高一数学期末模拟试题一
河南省濮阳市华龙区濮阳一中2023届高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
9．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示， ，则f(0)=（）
A. B.
C. D.
10．在 中，如果 ，则角
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知 ， ， ，则 ___________.
12．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为 ，则该正八面体外接球的体积为___________ ；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________ .
，（舍）；当 ，即 时， ，综上， 或 .
17、（1） ，单调增区间为 ，
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】（1）化简得到 ，代入计算得到函数值，解不等式 得到单调区间.
（2）计算 ，根据三角函数图像得到最值.
【小问1详解】
，
故 ，
，解得 ， ，
故单调增区间为 ，
【小问216、 (1) ；（2） 或 .
【解析】（1）由函数 在 至少有一个零点，方程 至少有一个实数根， ，解出即可；（2）通过对区间 端点与对称轴顶点的横坐标 的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数 在 上的最大值，令其等于 可得结果.
试题解析：（1）由 .
（2）化简得 ，当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，
（2）若函数 在 上的最大值为3，求 的值.
17．已知函数 .
（1）求 的值及 的单调递增区间；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
18．已知角 的终边过点 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
陕西省黄陵中学新部2023届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
∴ ，
.
【详解】∵ 为钝角，且 ，
∴ ，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2、D
【解析】由圆心到直线的距离等于半径可得
【详解】由题意圆标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径为1，
所以 ，解得
故选：D
3、C
【解析】由已知利用任意角的三角函数求得 ，再由二倍角的余弦公式求解即可
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，
而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，
g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣2 2）（a+2 2），
故当0＜a＜2 2时，
t（a）＝g（2）＝4﹣4a，
当2 2≤a＜1时，
t（a）＝g（a）＝a2，
③当1≤a＜2时，
【详解】（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，
∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，
在区间 上的最大值为0；
（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，
①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上 增函数，
故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；
②当0＜a＜1时，
【详解】当 时，恒有 ，此时无零点，则 ，
∴要使 上 有2个零点，只需 即可，
故 有2个零点有 ；
当 时，存在 ，此时有1个零点，则 ，
∴要使 上 有1个零点，只需 即可，
故 有2个零点有 ；
综上，要使 有2个零点，m的取值范围是 .
故答案为： .
15、1；
河北省保定市2023届高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
【解析】利用诱导公式，将角转化至同一单调区间，根据单调性，比较大小.
【详解】 ， ，
又 在 内单调递增，由
所以 ，即 < .
故答案为：<.
【点睛】本题考查了诱导公式，利用单调性比较正切值的大小，属于基础题.
13、
【解析】根据题意分析出直线与圆的位置关系,再求半径的范围.
【详解】圆心到直线的距离为2，又圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y＝11的距离等于1，满足 ，
即：|R﹣2|＜1，解得1＜R＜3
故半径R的取值范围是1＜R＜3（画图）
故答案为:
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的思想,属于中档题.
14、
【解析】由 可得 ，求出 在 上的值域，则实数a的取值范围可求
【详解】由 ，得 ，即
由 ，得 ，
又∵函数 在 上存在零点，
即实数a的取值范围是
故答案为
可得 .
令 ，解得 .
当 时，有对称中心 .
故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的图像平移及正弦型三角函数的对称中心的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题.
7、A
【解析】利用向量坐标求模得方法，用 表示 ，然后利用三角函数分析 最小值
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 的最小值为 .
故选A
【点睛】本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值
A.当 时，
B.对任意 ，且 ，都有
C.对任意 ，都有
D.对任意 ，都有
10．在 ， ， 中，最大的数为（）
A.aB.b
C.cD.d
2023届江西省顶级名校高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
20．已知函数 的图象关于原点对称.
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）若函数 在 内存在零点，求实数 的取值范围.
21．已知全集 ，集合 ，集合 ．条件① ；② 是 的充分条件；③ ，使得
（1）若 ，求 ；
（2）若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设 ，求得矩形 面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.
【详解】设 ，
，
， ，
所以矩形 的面积 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：
12、
【解析】展开 ，由 是偶函数得到 或 ，分别讨论 和 时的值域，确定 ， 的值，求出结果.
【详解】解： 为偶函数，
A. B.
C. D.
6． 表示不超过x的最大整数，例如， ， ， ．若 是函数 的零点，则 （）
A.1B.2
C.3D.4
7．下列关系中正确 个数是（）
① ② ③ ④
A.1B.2
C.3D.4
8．已知函数 ，则
A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数
C.a＞c＞bD.b＞c＞a
3．已知O是 所在平面内的一定点，动点P满足 ，则动点P的轨迹一定通过 的（）
A.内心B.外心
C.重心D.垂心
4．“ ， ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C 充要条件D.既不充分也不必要条件
5．若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
福建省漳州第一中学2023届高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析
A.0.5B.0.7
C.0.12D.0.88
10．已知点 ， .若过点 的直线l与线段 相交，则直线 的斜率k的取值范围是（）
A. B.
C. 或 D.
11．已知角 的终边在第三象限，则点 在（）
C. ，则
D. ，则
6．已知函数 的 上单调递减，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．平行四边形 中，若点 满足 ， ，设 ，则
A. B.
C. D.
8．若 表示空间中两条不重合的直线， 表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
【详解】由题,当直线 不过原点时设 ,则 ,所以 ,则直线方程为 ,即 ；
当直线 过原点时设 ,则 ,所以 ,则直线方程为 ,即 ,
故答案为: 或
【点睛】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况
14、
【解析】先求出定点 的坐标，再代入幂函数 ，即可求出解析式.
18、（1） ；（2）偶函数，理由见解析.
【解析】（1）根据对数的真数大于零可求得 和 的定义域，取交集可得 定义域；
（2）整理可得 ，验证得 ，得到函数为偶函数.
【详解】（1）令 得： 定义域为
令 得： 定义域为
的定义域为
（2）由题意得： ，
为定义在 上的偶函数
【点睛】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义.
全国百校联盟2023届高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析
A2 x B2 y C2 0 的交点. 13、55
【解析】用1减去销量为30,50 的概率，求得日销售量不低于 50 件的概率.
【详解】用频率估计概率知日销售量不低于 50 件的概率为 1－（0.015＋0.03）×10＝0.55.
故答案为： 0.55
【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算事件概率，属于基础题.
2 cos
x 1可判断②；
分
、
x
2k
2
,
3 2
2k
k
Z
时求出
f
(x)
可判断故③；
x, 时，由
f (x) 0 可判断④.
【详解】因为 x R ， f (x) cos x | cos x | 1 f (x) ，所以①正确；
当
时， f (x) 2cos x 1，
当
x
2k
2
, 3 2
2k
故选：D
5、A
【解析】将已知式同分之后，两边平方，再根据 sin2 cos2 1可化简得方程 3(sin cos )2 2sin cos 1 0 ，
解出 sin
cos
1 3
或
1，根据 sin
cos
1 2
sin
2
1, 2
1 2
，得出 sin cos
1 3
.
【详解】由 1 1 sin cos 3 ， sin cos sin cos
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．若 1 1 3 ，则 sin cos （） sin cos
A. 1
1
B.
3
3
山东省德州市2023届高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
19．计算下列各式：
（1） （式中字母均为正数）；
（2） .
20．已知 .
（1）若 ， ，求x的值；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
21．在 中，设角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的取值范围.
22．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
故选：B
10、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
所以每平方米的平均综合费用为
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以公司应把楼层建成15层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元，
故答案为：15，24000
16、①.14②.10
【解析】根据数量积的运算性质，计算 的平方即可求出最大值， 两边平方，可得 ，计算 的平方即可求解.
【详解】
，当且仅当 同向时等号成立，
【小问1详解】
依题意， ，
由 ，即 得： ，而 ，即 ，
于是得 或 ，解得 或 ，
所以x的值是 或 .
【小问2详解】
由(1)知， ，当 时， ，
则当 ，即 时， ，当 ，即 时， ，
所以 的最大值和最小值分别为： ， .
21、（1） ；（2）
黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析
15．幂函数 y f (x) 的图象经过点 (4, 1 ) ，则 f ( 1 ) =____.
2
4
16．函数
f
x
满足
f
x
x2 2x, x 2
2 f x 2, x
2
，则
f
3
值为_____.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
的 17．已知函数
19．设函数
f
x
a2x
t
ax
1
（
a
0且a
1)是定义域为
R
的奇函数
（Ⅰ）求 t 的值；
（Ⅱ）若函数
f
x 的图象过点 1，32
，是否存在正数
mm
1
，使函数
g(x)
logm
a2x
a 2 x
mf
(x)
在
1，log2 3 上的最大值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由
20．已知对数函数 f (x) (a2 2a 2) loga x .
