角的概念的推广与任意角的三角函数.pptx
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角的概念及任意角的三角函数ppt课件
当 4 即 2时，
C2 1 C2 2 4 4 16
值
。
C 扇形面积有最大 16
2
[题型3] 三角函数的定义
【例3】已知角 的顶点在原点，始 边为 轴的非负半轴，若角 终边 3 经过点 ( 3, y ) sin y ( y 0) 4 P 且 cos tan 判
x
断角所在的象限，并求 的值.
和
解：依题意，P到原点O的距离为
| PO | ( 3) y 3 y
2 2
2
21 x 3 7 当P在第二象限时，y 3 ,cos r 4 , tan 3
y 当P在第三象限时， 21 x 3 7 , cos , tan 3 r 4 3
曾国荣 wzzxzgr@
7 21 y 0,9 3 y 16 y , y 3 3 点P在第二或第三象限
2
2
y y 3 sin y 2 r 4 3 y
重庆市万州高级中学
[题型4] 三角函数符号的判断
【例4】已知 cos cos 且 tan 0
B
激活思维
3、(2002年天津市高考题)在(0，2π )内使 sinx>cosx成立的x的取值范围为( )
5 A、( , ) ( , ) 4 2 4 5 C、 ( , ) 4 4
C
4 5 3 ( D、 , ) 4 2
B、 ( , )
考点练习
4、已知角 的顶点在原点，始边与x轴的正 半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x>0),则 +cot 2 的值是( Sin (sin )+cos )
C2 1 C2 2 4 4 16
值
。
C 扇形面积有最大 16
2
[题型3] 三角函数的定义
【例3】已知角 的顶点在原点，始 边为 轴的非负半轴，若角 终边 3 经过点 ( 3, y ) sin y ( y 0) 4 P 且 cos tan 判
x
断角所在的象限，并求 的值.
和
解：依题意，P到原点O的距离为
| PO | ( 3) y 3 y
2 2
2
21 x 3 7 当P在第二象限时，y 3 ,cos r 4 , tan 3
y 当P在第三象限时， 21 x 3 7 , cos , tan 3 r 4 3
曾国荣 wzzxzgr@
7 21 y 0,9 3 y 16 y , y 3 3 点P在第二或第三象限
2
2
y y 3 sin y 2 r 4 3 y
重庆市万州高级中学
[题型4] 三角函数符号的判断
【例4】已知 cos cos 且 tan 0
B
激活思维
3、(2002年天津市高考题)在(0，2π )内使 sinx>cosx成立的x的取值范围为( )
5 A、( , ) ( , ) 4 2 4 5 C、 ( , ) 4 4
C
4 5 3 ( D、 , ) 4 2
B、 ( , )
考点练习
4、已知角 的顶点在原点，始边与x轴的正 半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x>0),则 +cot 2 的值是( Sin (sin )+cos )
角的概念的推广与任意角的三角函数
❖ 6．下列概念应注意区分
❖ 小于90°的角；锐角；第一象限的角； 0°～90°的角．
❖ 7．三角函数定义中，角α的三角函数值 仅仅与角α的终边位置有关，而与终边上 点P的位置无关．
❖ 一、构造思想
❖ [例1] 已知：α∈
，求证：
sinα<α<tanα.
❖ 分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角 函数线及三角形和扇形的面积来证明．
时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一
条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
角．
原点
x轴的非负半
❖轴2．象限角 终边
❖ 使角的顶点与
重合，角的始边与
❖ 重合．角的
落在第几象限，就说这
❖ 3．象限界角(轴线角)
❖ 即终边落在坐标轴上
的角．
❖ 4．终边相同的角
❖ 所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合{β|β＝α＋k·360°，
三角函 数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z}
❖ 10.各象限内角的三角函数值的符号如下 图所示：
❖ 三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ 两切，Ⅳ余弦．
❖ 误区警示
❖ 1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧 度制，要么采用角度制，两者不可混用．
❖ 2．相等的角终边一定相同，但终边相同 的角却不一定相等，终边相同的角有无数 个，它们之间相差360°的整数倍．
k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用 角度制表示，后者α用弧度制表示．
❖ 5．弧度制 半径
❖ 把长度等于 长的弧所对的圆心角叫1
弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单
位制叫做弧度制，它的单位符号是rad，
❖ 小于90°的角；锐角；第一象限的角； 0°～90°的角．
❖ 7．三角函数定义中，角α的三角函数值 仅仅与角α的终边位置有关，而与终边上 点P的位置无关．
❖ 一、构造思想
❖ [例1] 已知：α∈
，求证：
sinα<α<tanα.
