。

3.甲、乙合作一件工程：由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高110，乙的工作效率比单独做时提高15.甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的25，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的1330尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？【分析】第二天乙单独做了6小时完成了213115306--=，所以第一天乙工作6小时完成了1111655⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以第一天甲完成了211555-=，这样甲和乙合作时甲每小时完成116530÷=，所以甲单独做的时候每小时完成1101301133⨯=，所以甲单独做需要33小时。

4.一些学生在老师的带领下去郊区游玩，男生小刚发现，学生的人数（当然包括了他自己）不到老师人数的3倍，而女生人数比女老师人数的3倍还多，已知学生和老师一共有20人，并且女老师比男老师人数多，求女生人数。

【分析】由学生的人数不到老师人数的3倍可以得到学生的人数不到15人，否则学生人数达到老师人数的3倍，所以学生人数最多有14人，老师人数至少有6，再由“女老师比男老师人数多”可得到女老师人数至少有4人，再根据女生人数比女老师人数的3倍还多，可以得到女生人数至少有43113⨯+=人，而之前我们得到学生人数最多有14人，并且包括男生小刚，所以学生人数只能是14人，女生人数只能是13人。

1.小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果的果脯各若干袋(每种至少一袋)，用了340元.葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元、42元.小明的妈妈至少买了多少袋果脯?其中苹果果脯是多少袋?【分析】因为葡萄、雪梨和芒果果脯的价格都是7的倍数，苹果的价格除以7余1，妈妈花的钱数除以7余4，所以苹果果脯买了4袋或11袋.当买11袋苹果果脯时，剩余的钱必然是买2袋葡萄，1袋雪梨，1袋芒果，共15袋果脯.当买4袋苹果果脯时，还剩下252元，为了使买的果脯的袋数尽量少，应该尽量多买最贵的芒果果脯，所以应该买1袋葡萄，1袋雪梨，5袋芒果，共11袋果脯.所以小明的妈妈至少买了11袋果脯，其中苹果果脯是4袋。

2.在下图的乘法算式中，每个□表示一个数字，那么计算所得的乘积应该是多少？51105⨯【分析】被乘数和乘数的百位都是1，乘数的十位是0，个位是奇数，由被乘数与乘数的个位数字相乘，即15105⨯=。

可知乘数的个位数字只能是7或9。

经检验，只能是9，而且14591305⨯=。

所以原式的乘积为14510915805⨯=。

1.一个回文数是指从首位数读到末尾数，与末尾数读到首位数都相同的数（如11511、14041）。

请问，可被11整除的五位数的回文数个数与全部五位数的回文数的个数之比是什么？答案用分数表示：【分析】显然五位回文数为abcba 的形式，其中a 为1~9有9种取法，b 和c 可为0~9有10种取法。

故5位回文数有91010900⨯⨯=个。

若11abcba ，则有()11|2,a b c -+又由C 可为0~9中的任意数知当()2a b -除以11的余数不为1时，C 有且只有一种取法使()11|2a b c -+。

而a 与b 的取法共有91090⨯=种，其中()2a b -除以11余1时，只有()212a b -=，故能被11整除的五位回文数有90783=个。

所以可被11整除的五位数的回文数个数与全部五位数的回文数的个数之比是83900。

2.有一个面积为34562cm的矩形，它的四个边都在如图所示的网格线上，图中每个小正方形的边长为1cm。

格点我们称图中每个小正方形的顶点为“格点”，例如：24⨯的矩形的一条对角线正好通过3cm cm个格点。

请问：上述面积为34562cm的矩形的对角线最多可能通过多少个格点。

【分析】因为73=⨯，当矩形的的长和宽的最大公约数越大时，对角线所经过的格点也越多，345623将3456分解成两个数相乘，这两个数的公约数的标准分解式中2的次数不会超过7的一半，3的次数不会超过3的一半，所以这个最大公约数最大是31⨯=，此时长和宽的取值可以是232472和48。