C. (2, 3)
D. (3, 4)
9．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）
A.100=1 与 lg1=0
1
B. 27 3
1 3
与 log27
1 3
3
C.log39=2 与 32=9
D.log55=1 与 51=5
10．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（
故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面 位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面
上海市光明中学2025届数学高一上期末经典模拟试题含解析
20．设函数 f (x) 3 sin x cos x cos2 x a
（1）写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间；
（2）当
x
6
, 3
时，函数
f
x 的最大值与最小值的和为
3 2
，求不等式
f
(x)
1 的解集
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
21．已知二次函数 满足：
，且该函数的最小值为 1
（1）求此二次函数 的解析式；
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．垂直于直线 x 3y 1 0 且与圆 x2 y2 10 相切的直线的方程是 A x 3y 10 0或x 3y 10 0
B. 3x y 10 0或3x y 10 0
y bxc 2 总经过同一个定点，则实数 c __________
14．已知一组数据 x1 ， x 2 ，…， xn 的平均数 x 3 ，方差 s2 6 ，则另外一组数据 3x1 2 ，3x2 2 ，…，3xn 2 的
平均数为______，方差为______
15． 4log2 3 ______
∴ m2 1 0 m,11,
【小问 2 详解】
h x ex ， f h x ex 2 m ex 1 . 4
设 ex t ， t 1,e ， y t2 mt 1
4
①若
m 2
1即
m
2 时，
ymin
1
m
1 4
5 4
，
m
0
②若1 m 2
e ，即 2e m 2 时， ymin
3
2
②向左平移 个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的 1 倍；
河南省漯河市2023届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
A.1
B. 1
C.4
D. 4
9．若 A 、 B 是全集 I 真子集，则下列四个命题① A B A ；② A B A ；③ ACI B ；④ A B I 中
与命题 A B 等价的有
的 A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
10．设 x＞0 ， 0＜bx＜ax＜1，则正实数 a ， b 的大小关系为
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．下列函数中，既是奇函数又在区间 , 0 上单调递增的是（ ）
A. f x cosx
B. f x sinx
C. f x tanx
D. f x x3 x1
2． cos660
A.
1 2
B. 3 2
C. 3 2
D. 1 2
3．已知点 A2, 3, B3, 2，直线 l : mx y m 1 0 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
①函数 f x x2 2 a x 4 在定义域b 1,b 1 上为偶函数；
②函数 f x ax b,a 1 在1,2 上的值域为2, 4 ；
18．解答题
（1） lg12.5 lg 5 lg 0.5 ； 8
（2）lg20+log10025
19．（1）求函数
y
tan
3x
6
的单调递增区间；
【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行
四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向
量是和）.
9、B
【解析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论
山东省菏泽市部分重点学校2023届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
【解析】利用辅助角公式可得 ，根据正弦型函数最值、单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项即可.
【详解】 ；
对于A， ，A错误；
对于B，当 时， ，
由正弦函数在 上单调递增可知： 在 上单调递增，B正确；
对于C，当 时， ，则 关于 成轴对称，C错误；
对于D， 最小正周期 ，D错误.
故选：B.
所以①
或② 且 和 有同根，
由①得 ，②中两方程相减得 ，所以 ，故 ，
综上，a的取值范围是 ；
【小问3详解】
（3）设 的不动点为 ， 的不动点为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以 是 的不动点，
同理， 也是 的不动点，只能 ，
假设存在 ，则 或 ，
因为 过点 ，所以 ，
否则 矛盾，
且 ，否则 ，
将点 代入直线方程 可得 ，解得
则所求直线方程为 ．故A正确
【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线 平行的直线方程可设为
3、B
【解析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.
【详解】要使 有意义，则 ，所以函数 的定义域是 .
故选：B
4、D
1．已知集合 ， ，若 ，则 的值为
A.4B.7
C.9D.10
2．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）
A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
3．函数 的定义域是（）
A.（-1，1）B.
C.（0，1）D.
4．条件p：|x|>x，条件q： ，则p是q的（）
山东省莱州市一中2022-2023学年高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
17、（1） ，
（2） ，
【解析】（1）首先利用两角和的正弦公式及辅助角公式将函数化简，再代入求值即可；
（2）由 的取值范围求出 的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为
所以
即 ，所以 ，
【小问2详解】
解：由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，令 ，即 时取到最大值 ， ，令 ，即 时取到最小值 .
当 时，只需 即可，解得 （舍）；
综上
故答案为：
16、
【解析】利用二倍角公式可得 ，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】解：因为 ，
整理可得 ，
解得 ，或2（舍去），
由于 ，
可得 ， ，
所以 ，
故答案为：
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
因此有 .
故选C
【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.
6、B
【解析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果
【详解】因为 ， ， ，所以可以得到
，由题意可知 ，
所以至少需要7天，累计感染病例数增加至 的4倍
故选：B
7、B
江西省南昌一中2023届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
【详解】（1）因为直线 的斜率为 ，
所以所求直线的斜率为 ，
所以所求直线方程为 ，
化简得
（2）由题意，当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，则所求直线方程为 ，
将 代入，可得 ，解得 ，
所以直线方程为 ；
当直线过原点时，设直线方程为 ，
将 代入，可得 ，解得 ，
所以直线方程为 ，即 ，
综上可得，所求直线方程为 或
7、C
【解析】由 在 上单调递减可知 ，由方程 恰好有两个不相等的实数解，可知 ， ，又 时，抛物线 与直线 相切，也符合题意，∴实数 的取值范围是 ，故选C.
【考点】函数性质综合应用
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）当 时， ，
由 ， 在 均为减函数，
可得 在 递减，即有 ，
由 ，可得 ，可得m的最小值为
【点睛】本题考查了分段函数的应用，正确求出分段函数解析式是解题关键，属于中档题.
20、（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）根据 得到 ，验证得到答案.
（2）证明 的单调性，再根据复合函数的单调性得到答案.
故所求的 是 .
19、（1） ；（2）
2023-2024学年河北省廊坊高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省廊坊高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合1,4A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,24k B y y k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则它们之间最准确的关系是（）．A ．AB =B ．A B ⊄C ．ABD ．A B⊆【正确答案】C【分析】利用列举法可判断集合A 、B 的包含关系.【详解】由集合A 得414k x +=，Z k ∈，则73159,,,,,44444A ⎧⎫=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，由集合B 得214k y -=，Z k ∈，则31135,,,,,44444B ⎧⎫=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，所以，A B ，故选：C ．2．下列命题中，真命题是（）．A ．x ∀∈R ，0x >B ．如果2x <，那么1x <C ．x ∃∈R ，21x ≤-D ．x ∀∈R ，使210x +≠【正确答案】D【分析】A 利用实数的范围判断；B 举例[)1,2x ∈判断；C 由20x ≥判断；D 由x ∀∈R 总有211x +≥判断.【详解】A 显然是假命题，B 中若[)1,2x ∈虽然2x <但x 不小于1，C 中不存在x ，使得21x ≤-，D 中对x ∀∈R 总有211x +≥，∴210x +≠，故D 是真命题，故选：D ．3．已知0x >，0y >，且1x y +=，则34x y+的最小值为（）．A ．7+B ．7+C ．7+D ．7+【正确答案】B化简得343434()()7y x x y x y x y x y+=+⨯+=++，再利用基本不等式求解.【详解】∵0x >，0y >，且1x y +=，∴343434()()777y x x y x y x y x y +=+⨯+=++≥+=+，当且仅当34y xx y=，即34x y =-+=-时等号成立，∴34x y+的最小值为7+.故选：B ．方法点睛：本题利用基本不等式求最值时用到了“1的代换”技巧，即把原式乘以“1”，再把“1”换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解，可以提高解题效率.4．已知()1sin 30cos 3αα︒-=+，则()sin 2150α+︒=（）．A ．79-B ．C D ．79【正确答案】D【分析】利用两角和与差的三角公式结合诱导公式和二倍角公式化简求解即可.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒-=+可得1sin 30cos cos 30sin cos 3ααα︒⋅-︒⋅=+，∴11cos sin cos 223ααα-=+，∴()11cos sin 30223ααα+=-=+︒，∴()()()()27sin 2150sin 90260cos 26012sin 309αααα+︒=︒++︒=+︒=-+︒=⎡⎤⎣⎦，故选：D ．5．若1522x <<，则函数()f x =的最大值为（）A ．1B CD ．【正确答案】D令y =，在该等式两边同时平方，利用基本不等式可求得2y 的最大值，进而可求得y 的最大值.【详解】1522x << ，210x ∴->，520x ->，令0y =>，两边平方()()221524y x x =-+-+=+又()()21524x x ≤-+-=，28y ∴≤，0y <≤2152x x -=-时，即当32x =时，等号成立，因此，()f x 的最大值为故选：D.应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a b +≥22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a b +的转化关系．6．若直线2y a =与函数()1xf x a =-(0a >且1a ≠)的图像有两个公共点，则a 的取值范围为（）.A ．1(02，B ．(0)1，C ．1(1)2D ．(1)+∞，【正确答案】A【分析】作出函数()y f x =的图象，及直线2y a =，由图象可得结论．【详解】作出01a <<和1a >两种图像，如图，作直线2y a =，由图可知02101a a <<⎧⎨<<⎩，∴102a <<，故选：A .本题考查指数型函数的图象与直线交点问题，分类讨论作出函数图象和直线，由图象可得结论．7．已知函数()2()121xf x ax a R =++∈+，则()()20212021f f +-=（）A ．22021a -+B ．2aC ．4D ．4042【正确答案】C【分析】直接代入解析式化简可得答案.【详解】因为()2()121x f x ax a R =++∈+，所以()()20212021f f +-=202120212220211202112121a a -+++-+++20212021202122222112⨯=++++202120212(21)221+=++22=+4=.故选：C8．已知数()πsin cos 22x f x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）．A ．()y f x =的图象关于点()π,0对称B ．()y f x =的图象关于直线2πx =-对称C ．()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 是周期函数【正确答案】C【分析】A.判断()()ππ0f x f x ++-=是否成立；B 判断()()2π2πf x f x -+=--是否成立；C.用特殊值判断；D.用周期函数的定义判断.【详解】()πsin cos cos cos 222x x f x x x ⎛⎫=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭，∵()()ππcos πcos cos sin 22x xf x x x ++=+⋅=⋅，()()ππcos πcoscos sin 22x x f x x x --=-⋅=-⋅，∴()()ππ0f x f x ++-=，∴()f x 的图象关于点()π,0中心对称，A 正确，∵()()2π2πcos 2πcos cos cos 22x xf x x x -+-+=-+⋅=-⋅，()()2π2πcos 2πcoscos cos 22x x f x x x ----=--⋅=-⋅，∴()()2π2πf x f x -+=--，∴()f x 的图象关于直线2πx =-轴对称，B 正确，∵4421333cos cos ,cos cos 03334224f f ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4332f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；∵()()π4ππ4πsin 4πcossin cos 2222x x f x x x f x +⎛⎫⎛⎫+=++⋅=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4π是函数()f x 的一个周期，D 正确，故选：C ．