❖ 分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角 函数线及三角形和扇形的面积来证明．
时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一
条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
角．
原点
x轴的非负半
❖轴2．象限角 终边
❖ 使角的顶点与
重合，角的始边与
❖ 重合．角的
落在第几象限，就说这
❖ 3．象限界角(轴线角)
❖ 即终边落在坐标轴上
的角．
❖ 4．终边相同的角
❖ 所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合{β|β＝α＋k·360°，
三角函 数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z}
❖ 10.各象限内角的三角函数值的符号如下 图所示：
❖ 三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ 两切，Ⅳ余弦．
❖ 误区警示
❖ 1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧 度制，要么采用角度制，两者不可混用．
❖ 2．相等的角终边一定相同，但终边相同 的角却不一定相等，终边相同的角有无数 个，它们之间相差360°的整数倍．
k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用 角度制表示，后者α用弧度制表示．
❖ 5．弧度制 半径
❖ 把长度等于 长的弧所对的圆心角叫1
弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单
位制叫做弧度制，它的单位符号是rad，
课件1：角的概念的推广与任意角的三角函数
第四章 三角函数
4.1角的概念的推广与任意角 的三角函数
1．角的概念 (1)分类按按终旋边转位方置向不不同同分分为为象正限角、角负和角轴、线.零角角.
(2)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做
第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题
有______个． 解析：－34π是第三象限角，故①错误；43π＝π＋π3，从而43π
是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③
正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
答案：3
2．终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α ＝kπ＋π3，k∈Z}．
解析：因为 sin α＝13，且 α∈π2，π，所以 cos α＝－ 1－91＝－232从而 tan α＝－ 42.
答案：－
2 4
再见
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应 用圆心角所在的三角形．
Hale Waihona Puke 针对训练]已知扇形的圆心角是 α＝120°，弦长 AB＝12 cm，求 弧长 l.
解：设扇形的半径为 r cm， 如图． 由 sin 60°＝6r， 得 r＝4 3 cm， ∴l＝|α|·r＝23π×4 3＝833π(cm)．
解析：∵cos α≤0，sin α>0， ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半 轴上．
∴3a＋a－2>9≤00，， ∴－2<a≤3. 答案：(－2,3]
4．在与 2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧 度数为________．
4.1角的概念的推广与任意角 的三角函数
1．角的概念 (1)分类按按终旋边转位方置向不不同同分分为为象正限角、角负和角轴、线.零角角.
(2)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做
第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题
有______个． 解析：－34π是第三象限角，故①错误；43π＝π＋π3，从而43π
是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③
正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
答案：3
2．终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α ＝kπ＋π3，k∈Z}．
解析：因为 sin α＝13，且 α∈π2，π，所以 cos α＝－ 1－91＝－232从而 tan α＝－ 42.
答案：－
2 4
再见
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应 用圆心角所在的三角形．
Hale Waihona Puke 针对训练]已知扇形的圆心角是 α＝120°，弦长 AB＝12 cm，求 弧长 l.
