1.1菱形的判定和性质小结
菱形的判定
例3. 画一个菱形，使它的两条对角 画一个菱形， 线的长分别为40㎝ 线的长分别为 ㎝和30㎝. ㎝
画法： 画法： B● 画一条线段AC=40㎝； ①画一条线段 ㎝ 作线段AC的中垂线 的中垂线， ②作线段AC的中垂线， ● A 并以垂足为中点截取 ● BD=30㎝； ㎝ D 顺次连结AB、 、 、 ； ③顺次连结 、BC、CD、DA； 则四边形ABCD即为所作的菱形 即为所作的菱形. 则四边形 即为所作的菱形
如图： 例1.如图：在四边形 如图 在四边形ABCD中， 中 AD∥BC，对角线 的垂直平分线 ∥ ，对角线AC的垂直平分线 与边AD、 分别相交于 分别相交于E、 ， 与边 、BC分别相交于 、F， 四边形AFCE是菱形吗？为什么？ 是菱形吗？ 四边形 是菱形吗 为什么？
证明： 证明：∵AD∥BC ∥ ∴∠EAO=∠FCO ∴∠ ∠ 又∠AOE=∠COF OA=OC ∠ ∴△AOE≌△COF ∴OE=OF ≌ 四边形AFCE是平行四边形 ∴四边形 是平行四边形 又∵EF⊥AC ⊥ ∴ AFCE是菱形 是菱形
已知： ABCD中 对角线AC⊥BD. 已知： ABCD中，对角线AC⊥BD. 试说明： ABCD是菱形 是菱形. 试说明： ABCD是菱形. A D
说明∵ABCD是平行四边形 说明∵ 是平行四边形 ∴OB=OD O B C 又AC⊥BD于O ⊥ 于 ∴AB=AD 即：∵AC⊥BD ⊥ ∴ ABCD是菱形 ∴ ABCD是菱形 是菱形. 是菱形 是菱形
∴四边形AFDE是平行四边形 四边形 ∵∠1=∠ ， ∵∠ ∠2，∠1=∠3 ∠ ∴∠2=∠ ， ∴∠ ∠3，∴AF=FD， ， 21 四边形AFDE是菱形 是菱形. ∴四边形 是菱形 (定义判定 定义判定) 定义判定
3
1.1菱形的性质与判定
1.1菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠=度．⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．【例4】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．图21CBAP HFE DCBAE F D B C A【巩固】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1HO DC BA图2DCBA图3E DP CF BA 图1DCBA【例7】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．板块二、菱形的判定 【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．图2DFEDCBADCAB FEDCBAODEFCAB【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？C'DC BA EAB CDEF P PF EDC B A GF E DCBAPMF E DG CBA HF DECBA三、与菱形相关的几何综合题 【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________． 4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应M'M DCBAMPFABCDE DBFEDCBAEDCB A的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．FEDCBANMEFCBA。
1.1菱形的性质与判定
1.1.1 菱形的性质与判定（第一课时）学习目标：掌握菱形的概念和性质在观察、操作、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的能力与习惯学习重点：菱形性质的探索过程学习难点：学生数学说理能力的培养学习过程：一、课前自主学习1、平行四边形的性质：。
2、平行四边形ABCD中，若∠A＝50 °，那么∠B＝∠C＝3、平行四边形ABCD中，AB+BC＝14 cm,则它的周长等于4、平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,如果AC＝12，BD＝8,则AB的取值范围是.二、课内探索新知。
探索菱形的性质1、菱形的定义：2、菱形的性质：3、菱形的对称性：二、小组合作：1、已知菱形两条对角线长分别为12cm、8cm，则菱形的面积是,周长是2、已知菱形两邻角之比是5：1，若菱形的高是2cm，则菱形的周长是3、已知菱形ABCD中，若∠ABC＝120°，则BD：AC＝4、菱形两邻角之比为1：2，菱形周长为40cm,则较短对角线长为5、如图，四边形ABCD是菱形。
点O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=3cm，（1）求AC与BD的长。
（2）在（1）的情况下，则菱形的面积是多少三、展示反馈1、如图, 已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，求∠ABD的度数与BD长。
2、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为多少？3、菱形ABCD的周长为16厘米，∠ABC＝120°，求对角线BD与AC的长。
4、合作探究：如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积四、拓展延伸：1、已知菱形周长为80，一对角线长20，则相邻两角的度数为，。
2、如图，四边形ABCD是菱形。
对角线AC=6cm，DB=8cm，AH⊥BC于点H,求AH的长.3、将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cm B．220cm C．240cm D．280cm4．求证：菱形的对角线的交点到各边的距离相等。
菱形的性质与判定
B
C
D
O
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC， DB平分∠ADC（三线合一）
同理： DB平分∠ABC； AC平分∠DAB和∠DCB
(1)AB=BC=CD=DA
(2)AC⊥BD
A
B
C
D
E
F
你敢挑战吗？
交流反思
1.菱形概念
2.菱形特征
3.菱形与平行四边形的关系
①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分； ④菱形的对角线分别平分两组对角； ⑤菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
4.菱形的面积
方法总结:
01
02
03
单击此处添加正文。
平行四边形
菱形
四边形
单击此处添加正文。
对角线互相垂直