二、多选题9．下面说法中正确的是（）A ．集合N +中最小的数是1B ．若N a +-∉，则N a +∈C ．若N ,N a b ++∈∈，则a b +的最小值是2D ．244x x +=的解组成的集合是{2}x =【正确答案】AC【分析】根据正整数集的含义即可判断A ，B ，C 的正误，根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，因为N +是正整数集，而最小的正整数是1，故A 正确；对于B ，当0a =时，N a +-∉，且N a +∉，故B 错误；对于C ，若N a +∈，则a 的最小值是1，若N b +∈，则b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a b +取得最小值2，故C 正确；对于D ，由244x x +=得()220x -=，解得2x =，故其解集为{}2，而{2}x =不符合集合的表示方法，故D 错误.故选：AC ．10．已知∈，x y R ，且0x y >>，则下列说法错误的是（）．A ．11x y->B ．sin sin 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【正确答案】ABD采用取特殊值或利用函数单调性比较大小.【详解】∵0x y >>，选项A ，取1x =，12y =，则111210x y -=-=-<，A 错，选项B ，取x π=，2y π=，则sin sin sin sin102x y ππ-=-=-<，B 错，选项C ，1()(2xf x =在R 上是减函数，∴11(()22x y <，∴11()()022x y -<成立，C 正确，选项D ，取2x =，12y =，则ln ln ln()ln10x y xy +===，D 错，故选：ABD11．给出函数()|2|2f x x =--，则下列说法错误的是（）A ．函数()f x 的定义域为[1,1]-B ．函数()f x 的值域为[1,1]-C ．函数()f x 的图像关于原点中心对称D ．函数()f x 的图像关于直线y 轴对称【正确答案】ABC【分析】根据函数定义域，值域，函数的奇偶性即可求解.【详解】对于A 选项：240220x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，所以22(1)022x x x ⎧-≥⎪⎨-≠⎪⎩，所以2122x x ⎧≤⎪⎨-≠⎪⎩，所以110,4x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩，所以定义域为[1,0)(0,1]-⋃，故选项A 错误；因为[1,0)(0,1]x ∈-⋃所以()f x ===，当[1,0)x ∈-时，[)()0,1f x x-=-，当(0,1]x ∈时，(]()1,0f x =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-，故选项B 错误；对于C 选项：()f x =()f x -==，所以()()f x f x =-，所以函数()f x 的图像关于y 轴（直线0x =）对称，所以选项C 错误，选项D 正确.故选：ABC.12．已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[2,1]-，则b a -的值可能是（）A ．3πB ．56πC ．πD ．76π【正确答案】BCD根据值域分析sin x 能取得最小值1-，最大值只能取到12，考虑正弦函数在一个周期内的图象处理.【详解】因为2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[2,1]-，所以[,]x a b ∈时，11sin 2x -≤≤，故sin x 能取得最小值1-，最大值只能取到12.在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内考虑:当,26a b ππ=-=或7,62a b ππ=-=-时，b a -最小，为23π；7,66a b ππ=-=时，b a -最大，为43π，即2433b a ππ≤-≤，故b a -的值可能为57,,66πππ，故选：BCD.此题考查根据正弦函数的值域分析定义域，关键在于准确找出最值取得的条件，数形结合求解.三、填空题13．设参加某会议的代表构成集合A ，其中的全体女代表构成集合B ，全体男代表构成集合C ，则B C =∪______．（填“A ”或“B ”或“C ”）【正确答案】A【分析】由代表只分男女，故男女代表的并集必为全体.【详解】B C ⋃表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合A ，故B C A = ．故A14．函数log (3)1a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为_________.【正确答案】92【分析】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【详解】∵x=-2时，y=log a 1-1=-1，∴函数()log 31a y x =+-（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A （-2，-1），∵点A 在直线mx+ny+2=0上，∴-2m-n+2=0，即2m+n=2，∵mn ＞0，∴m ＞0，n ＞0，21m n +=12（2m+n ）（21m n +）=12（5+22n mm n+）≥12（5+4）=92∴21m n +的最小值为92．故答案为92．本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．15．若不等式2log a x x <对1(0)2x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【正确答案】1[1)16，【分析】不等式2log a x x <对1(0)2x ∈，恒成立，等价于当1(0)2x ∈，时，函数log a y x =的图像在函数2y x =的图像的上方，从而画出函数2y x =及log a y x =的图像，利用图像求解【详解】结合函数2y x =及log a y x =在1(0)2，上的图像易知，a 只需满足条件：01a <<，且11log 24a≥即可，从而得到1[1)16a ∈，.故1[1)16此题考查不等式恒成立问题，考查二次函数和对数函数的性质，考查数形结合的思想，属于中档题16．若函数()()()222,,f x a b x a c a b c R =+⋅-++∈的值域为[)0,∞+，则a b c ++的最小值为______．【分析】分析可得0∆=，可得出()()223a b a c +⋅+=，然后利用基本不等式可求得a b c ++的最小值.【详解】 二次函数()()()222f x a b x a c x =+⋅-++∈R 的值域为[)0,∞+，20a b ∴+>，()()124220a b a c ∆=-+⋅+=，则()()223a b a c +⋅+=，所以，20a c +>，0a b c ++>，由基本不等式可得()()()22223222a b a c a b a c a b c +++⎛⎫=++≤=++ ⎪⎝⎭，所以，3a b c ++≥，当且仅当b c =时等号成立，因此，a b c ++故答案为四、解答题17．已知命题:p 关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，命题:11q m x m -≤≤+，0m >,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】[)9,+∞【分析】先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得出命题q ⌝中的集合是命题p ⌝中的集合的真子集，于是得出不等式求解，可得出实数m 的取值范围．【详解】当命题p 是真命题时，则关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，即关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多只有一个实数解，()2416250a a ∴∆=--≤，化简得28200a a --≤，解得210a -≤≤，:2p a ⌝∴<-或10a >，且:1q x m ⌝<-或1x m >+，由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则{}{}21011a a a x x mx m --+或或×，所以，12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得9m ≥，因此，实数m 的取值范围是[)9,+∞.本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，解这类问题一般利用充分必要性转化为集合的包含关系来处理，具体关系如下：（1）A B Ü，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；（2）A B Ý，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；（4）A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件．18．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x >，()41f =．（1）求证：()10f =；（2）求116f ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）解不等式()()31f x f x +-≤．【正确答案】（1）证明见解析；（2）1216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）{|34}x x <≤．【分析】（1）令4x =，1y =，由此可求出答案；（2）令4x y ==，可求得()16f ，再令16x =，116y =，可求得116f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）先求出函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据条件将原不等式化为()()34f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，结合单调性即可求出答案．【详解】解：（1）令4x =，1y =，则()()()()44141f f f f =⨯=+，∴()10f =；（2）∵()()()()1644442f f f f =⨯=+=，()()111161601616f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）设1x 、20x >且12x x >，于是120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()()()11122222x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在()0,∞+上为增函数，又∵()()()()3314f x f x f x x f +-=-≤=⎡⎤⎣⎦，∴()03034x x x x ⎧>⎪->⎨⎪-≤⎩，解得34x <≤，∴原不等式的解集为{|34}x x <≤．19．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,2π上所有根之和.【正确答案】（1）2a =；（2）3π.【分析】（1）由于当[0,2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,666x πππ+∈，∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，∴4266x k πππ-=+(Z k ∈)或54266x k πππ-=+(Z k ∈)，∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π=，∴所有根的和为1243πππ+=.此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题20．已知幂函数22()k k f x x -++=(Z k ∈)满足(2)(3)f f <.（1）求k 的值并求出相应的()f x 的解析式；（2）对于（1）中得到的函数()f x ，试判断是否存在q (0q >)，使函数()1()(21)g x q f x q x =-⋅+-⋅在区间[12]-，上的值域为17[4]8-，？若存在，求出q ；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）0k =或1k =，2()f x x =；（2）存在，2q =.【分析】（1）利用幂函数的单调性求解．（2）根据二次函数的性质确定最大值，由最大值为178可得q ．【详解】（1）∵(2)(3)f f <，且当220k k -++≠时()f x 在第一象限一定单调，∴()f x 在第一象限是单调递增函数，故220k k -++>，解得12k -<<，又∵Z k ∈，∴0k =或1k =，当0k =或1k =时222k k -++=，∴2()f x x =；（2）假设存在q (0q >)满足题设，由（1）知2()(21)1g x qx q x =-+-+，1[]2x ∈-，，∵(2)1=-g ，∴两个最值点只能在端点(1(1))g --，和顶点22141()24q q q q-+，处取得，而2224141(41)(1)(23)0444q q q g q q q q++---=--=≥，∴2max 4117()48q g x q +==，min ()(1)234g x g q =-=-=-，解得2q =，∴存在2q =满足题意.本题考查求幂函数的解析式，考查幂函数的单调性，考查二次函数的性质．二次函数在给定区间的最值问题，需要讨论对称轴与所给区间的关系．21．已知定义域为R 的函数()f x 满足22()()f f x x x f x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦.（1）若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a .（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析式.【正确答案】（1）()11f =，()f a a =；（2）2()1f x x x =-+.【分析】（1）首先可根据22()()f f x x x f x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦得出22(2)22(2)22f f f ⎡⎤-+=-+⎣⎦，然后带入(2)3f =，即可求出()1f 的值，最后采用同样的方法即可求出()f a 的值；（2）本题首先可根据00()f x x =得出20()f x x x x -+=，然后令0x x =，通过计算得出00x =或1，最后对00x =、01x =分别进行检验，即可得出结果.