解：设扇形的半径为 r cm， 如图． 由 sin 60°＝6r， 得 r＝4 3 cm， ∴l＝|α|·r＝23π×4 3＝833π(cm)．
解析：∵cos α≤0，sin α>0， ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半 轴上．
∴3a＋a－2>9≤00，， ∴－2<a≤3. 答案：(－2,3]
4．在与 2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧 度数为________．
任意角角的概念的推广课堂PPT
角的概念的推广
角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形。
1
角的概念的推广
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
零角
o
A
x
角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形。
2
按旋转方向，角可以分为：
• 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就 叫零角
y
正角
o
A
x
B
8
角的概念的推广
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
正角
o
A
x
B
9
角的概念的推广
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
B
正角
o
A
x
10
按旋转方向，角可以分为：
• 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就 叫零角
• 正角：按逆时针方向旋转形成的角
11
角的概念的推广
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
o
x
( , )
与α终边相同的角的集合A={x|x=α+k·360°，k∈Z} 20
角的概念的推广
• 2.象限角和轴线角
②
角的顶点合于坐标原点，角 的始边合于 X 轴的正半轴， 这样一来，角的终边落在第 几象限，我们就说这个角是 第几象限的角
y o
③
①
x④21来自• 角的顶点不与坐标原点（O）重合，或角的始边不与x轴 的非负半轴重合，不能成为象限角。
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
负角
o
A
x
B
17
角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形。
1
角的概念的推广
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
零角
o
A
x
角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形。
2
按旋转方向，角可以分为：
• 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就 叫零角
y
正角
o
A
x
B
8
角的概念的推广
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
正角
o
A
x
B
9
角的概念的推广
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
B
正角
o
A
x
10
按旋转方向，角可以分为：
• 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就 叫零角
• 正角：按逆时针方向旋转形成的角
11
角的概念的推广
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
o
x
( , )
与α终边相同的角的集合A={x|x=α+k·360°，k∈Z} 20
角的概念的推广
• 2.象限角和轴线角
②
角的顶点合于坐标原点，角 的始边合于 X 轴的正半轴， 这样一来，角的终边落在第 几象限，我们就说这个角是 第几象限的角
y o
③
①
x④21来自• 角的顶点不与坐标原点（O）重合，或角的始边不与x轴 的非负半轴重合，不能成为象限角。
• 1.方向角：正角、负角和零角
y
负角
o
A
x
B
17
角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
探索研究 角的概念推广之后，利用转角给出60°+90°与90°-
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .
角的概念的推广课件（PPT34页)
（1） 70° （2） 210 ° （3） -60°
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
•
13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。22.1.522.1.509:30:3509:30:35January 5, 2022
•
14、他乡生白发，旧国见青山。。2022年1月5日星期三上午9时30分35秒09:30:3522.1.5
•
15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。2022年1月上午9时30分22.1.509:30January 5, 2022
•
10、雨中黄叶树，灯下白头人。。09:30:3509:30:3509:301/5/2022 9:30:35 AM
•
11、以我独沈久，愧君相见频。。22.1.509:30:3509:30Jan-225-Jan-22
•
12、故人江海别，几度隔山川。。09:30:3509:30:3509:30Wednesday, January 05, 2022
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
•
13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。22.1.522.1.509:30:3509:30:35January 5, 2022
•
14、他乡生白发，旧国见青山。。2022年1月5日星期三上午9时30分35秒09:30:3522.1.5
•
15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。2022年1月上午9时30分22.1.509:30January 5, 2022
•
10、雨中黄叶树，灯下白头人。。09:30:3509:30:3509:301/5/2022 9:30:35 AM
•
11、以我独沈久，愧君相见频。。22.1.509:30:3509:30Jan-225-Jan-22
•
12、故人江海别，几度隔山川。。09:30:3509:30:3509:30Wednesday, January 05, 2022
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
角的概念及任意角的三角函数ppt课件
1
考纲要求
1、理解任意角的概念，包括正角、负角、零 角、象限角、轴上角、区间角和终边相同的角 ，任意角a的各三角函数值仅与a的终边所在的 位置有关，与其终边上的点的选取无关，区间 角和象限角既有联系又有区别. 2、理解弧度制的建立，包括弧度与角度的互 化，弧长公式及扇形面积公式的使用.