一组邻边相等 菱形 有四条边相等
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ） (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ） (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形； （ ） (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形． （ ）
E
O
D
C
B
A
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,AE∥DB，AE交DE于E。 求证：四边形AODE是菱形。
D
C
B
A
M
N
2、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD. 求证：四边形ABCD是菱形。
北师版九年级数学 1.1菱形的性质与判定(学习、上课课件)
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲解 菱形的定义
菱形的性质 菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲两个条件缺一Fra bibliotek可.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
则ABCD 是菱形.
感悟新知
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1.菱形的定义既是菱形的判定方法，又是菱形
的性质. 2.菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不
一定是菱形.
感悟新知
例 1 如图1-1-3，在△ ABC 中，CD 平分 ∠ ACB，CD 交AB 于点D，DE ∥AC，且DE 交BC 于点E，DF∥ BC，DF 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？
知1－练
感悟新知
知1－练
1-1. 如图， 在平行四边形ABCD 中， 点O 是AD 的中点， 连接CO 并延长交BA 的延长线于点E， 连接AC，DE.
感悟新知
(1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. 又∵∠AOE＝∠DOC， ∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对
是轴对称图形，对称轴是对角线所在 的直线
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线
菱形的判定和性质
BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
1.1菱形的判定
个性化修改
作业设计
预习作业
书面作业
1、教材P7习题1.2第2题
2、思考题：如图，△ABC中，∠A=90°,∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。
板书设计
（六）板书设计
菱形的判定
一、菱形的判定定理二、例题
判定1：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
教学
准备
课件
教学过程
教学预设
个性化修改
(一)、复习引入
1、提问：菱形的定义和性质。
2、导入新课
今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题）
(二)、学习新课
（一）菱形的判定定理
1.菱形的定义既是菱形的性质也是菱形的判定
判定1：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.把菱形的性质反过来：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
学生思考交流，自学证明过程
如图：已知，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱议，与你的同桌交流。
如图：已知，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
判定3：四条边都相等的四边形是菱形。
教学反思
安良一中
课堂教学设计
执教时间月日
课题
1.1菱形的判定
课型
新授课
课时数
1
主备教师
许晓蕾
执教教师
教学
目标
1．经历菱形的判定定理的发现过程，
2．掌握菱形的三个判定定理，并能根据题目条件选择恰当的定理证明菱形。
1.1菱形的性质与判定(2)
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知线段AC，你能用尺规作图的方法 作一个菱形，使AC为菱形的一条对角线吗？
定理：四条边都相等的四边形是菱形。
你能口述一下理由吗？
做一做
将一张长方形的纸对折、再对折，然后 沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形.
你能说说这样做的道理吗？
牛刀小试
如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定 ▱ABCD是菱形的是（ ）
D O
C
B
你知道如何判别菱形吗？
（1）根据菱形的定义知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 思考： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 你能证明这个结论正确吗？
已知：如图，在平行四 边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O, AC BD. 求证：平行四边形 ABCD是菱形 证明： 四边形ABCD是平行四边形 OA OC(平行四边形对角线互相 平分) 又 AC BD BD是线段AC的垂直平分线 BA BC 四边形ABCD是菱形（菱形的定义）
A．AB=BC C．BD平分∠ABC
D
B．AC⊥BD D．AC=BD
ห้องสมุดไป่ตู้
O+
分析：由∠BAD=∠CAD， AO=AO，∠AOE=∠AOF =90°证△AEO≌△AFO， 推出EO=FO，得出平行四 边形AEDF，根据EF⊥AD 得出菱形AEDF．
交流小结，收获感悟
1. 对自己说，你有什么收获？
2. 对同学说，你有什么温馨提示？ 3. 对老师说，你还有什么困惑？
布置作业，强化目标
作业：习题1.2
教学目标
1.理解菱形的判断方法，熟练掌握菱形的 判定方法. 2.会选用合适的菱形判定方法判定四边形 是菱形. 3.培养综合运用知识分析解决问题的能力 .