【详解】（1）因为22()()f f x x x f x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦，所以22(2)22(2)22f f f ⎡⎤-+=-+⎣⎦，因为(2)3f =，所以22322322f ⎡⎤-+=-+⎣⎦，即()11f =，因为(0)f a =，22(0)00(0)00f f f ⎡⎤-+=-+⎣⎦，所以()f a a =，（2）因为22()()f f x x x f x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦，有且仅有一个实数0x 使00()f x x =，所以对于任意的x R ∈，有20()f x x x x -+=，令0x x =，则20000()f x x x x -+=，即200x x =，解得00x =或1，若00x =，则2()0f x x x -+=，即2()f x x x =-，但方程2x x x -=有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故00x ≠，若01x =，则2()1f x x x -+=，即2()1f x x x =-+，此时()f x x =有且仅有一个实数根1，综上所述，函数()f x 的解析式为2()1f x x x =-+.本题考查函数值的求法以及函数解析式的求法，考查了函数的赋值法的应用，赋值法主要应用于抽象函数的解析式或者函数解析式比较复杂的函数，能够很好的解决函数求值的问题，考查计算能力，是中档题.22．已知函数()ππ2sin cos 144f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的周期；（2）若函数()()2g x f x x =-，试求函数()g x 的单调递增区间；（3）若()22cos 27f x x m m -≥--恒成立，试求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）π；（2）π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（3）[]2,3-．【分析】（1）将函数转化为()sin 2f x x =，利用周期公式求解；（2）由（1）得到()2sin(2)3g x x π=--（3）将22()cos 27f x x m m -≥--恒成立，转化为22min 7[()cos 2]m m f x x --≤-求解.【详解】（1）∵ππ()2sin sin 144f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2sin 14x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，πcos 2sin 22x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的周期2ππ2T ==．（2）由（1），知2()()g x f x x =-，sin 22x x =2sin(2)3x π=--由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，∴函数()g x 的单调递增区间π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（3）∵22()cos 2sin (2)cos 2f x x x x -=-，2cos (2)cos 21x x =--+，215cos 224x ⎛⎫=-++ ⎝⎭，∴当cos 21x =时，2min [()cos 2]1f x x -=-，∵22()cos 27f x x m m -≥--恒成立，等价于22min 7[()cos 2]m m f x x --≤-，∴271m m --≤-，即260m m --≤，解得23m -≤≤，∴实数m 的取值范围为[]2,3-．。
高一期末考试数学模拟练习一
高一下学期期末考试数学复习试题一一、选择题1. sin600°的值是A. 12B. 32C. ―32D. －222..若O 为三角形ABC 所在平面内的一点，且满足（OB -OC ）(OB +OC -2OA )=0，则三角形ABC 为A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.以上都不对3. 函数ln sin (,0)y x x x ππ=-<<≠∣∣且的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）4. 已知a ，b 都是单位向量，则下列结论正确的是A. a ·b =1B. a 2= b 2C. a // bD. a ·b =05. 已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 A ．4π B ．2πC ．43πD ．π 6. 有一种彩票头奖的中奖概率是一千万分之一，若买五注不同号码，中奖概率是A. 千万分之一B. 千万分之五C. 千万分之十D. 千万分之二十7. 若向量a ＝（1，1），b ＝（1，－1），c ＝（－1，－2），则c = A. －12a －32b B. －12a +32b C. 32a －12b D. －32a +12b 8. 下列说法正确的是A. 某厂一批产品的次品率为110，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B. 气象部门预报明天下雨的概率是90﹪，说明明天该地区90﹪的地方要下雨，其余10﹪的地方不会下雨C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D. 掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.59. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.1510. 已知sin 21=α，α是第二象限的角，且tan （βα+）= －3，则tan β的值为 A. －3 B. 3 C. －33 D. 33 二、填空题11. 函数y=sin 2x －cos 2x 的最小正周期为 。
高一期末模拟数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(2)的值为（）A. 1B. 1C. 3D. 52. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(4,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (3,2)B. (3,3)C. (4,2)D. (4,3)3. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3/4D. 无理数4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10的值为（）A. 21B. 22C. 23D. 245. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，那么角C 的度数为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°6. 已知函数f(x) = -x^2 + 4x + 3，那么f(-1)的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 07. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 + b^2 = (a - b)^2C. (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2abD. (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab8. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，那么sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 3/49. 下列各数中，正数是（）A. -1B. 0C. 1/2D. -√210. 已知函数f(x) = |x - 2| + 1，那么f(0)的值为（）A. 3B. 2C. 1D. 011. 下列各数中，整数是（）A. √4B. πC. 3/4D. -212. 在△ABC中，若a=5，b=6，c=7，那么cosB的值为（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/513. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(2)的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 614. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2abB. (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2abC. (a + b)^2 = a^2 + b^2 - 2abD. (a - b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab15. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，那么tanA的值为（）A. 3/4B. 4/3C. 3/5D. 5/316. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(1)的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 417. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. πC. 3/4D. -218. 在△ABC中，若a=5，b=6，c=7，那么sinC的值为（）A. 5/7B. 6/7C. 7/6D. 7/519. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(3)的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 620. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2abB. (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2abC. (a + b)^2 = a^2 + b^2 - 2abD. (a - b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）21. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，那么第10项a10的值为______。
湖北省鄂州高中2023届高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析
【解析】（1）（i）解方程 即得解；（ii）利用二次函数的图象和性质求解；
（2）对 分类讨论解不等式.
【小问1详解】
解：（i）由题得 ；
（ii） ，对称轴为 ，
所以当 时， .
.
所以f（x）在区间 上的值域为 .
【小问2详解】
解： ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，不等式 解集为 或 ；
∴f（2）f（3）＜0.
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），
故选C
【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、2
【解析】由扇形周长求得半径同，弧长，再由面积公式得结论
【详解】设半径为 ，则 ， ，所以弧长为 ，
试题解析：
(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝ (at－a－t)
∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)
∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且 ＞0，
∴f(x)为增函数
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－xБайду номын сангаас减函数，且 ＜0，
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ，函数 单调递增区间： ， ；（2） .
【解析】（1）利用函数的周期求解 ，得到函数的解析式，然后求解函数的单调增区间；
（2）由题得 ，再利用三角函数的图象和性质求解.
2023-2024学年河北省石家庄市高一上学期期末数学模拟试题(含答案)
2023-2024学年河北省石家庄市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x R x =∈<，{}12B x R x =∈-<，则A B = （）A ．()0,3B ．()1,3-C ．()0,4D ．(),3-∞【正确答案】A解不等式确定集合,A B 后，由交集定义计算．【详解】由题意得：{}04A x R x =∈<<，{}13B x R x =∈-<<，即{}03A B x x ⋂=<<，故选：A.本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键．2．“1n =”是“幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】由幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，可得2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立；若幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n =故必要性不成立因此“1n =”是“幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A3．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0.5,1)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．4．已知α为锐角且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A B ．10C ．10-D ．10-【正确答案】C【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】α为锐角，故ππ2π663α<+<，而4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又πππππsin sinsin cos 1264266αααα⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦15==故选：C.5．函数()()1xxa f x a x=>的大致图象是（）A ．B ．C ．D．【正确答案】C【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．【详解】当0x >时，()x f x a =，因为1a >，所以函数()x f x a =单调递增，当0x <时，()x f x a =-，因为1a >，所以函数()x f x a =-单调递减．故选：C ．6．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()20222023f f +的值为（）A ．2B ．1C ．－1D ．－2【正确答案】D【分析】由已知函数的奇偶性可先求出函数的周期，结合奇偶性及函数的周期性把所求函数值转化可求．