高中数学思想方法及案例分析

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高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种情况讨论(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1 x 4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.【分析】于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为.小结：分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

高中数学思想方法及案例分析ppt课件

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（5）函数与映射思想
对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。函数思想是指用运动、变化、联系、对应的观点，分析数学与实际生活中的数量关系，通过函数这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决的思想。
【案例】
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高中数学思想方法教学
存在问题 1.重数学方法的教学，忽略数学思想的提升，从
——【英】怀特海《教育的目的》
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引言
数学思想方法的作用，主要体现在它为学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。
中小学数学的功能是多重的，即作为知识的数学和作为教育功能性的数学。
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内容提要
如何认识数学思想方法中学数学中的数学思想方法数学解决问题的基本方法——化归方法高中数学思想方法教学案例分析
模型思想、化归思想、类比思想、统计思、用字母代表数的思想、函数与映射思想、分类思想、极限思想等。
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中学数学中的数学思想方法
（1）模型思想 “建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”
【案例】等比数列求和公式
【案例】平面几何问题的类比 30
教师教学要重视引导回忆或重现可供类比的问题，从中寻找“经验性”的解题方法
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（４）统计思想
统计思想就是在统计初步知识中提炼并掌握一些处理数据的方法，并用来解决一些实际问题，统计思想可使学生认识到条件的可变性结论的不唯一、不确定、不可靠性，事物的多样性等等都是普遍存在的。

《数学》课程中的杰出思政教学案例(一等奖)

《数学》课程中的杰出思政教学案例(一等奖)数学课程中的杰出思政教学案例(一等奖)引言数学课程在培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力方面起着重要作用。

然而，如何将思政教育融入到数学教学中，使学生在研究数学的同时也能感受到思想政治教育的价值，是一个值得关注和探索的问题。

本文将介绍一种在数学课程中的杰出思政教学案例，该案例获得了一等奖，对于其他教师在数学课程中融入思政教育提供了有益的借鉴。

案例描述该杰出思政教学案例是在高中数学课程中实施的。

教师在教学过程中采用了以下策略和方法：1. 引导学生思考数学与社会实际问题的联系：教师通过引导学生思考数学在社会实际问题中的应用，激发学生对数学的兴趣，并帮助他们认识到数学不仅仅是一个抽象的学科，而是与实际生活密切相关的。

2. 分析数学问题的背后思想：教师在教学中强调解决数学问题的方法和思想，鼓励学生通过分析问题的本质和背后的思想，找到更加深入的解决方案。

通过对数学问题的思想分析，学生能够更好地理解思想政治教育的重要性。

3. 探讨数学中的伦理道德问题：教师在教学过程中引入一些数学中的伦理道德问题，如公平分配、资源利用等，引导学生进行讨论和思考。

通过讨论这些问题，学生能够更加深入地理解伦理道德与数学之间的关系，增强他们的社会责任感和公民意识。

教学效果通过实施该思政教学案例，取得了以下显著的教学效果：1. 学生的兴趣和参与度提高：通过将思政教育融入数学课程，学生对数学的兴趣得到了提高，参与度也明显增加。

学生们更加积极主动地参与讨论和思考，提高了研究效果。

2. 增强学生的思辨能力：通过分析数学问题的背后思想，学生的思辨能力得到了增强。

他们能够更好地理解问题的本质，并提出更加深入的解决方案，培养了批判性思维能力。

3. 培养学生的社会责任感和公民意识：通过探讨数学中的伦理道德问题，学生的社会责任感和公民意识得到了培养。

他们开始关注社会问题，并思考如何用数学的知识和方法解决这些问题，具备了更强的社会责任感。

最全的高中数学思想方法

最全的高中数学思想方法1、函数与方程的思想著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。

一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。

函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。

所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

函数和方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。

函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。

高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程的思想的基本运用，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查。

在解题时，要学会思考这些问题：(1)是不是需要把字母看作变量?(2)是不是需要把代数式看作函数?如果是函数它具有哪些性质?(3)是不是需要构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题?(4)能否把一个等式转化为一个方程?对这个方程的根有什么要求?……2、数形结合的思想数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面。

“数”与“形”两者之间并不是孤立的，而是有着密切的联系。

数量关系的研究可以转化为图形性质的研究，反之，图形性质的研究可以转化为数量关系的研究，这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想。