《菱形》 知识清单
《菱形》知识清单一、菱形的定义在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
需要注意的是，菱形首先是平行四边形，然后还需要满足邻边相等这一条件。
二、菱形的性质1、边的性质菱形的四条边都相等。
这是菱形区别于一般平行四边形的重要特征之一。
因为平行四边形对边相等，而菱形在此基础上，邻边也相等，所以四条边长度均相等。
2、角的性质菱形的对角相等，邻角互补。
这与平行四边形的角的性质是一致的。
3、对角线的性质菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。
对角线互相垂直这一性质使得菱形具有很多独特的特点和应用。
比如，在计算菱形的面积时，就可以利用对角线的长度来计算。
4、对称性菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
同时，菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。
5、面积计算菱形的面积可以用两种方法计算：（1）底乘以高，这与计算平行四边形面积的方法相同。
（2）对角线乘积的一半。
即 S ＝ 1/2 ×对角线 1 ×对角线 2 。
三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
这是根据菱形的定义得出的判定方法。
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
这一判定方法直接从边的长度来判断。
四、菱形性质与判定的应用1、在几何证明中的应用在证明几何问题时，如果已知图形是菱形，可以利用菱形的性质来得出相关的结论。
例如，如果知道一个四边形是菱形，就可以得出它的对角线互相垂直等结论。
2、在实际生活中的应用菱形在实际生活中有很多应用。
比如，菱形的图案经常出现在建筑装饰、纺织品设计等方面，因为其美观且具有一定的稳定性。
3、在数学计算中的应用在计算菱形的周长、面积等问题时，需要熟练运用菱形的性质和相关公式。
五、与其他图形的关系1、菱形与平行四边形菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。
2、菱形与矩形矩形的四个角都是直角，而菱形的角不一定是直角。
菱形知识点总结
菱形知识点总结1. 菱形与其特性菱形是几何学中的一个基本形状，具有许多独特的特性。
菱形是一个四边形，其四边相等且对角线相等。
以下是一些关于菱形的重要特性：•四个边相等：菱形的四条边长度相等，这意味着它具有对称性。
•对角线相等：菱形的两条对角线相等，即对角线的长度相等。
•对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直，即形成90度的角。
•对角线平分角：菱形的两条对角线可以平分角，也就是说，每条对角线划分出的角度相等。
2. 菱形的公式菱形是一个多边形，有一些与其相关的重要公式和性质。
以下是几个与菱形相关的公式：•菱形的面积公式：菱形的面积可以使用以下公式计算：面积 = 对角线1长度 × 对角线2长度 × 0.5•菱形的周长公式：菱形的周长可以使用以下公式计算：周长 = 4 × 边长•菱形的对角线长度公式：已知菱形的边长时，可以使用以下公式计算对角线的长度：对角线长度 = 边长× √23. 菱形的应用场景菱形在日常生活和工程领域中有各种应用。
以下是几个常见的应用场景：•计算建筑物屋顶的面积：当屋顶形状是一个平面菱形时，可以使用菱形的面积公式来计算屋顶的面积。
这对建筑师和工程师来说是一个非常有用的计算方法。
•制作钻石和宝石：菱形被广泛用于制作钻石和宝石的形状。
这是因为菱形有一种独特而美丽的外观，非常适合制作珠宝。
•几何学教育：菱形是几何学中的基本形状之一，它常常被用于教育和学习几何学。
通过学习菱形的特性和公式，学生可以更好地理解和应用几何学的概念。
4. 菱形的实例以下是一些常见的菱形实例：*************************这个图案是一个典型的菱形，由星号组成。
可以通过在编程语言中使用循环来创建这样的图案。
5. 总结菱形是一个常见的几何形状，具有许多独特的特性和应用。
了解菱形的特性和相关公式对于解决几何学问题和应用菱形的实际场景非常重要。
通过学习菱形，我们可以更好地理解和应用几何学的概念，同时也能欣赏到菱形的美丽和独特之处。
菱形的判定及知识点归纳
菱形的判定及知识点归纳菱形是几何学中一种特殊的四边形，它具有特殊的性质和判定方法。
在本文中，我们将介绍菱形的定义、性质以及判定方法，并对相关知识点进行归纳总结。
一、菱形的定义菱形是一种四边形，它的四条边相等且相互垂直。
换句话说，四条边长度相等并且对角线相互垂直。
二、菱形的性质1. 对角线互相垂直：菱形的两条对角线相互垂直，即对角线之间的夹角为90度。
2. 对角线相等：菱形的两条对角线相等，即对角线长度相等。
3. 边相等：菱形的四条边都相等，即四边长度均相等。
4. 对角线平分角：菱形的两条对角线平分菱形的内角，即每条对角线平分相应的两个内角。
5. 对角线角平分线：菱形的每条对角线都是相应内角的角平分线。
6. 内角和：菱形的内角和为360度，即四个内角的和等于360度。
三、菱形的判定方法1. 判定菱形的方法一：判定四边形的四条边长度相等，即任意两条边长相等。