2
3、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定 义，并会利用与单位圆有关的三角函数 线表示正弦、余弦和正切；了解任意角 的余切、正割、余割的定义；
3
激活思维
1、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，
C C={小于900的角}，则下列关系正确的是(
)
A、A=B=C
B、C
A
C、B C
D、A∩C=B
4
激活思维
B 2、若sinθ cosθ >0，则θ 在(
)
A、第一、二象限
B、第一、三象限
C、第一、四象限
D、第二、四象限
5
激活思维
3、(2002年天津市高考题)在(0，2π )内使
3
3 ）（cm2 )
2C
（2）扇形周长C=2R+l=2R+ R
R ,
2
S扇
1
2
R2
1(
C
R
)2
2 2
C2 2
1
4 4
2
C2
1
C2
2 4 4 16
当
即
2时，
值4
。
扇形面积C有2 最大
16
12
[题型3] 三角函数的定义
弧所在的弓形面积；
考纲要求
1、理解任意角的概念，包括正角、负角、零 角、象限角、轴上角、区间角和终边相同的角 ，任意角a的各三角函数值仅与a的终边所在的 位置有关，与其终边上的点的选取无关，区间 角和象限角既有联系又有区别. 2、理解弧度制的建立，包括弧度与角度的互 化，弧长公式及扇形面积公式的使用.
2
3、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定 义，并会利用与单位圆有关的三角函数 线表示正弦、余弦和正切；了解任意角 的余切、正割、余割的定义；
3
激活思维
1、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，
C C={小于900的角}，则下列关系正确的是(
)
A、A=B=C
B、C
A
C、B C
D、A∩C=B
4
激活思维
B 2、若sinθ cosθ >0，则θ 在(
)
A、第一、二象限
B、第一、三象限
C、第一、四象限
D、第二、四象限
5
激活思维
3、(2002年天津市高考题)在(0，2π )内使
3
3 ）（cm2 )
2C
（2）扇形周长C=2R+l=2R+ R
R ,
2
S扇
1
2
R2
1(
C
R
)2
2 2
C2 2
1
4 4
2
C2
1
C2
2 4 4 16
当
即
2时，
值4
。
扇形面积C有2 最大
16
12
[题型3] 三角函数的定义
弧所在的弓形面积；
角的概念的推广PPT教学课件
C l2 此时 α＝R＝C－C2＝2.
2
C2 ∴当 α＝2 弧度时，扇形面积有最大值16.
【方法点评】 合理选择变量，把扇形面积表示出 来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不 同的方法求最值，这是解决问题的关键．
3．一个扇形的周长等于它所在圆的周长，那么这个 扇形的圆心角是多少？如果其半径等于 那么它的面积 等于多少？
【自主探究】 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t，
r＝ x2＋y2＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|，
当 t>0 时，r＝5t，
y －3t 3
x 4t 4
sin α＝r＝ 5t ＝－5，cos α＝r＝5t＝5，
α 150°＋n·360°< 3 <180°＋n·360° 当 k＝3n＋2(n∈Z)时， 270°＋n·360°<α3 <300°＋n·360°.
α ∴ 3 是第一或第二或第四象限角．
扇形的弧长、面积公式的应用 已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积． (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时， 该扇形有最大面积？ 【思路点拨】 (1)利用弧长、面积公式求解；(2)把扇形 面积用α表示出来，或用弧长表示出来，然后求函数的最值． 【自主探究】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
【解析】 设β＝2 010°＋k·360°(k∈Z)， 则当k＝－6时，β＝2 010°－2 160°＝－150°， 当k＝－5时，β＝2 010°－1 800°＝210°， ∴与2 010°终边相同的最小正角为210°，最大负角 为－150°. 【答案】 210° －150°
三角函数的概念.ppt
象限角 α 的集合表示
α2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
α2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z
优秀课件
3
1.终边相同的角相等吗？
【思考·提示】 不一定相 等．终边相同的角有无数个，它们相 差360°的整数倍．
优秀课件
13
三基能力强化
3．已知角α的余弦线是单位长度的有 向线段，那么角α的终边在( )
A．x轴上 B．y轴上 C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上
解析：选A.|cosα|＝1，则角α的终 边在x轴上．故选A.
