高中数学思想方法及案例分析

求函数值域）
新课标关于数学思想方法的要求
重数学方法的教学，却忽略数学思想 的提升，从数学思想的高度审视数学 解法、方法不够，是中学数学思想方 法教学突出的问题之一。
新课标关于数学思想方法的要求
【问题】 基本的数学思想有哪些？为什么是基 本的？ 基本的数学思想与中学熟悉的数学思 想方法有什么关系？

教学中如何通过一些具体的方法， 来折射出它们背后的数学思想和方 法？
谢谢大家！
如何认识数学思想方法


数学思想是指对数学知识的本质和数 学规律的理性认识，是从某些数学内 容和对数学认识过程中提炼上升的数 学观点。 数学方法则是从数学的角度提出问题、 解决问题的过程中所采用的各种方式、 手段、途径等
如何认识数学思想方法

“数学思想方法”是指对数学内容的 本质认识，是数学的指导思想和一般 方法、手段和途径。
高中数学思想方法教学
2.在概念、公式教学的过程中要把 数学思想方法作为重要的教学目标. 教师要珍视概念、形成过程中学生 每一次思想方法学习的机会。比如， 等差数列后研究等比数列时，体会 如何运用类比法。
【案例】两个平面平行的判定问题
高中数学思想方法教学

教师要把对思想方法的思维示范，与 学生独立概括相结合。 比如，可以先让学生做阅读批注先自 行提炼，教师再概括等. 在课堂小结、 单元总结或总复习中，对思想方法的 提炼要及时，尤其要注意引导学生参 与总结.

数学模型方法是借用数学模型来研究 原型的功能特征及其内在规律，并应 用于实际的一种方法。
数学模型的分类 从使用的工具，可分为微分方程模型， 概率模型，最优化模型等 从涉及变量变化情况，可分为离散模 型，连续模型 从研究领域分，可分为人口模型，交 通模型，生态模型，经济模型
（２）化归思想：将待解决或未解决的 问题，转化为在已有知识的范围内可 解决的问题。
引言
真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普 遍的原理，这些原理适用于各种不同的具体 事例。在随后的实践中，这些成人将会忘记 你教他们的那些特殊细节，但他们潜意识里 的判断力会使他们想起如何将这些原理应用 于具体的情况，直到你摆脱了教科书，烧掉 了你的听课笔记，忘记了你为考试而背熟的 细节，这时，你学到的知识才有价值。 ——【英】怀特海《教育的目的》
（1）模型思想 “建立和求解模型的过程包括：从现实生 活或具体情境中抽象出数学问题，用数学 符号建立方程、不等式、函数等表示数学 问题中的数量关系和变化规律，求出结果 并讨论结果的意义。这些内容的学习有助 于学生初步形成模型思想，提高学习数学 的兴趣和应用意识。”

数学模型就是研究者依据研究目的， 将所研究的客观事物的过程和现象的 主要特征、主要关系，采用形式化的 数学语言，概括或近似地表达出来的 一种结构。
如何认识数学思想方法


数学思想是观念的、全面的、普遍的、 深刻的、一般的、内在的、概括的 数学方法是操作的、局部的、特殊的、 表象的、具体的、程序的、技巧的
中学数学中的数学思想方法
模型思想 、化归思想、类比思想、统 计思、用字母代表数的思想、函数与映 射思想、分类思想、极限思想等。
中学数学中的数学思想方法
高中数学思想方法及教学案例分析
程 华 咸阳师范学院数学与信息科学学院 ch7723@163.com
2016-3-10咸阳
引言
教师的角色“是学习的组织者、引 导者与合作者”，其实好的教师应 该是一个好导游，带着学生一起领 略他们看不到的、看不懂的美丽的 数学风光。
引言
掌握数学的一个重要标志就是善于解题 如何教会学生解题？ 如何将教师的解题经验转化为学生的解题 能力？
（４）统计思想 统计思想就是在统计初步知识中提炼 并掌握一些处理数据的方法，并用来 解决一些实际问题，统计思想可使学 生认识到条件的可变性结论的不唯一、 不确定、不可靠性，事物的多样性等 等都是普遍存在的。
（5）函数与映射思想 对应是人的思维对两个集合间问题联系的 把握，是现代数学的一个最基本的概念。 函数思想是指用运动、变化、联系、对应 的观点，分析数学与实际生活中的数量关 系，通过函数这种数量关系表示出来并加 以研究，从而使问题获得解决的思想。 【案例】
高中数学思想方法教学
3 教师要探索多渠道的学生思想方法 建构的途径 如课题学习、问题解决、研究性学习 甚至数学游戏等.
【案例】 微软招聘题
数学解决问题基本方法——化归思想