数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。

高中数学思想方法及案例分析课件

求函数值域）
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新课标关于数学思想方法的要求
重数学方法的教学，却忽略数学思想的提升，从数学思想的高度审视数学解法、方法不够，是中学数学思想方法教学突出的问题之一。
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新课标关于数学思想方法的要求
【问题】 ? 基本的数学思想有哪些？为什么是基
本的？ ? 基本的数学思想与中学熟悉的数学思
想方法有什么关系？
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? 数学模型就是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构。
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? 数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应用于实际的一种方法。
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数学模型的分类
? 从使用的工具，可分为微分方程模型，概率模型，最优化模型等
【案例】等比数列求和公式
【案例】平面几何问题的类比 30
? 教师教学要重视引导回忆或重现可供类比的问题，从中寻找“经验性”的解题方法
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（４）统计思想
统计思想就是在统计初步知识中提炼并掌握一些处理数据的方法，并用来解决一些实际问题，统计思想可使学生认识到条件的可变性结论的不唯一、不确定、不可靠性，事物的多样性等等都是普遍存在的。
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课程标准中关于数学思想方法的要求
高中数学课程标准的总目标具体目标 “1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。”
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新课标关于数学思想方法的变化
? 基本的数学思想双基——四基基本思想基本活动经验【问题】为什么作这样的修改？（案例

高中数学常用思想方法

高中数学常用的思想方法在高中数学里，思想方法是数学学科的灵魂，应用在教学内容里，体现在解决问题中，是知识和能力连接的桥梁。

学生若能掌握一些常用的思想方法，在问题处理上将变被动为主动，积极探索，引领着步入数学的王国。

下面总结一些常见的数学方法，以例题来进一步领会探究。

一、函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点分析和研究数学的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系和构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决，经常利用的函数性质有单调性、奇偶性、周期性、对称性、最大值和最小值以及图像的变换等。

例1：已知函数f（x）=kx，g（x）= ，若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围。

分析：由f（x）≥g（x）可知k≥恒成立，转化为求k大于等于函数f（x）= 的最大值。

解：由题意可得 k≥在区间（0，+∞）上恒成立，令f（x）= 又f’（x）= 令f’（x）=0得x=∴函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，当x= 时，函数f（x）有最大值，且最大值为。

∴k的取值范围为k≥二、方程的思想方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析转化问题，使问题得以解决，方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。

例2：已知成等差数列的四个数之和为26，而第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列。

分析：常规方法利用已知求出a1与 d ，再求这四个数，此方法计算复杂，由于四个数的和已知，不如设这四个数依次为a-3d，a-d，a+d，a+3d.这样列方程求a和d会更简单，但应注意公差为2d。

解：设成等差数列的这四个数依次是：a-3d，a-d，a+d，a+3d。

由题设可知（a-3d）+（a-d）+（a+d）+（a+3d）=26（a-d）（a+d）=40解得a= d= 或a= d=-∴这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2函数思想和方程思想是密切相关的。

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

高中数学教学设计案例【精彩9篇】

高中数学教学设计案例【精彩9篇】高中数学教学设计案例篇一一、指导思想：贯彻教育部的有关教育教学计划，在学校、年级组的直接领导下，认真执行学校的各项教育教学制度和要求，认真完成各项任务。

教学的宗旨是使学生在获得作为一个现代公民所必须的基本数学知识和技能的同时，在情感、态度、价值观和一般能力等方面都能获得充分的发展，为学生的终身学习、终身受益奠定良好的基础。

二。

学情分析：上学期期末考学生的数学成绩相对于高一期末考有进步，但还不是很理想，理科生数学学习的难度本学期将增大，加上学业水平考试，所以本学期学生面临的压力将更大，任务艰巨。

三。

教学目的任务要求分析：本学期教学的主要任务是数学选修2-2，2-3和学考复习。

(1)认真把握“标准”的教学要求。

(2)通过建立相关知识的联系，渗透“数形结合”等思想方法。

(3)关注现代信息技术的运用。

(4)把握学考大纲复习标准四、主要措施1、明确一个观念：高考好才是真的好。

平时不好高考肯定不好，但平时红旗飘飘高考时未必红旗不倒。

这就要求我们在日常工作中在照顾到学生实际的前提下起点要高，注意培养后劲，从整体上把握好的自己的教学。

2、以老师的精心备课与充满激情的教学，换取学生学习高效率。

3.将学校和教研组安排的有关工作落到实处。

高中数学教学设计案例篇二1.把握菱形的判定。

2.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。

3.通过教具的演示培养学生的学习爱好。

4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想。

二、教法设计观察分析讨论相结合的方法三、重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点：菱形的判定方法。