优秀课件
14
三基能力强化
4．(2008年高考北京卷改编)若角α的 终边经过点P(1，－2)，则sinα＋cosα的值 为________．
课堂互动讲练
依题意
0≤
2π 7
＋
2kπ 3
<2π
⇒
－
3 7
≤k<178，k∈Z.
∴k＝0,1,2，即在 [0,2π)内终边与θ3
相同的角为27π，2201π，3241π. (3)∵α 是第二象限角，
∴k·360°＋ 90°<α<k·360°＋ 180°，
k∈Z，
∴2k·360° ＋ 180°<2α<2k·360° ＋
优秀课件
18
课堂互动讲练
【思路点拨】 利用终边相同的 角进行表示及判断．
【解】 (1)在(0，π)内终边在
直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角
的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．
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第四章
第一节 角的概念的推广与任意角的三角函数
泰安二中数学*
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：1.终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法； 2．角度数与弧度数的换算； 3．三角函数的定义； 4．各三角函数值在每个象限的符号； 5．特殊角的三角函数值． 难点：1.三角函数定义及符号． 2．弧度制．
当 k＝3n＋2 时，n·360°＋270°<α2<n·360°＋300°，n∈Z， ∴α3是第四象限角．
综上所述知，α3为第一、二、四象限角．
解法 2：如图可知
α 为第二象限角时，α3位于第一、二、四象限． 答案：一、二或四
点评：准确判明角所在的象限，迅速进行角度和弧度的互化， 熟练掌握终边相同的角的表示是学习三角函数知识必备的基本 功．涉及到角度和弧度互化关系和终边相同角的问题，基本公式 180°＝πrad 在解题中起关键作用，若要确定一个绝对值较大的角所 在的象限，一般是先将角化成 2kπ＋α(0＜α＜2π)(k∈Z)的形式，然 后再根据 α 所在的象限予以判断，这里要特别注意是 π 的偶数倍， 而不是 π 的整数倍，若要求出在某一指定范围内的某种特殊的角， 通常是化为不等式去求出对应的 k 值．另外，还要注意理解区间角 的概念，并能掌握好 α 角的取值范围与 2α、α2角的取值范围间的相 互关系．
解析：解法 1：∵α 是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z， ∴3k·360°＋30°<α3<3k·360°＋60°，k∈Z. 当 k＝3n 时，有 n·360°＋30°<α3<n·360°＋60°，n∈Z，此 时α3是第一象限角． 当 k＝3n＋1 时，n·360°＋150°<α3<n·360°＋180°，n∈Z， ∴α3是第二象限角．
8.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示：
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余 弦．
疑难误区 点拨警示 1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧度制，要么采用 角度制，两者不可混用． 2．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定 相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差 360°的整数倍．解 三角方程时，一定要注意终边相同的角．
夯实基础 稳固根基 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到 另一个位置所成的图形，按_逆___时针方向旋转所形成的角叫 做正角，按__顺__时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条 射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．
2．象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重 合．角的_终__边__落在第几象限，就说这个角是第几象限角． 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集 合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用 角度制表示，后者α用弧度制表示．
思想方法技巧
一、构造思想 [例 1] 已知：α∈0，π2，求证：sinα<α<tanα. 分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形 和扇形的面积来证明．
证明：设角 α 与单位圆交于 P，则 MP＝sinα，AT＝tanα， 如图所示， PA 的长 l＝α.连结 AP.
△POA 的面积＝12OA·MP＝12sinα. 扇形 OAP 的面积＝12l·OA＝12α. △OAT 的面积＝12OA·AT＝12tanα. ∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT，即12sinα<12α<12tanα. ∴sinα<α<tanα.