【详解】由()1f x +为偶函数，∴()()11f x f x +=-+，令1x t +=，则12x t -+=-，即()()2f t f t =-，因为()f x 为奇函数，有()()f t f t =--，所以()()2f t f t -=--，令x t =-，得()()2f x f x +=-，∴()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，奇函数()f x 中，已知()12f =，()00f =，则()()()()()()()()20222023505425064121012f f f f f f f f +=⨯++⨯-=+-=--=-．故选：D ．7．已知0.450.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，确定12a <，1b >，10.8c >>，得到大小关系.【详解】51log 2log 2a =<，0.70.70.11log 0.1log 0.71log 0.7b ==>=，00.40.50.518.07.06040.7.70.c >=>>==，故b c a >>.故选：A8．已知函数())ln 1f x x =+，正数,a b 满足()()222f a f b +-=，则222b a a ab b ++的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．5【正确答案】B【分析】先判断函数是单调递减函数，且有对称中心，找出,a b 之间的关系可求.【详解】因为()()))ln 1ln12f x f x x x +-=-+++=，故函数()f x 关于()0,1对称；又()f x 的定义域为R ，()))ln 1ln1ln1f x x x =+==-+，所以()f x 在R 上单调递减；因为(2)(2)2f a f b +-=，所以220a b +-=，即2 2.a b +=又0,0a b >>，故()2222 2.222b a b a b aa ab b a b a b a b+=+=+≥=++当且仅当42,55a b ==时，等号成立.故选：B.二、多选题9．有以下四种说法，其中说法正确的是（）A ．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件B ．“0a b >>”是“22a b >”的充要条件C ．“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件D ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件【正确答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.【详解】当m 是实数时，m 可能为有理数，可能为无理数，而当m 为有理数时，m 一定为实数，所以“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件，A 正确；当0a b >>时，22a b >成立，而当22a b >时，有可能0a b <<，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件，B 错误；当3x =时，2230x x --=成立，而当2230x x --=时，3x =或=1x -，所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件，C 正确；当1a >时，11a <成立，而当11a <时，有可能a<0，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，D 错误；故选：AC10．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦单调递减B ．函数()y f x =图象关于19,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ⎡-⎣，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】AD【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB 的正误，利用图像变换可判断C 的正误，根据正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】由图象可得2A =，且37ππ3π41264T =+=，故πT =即2ω=，而7ππ22π,122k k Z ϕ⨯+=+∈，故2π2π,3k k Z ϕ=-+∈，因为ϕπ<，故2π3ϕ=-，故()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，3π2ππ2232x -≤-≤-，而sin y t =在3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故A 正确.对于B ，1919π2π2sin 21263f π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1912x π=为函数图象的对称轴，故B 错误.对于C ，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位得到函数2π2π2sin 22sin 233y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图象，故C 错误.对于D ，当2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2π2π22333x a ≤-≤-，因为函数的值域为⎡-⎣，故3π2π7π2233a ≤-≤，故13π3π122a ≤≤，故D 正确.故选：AD.11．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]0.6180=，[]2.718283-=-，我们把[]y x =，x ∈R 叫做取整函数，也称之为高斯（ G aussian ）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”.早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich G aussian ）最先提及，因此而得名“高斯（ G aussian ）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费､ E XCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导､极限､定积分､级数等等各种问题之中.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（）A ．R x ∀∈，[]x x ⎡⎤=⎣⎦B ．,R ∃∈x y ，[][][]x y x y -<-C ．,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y -<D ．N n +∃∈，[][][]lg 2lg 3lg 93n +++= 【正确答案】BC【分析】根据高斯函数的定义，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：不妨取0.2x =-，则[]0.20x ⎡⎤==⎣⎦，而[]11x =-=，故A 错误；对B ：不妨取3, 1.2x y ==，则[][]1.81x y -==，而[][]312x y -=-=，满足[][][]x y x y -<-，故B 正确；对C ：因为[][]x y =，故可得,x y 同号；当0x y ==时，01x y -=<，满足题意；当,x y 同为正数或负数时，设,x a b y c d =+=+，其中,a c 和,b d 分别为,x y 的整数部分和小数部分，因为[][]x y =，则a c =，故x y b d -=-，又,b d 同为小数，且符号相同，故1b d -<，即1x y -<，则,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y -<，故C 正确；对D ：令[]lg ,2,N y x x x +=≥∈，当210,N x x +≤<∈时，[]lg 0x =；当10100,N x x +≤<∈时，[]lg 1x =；当1001000,N x x +≤<∈时，[]lg 2x =；L当11010,N n n x x -+≤<∈时，[]lg 1x n =-.则当10100n ≤<时，[][][]lg 2lg3lg n +++ [][][][][][]lg 2lg3lg9lg10lg11lg 9n n =+++++++=- ；又9,10100,N y n n n +=-≤<∈为单调增函数，故99n =时，取得最大值90；当1001000n ≤<时，[][][]lg 2lg3lg n +++ [][][][][][]()lg 2lg3lg99lg100lg101lg 902992108n n n =++++++=+-=- ；不存在N n +∈使[][][]lg 2lg 3lg 93n +++= ,故D 错误.故选：BC.12．已知函数242()12,R f x x x x k k =--+-∈，则下列说法正确的是（）A ．R k ∃∈，使得函数()f x 有1个零点B ．R k ∃∈，使得函数()f x 有2个零点C ．R k ∃∈，使得函数()f x 有4个零点D ．R k ∃∈，使得函数()f x 有8个零点【正确答案】BCD【分析】设21x t -=，[)0,t ∈+∞，21k t t =-+，画出函数图像，讨论54k >，54k =，514k <<，1k =，1k <几种情况，计算得到答案.【详解】242()120f x x x x k =--+-=，即24212k x x x =--+，设21x t -=，[)0,t ∈+∞，则24221t x x =-+，21k t t =-+，设()2215124g t t t t ⎛⎫++=-- ⎪⎭=+-⎝，图像如图所示：当54k >时，21k t t =-+无解，此时函数没有零点；当54k =时，12t =，即2112x -=，方程有4个解，函数有4个零点；当514k <<时，方程有两解，设为12,t t 且121012t t <<<<，211x t -=有4个解，221x t -=有4个解，故函数共有8个零点；当1k =时，0=t 或1t =，当0=t 时，210x -=有2个解；当1t =时，211x -=有3个解，故函数有5个零点；当1k <时，方程有1个解1t >，此时21x t -=有2个解，函数有2个零点.综上所述：函数可能有0,2,4,5,8个零点.故选：BCD 三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2ln 23f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为______.【正确答案】(]1,1-##（-1，1）【分析】先求定义域为()1,3-，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.【详解】因为2230x x -++>，解得：13x -<<，所以()()2ln 23f x x x =-++的定义域为()1,3-.令()222314t x x x =-++=--+，则ln y t =.要求()f x 的单调增区间，只需1x ≤.所以11x -<≤，所以()f x 的单调增区间为(]1,1-.故答案为.(]1,1-15．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_________.【正确答案】04a ≤≤【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求a 的范围.【详解】由题意可知，“R x ∃∈，210ax ax -+<”的否定是真命题，即“R x ∀∈，210ax ax +≥-”是真命题，当0a =时，10≥，不等式显然成立，当0a ≠时，由二次函数的图像及性质可知，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，综上，实数a 的取值范围为04a ≤≤.故答案为.04a ≤≤16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【正确答案】()6,10【分析】确定函数的max π()()4f x f =，由此可得ππ2π,Z 24k k ωϕ=-+∈，再利用()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，求得答案.【详解】由已知得：π()()4f x f ≤恒成立，则max π()()4f x f =，ππππ2π,Z 2π,Z 4224k k k k ωωϕϕ+=+∈⇒=-+∈，由3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3π(,)8x ωϕϕωϕ+∈+，由于()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，故0π3π3π4π8ϕωϕ<<⎧⎪⎨<+≤⎪⎩，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，Z k ∈，则8282,Z 20162816k k k k k ωω-<<+⎧∈⎨-<≤-⎩,只有当1k =时，不等式组有解，此时610412ωω<<⎧⎨<≤⎩，故610ω<<，故()6,10四、解答题17．集合1121x A xx +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<.(1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈ ，求实数a 的值；(2)若()R A B ⋂=∅ð，求实数a 的取值范围【正确答案】(1)1；(2)5(0,2【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；（2）根据分式不等式的解法，结合补集和交集的性质进行求解即可.【详解】（1）因为()0B C ∈ ，所以0C ∈，且0B ∈，由0C ∈，可得2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.由0B ∈，所以2202040a a -⨯+-<得22a -<<；∴实数a 的值为1；（2）集合12110221212x x A xx x x x x +-⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭⎩⎭∣∣∣.集合{}22240{22}B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+∣∣.由()R A B ⋂=∅⇒ð12222a a ⎧-≤⎪⎨⎪+>⎩，解得502a <≤，所以实数a 的取值范围为5(0,]2.18．已知函数()2f x ax bx =-.(1)若()f x c ≥的解集为{}32x x -≤≤，求不等式20bx ax c ++≤的解集；(2)若0a >，0b >且()12f -=，20a b mab +-≥恒成立，求m 的最小值.【正确答案】(1){}23xx -≤≤∣(2)(132+【分析】（1）根据题中条件可知0<a ，根据解集可知二次方程20ax bx c --=的两根为123,2x x =-=，再根据韦达定理找到a 、b 、c 三者之间的关系，由此解出不等式.（2）根据题意可知a 、b 之间的关系，再将20a b mab +-≥分离参数，利用基本不等式即可求出答案.