2. 判定菱形的方法二：判定四边形的对角线相等并且垂直，即对角线长度相等且对角线之间的夹角为90度。
四、菱形的相关知识点归纳1. 正方形是一种特殊的菱形：正方形是一种四边形，也是一种菱形，其四条边相等且相互垂直。
2. 菱形的对角线长度关系：菱形的对角线长度相等，即对角线AB= 对角线CD。
3. 菱形的边长关系：菱形的四条边相等，即AB = BC = CD = DA。
4. 菱形的内角关系：菱形的每个内角为90度，四个内角的和为360度。
5. 菱形的内角平分线关系：菱形的每条对角线都是相应内角的角平分线。
总结：菱形是一种四边形，具有四条边相等、对角线相等且相互垂直的性质。
菱形的判定方法主要包括四边形边长相等和对角线相等且垂直两种情况。
菱形还有一些特殊的性质和定理，如对角线长度关系、边长关系、内角关系以及内角平分线关系等。
熟练掌握菱形的定义、性质和判定方法，对于几何学的学习和问题解决具有重要意义。
1.1菱形的性质与判定(2)
九年级数学 1.1菱形的性质和判定（2）学习目标：1、经历探索、猜想和证明菱形判别条件的过程；2、能运用菱形的判定定理证明相关的题目；〖课前准备〗菱形的定义：____________________________________〖课堂探究〗1、菱形的定义也是菱形的判定方法之一，尝试写出符号语言。
菱形的判定方法1：______________________的_______形是菱形符号语言：___________________ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿自学指导一：自学课本P5-6页做一做之前的内容，完成下列问题（时间8分钟） 小结：菱形的判定方法2：______________________的_______形是菱形符号语言：_____________________ 菱形的判定方法3：______________________的_______形是菱形符号语言：__________________________________________自学检测1：1、画一个菱形，使它的两条对角线的长分别是线段a,b_____________________a______________b2、课本P6页做一做典型例题：1、已知：点D 是BC 上一点，DE//AC 交AB 于E,DF//AB 交于F ，AD 平分∠BAC求证：四边形AEDF 是菱形B AC B A C针对练习：已知:DE//AC 交AB 于E,DF//AB 交于F 、Q 。
△ABC 中AB=AC ，当D 位于BC 什么位置时，四边形AEDF 为菱形典型例题2：已知，如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，感悟与收获1、______________________的_______形是菱形2、______________________的_______形是菱形3、______________________的_______形是菱形课堂检测：已知平行四边形ABCD ，EF 垂直平分AB ，求证：四边形AFCE 是菱形作业布置：新课堂4页-5页。
1.1菱形的性质与判定(一)
活动内容：制作菱形
（1）在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；
（2）想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.
（3）利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.
活动目的：通过制作棱形的过程学生可以体会菱形的判定条件，从而为课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。同时以这种比较有趣的形式对这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，激发学生的积极性和主动性。
【注意事项】
学生们畅所欲言自己的收获，老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，及时引导学生归纳总结本节的知识。
第六环节 布置作业:
课本习题1.1 知识技能 1、2、3 数学理解 4
1.菱形的性质与判定（二）
一、学生知识状况分析
上节课，学生已经经历了独立探索发现菱形性质的过程，通过折纸等活动学生体会了“实验—猜想—证明—应用”的科学探索过程，认识了菱形与平行四边形的关系，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。
第四环节 性质应用与巩固
【教学内容】
教师：通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解决一些问题。
教师活动：展示题目
1、例1 如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD ,BD=6，菱形的边长也是6。
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2
2、随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.