6．任意角的三角函数的定义 直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P的坐标(x， y)，P到原点的距离是r(r＞0)，那么sinα＝yr，cosα＝xБайду номын сангаас，tanα＝ yx(x≠0)分别叫做角α的正弦、余弦、正切．
7．正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数
定义域
y＝sinα
R
y＝cosα
R
y＝tanα {α|α≠kπ＋π2，k∈Z}
4．正切函数 y＝tanx 的定义域是{x∈R|x≠kπ＋π2，k∈Z}， 不是 R.
5．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象限的 确定，不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况．
6．下列概念应注意区分 小于 90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． 7．三角函数定义中，角 α 的三角函数值仅仅与角 α 的终 边位置有关，而与终边上点 P 的位置无关．
一般地，要确定θn所在的象限，可以把各个象限都 n 等分， 从 x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环 标上号码 1、2、3、4，则标号是几的区域，就是 θ 为第几象 限的角时，θn终边落在的区域，θn所在的象限就可直观地看出．
考点典例讲练
终边相同的角与角所在象限的判断 [例 1] 若 α 是第二象限角，则α3是第______象限角．
4．弧度制 把长度等于_半__径__长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以 弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位符号 是rad，通常略去不写．度与弧度的换算关系如下： 180°＝_π__rad,1°＝1π80rad,1rad＝(1π80)°. 5．弧度制下弧长公式和扇形面积公式
1 扇形弧长l＝___|α_|·_r_，扇形面积S＝__2_l_r_.
二、解题技巧 1．利用三角函数的定义解决问题，一般可在角的终边上 任取一点或取某个特殊点． 2．解简单三角不等式通常是利用单位圆中的三角函数线 求解． 3．利用单位圆判断 2α、3α、α2、α3所在象限问题．
[例 2] 已知角 α 是第 n(n＝1、2、3、4)象限的角，问α2是 第几象限的角？
(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在 y 轴的 负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}，也可 以表示为{x|x＝2kπ＋32π，k∈Z}等．
3．在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一， 即给定一个角，它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的 情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和 它对应．
解析：如图：把单位圆在各象限的圆弧都 2 等分(2 是α2的 分母)，从∠AOB 开始逆时针依次标上 1、2、3、4，再循环一 遍，直到填满为止，则有标号 n 的就是α2所在象限数．
如 n＝4，α2是第二或第四象限的角．用同样的方法也可求 α3，α4所在象限．
上图左是求α3的方法，上图右是求α4的方法．
第一节 角的概念的推广与任意角的三角函数
泰安二中数学*
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：1.终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法； 2．角度数与弧度数的换算； 3．三角函数的定义； 4．各三角函数值在每个象限的符号； 5．特殊角的三角函数值． 难点：1.三角函数定义及符号． 2．弧度制．
当 k＝3n＋2 时，n·360°＋270°<α2<n·360°＋300°，n∈Z， ∴α3是第四象限角．
综上所述知，α3为第一、二、四象限角．
解法 2：如图可知
α 为第二象限角时，α3位于第一、二、四象限． 答案：一、二或四
点评：准确判明角所在的象限，迅速进行角度和弧度的互化， 熟练掌握终边相同的角的表示是学习三角函数知识必备的基本 功．涉及到角度和弧度互化关系和终边相同角的问题，基本公式 180°＝πrad 在解题中起关键作用，若要确定一个绝对值较大的角所 在的象限，一般是先将角化成 2kπ＋α(0＜α＜2π)(k∈Z)的形式，然 后再根据 α 所在的象限予以判断，这里要特别注意是 π 的偶数倍， 而不是 π 的整数倍，若要求出在某一指定范围内的某种特殊的角， 通常是化为不等式去求出对应的 k 值．另外，还要注意理解区间角 的概念，并能掌握好 α 角的取值范围与 2α、α2角的取值范围间的相 互关系．
解析：解法 1：∵α 是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z， ∴3k·360°＋30°<α3<3k·360°＋60°，k∈Z. 当 k＝3n 时，有 n·360°＋30°<α3<n·360°＋60°，n∈Z，此 时α3是第一象限角． 当 k＝3n＋1 时，n·360°＋150°<α3<n·360°＋180°，n∈Z， ∴α3是第二象限角．
8.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示：
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余 弦．