2.教学难点：菱形判定方法的综合应用。

四、课时安排1课时五、教具学具预备教具(做一个短边可以运动的平行四边形)、投影仪和胶片，常用画图工具六、师生互动活动设计教师演示教具、创设情境，引入新课，学生观察讨论；学生分析论证方法，教师适时点拨七、教学步骤复习提问1.叙述菱形的定义与性质。

高中数学教学案例分析精选7篇

高中数学教学案例分析精选7篇小学数学教学案例设计篇一（一）学习目标1、结合具体情境，学生初步体会加法的意义，学习和是2-6的加法，认识加号，会读加法算式。

2、在解决问题的过程中，学生初步学会有条理地思考问题，了解同一问题可以用不同的方法解决。

3、学生在交流多种算法的过程中获得成功的体验，养成初步的合作意识。

4、学生在用加法解决简单实际问题的过程中，初步感受数学与生活的密切联系，体会学数学，用数学的乐趣。

（二）学习内容1、基础性学习包（1）5以内数的加减法（2）关于0的加减法（3）6至10的加减法（4）连加、连减、加减混合思维导图2、开发性学习包精彩故事会猴王出世小猴下山的故事：有一天，一只小猴子下山来。

它走到一块玉米地里，看见玉米结得又大又多，非常高兴，就掰了一个，扛着往前走。

小猴子扛着玉米，走到一棵桃树下。

它看见满树的桃子又大又红，非常高兴，就扔了玉米去摘桃子。

小猴子捧着几个桃子，走到一片瓜地里。

它看见满地的西瓜又大又圆，非常高兴，就扔了桃子去摘西瓜。

小猴子抱着一个大西瓜往回走。

走着走着，看见一只小兔蹦蹦跳跳的，真可爱。

它非常高兴，就扔了西瓜去追小兔。

小兔跑进树林子，不见了。

小猴子只好空着手回家去。

这个故事告诉我们，做事要认真，要有始有终。

猴子捞月：一群猴子在林子里玩耍，它们有的在树上蹦蹦跳跳，有的在地上打打闹闹，好不快活。

它们中的一只小猴独自跑到林子旁边的一口井旁玩耍，它趴在井沿，往井里边一伸脖子，忽然大叫起来：“不得了啦，不得了啦！月亮掉到井里去了！”原来，小猴看到井里有个月亮。

一只大猴听到叫声，跑到井边朝井里一看，也吃了一惊，跟着大叫起来：“糟了，糟了，月亮掉到井里去啦！”它们的叫声惊动了猴群，老猴带着一大群猴子都朝井边跑来。

当它们看到井里的月亮时，都一起惊叫起来：“哎呀完了，哎呀完了！月亮真的掉到井里去了！”猴子们叽叽喳喳地叫着、闹着。

最后，老猴说：“大家别嚷嚷了，我们快想办法把月亮捞起来吧！”众猴都义不容辞地响应老猴的建议，加入捞月的队伍中。

高中数学解题四大思想方法(数学)

思想方法一、函数与方程思想方法1 构造函数关系，利用函数性质解题根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。

通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。

例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555a b c ===则,,a b c 的大小关系是（） ....A a c bB a b cC c a bD b c a >>>>>>>>例2 已知函数21()(1)ln , 1.2f x x ax a x a =-+-> （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5,a <则对任意12121212()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有方法2 选择主从变量，揭示函数关系含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。

例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 .方法3 变函数为方程，求解函数性质实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

例4函数()2)f x x π=≤≤的值域是（） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法1 函数与不等式问题中的数形结合研究函数的性质可以借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。