【详解】（1）由题设知0<a 且20ax bx c --=的两根为123,2x x =-=所以12121,6b c x x x x a a-+==-==-，可得：,6b a c a =-=2260bx ax c ax ax a ++=-++≤可化为：260x x --≤，解得：23x -≤≤，所以不等式20bx ax c ++≤的解集为{}23xx -≤≤∣（2）0,0a b >>且()122f a b -=⇒+=，20a b mab +-≥，则12m a b≤+恒成立，()(11212133222a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b =，2a b +=，即)214a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时，“=”成立，(132m ∴≤+19．已知()π1πsin cos sin 23234f x x x x ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪⎝⎭+- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，关于x 的不等式1ππ22612a x f f x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+≥⎝有解，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)π5ππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)1a ≥【分析】（1）根据三角恒等变换得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再计算πππ2π22π232k x k -≤+≤+得到答案.（2）化简得到sin cos22a x x -≥，即2cos2sin x a x +≥有解，令1sin ,,12t x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，根据函数的单调性计算最小值得到范围.【详解】（1）()111cos sin sin2222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos21sin2sin2424x x x x +=++1πsin2sin 223x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，解得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈所以单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）1sin cos222612ππaf x f x a x x ⎛⎫⎛⎫--+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x >，即2cos2sin xa x +≥有解，只需要min2cos2sin x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可，22cos232sin 32sin sin sin sin x x x x x x +-==-，令13sin ,,1,22t x t y t t ⎡⎤=∈=-⎢⎥⎣⎦为减函数，所以当1t =时，min 1y =，所以1a ≥.20．已知函数()e e x x f x a -=+是偶函数，其中e 是自然对数的底数．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式()+e 10x f x m m ---≥在[)ln3,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1a =(2)7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由函数()f x 是偶函数,即得()()f x f x -=,可求出a ；（2）由e e e 10x x x m m --++--恒成立,可分参转化,令e 1x t -=，则e 1x t =+，11m t t≤++，然后利用基本不等式求出右边的最小值即可.【详解】（1）∵函数e e x x f x a -=+（）是偶函数，∴f x f x -=（）（），即e e e e x x x x a a --+=+，()()1e e 0x x a ---=恒成立∴1a =（2）由题意，知e e e 10x x x m m --++--≥在[ln3∞+，）上恒成立，则e e 11e x x x m --+--（），即2e 1e e 1x x x m--+（），∴2e e 1e 1x x x m -+≤-令e 1x t -=，则e 1x t =+.ln3e 12x x t ≥∴=-≥ ∴22111111t t t t m t t t t+-++++≤==++（）（）.min 11m t t ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭∵11t t ++在[2∞+，）上单调递增，当且仅当t =2时,取11t t ++到最小值72.∴72m ≤.∴m 的范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形ABCD 中，400AB =米，300BC =米，图中DMN 区域为诊断区（M 、N 分别在BC 和AB 边上），ADN △、CDM V 及BMN 区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求MDN ∠的大小为4π.(1)若按照200AN CM ==米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S 最大，并求出最大值.【正确答案】(1)不符合要求(2)按照tan 218ADN ADN π⎛⎫∠=-∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为2400001200002-（平方米）【分析】(1)依题意求()tan ADN CDM ∠+∠即可判断.(2)设ADN θ∠=，用θ表示诊疗区域的面积ADN BMN CDM S S S S =++△△△即可.【详解】（1）当200AN CM ==时，2tan 3ADN ∠=，1tan 2CDM ∠=所以()21732tan 1214132ADN CDM +∠+∠==≠-⋅因此诊断区不符合要求（2）设ADN θ∠=，则4CDM πθ∠=-，1tan ,17θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11502004003002ADN BMN CDM S S S S AN CM AN CM =++=++--△△△1600002AN CM =⋅+在ADN △中，tan ANADθ=，300tan AN θ=在CDM V 中，tan 4CM CD πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，400tan 4CM πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以160000tan tan 6000060000141t S t t πθθ-⎛⎫⎛⎫=-+=⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭260000141t t ⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，其中1tan ,17t θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以240000S ≤-211t t +=+即1t =取等号故按照tan 18ADN ADN π⎛⎫∠=∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为240000-米）.22．若函数()y T x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使()()121T x T x ⋅=成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数()sin,()224x x f x x g x π-==-；（1）判断函数()y f x =是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设2()log ()h x x f x =+，证明：()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin 46xg π⎛⎫< ⎪⎝⎭.【正确答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.（1）取特殊值123x =，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数2x 能满足22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；（2）当(]0,2x ∈时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当()2,x ∈+∞时，证明()h x 在()2,∞+上没有零点，再化简0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，转化为证明不等式00156x x -<.【详解】解：（1）若()sin 4f x x π=是“圆满函数”.取123x =，存在2x R ∈，使得()()121f x f x =，即2sinsin 164x ππ⋅=，整理得2sin 24x π=，但是2sin 14x π≤，矛盾，所以()y f x =不是“圆满函数”.（2）易知函数()2log sin4h x x x π=+的图象在()0+∞，上连续不断.①当(]0,2x ∈时，因为2log y x =与sin 4y x π=在(]0,2上单调递增，所以()h x 在(]0,2上单调递增.因为22222212log sin log log 0336323h π⎛⎫=+==< ⎪⎝⎭，()1sin 04h π=>，所以()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭.根据函数零点存在定理，存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，所以()h x 在(]0,2上有且只有一个零点0x .②当()2,x ∈+∞时，因为2log y x =单调递增，所以22log log 21y x =>=，因为sin 14y x π=≥-.所以()110h x >-=，所以()h x 在()2,∞+上没有零点.综上：()h x 有且只有一个零点0x .因为()0020log sin 04x h x x π=+=，即020sinlog 4x x π=-，所以()2020log log 020001sinlog 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为1y x x =-在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以001325236x x -<-=，所以05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭.关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，再利用020sin log 4x x π=-，化简()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式..。
2023-2024学年河北省廊坊市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省廊坊市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知{}{}||1|2,|1A x x B x x =-<=>，则A B ⋃=（）A ．{}|13x x -<<B ．{}|1x x >-C ．{}|3x x >D ．{}3|1x x <<【正确答案】B【分析】求出集合A ，根据集合的并集运算，即可得答案.【详解】由题意解|1|2x -<，可得13x -<<，所以{}{}|13,|1A x x B x x =-<<=>，则{}|1A B x x ⋃=>-，故选：B.2．命题“0,sin 1x x ∀>≤”的否定是（）A ．0,sin 1x x ∀>>B ．0,sin 1x x ∀≤>C ．0,sin 1x x ∃>>D ．0,sin 1x x ∃≤>【正确答案】C【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“0,sin 1x x ∀>≤”的否定是.0,sin 1x x ∃>>故选：C3．已知函数(2)f x -的定义域为(1,3)-，则函数()g x =的定义域为（）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,)+∞D ．(3,7)【正确答案】A【分析】先求得()f x -的定义域，然后结合10x ->求得()g x 的定义域.【详解】函数(2)f x -的定义域为(1,3)-，即13x -<<，则321x -<-<，所以对于()f x -，有31x -<-<，解得13x -<<，即()f x -的定义域为()1,3-；由10x ->解得1x >，所以()g x =的定义域为()1,3.故选：A4．若()()sin cos cos sin m αβααβα-⋅--⋅=，且β为第三象限角，则cos β等于（）．AB ．CD ．【正确答案】B【分析】根据两角差的正弦公式可得()sin m β-=，进而得sin m β=-，根据同角平方和关系即可求解.【详解】由()()sin cos cos sin m αβααβα-⋅--⋅=得()sin m αβα--=⎡⎤⎣⎦，所以()sin m β-=，即sin m β=-，由于β为第三象限角，所以cos 0β<，故cos β==故选：B5．2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由推出关系可确定结论.【详解】由题意知：“太空握手”⇒“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”；“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”¿“太空握手”，∴“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.故选：A.6．已知23a b ≤-≤且34a b ≤+≤，求4a -2b 的取值范围（）A ．()913，B ．[]913，C ．()()913∞∞-⋃+，，D ．][()913∞∞-⋃+，，【分析】利用待定系数法，结合不等式的性质进行求解即可.【详解】设4342()()21m n m a b m a b n a b m n n =+=⎧⎧-=-++⇒⇒⎨⎨-=-+=⎩⎩，因为23a b ≤-≤，所以63()9a b ≤-≤，所以94213a b ≤-≤，故选：B7．函数2ln 2x y x =+，(2,2)x ∈-的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据函数的解析式，当(1,0)x ∈-时，得到0y <，即可求解.【详解】由题意，函数2ln 2x y x =+，当(1,0)x ∈-时，可得2(0,1)x ∈，所以2ln 0x <，且20x +>，所以0y <，可排除A 、B 、C.故选：D.8．在ABC 中，已知2sin sin cos2AB C =，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形【分析】由二倍角公式可得，()21cos1cos 22A A =+，再根据诱导公式可得()cos cos ABC =-+，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将2sin sin cos2AB C =化简成()cos 1B C -=，所以B C =，即可求得答案．