疑难误区 点拨警示 1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧度制，要么采用 角度制，两者不可混用． 2．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定 相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差 360°的整数倍．解 三角方程时，一定要注意终边相同的角．
夯实基础 稳固根基 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到 另一个位置所成的图形，按_逆___时针方向旋转所形成的角叫 做正角，按__顺__时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条 射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．
2．象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重 合．角的_终__边__落在第几象限，就说这个角是第几象限角． 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集 合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用 角度制表示，后者α用弧度制表示．
思想方法技巧
一、构造思想 [例 1] 已知：α∈0，π2，求证：sinα<α<tanα. 分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形 和扇形的面积来证明．
证明：设角 α 与单位圆交于 P，则 MP＝sinα，AT＝tanα， 如图所示， PA 的长 l＝α.连结 AP.
△POA 的面积＝12OA·MP＝12sinα. 扇形 OAP 的面积＝12l·OA＝12α. △OAT 的面积＝12OA·AT＝12tanα. ∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT，即12sinα<12α<12tanα. ∴sinα<α<tanα.
6．任意角的三角函数的定义 直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P的坐标(x， y)，P到原点的距离是r(r＞0)，那么sinα＝yr，cosα＝xБайду номын сангаас，tanα＝ yx(x≠0)分别叫做角α的正弦、余弦、正切．
7．正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数
定义域
y＝sinα
R
y＝cosα
R
y＝tanα {α|α≠kπ＋π2，k∈Z}
4．正切函数 y＝tanx 的定义域是{x∈R|x≠kπ＋π2，k∈Z}， 不是 R.
5．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象限的 确定，不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况．
6．下列概念应注意区分 小于 90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． 7．三角函数定义中，角 α 的三角函数值仅仅与角 α 的终 边位置有关，而与终边上点 P 的位置无关．
一般地，要确定θn所在的象限，可以把各个象限都 n 等分， 从 x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环 标上号码 1、2、3、4，则标号是几的区域，就是 θ 为第几象 限的角时，θn终边落在的区域，θn所在的象限就可直观地看出．
考点典例讲练
终边相同的角与角所在象限的判断 [例 1] 若 α 是第二象限角，则α3是第______象限角．
4．弧度制 把长度等于_半__径__长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以 弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位符号 是rad，通常略去不写．度与弧度的换算关系如下： 180°＝_π__rad,1°＝1π80rad,1rad＝(1π80)°. 5．弧度制下弧长公式和扇形面积公式
1 扇形弧长l＝___|α_|·_r_，扇形面积S＝__2_l_r_.
二、解题技巧 1．利用三角函数的定义解决问题，一般可在角的终边上 任取一点或取某个特殊点． 2．解简单三角不等式通常是利用单位圆中的三角函数线 求解． 3．利用单位圆判断 2α、3α、α2、α3所在象限问题．
[例 2] 已知角 α 是第 n(n＝1、2、3、4)象限的角，问α2是 第几象限的角？
(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在 y 轴的 负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}，也可 以表示为{x|x＝2kπ＋32π，k∈Z}等．
3．在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一， 即给定一个角，它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的 情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和 它对应．
解析：如图：把单位圆在各象限的圆弧都 2 等分(2 是α2的 分母)，从∠AOB 开始逆时针依次标上 1、2、3、4，再循环一 遍，直到填满为止，则有标号 n 的就是α2所在象限数．
如 n＝4，α2是第二或第四象限的角．用同样的方法也可求 α3，α4所在象限．
上图左是求α3的方法，上图右是求α4的方法．