不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法。

高中数学常见思想方法总结

高中常见数学思想方法我们通常认为数学思想就是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.而且数学思想方法是数学学科的精髓,是数学素养的重要内容之一,学生只有领会了数学思想方法,才能有效地应用知识,形成能力,在我们解决问题、进行数学思维时,也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.所以我们总结了以下几种常见的数学方法并附带例题加以说明，让学生对数学思想方法有更深刻的认识.方法一函数与方程的思想方法函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.高考数学命题近年来经历了以“知识立意”到以“问题立意”再发展为以“能力立意”的过程，试图体现突出能力与学习潜能的考查，使知识考查服务于能力考查；试图突出数学的思想方法的层次，即数学思想方法、逻辑学中的方法和具体的数学方法.函数与方程的思想方法作为基本的数学思想方法之一，在知识的互相联系、互相沟通中起到了纽带作用.因此，函数与方程的思想方法一直为近几年的高考重点，大小试题中均有体现.用函数与方程的思想方法解题时，要领悟其实质，充分考虑其可行性，不可生搬硬套.【例1】设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由.【分析】（1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题.【解】（1）由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ，所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0，13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0.解得：2437d -<<-. （2）解法一：（函数的思想）n S ＝21115(1)(12)222na n n d dn d n ++=+- ＝22124124552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 因为0d <，故212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小时，n S 最大. 由2437d -<<-得12465 6.52n d ⎛⎫<--< ⎪⎝⎭，故正整数n ＝6时212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小，所以6S 最大.解法二：（方程的思想）由0d <可知12313a a a a >>>> .因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得0n a >，10n a +<，则n S 就是1S ，2S ，，n S 中的最大值． 121300S S >⎧⎨<⎩⇒1150260d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩⇒6700a a >⎧⎨<⎩,故在1S 、2S 、…、12S 中6S 的值最大．【点评】数列的通项公式及前n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性.【例1】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.【解】（1）由题意知)0,2(F ，)0,3(A ，设),(y x P ，则4)3()2(2222=---+-y x y x化简整理得29=x . （2）把21=x ，312=x 代人椭圆方程分别求出)35,2(M ，)920,31(N 直线)3(31:+=x y AM ① 直线)3(65:--=x y BN ② ①、②联立得107,3T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）),9(m T ，直线)3(12:+=x m y TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x m y TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N A BO F直线2222222224020203(20)8020:3(80)3(20)20208020m m m MN y x m m m m m m +⎛⎫-+++=- ⎪--++⎝⎭--++, 化简得222220103(20)204020m y x m m m ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭令0y =，解得1x =，即直线MN 过x 轴上定点(1,0).【点评】本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P 的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.方法二数形结合的思想方法数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离.”这精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法，因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式问题的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽像问题具体化，开拓题的新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.正确利用数形结合，应注意三个原则：（1）等价性原则数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.（2）双向性原则数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.（3）简单性原则有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条:第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路变得形像而通畅;第二，以数助形：利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系)，突显问题的本质，另辟解题的捷径;第三，数形互助：根据问题的需要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等)，可从函数图像的直观性得到鲜明的启示.2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系)，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代数与几何联结.这样，可利用坐标或向量的运算，探索几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观性，探索函数或方程的性质.3.从统计图表、图像中，收集分析出“数”的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论.这类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点.4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.5.复平面与复数、向量的沟通.6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型，开辟解题的新思路.【例1】（12年上海模拟）若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x -=，且[1,1]x ∈-时，2()1f x x =-，函数lg(1),11(),00,01x x g x x xx ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪≤≤⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,6]-内的零点个数为_________. 