【详解】因为()()2cos 11sin sin cos1cos 1222A A C B C B ==+-+=⎡⎤⎣⎦，()cos cos cos sin sin B C B C B C +=-，所以，cos cos +sin sin =1B C B C ，即()cos 1B C -=，因为(),0,B C π∈，所以(),B C ππ-∈-所以B C =，即ABC 为等腰三角形.故选：A ．9．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()0e KtS t S =描述血氧饱和度()S t （单位：%）随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数．已知060S =，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取ln6 1.79=，ln7 1.95=，ln12 2.48=，ln19 2.94=）（）A ．1.525小时B ．1.675小时C ．1.725小时D ．1.875小时【正确答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案.【详解】由题意知：60e 70K =，60e 95Kt ≥，70ln ln 7ln 660K ==-，95ln ln19ln1260Kt ≥=-，则ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==--，则给氧时间至少还需要1.875小时.故选：D10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1)上单调递减，若方程()1f x =-在[0,1)上有实数根，则方程()1f x =在区间[-1,7]上所有实根之和是（）A ．12B ．14C ．6D ．7【分析】由已知可知()f x 是周期为4的奇函数且关于1x =对称，再利用奇函数、周期函数的性质判断()f x 在[-1,7]上各子区间的单调性及()1f x =的根所在区间，结合对称性求所有实根之和.【详解】由题设，(2)()f x f x -=，又()f x 为奇函数，∴()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-，即()(4)f x f x =+，∴()f x 是周期为4的奇函数且关于1x =对称，又()f x 在[0,1)上单调递减，则[-1,0)上递减，(1,2]、(2,3]上递增，∴由周期性知：(3,4)、[4,5)上递减，(5,6]、(6,7]上递增，∵()1f x =-在[0,1)上有实数根，则()1f x =在[-1,0)上有实数根，∴综上，结合对称性知：()1f x =在[-1,0)、(2,3]、(3,4)、(6,7]各有一个实数根，且关于3x =对称，∴()1f x =在区间[-1,7]上所有实根之和为12.故选：A 二、多选题11．已知非空集合M 满足：①{}2,1,1,2,3,4M ⊆--，②若x M ∈，则2x M ∈.则集合M 可能是（）A ．{1,1}-B ．1,1,{}2,4-C ．{1}D ．{1,2,2}-【正确答案】AC【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可.【详解】由题意可知3M ∉且4M ∉，而2-或2与4同时出现，所以2M -∉且2M ∉，所以满足条件的非空集合M 有{1,1}-，{1}故选：AC12．下列说法正确的有（）A ．21x y x+=的最小值为2B ．已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为1C ．若正数x ､y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D ．因为x ､R y ∈，0xy <，所以2x yx y y x y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦【正确答案】BCD【分析】对于A 选项，当0x <时，可以判断A 选项；对于B 选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可判断，对于C 选项，可以利用基本不等式求出2x y +的最小值为3，所以C 选项正确，对于D 构造基本不等式的，就可得出结论.【详解】对于A 选项，当0x <时，210x y x+=<，故A 选项错误，对于B 选项，当1x >时，10x ->，则44212(1)11111y x x x x =+-=-+++=+--，当且仅当1x +时，等号成立，故B 选项正确，对于C 选项，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2213x y xy x y+==+，12112212(2)()(5)(53333x y x y x y x y y x +=++=++≥+=，当且仅当1x y ==时，等号成立，故C 选项正确，对于D 选项，因为x ､R y ∈，0xy <，所以0,0x yy x<<所以0,0x y y x ->->，于是2x yx y y x y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦当且仅当x yy x=即x y =-时取等号.故选：BCD ．13．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 2112g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【正确答案】AD【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可.【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2πππ,π2362T T =-=⇒=，又2π2T ωω=⇒=，又ππ()22cos(2)266f ϕ=⇒⨯+=，所以ππ2π(Z)2π(Z)33k k k k ϕϕ+=∈⇒=-∈又π||2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得πππ()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 错误．由ππππ2+π(Z)(Z)6262k x k k x k =+∈⇒=+∈，所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误．由π2π2+2ππ(Z)6k x k k ≤≤+∈即π5πππ(Z)1212k x k k -+≤≤+∈，所以选项D 正确.故选：AD ．14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3.5]4-=-，[2.1]2=．已知函数1()12=-+x x e f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（）A ．()g x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{1,0,1}-【正确答案】BC计算(1),(1)g g -得出(1)(1),(1)(1)g g g g ≠-≠--判断选项A 不正确；用函数的奇偶性定义，可证()f x 是奇函数，选项B 正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出()f x 在R 上是增函数，判断选项C 正确；由x y e =的范围，利用不等式的关系，可求出11()22f x -<<，选项D 不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，111()1221=-=-++x x xe f x e e .∵1(1)[(1)]012eg f e ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦，11(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦，(1)(1),(1)(1)g g g g ∴≠-≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；111()()1212x x x e f x f x e e ---=-=-=-++ ，∴()f x 是奇函数，B 正确；x y e =Q 在R 上是增函数，由复合函数的单调性知11()21xf x e =-+在R 上是增函数，C 正确；0x e > ，11x e ∴+>，1101,1011x xe e <<-<-<++，11()22f x ∴-<<，()[()]{1,0}g x f x ∴==-，D 错误.故选：BC.关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，然后才会对函数()f x 变形，并作出判断.15．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则函数()f x 满足（）A ．(0)0f =B ．()y f x =是奇函数C ．()f x 在[,]m n 上有最大值()f n D ．(1)0f x ->的解集为(1,)+∞【正确答案】AB【分析】由抽象函数满足()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==可得(0)f ，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间[],m n 上的最大值，利用单调性解不等式(1)0f x ->可得解集.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，即(0)0f =，A 正确，令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=，即()()f x f x -=-，函数为奇函数，B 正确，设12x x ∀<，则120x x -<，12)(0f x x ->，由题，1122()()()f x f x x f x =-+，即1212()()()0f x f x f x x -=->，所以12()()f x f x >，函数()f x 在R 上单调递减，所以C 错误，不等式(1)0f x ->可化为(1)(0)f x f ->，由()f x 在R 上单调递减，所以10x -<，即1x <，不等式解集为(),1-∞，D 错误.故选：AB.16．函数()1,Q0,Q x D x x ∈⎧=⎨∉⎩被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）A ．函数()D x 的值域为[]0,1B ．若()01D x =，则()011D x +=C ．若()()120D x D x -=，则12x x -∈Q D ．x ∃∈R ，(1D x =【正确答案】BD【分析】求得函数()D x 的值域判断选项A ；推理证明判断选项B ；举反例否定选项C ；举例证明x ∃∈R ，(1D x =.判断选项D.【详解】选项A ：函数()D x 的值域为{}0,1.判断错误；选项B ：若()01D x =，则0Q x ∈，01Q x +∈，则()011D x +=.判断正确；选项C ：()()2ππ000D D -=-=，但2ππ=πQ -∉.判断错误；选项D ：当x =((()01D x D D ===.则x ∃∈R ，(1D x =.判断正确.故选：BD 三、填空题17．若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则2sin cos cos ααα+=__________．【正确答案】25##0.4【分析】根据sin cos 1sin cos 2αααα-=+得到tan 3α=，变换22tan 1sin cos cos 1tan ααααα++=+，计算得到答案.【详解】sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++，解得tan 3α=，22222sin cos cos tan 1312sin cos cos sin cos 1tan 105αααααααααα++++====++.故2518．设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，()1212log 12f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________．【正确答案】9【分析】分段函数求函数值，代入对应的解析式求解即可.【详解】()221,241lo 231g f +-<∴-==+= 121log 1,12> 111122222121111log log log log log 612122611log 6122222f--⎛⎫∴===== ⎪⎝⎭()1212log 36912f f ⎛⎫∴-+=+= ⎪⎝⎭故919．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf xg x e +=，且对任意的[]1,2x ∈，()20x f x e m --≥恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【正确答案】(2,e -⎤-∞⎦【分析】由()()xf xg x e +=，再根据函数的奇偶性得()()x f x g x e ---=，两式联立可得()e e 2x x f x -+=，再由参变分离法得()2x xm f x e e -≤-=在[]1,2上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】函数满足()()x f x g x e +=①，所以()()xf xg x e --+-=，由函数的奇偶性可得，()()xf xg x e ---=②，由①②得，()e e 2x x f x -+=，因为对任意的[]1,2x ∈，()20xf x e m --≥恒成立，即对任意的[]1,2x ∈，()2x xm f x e e -≤-=恒成立，令()x h x e -=，则函数()x h x e -=在[]1,2上为减函数，所以2min ()(2)h x h e -==，所以2m e -≤.故(2,e -⎤-∞⎦20．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，则k 的取值范围是________．【正确答案】32k -≤<【分析】解220x x -->，得解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞；分类讨论k -与52-的大小关系，解不等式5()02x x k ++<，再根据不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，列式可求出结果.【详解】由220x x -->，得(2)(1)0x x -+>，得1x <-或2x >，所以220x x -->的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，由22(52)50x k x k +++<，得5()()02x x k ++<，当52k -<-，即52k >时，得52k x -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，此解集中不含2-，不符合题意；当52k -=-，即52k =时，5()02x x k ++<化为25()02x -<，所以22(52)50x k x k +++<的解集为空集，不符合题意；当52k ->-，即52k <时，得52x k -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，因为不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，所以23k -<-≤，得32k -≤<.