1.1第2课时菱形的判定+课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
检 ∴AB2=132=169,AO2+OB2=122+52=169,
测
∴AB2=AO2+OB2,
∴△AOB为直角三角形,∠AOB=90°. ∴AC,BD互相垂直,
图1-1-21
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD是菱形.
谢 谢 观 看！
数学 九年级 上册 北师版
第 一
特殊平行四边形
章
1 第2课时 菱形的判定
-
第2课时 菱形的判定
探究与应用
课堂小结与检测
探
探究一 菱形的判定定理1
究 与
[启发猜想]
应 根据菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以
用
判定一个平行四边形是菱形.想一想除了菱形的定义之外,
对角线满足什么条件时可以判定一个平行四边形是菱形?
线垂直.
探
应用三 通过折纸制作菱形
究 与
例3 小颖通过折纸得到一个菱形,其做法如下:如图1-1-18,
应 先将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪
用
下,将纸展开,就得到了一个菱形.你能说说小颖这样做的道
理吗?
图1-1-18
探 解:小颖这样做的道理是:
究
与 方法1:根据折叠可知,小颖剪下来的四边形的四条边相等,根据定
应用
计算与证明
定义法 对角线垂直法 四边相等法
课 [检测]
堂
小 1.如图1-1-19,四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点
结 与
O,添加一个条件: 答案不唯一,如AB=BC , 可使四边形ABCD
检 成为菱形.
测
图1-1-19
课 2.如图1-1-20所示,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转,
1.1 菱形的性质与判定(二)
课题
1.1菱形的性质与判定(二)
课时
第2课时
总课时
教学
目标
1．探索并掌握菱形的判定方法 ，形 成解决问题的能力；
2．经历菱形的判定方法的探索过程，在活动中发展合情推理意识和主动探究的习惯，初步掌握说理的基本方法，发展有条理表达的能力.
3．通过设置问题情境，激发学生学习数学和应用数学的兴趣和意识.
3.数学理解3（A必做，B,C类选做）
六、课堂小结.
让学生说出自己的收获？
七、布置作业知识技能1.2
教学后记：
结合平行四边形性质OA=OC和条件AC⊥BD，可得BD垂直平分AC，于是AB=BC，依据定义即可证明.证明过程学生完成.
组织学生完成折纸,然后引导利用理论知识来说明.小组2号展示
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四边相等的四边形是菱形.
三、问题呈现，合作探究
1.用定义判定菱形.
问题:如图,依据定义,四边形ABCD满足怎样的条件,它能成为菱形?
结论:四边形ABCD为平行四边形,且一组邻边AB=AD,则四边形ABCD为菱形.
小组的3号
重点
难点
重点：菱形的判定方法.
难点：菱形的判定方法的综合运用.
教学
方法
类比-猜想-验证（证明）-应用
主要教学过程
备注
一、知识 回顾
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.菱形的性质：1．菱形四条边都相等；2．菱形两条对角线互相垂直；3．菱形是轴对称图形。
二、自学检测
自学教材5~7页,回答以下问题
回答第1个问题，2号回答第2个问题，目的引导学生复习旧知，探索新知。
北师大版数学九年级上册优秀教学案例：1.1菱形的性质与判定
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握菱形的定义及其性质，能够运用菱形的性质解决一些简单的问题。
3.教师总结学生提出的问题，引出本节课的主题：“菱形的性质与判定”。
（二）讲授新知
1.教师引导学生观察菱形的图形，引导学生发现菱形的定义及其性质。
2.教师通过几何画板等工具，演示菱形的性质，如对角线互相垂直平分、四边相等等。
3.教师引导学生理解菱形的判定方法，如对角线互相垂直平分且四边相等的四边形为菱形。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组学生共同探讨菱形的性质和判定方法。
2.教师设计小组讨论任务，如绘制菱形、验证菱形性质等，培养学生的团队协作能力。，提高学生的沟通能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结菱形的性质和判定方法。
2.问题导向，培养学生独立思考能力：教师在教学过程中提出一系列具有挑战性的问题，引导学生进行思考、探究。学生通过独立思考、解决问题，提高了自己的逻辑思维能力和独立解决问题的能力。
3.小组合作，培养团队协作精神：教师将学生分成若干小组，进行合作学习。学生在小组内共同探讨菱形的性质和判定方法，分享学习心得，既培养了学生的团队协作能力，又提高了学生的沟通能力。
4.教育学生学会关爱集体，培养学生的团队协作精神。
三、教学策略
（一）情景创设
1.教师通过向学生展示生活中的菱形实例，如珠宝、瓷砖等，让学生感受到菱形的美感，激发学生学习菱形的兴趣。
1.1菱形的判定与性质 1
第一章特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定【课标要求】理解特殊菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理以及它的判定定理；【教材分析】教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。
在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。
所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。
【学情分析】“菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。