【答案】 9【解】由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求()()()h x f x g x =-的零点,可以转化为求()f x 与()g x 两函数图像的交点.则画出()f x 与()g x 的图像,由于()f x 在[1,1]x ∈-上为2()1f x x =-,且为周期函数,周期为2,而()g x 是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有9个交点,其中有一个易错点,即其中1个交点为(1,0)很容易被遗漏.【点评】要求()()()h x f x h x =-在区间[5,6]-内的零点的个数，可转化为求()f x 与()h x 交点的个数，可以作出图形，观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数.【例2】函数y =f (x )的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f (x )＞f (－x )十x ．【解】解法一：（以数助形）由题意及图像，有⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=011101)(22x x x x x f ，（1）当0<x ≤1时, f (x )>f (－x )+x 得21x ->－2)(1x --+x , 解得0<x <552; （2）当－1≤x <0时, 得－21x ->2)(1x --+x , 解得－1≤x <－552, ∴ 原不等式的解集为[－1, －552)∪(0, 552). 解法二：（数形互助）由图象知f (x )为奇函数，∴ 原不等式为f (x )>2x ，而方程f (x )= 2x 的解为x =±552，据图像可知原不等式解集为[－1, －552)∪(0, 552). 【点评】本题以形看数（解式，奇偶性），以数解形（曲线交点A 、B ），最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．方法三分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对像为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样、综合性强，对于培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一.1.通常引起分类讨论的原因，大致可归纳为如下几点：(1)涉及的数学概念是分类定义的；(2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；(3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的；(4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；(5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；(6)一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：(1)确定讨论的对像及其范围；(2)确定分类讨论的标准，正确进行分类；(3)逐类讨论，分级进行；(4)归纳整合，作出结论.其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚，对于一些结论成立的条件掌握牢固，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必须进行分类讨论，而何时无须讨论，从而可以知道怎样进行分类讨论.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，这样才能做到不重复不遗漏，考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风.【例1】（12年上海二模）点),(y x Q 是函数122-=x y 图像上的任意一点，点(0,5)P ，则P 、Q 两点之间距离的最小值是______________.【答案】 11【解】 ①当2102x -<时，222221,(5)(6)92x y PQ x y y =-=+-=--. 63y -=±时，即y ＝9或y ＝3，PQ 取最小值0，但222x y =-都为负数，∴不成立； ②当2102x -≥时，212x y =-，2222(5)(4)11PQ x y y =+-=-+.当y ＝4时，PQ 取最小值为11．综上所述，P 、Q 两点之间距离的最小值为11．【点评】由于题中给出的是绝对值函数，需要利用分类讨论的思想去掉绝对值，然后再求解.体现了数学概念是分类定义的而引起的分类讨论.【例2】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0(1,2,3,)n S n >= ，求q 的取值范围.【分析】在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况.【解】 {}n a 是等比数列，且前n 项和0(1,2,3,)n S n >= ，110a S ∴=>，且0q ≠当1q =时，10n S na =>；当1q ≠时，1(1)01n n a q S q -=>-，即10(1,2,3,)1nq n q->=- . 上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩ ①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩ ②,由①得1q >,由②得11q -<<,∴q 的取值范围为()()1,00,-+∞ .【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现.【例3】设集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={4,5,6,7,8},则满足S A ⊆且S B ≠∅ 的集合S 的个数是（）A.57B.56C.49D.8【答案】 B【解】由题意得S 中必含有4,5,6中至少一个元素,而元素1,2,3可以任意含有,则可按S 中所含元素个数分类:(1) 当S 中只含有4，5，6中的一个元素时，有13C 种，而1，2，3可构成集合32个，故S 有13323824C ⋅=⨯=（个）;(2) 当S 中只含有4，5，6中的两个元素时，有23C 种，而1，2，3可构成集合32个，故S 有23323824C ⋅=⨯=（个）;(3) 当S 中只含有4，5，6中的三个元素时，有33C 种，而1，2，3可构成集合32个，故S 有33328C ⋅=（个）. 故集合S 的可能个数为24+24+8=56.【点评】本题正是由于题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的分类讨论.【例4】已知实数0a ≠,函数()2,1,2, 1.x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+,则a 的值为________.【答案】 34-【解】首先讨论1a -，1a +与1的关系.当0a >时，11a -<，11a +<，所以()()1121f a a a a -=---=--；()12(1)32f a a a a +=++=+.因为()()11f a f a -=+，所以132a a --=+，所以34a =-；当0a <时，11a ->，11a +>，所以()()1212f a a a a -=-+=-；()1(1)231f a a a a +=-+-=--.因为()()11f a f a -=+，所以231a a -=--，所以32a =-（舍去）. 综上，满足条件的34a =-. 【点评】本题的解题关键在于讨论1a -，1a +与1的关系，正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的分类讨论.【例5】如图所示，在△AOB 中，点A （2，1），B （3，0），点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE x =,过E 作OB 的垂线l l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数()S f x =的图象是（）【答案】 D【解】当02x <≤时, ()2111224f x x x x =⋅⋅=,是开口向上的抛物线,且()21f =；当23x <≤时, ()()()21112123133222f x x x x x =⨯⨯+--+=-+-，是开口向下,以33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为顶点的抛物线；当3x >,()f x 是确定的常数,图象为直线．