故32k -≤<四、解答题21．已知集合{}21+1A x m x m =-<<，{}22B x x =-<<.(1)当2m =时，求A B ⋃，A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)5|}2{A B x x ⋃=-<<，{|12}A B x x =<< (2)(]1,1-【分析】（1）当2m =时，求出{|15}A x x =<<，再根据集合的并集，交集的运算求解即可．（2）根据题意可得A B ，再求得A ≠∅，列出方程组求出m 的取值范围即可得答案．【详解】（1）解：当2m =时，{}|15A x x =<<，{}|22B x x =-<< ，{|25}A B x x ∴=-<< ，{|12}A B x x =<< ．（2）解：x A ∈ 是x B ∈成立的充分不必要条件，A∴B ，()22217112024m m m m m ⎛⎫+--=+=-+> ⎪⎝-⎭ ，211m m ∴-<+，A ∴≠∅，则21212m m -≥-⎧⎨+≤⎩，11m ∴-≤≤，经检验知，当1m =-时，{|22}A x x B =-<<=，不合题意，∴实数m 的取值范围(]1,1-．22．已知函数2()sin 2sin 22cos 1,33f x x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程．(3)求函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π(2)单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；对称轴方程为,82k x k Z ππ=+∈(3)1【分析】（1）展开利用辅助角公式化简即可求最小正周期（2）根据复合函数整体法即可求单调递增区间和对称轴方程（3）根据复合函数整体法即可最大值和最小值【详解】（1）2()sin 2sin 22cos 133f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333x x x x x ππππ++-+sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭函数()f x 的最小正周期2T ππω==（2）令222,242k x k k Z πππππ-+++∈解得3,88k x k k Z ππππ-++∈所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令242x k πππ+=+,解得,82k x k Z ππ=+∈所以()f x 对称轴方程为,82k x k Z ππ=+∈（3）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,32,,sin 24444x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈-+∈-⎢⎥ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以min ()14f x f π⎛⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭max ()18f x f π⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭所以函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦最小值是1-23．已知函数2()1|1|f x x k x =---，k ∈R ．(1)若()y f x =为偶函数，求k 的值；(2)若()y f x =有且仅有一个零点，求k 的取值范围；(3)求()y f x =在区间[0,2]上的最大值．【正确答案】(1)0k =；(2)(],2-∞-；(3)当3k <时最大值为3k -+；当3k ≥时最大值为0.【分析】（1）由()y f x =为偶函数有(1)(1)f f -=，即可求k 的值；（2）由题意()0f x =有且仅有一个解，显然x ＝1是该方程的解．则10x k +-=(x ≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且10x k ++=(x ＜1)无解，从而求得实数k 的取值范围；（3）当x ∈[0,2]时求出()f x 的分段函数的形式，其最大值只可能是(0),(2),(1)f f f 其中之一，再由(2)(0)f f >，可得函数的最大值．【详解】（1）∵()y f x =为偶函数，∴(1)(1)f f -=，即20k -=，解得k ＝0，经检验k ＝0符合题意；（2）由题意得，方程21|1|0x k x ---=有且仅有一个解，显然，x ＝1已是该方程的解，当x ≥1时，方程化为(1)(1)0x x k -+-=；当x ＜1时，方程化为(1)(1)0x x k -++=；∴10x k +-=(x ≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且10x k ++=(x ＜1)无解，又x ＝1时，k ＝2，此时x ＝-3也是方程的解，不合题意，∴关于x 的方程1=-x k (x ≥1)、(1)x k =-+(x ＜1)均无解，可得k ＜2且k ≤-2，综上，k ≤-2，即实数k 的取值范围为(-∞,-2]．（3）当x ∈[0,2]时，()f x 221,011,12x kx k x x kx k x ⎧+--≤≤=⎨-+-<≤⎩，∵()y f x =在[0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，∴最大值只可能是(0),(2),(1)f f f 其中之一，又(0)1f k =--，(1)0f =，(2)3f k =-+，显然(2)(0)f f >，∴当k ＜3时，所求最大值为(2)3f k =-+；当k ≥3时，所求最大值为(1)0f =．。
2023届湖南省五市十校高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为 A.B. C.或 D.都不对2．若4sin 5α，α是第二象限的角，则tan()4πα-的值等于（ ） A.43B.7C.34D.-73．给定{},,min ,,,a ab a b b b a ⎧=⎨<⎩已知函数{}2()min ,444f x x x x =-++.若动直线y=m 与函数()y f x =的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为A.(0,4)B.(4,5)C.(5,8)D.(8,)+∞4．如图，把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60︒时，三棱锥D ABC -的体积为（ ）5．若函数(23,0x y aa -=+>且)1a ≠,则该函数过的定点为（） A.(1,3)B.(0,1)C.(1,0)D.(2,4)6．命题：“0x ∀>，2ln 20x x +>”的否定是（）A.0x ∀>，2ln 20x x +<B.0x ∀>，2ln 20x x +≤C.0x ∃>，2ln 20x x +≤D.0x ∃>，2ln 20x x +<7．[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]11=，[]3.54-=-，[]2.12=．若0x 是函数()ln 26f x x x =+-的零点，则[]0x =（）A.1B.2C.3D.48．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若αβ⊥，//m α，则m β⊥；②若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥；③若m β⊥，//m α，则αβ⊥；④若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ其中正确命题的序号是（ ）A.②③B.①④C.②④D.①③ 9．已知命题p ：(0,)2πα∀∈，tan sin αα>，则p ⌝为（） A.(0,)2πα∀∈，tan sin αα≤ B.(0,)2πα∀∉，tan sin αα≤ C.(0,)2πα∃∈，tan sin αα≤ D.(0,)2πα∃∉，tan sin αα≤10．已知指数函数在上单调递增，则的值为（ ）A.3B.2C.D. 11．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）A.x y e =B.2ln 2x y x +=-C.3y x x =--D.tan y x =12．圆224240x y x y +-++=的半径和圆心坐标分别为A.1;(2,1)r =-B.2;(2,1)r =-C.2;(2,1)r =-D.1;(2,1)r =-二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知函数()2log ,012,0x x x f x x -<<⎧=⎨<⎩，则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________ 14．不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则(1)f 的值为______16．如图，若集合{}12345A =，，，，，{}246810B =，，，，，则图中阴影部分表示的集合为___三、解答题（本大题共6个小题，共70分。
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高一数学期末模拟试题一
班级 姓名 学号
一、 选择题（5`×12=60）
⒈集合A 、B 的并集},{21a a B A = ,当B A ≠时,),(B A 与),(A B 视为不同的对,则这样的),(B A 对的个数是( )
A. 4
B. 6
C. 9
D. 12
⒉在数列
}{n a 中，若21-=a 且对任意*N n ∈,有1221=-+n n a a ,则数列}{n a 前15项的和是( ) A. 4105 B. 30 C. 245 D. 5 ⒊设命题P:关于x 的不等式
01121>++c x b x a 与02222>++c x b x a 的解集相同,命题q:
212121c c b b a a ==,则命题q ( ) A. 是命题p 的充分必要条件 B. 是命题p 的充分不必要条件
C. 是命题p 的必要不充分条件
D.既不是命题p 的充分又不是p 的必要条件
⒋函数
3+=x a y （10≠>a a 且）的反函数是( ) A.
)4(3log >+=x x y a B. )4)(3(log >+-=x x y a C. )3(3log >--=x x y a D. )3)(3(log >-=x x y a
⒌等差数列}{n a 是递减数列,484
32=a a a 且12432=++a a a ,,则数列}{n a 的通项公式是( ) A. 22-=n a n
B. 42+=n a n
C. 122+-=n a n
D. 102+-=n a n ⒍函数
)(x f y =的图象是C1,其反函数的图象是C2,则与C2关于x 轴的图形C3所表示的函数是( ) A. )(1x f y --= B. )(1x f y -=- C. )(x f y -= D. )(x f y --= ⒎数列}{n a 是等差数列的充要条件是( )
A. b an S n
+= B. c bn an S n ++=2 C. )0(2≠+=a bn an S n D. bn an S n +=2 ⒏已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当x<0时, x x f )31()(=那么)2
1(f 的值是( ) A.
33 B. 33- C. 3 D. 3- ⒐若)(x f 在R 上是减函数,且)(x f 的图象经过点)3,0(A ,)1,3(-B 由不等式21)1(<-+x f 的解集是
( )
A. 20≤≤x
B. 20<≤x
C. 01<<-x
D. 21<<-x
⒑西部某厂在积极财政政策的推动下,从1991年1月起,到2001年12月止的36个月中,月产值不断递增且构成等比数列}{n a ,若月累计产值n n
a a a S +++=......21满足关系36101-=n n a S ,则该厂的递增率为
(精确到万分位)( )
A. 12.66%
B. 12.68%
C. 12.69%
D. 12.70%
⒒定义在R 上的函数3)(x x x f --=.设给出下列不等式①0)()(11≤-x f x f ②0)()(22≥-x f x f ③)()()()(2121x f x f x f x f -+-≤+④)()()()(2121x f x f x f x f -+-≥+,其中正确不等式的序号是
( )
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
⒓已知函数12)(-=x x f ,21)(x x g -=构造函数)(x F 定义如下:当)()(x g x f ≥时, )()(x f x F =; 当)()(x g x f <时, )()(x g x F -=.那么)(x F ( )
A. 有最大值0,无最小值
B. 有最小值-1,无最大值
C. 有最大值1,无最小值
D. 无最大值,也无最小值
二、 填空题（16`）
⒔设函数x x f 2)(= ( x ≤0)的反函数为)(1x f y -=,则函数)12(1-=-x f y 的定义域为
⒕已知函数1
)(---=a x x a x f ,其反函数)(1x f y -=的图象的对称中心是(-1,3),则实数a 的值为 ⒖函数123)(+-=a ax x f 在闭区间[-1,1]上存在0x ,使0)(0=x f ,则实数a 的取值范围是 ⒗设正数列}{n a 的前n 项和为n S ,且存在正数t ,使得对所有的自然数n,有
2
n n a t tS +=,则通过归纳猜想可得到n S =
三、解答题（74`） 17.如图,在第一象限内,矩形ABCD 的三个顶点A,B,C 分别在函数x y 2
2log =，21
x y =，
x x y 8
5812+-=的图象上,且矩形相邻的边分别与两坐标轴平行,若A 点的纵坐标是2求顶点D 的坐标.
18.设p x x x x x f p a a --+-+=<<
-221log 2121log )(,11(其中0>a 且1≠a ) (1) 求
)(x f 的定义域; (2)求证: )(x f 的图象与x 轴无公共点
19.今年春季我国北方民发生多起沙尘暴天气,其形成的主要原因是生态植被的严重破坏所造成.据调查,某县在1994年底已有一定的沙漠,并且以后每年都有一定的土地被沙化,为改善生态环境,该县已从1995年起,开始进行植被的恢复和造林工作,并且坚持以后每年植被造林的面积比上一年有相同数量的增长,据1995年1996年的统计,该县的沙漠面积和植被林木面积(单位:亩)的直方图如下,试问该县据此进行生态建设,到哪一年即可改造完沙漠?
20.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且对任意*N n ∈,总有)1(-=n n a p S ,(p 是常数且1,0≠≠p p )
(1)求数列}{n a 的通项公式n a .
(2) 数列}{n b 中q n b n +=2, (q 是常数),且11b a =,22b a <,求p 的取值范围.
21.已知二次函数
bx ax x f +=2)( (b a ,是常数且0≠a ),0)2(=f 且方程x x f =)(有等根. (1)求)(x f 的解析式
(2)是否存在常数p,q 使得
)(x f 的定义域和值域分别为[p,q]和[2p,2q]?如果存在,求出p,q 的值;若不存在,请说明理由.
22.已知2
41)(+=x x f (1) 已知R x x ∈21,且121
=+x x ,求证21)()(21=+x f x f (2) 记)1()1(......)2()1()0(f n n f n f n f f a n +-++++=,求n n a a a S +++= (21)。