九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。
其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
【教学目标：】知识与技能：经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；过程与方法：体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力情感与态度：在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力【教学重点：】菱形的性质以及证明【教学难点：】菱形的性质以及证明【教学过程：】一、课前预习：阅读课本P2-3内容，并完成下列题目1、理解菱形的定义与性质2、试证明菱形的特殊性质3、看会例1，并完成课后随堂练习二、课内检测1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A．12 B．8 C．4 D．23．菱形ABCD中，如图5，∠BAD=120°，AB=10cm，则AC=________cm，BD=________ cm．三、合作探究探究一：设置情境，提出课题1、观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。
菱形判定
有四条边相等的四边形是菱形。
数学语言: ∵在四边形ABCD中, B O C D
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
菱形的判定
3.观察与思考：如图，四边形ABCD的对角线 AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？
注： 对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形。
B A C
A B C
D
D
若 ABCD的对角线AC⊥BD ，则 不是菱形？为什么？
4.对角线相等且互相平分
6.对角线互相垂直且平分
5.对角线互相垂直
练习
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； ╳ (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形； √ (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 ╳ 的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形．
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
菱形的两组对边平行且相等
边
菱 形 的 性 质
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
角
菱形的邻角互补 菱形的 两条对角线互相平分 菱形的两条对角线互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角。
对角线
想一想
• 如果一个四边形是一个平行四 边形，则只要再有什么条件就 可以判定它是一个菱形？根据 A 什么？
有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形
互相垂直且平分每一组对角
有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 四条边都相等的四边形
练习巩固
一.选择： （一） 的平行四边形是菱形。（ 1 5 ）
（二）
1.一组邻边相等
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2、会利用灵性的性质及判定进行相关计算、证明。
重点
菱形的判定和性质
难点
菱形的判定和性质的应用
教
学
环
节
设
计
。
一一、学习目标：
1、熟练掌握菱形边、角、___
2、会应用菱形的性质及判定进行相关计算、证明、预习检测：1、菱形的性质：（1）菱形的周长=。
（2）菱形（填是或不是）轴对称图形。
A、对角线互相垂直B、两对角线相等C、两对线互相平分D、两对角线互相垂直平分
2、下列说法正确的是 （ ）
A、菱形的对角线相等B、两组邻边分别相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、菱形的对角线互相垂直平分.
3、已知，菱形ABCD的面积为 ，对角线AC:BD=1:3,求菱形周长。
学习目标
(4)若OA=OC，OB=OD,，则□ABCD是菱形。
二、范例讲解：例1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
课
堂
练
习
设
计
与
检
测பைடு நூலகம்
4、在平面直角坐标系中，画一个边长为5的菱形ABCD，并写出各点坐标。（两种不同方法）
四、课堂小结
本节课你学到了什么？
五、作业、习题1.3p9 1-------5题
个性设计
课
堂
练
习
设
计
与
检
测
课
后
反
思
银星学校学案教学设计页
九年级数学学科主备人：李国华：审核人：初三数学教研组第3课时总第_____节_____月____日
学习内容
菱形的判定和性质小结
个性设计
教
学
环
节
设
计
例2、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB，求证：四边形AEDF是菱形。
三、达标检测：
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
（3）菱形的面积公式是或。
（4）菱形边的性质：。
菱形角的性质：。
菱形对角线的性质：
2、如图，四边形ABCD，添加合适的条件使四边形ABCD是菱形。并口述理由。
（1）若□ABCD，，则□ABCD是菱形。
（2）若四边形ABCD，，则四边形ABCD是菱形。
（3）若AB=AD，AB‖CD,，则四边形ABCD是菱形。