【点评】本题正是图形运动造成，不同时段，面积有所不同，正是体现了几何图形的形状、位置的变化而引起的分类讨论问题.方法四概括归纳的思想方法概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型的思维形状，是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质和法则的归纳，如数列的基本性质，对数运算的法则的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物理中的应用等；第三类是归纳猜想，如由表格所给数据归纳几个连续奇数的和等.在上海主要体现在“归纳——猜想——证明”中，是发现数学规律，并用数学归纳法证明的完整过程.在近几年的高考中，都有这种找规律的题，考生不易得分，需要考生加强这方面的训练.【例1】（12年上海模拟）在证明恒等式2222*1123(1)(21)()6n n n n n N ++++=++∈ 时，可利用组合数表示2n ，即22112(*)n n n C C n N +=-∈推得.类似的，在推导恒等式23333*(1)123()2n n n n N +⎡⎤++++=∈⎢⎥⎣⎦时，也可以利用组合数表示3n 推得.则3n =____________.【答案】 6C 3n ＋1＋C 1n【解】由题意得：n 2＝2C 2n ＋1－C 1n ＝n (n ＋1)－n ＝n 2＋n －n ，则由类比推理可得，∴n3＝n 3－n ＋n ＝n (n ＋1)(n －1)＋n ＝6C 3n ＋1＋C 1n .【点评】此题利用了类比推理以及归纳、猜想思想，从已知条件中得到规律，用到问题中去，从而得到结论.【例2】在数列{n a }中，1a =13 ，且前n 项的算术平均数等于第n 项的2n -1倍（n ∈N*）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）利用数列{n a }前n 项的算术平均数等于第n 项的2n -1倍，推出关系式，通过n =2，3，4，5求出此数列的前5项；（2）通过（1）归纳出数列{n a }的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证n =1成立；第二步，假设n =k 猜想成立，然后证明n =1k +时猜想也成立.【解】（1）由已知1a =13，123n a a a a n++++ =（2n -1）n a ，分别取n =2，3，4，5，得2111153515a a ===⨯，()312111145735a a a =+==⨯， ()4123111277963a a a a =++==⨯，()512341114491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是：113a =，2115a =，3135a =，4163a = ，5199a = . （2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+（n ∈N*）．下面用数学归纳法证明：①当n =1时，猜想显然成立.②假设当n =k （k ≥1且k ∈N*）时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+ ．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++ ，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+ ．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，猜想也成立. 综上①和②知，对一切n ∈N*，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．【点评】本题考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用上假设，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．正是体现了概括归纳的思想方法.方法五化归与等价变换的思想方法在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换化归思想的基本原则就是：化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题：（1）把什么东西进行转换化归，即化归对像；（2）化归转换到何处，即化归转换的目的；（3）如何进行转换化归，即转换化归的方法.2. 化归与转化常遵循以下几个原则.（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化；（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；（3）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．3．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A ，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集使原问题得以解决.化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多，如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题或数学范畴以外的问题时，往往会出现事半功倍的奇特效果.【例1】设x 、y ∈R 且22326x y x +=，求22x y +的范围.【解】方法一：等价转化法(转化为函数问题)由22623x y x -=≥0得0≤x ≤2.设22k x y =+，则22y k x =-，代入已知等式得：2620x x k -+=，即2132k x x =-+，其对称轴为x =3. 由0≤x ≤2得k ∈[0,4].所以22x y +的范围是：0≤22x y +≤4.方法二：数形结合法（转化为解几何问题）：由22326x y x +=得()221132y x -+=，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.22x y +的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为22x y k +=，代入椭圆中消y 得2620x x k -+=.由判别式3680k ∆=-=得4k =,所以22x y +的范围是：2204x y ≤+≤.方法三：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由22326x y x +=得()221132y x -+=，设1cos 6sin 2x y αα-=⎧⎪⎨=⎪⎩，则 2222233112cos cos sin 12cos cos 222x y ααααα+=+++=++- []215cos 2cos 0,422αα=-++∈ 所以22x y +的范围是：2204x y ≤+≤.【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.而且各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型,正是体现了熟悉化原则，将不熟悉的知识转化为自己熟悉的知识.【例2】设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.【答案】-2【解】q a a S 112+=，11S a =，23111S a a q a q =++∵1322S S S =+ ∴12111222a q a q a a =++(a 1≠0)∴2q =-或0q =（舍去）.【点评】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q 的值.如：213,,S S S 成等差，求q 的值.这样就避免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则，也是特殊化方法的使用，正是转化与化归的思想方法的典型体现。