所谓“化归”，就是转化和归结。 化归的本质就是采用迁回曲折的途 径达到从未知到已知、从难到易、 从复杂到简单的转化。
化归思想

数学抽象的思想 其下能产生出分类思想，集合思想， 数形结合思想，符号表示思想，对称 思想，对应思想，有限与无限思想等。

数学推理的思想 能派生出归纳思想，类比思想，逐步 逼近思想，代换思想，特殊与一般思 想，演绎思想，公理化思想。



推理：合情推理与演绎推理。 合情推理是从已有的事实出发，凭借 经验和直觉，通过归纳和类比等推测 某些结果。 演绎推理是从已有的事实（包括定义 、公理、定理等）出发，按照规定的 法则证明（包括逻辑和运算）结论。
（３）类比思想 在数学上根据两个或两类对象之间在某 些方面的相似或相同，推出它们在其他方 面也可能相似或相同的一种逻辑推理的方 法称为类比法，它既包含从特殊到特殊， 又包含从一般到一般的推理。 【案例】 等比数列求和公式 【案例】平面几何问题的类比

教师教学要重视引导回忆或重现可供 类比的问题，从中寻找“经验性”的 解题方法
高中数学课程标准的总目标 具体目标 “1.获得必要的数学基础知识和基本技能， 理解基本的数学概念、数学结论的本质， 了解概念、结论等产生的背景、应用，体 会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它 们在后续学习中的作用。”
新课标关于数学思想方法的变化
基本的数学思想 双基——四基 基本思想 基本活动经验 【问题】 为什么作这样的修改？（案例
教学建议： 1.思想方法教学要有计划、依规律. （1）教师先要分析本教材、本节课要涉及
哪些思想方法？要达到何种层次？学生之 前该数学思想方法如何？一节课涉及多种 思想方法时，哪些是渗透、介绍和突出？ 本节课思想方法的线索是什么？
高中数学思想方法教学
（2）教师要掌握不同教学阶段、内容教学规 律 知识形成阶段：常用观察、实验、比较、 抽象、概括等抽象化、模型化思想方法， 函数、方程、统计等思想方法。 知识结论推导阶段和解题教学：用分类讨 论、化归、特殊化与一般化、类比等思想 方法。 知识总结阶段：用公理化、结构化等思想 方法。

推理能力的发展应贯穿在整个数学学 习过程中。
高考数列题
【案例】

数学建模的思想 还能派生出函数思想，方程思想， 优化的思想，随机的思想，抽样统计 思想等。
如何认识数学思想方法
问题1 数学思想与数学方法有什么不同？ 【案例】
如何认识数学思想方法
问题2 数学知识、数学方法、数学思想存在 怎样的关系？
引言
模仿+练习+数学事实的接受
引言 【问题】 1.数学是思维的体操，学数学一定 能使人变聪明吗？怎样教、怎样学 数学才能使人更聪明？ 2.中小学数学学科的价值是什么？
引言
【问题】 数学思想方法可教吗？怎么教？ 数学思想方法仅仅是求解数学题的利器？
案例 案例 平行线距离公式的推导 《相似多边形的性质（二）》
高中数学思想方法教学



在解方程和解不等式中强调等价转换 思想； 在平面几何中渗透和介绍几何变换的 思想方法、运动变化的观点； 在立体几何中强调类比、化归等。
高中数学思想方法教学

将思想方法目标与教学环节的设计切实对 应. 具体到：设计怎样的师生活动、情境创设、 问题、习题、小结等.如何突出运用某种思 想方法的必然性.比如，为什么会采用这个 思想方法、怎么用和什么时候用，应让学 生思辨悟到而不是贴标签地简单告知. 【案例】 数形结合思想
高中数学思想方法教学
存在问题 1.重数学方法的教学，忽略数学思想的提升，从 数学思想的高度审视数学解法、方法不够 2 知识形成过程中，数学思想方法的立意突出不 够，渗透、提炼不充分 3 思想方法教学重解题应用，存在习题化的倾向 4 数学思想方法教学存在注入式、标签式简单化 教法



高中数学思想方法教学
引言
数学思想方法的作用，主要体现在它为 学生提供了有关如何学习、如何思考的 策略性知识。 中小学数学的功能是多重的，即作为知 识的数学和作为教育功能性的数学。
内容提要
如何认识数学思想方法 中学数学中的数学思想方法 数学解决问题的基本方法——化归方法 高中数学思想方法教学案例分析

课程标准中关于数学思想方法的要求
化归的三个基本要素 (l) 把什么进行化归，即化归对象； (2) 化归到何处去，即化归目标； (3) 如何化归，即化归方法。
化归思想
2. 化归的策略 （1）通过语义转化实现化归策略 （2）特殊化与一般化策略 （3）分解与组合策略
结束语

Байду номын сангаас
中学数学的知识是初等的，但是初 等数学中蕴含的数学思想和方法丰 富而深刻