高中数学常见思想方法总结

高中数学常见思想方法总结目录一、基本概念与思想 (2)1.1 数学思维方式 (3)1.1.1 几何直观 (4)1.1.2 逻辑推理 (6)1.1.3 形数结合 (7)1.2 高中数学常见解题思想 (8)1.2.1 分类讨论思想 (9)1.2.2 数形结合思想 (10)1.2.3 参数思想 (11)1.2.4 类比思想 (13)二、高级思想方法与应用 (14)2.1 模型思想 (15)2.1.1 实际问题模型化 (17)2.1.3 方程模型 (19)2.2 抽象思想 (20)2.2.1 数学抽象 (21)2.2.2 逻辑抽象 (22)2.2.3 方法抽象 (24)2.3 综合思想 (25)2.3.1 多种数学知识的综合运用 (27)2.3.2 不同数学方法的综合运用 (28)2.3.3 数学与其他学科的综合运用 (29)三、数学思想方法在解题中的具体应用 (31)3.1 题型分析 (33)3.1.1 函数题型 (33)3.1.2 不等式题型 (35)3.1.3 数列题型 (36)3.1.5 概率题型 (38)3.2 解题策略 (40)3.2.1 已知条件分析 (41)3.2.2 数形结合策略 (42)3.2.3 构造法策略 (44)3.2.4 特殊值法策略 (45)3.2.5 分类讨论策略 (46)一、基本概念与思想代数思想：代数是数学的一个重要分支，主要研究数与数的运算以及代数式、方程、函数等代数对象的性质。

代数思想强调符号表示等量关系和函数关系，是数学问题解决的重要工具。

几何思想：几何学是研究空间图形和性质的学科。

高中数学中的几何思想包括平面几何和立体几何，涉及图形的性质、图形的变换、空间想象等。

函数与变量思想：函数描述了一个量与另一个量的关系，是数学中重要的概念之一。

变量思想强调在变化中寻找规律，是解决数学问题的重要方法。

数形结合思想：将数学中的数与形相结合，通过图形的直观性来理解和解决数学问题，是高中数学中常见的思想方法。

高中数学思想方法的教学案例分析

!!$!案例剖析ANLI POUXI!中##思想方泫）教#嚓例今祈◎程元鲁（四川省通江县第二中学，四川巴中6367〇0)【摘要】数学思想方法是数学的，数学方法与数学思想方法互为表里，在中学生的学习过程中，中学生的实水平，在教科书和实际教学中通常把“数学方法”和“数学思想”笼统地称为“数学思想方法”，本文也于这样的展开和分析的.【关键词】高中数学思想教育方法；数学知识；分析探究_、数学思想教育的意义(一) 数学思想方法学生形成优良的数学认知结构数学认知结是由概念、公式、定理之间的互联系方式，数学方法及作为数学认知活动动的非认知因素等组成的.当学生理解和掌握了数学 .方法后，的数学认知结构便可以帮助出问题的最佳方案，好的认知结构最的是之间的关联、方式、结列的层次和有序性，而数学 .方法有助于这些知识之间的融合和结列，学生掌握了数学方法有利于成的数学认知结，从而学习和理解数学知识.(二) 数学思想方法有利于培养学生的创新能力得尤其，在教学中我们应该着重数学认知活动的，让学生了解数学知识的发，了数学的概念和结应用.这种真正学生的 .而数学方法可以为学生提学习，的策略性知识，策略性知识和真实的知识相结合更有利于学生获得知识，到知识在发中的 .所以掌握数学方法更有利于学生的 .二、数学思想教育的要求(一) 教师需要合建教学思维教师在教学中应该为学生数学知识的发程，数学方法的教学并不是紧跟先人的步伐机械、复某位数学家的，而是理的，在这个中需要教学生一个理性的地理解和运用数学方法.(二）进引导学生学生学习数学方法的大体上分为三个阶段）一是感知孕育，二是初步形成，三是应用发展阶.每一个学生对数学方法的认知都在逐渐发生改变，由此可见学生学习数学方法的是由浅到深循序渐进的，在这个中学生学，自己的数学，增强自己的数学知识，从而掌握和运用数学方法来到的问题.(三）驱动带领学生从学习的角数学学习是 “问题”，是习“问题”，数学考试是回答“问题”，可以说“问题是数学的心脏”，一个概念或的形成需要不断：复，但复之中也需要有不断地变化，在这个之中需要学生学会提出、分析和问题，而学生在相应的一系列之中学习数学知识.三、数学思想教育的案例分析数学方法是通过具体的数学知识来体现的，目前高中数学教育界在着七大数学方法，下面笔结合自身的教学实践，详细剖析七大数学中的有限与无限分类与整合思想.(一) 有限与无限思在数学教学活动时，有限与无限的数学思想对于高中数学教学质量的提着极大的作用.例如，已知函数/(! =ln!-(X~,1)2.(1) 数/(X)的单调递增区间；(2) 证明：当 x>1 时，/(x) <x-1;())确定实数6的所有可值，使得存在x〇>1，当X0 (1，x〇)时，恒有/(X) >6(X- 1).此题数数的方法可以得到，但有限与无限，数像把握极限位置，无疑是的方法.从这个例子中，我们能够认识到有限与无限的思想对于学生学习高中数学的，数学与其他学科不同，它的各个知识点之间有着的联系，学生在学习中可以以点，从一个点出发，不断向外，将自己的知识扩到各个.由此可见，数学方法对于学生数学学习的是毋庸置疑的，我须坚定地以数学方法为指引，来教师的日常教学活动和学生的数学学习.(二) 分类与b合思想除了上述的有限与无限思想之外，分合.也是高中数学方法中的成部分.分合在生活中十分常见，教可以采用生活中的生动例子向学生传授这种，学生数学问题的 .，1.函数/(X) = ax2 +4x -3在[0,2]上有最大值/(2)，数a 的值是[-1，+2 ).*(0，y(0，2.在约束条件{(++$c，，当3 时，Z= 3x+(+ 2x$42y的最大值的变化是[7,8].从这些例子中可以看出，在对复杂的题时，学生必须学繁复杂的精确分类，提出来，高梳理出点，做到心中有数.与杂乱的素相比，井井有条的要点发出学生的数学，帮助学生 ^问题的，进行有效的解题运算，从而学生数学成绩和数学应的提高.四、结语数学知识是数学学习过程中的载体，而数学思想方法是数学学科的在，数学教育工作者都分认识到高中数学教学方法的，并在教学中不断探索不断优化，分的发挥数学方法的功，让学生学习数学知识.【参考文献】$1%李秉德，李定仁.教学论[M].北京：人民教育出版社，1991.$2]张大均.教学心理学[M].北京：人民教育出版社，1999.$3]郑和均.高中生心理学$M].杭州：浙江教育出版社，1993.$4]顾明远，孟繁华.国际教育新理念$M].海口：海南出，2000.数学学习与研究2019. 2。

高中数学思想方法及案例分析48页PPT

60、人民的幸福是领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学思想方法及案例分析
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克

高中数学思想方法(精选20篇)

高中数学思想方法（精选20篇）高中数学思想方法（1）高中数学思想与高中数学教学的关系高中数学思想是高中数学教学的灵魂，是获取和吸收知识最有效的方法，具有极高的实用性和适用性，高中生在充分了解和掌握数学思想方法就能够提高处理数学问题的能力了，进而在面对数学考试的时候能够从容不迫，同时也有助于高中生综合素质的完善和提高。

因此，培养学生数学思想方法对学生数学学习具有非常重要的意义，但是将数学思想方法融入到整个高中阶段的教学中是非常不容易的，不同的数学概念不一定会蕴含着一样的数学思想方法，举例来说，牛顿从物理角度对微积分定义进行了解释，而莱布尼茨从几何角度对微积分的定义进行了另一种解释，所以为了更好的掌握微积分的内容，就一定要明确它的定义极限，而这里所蕴含的数学思想就是对数学对象进行分割定义等一系列处理。

只有具备数学思想，并以此为基础，才能通过这种数学学习方法高效的解决各种类型的数学难题和数学概念和理论，进而更好的完成数学教学任务，帮助高中生尽快的提高数学成绩。

高中数学教学中强化数学思想方法渗透的实践途径虽然数学思想方法在高中数学教学中会起到很重要的作用，但假如我们将这种思想直接的灌输和传授高中生，他们可能并不能很好的接受这种思想，脱离了实际的数学活动，数学思想方法的适用性就会大打折扣，在授课时刻意的对学生强制性的进行数学思想方法渗透，就会让学生逐渐沉溺在形式主义的环境里所以数学思想方法的渗透一定要与具体的教学活动相结合，并通过学习和反思不断加强数学思想方法的掌握程度，进而习惯用数学思想方法解题。

数学思想方法的渗透应当与具体的数学知识和数学活动结合在一起。

高中数学教师要首先学习和掌握数学思想方法，在实践教学过程中要率先对数学思想方法进行实际应用，这也会帮助学生认识到数学思想的重要性;其次，数学思想方法通常要从具体到抽象，以数学教学活动为依托，并经过一系列的渗透、理解、应用和反思阶段，并针对不同的课程安排有选择性的采取对应的教学策略。